第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第四章 线性控制系统的能控性和能观性
在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。4-1 线性连续定常系统的能控性
定义 对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x
+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []
f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别
4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1． 单输⼊系统 具有约旦标准型系统
bu x x
+Λ=
=Λn λλλλ
0000000
00
0000321
n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根 或bu Jx x
+=
=++n m m J λλλλλλ
0000000000000
001000
00000121
1
11
线性系统的可控性和可观性
摘要：线性系统的可控性和可控性是线性系统最基本的概念。本文从这个基本概念着手，介绍了线性系统的可控标准形和可观标准形，并且对系统可控性和可观性的判据做了详细的介绍。本文的研究有利于对线性系统可控性和可观性的知识体系有一个比较好的了解，对进一步学习现代控制理论提供一个扎实的基础，同时通过对相关知识的归纳总结，为以后的学习研究提供了一个好的方法。通过对其中大量高等数学的学习与应用，可以提高应用高等数学解决相关问题的意识与能力。
关键词:线性系统；可控性；可观性
Linear system controllability and observability
Hou Shibo Liu Yingrui Wang linlin Lin Huan
Abstact: Controllability of linear systems and control is the most basic concepts
of linear systems. This paper started from this basic concept, introduced the form
of linear system controllability and observability of the standard normal form, and
the system controllability and observability criterion for a detailed description.
This study is beneficial to the linear system controllability and observability of
knowledge have a better understanding of the further study of modern control theory
用约当规范形判别线性系统的能控性
赛耀樟
控制科学与工程学院 检测技术与自动化装置 2009010189
摘要：
60年代初期卡尔曼提出了能控性和能观测性概念。能控性和能观测性分别是从状态的控制能力和状态的测辨能力两个方面揭示了控制系统的两个基本属性。现代控制理论的许多基本问题，如最优控制和最优估计，都是以能控性和能观测性为存在条件的。
一 能控性约当规范形判据内容
线性定常系统的能控性约当规范形判据
线性定常系统状态方程
（1）当矩阵A的特征值两两互质时
.,,,,)3(0,)0(,0常阵为维输入向量为维状态向量为pnnnBApuntxxBuAxxxiiiiiiiipiiiiilpnlnnllnBBBBJJJJBBBBJJJAuBAnABuBˆˆˆˆˆˆˆˆˆ:ˆˆˆˆ3,),(,),(),()2(.,2121,21,2121221121其中导出的约当规范形由时且重重重的特征值为当矩阵不包含元素全为零的行中xxxx
二 能控性约当规范形判据推导
为使推证过程中的符号不致过于复杂，不失普遍性，不妨取为
..,,2,1ˆˆˆ),,2,1(ˆ,)(ˆˆˆˆ11212121,证略均为行线性无关对阵的最后一行所组成的矩由而liribbbkBrrrrikbbbBJiririiikiiiiikikprikiiirriiikikik
对s
可以证出约当规范性判据。
线性系统的可控性与可观测性
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入-输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且稳定，输出量便可以控制。且输出量总是可以被测量的，因而不需提出可控性及可观测性概念，现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量，这就纯在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以由输入来影响和控制由任意的初态达到原点，则称系统是完全可控的，或者更确切的说是状态完全可控的额，简称为系统可控；否则就称系统是不完全可控的，或简称为系统不可控。相应的，如果系统所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称西戎是状态完全可观测的，简称为系统可观测；反之系统是不完全可观测的，或简称为系统不可观测。
可控性与可观测概念是卡尔曼与20世纪60年代首先提出来的是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论中起着重要的作用。它不仅是研究性线性系统控制问题必不可少的重要概念，而且对于徐福哦最优控制、最优估计和自适应控制问题，也是常用到的概念之一。下面我们现举例来直观地说明可控性与可观测性的而无力概念，然后给出可控性与可观测性的严格定义。
应当指出，对可控性和可观测性所作的直观说明，只是对这两个概念的直觉的但不严密的描述，而且也只能用来解释和判断非常直观和非常简单系统的可控性和可观测性。为了揭示可控性和可观测性的本质属性，并用于分析和判断更为一般和较为复杂的系统，需要对这两个概念建立严格的定义，并在此基础上导出相应的判别准则。尽管本章主要研究线性定常数，但由于线性时变系统的可控性和可观测性定义更具有代表性，而线性定常数系统知识线性时变系统的一种特殊类型，因而我们选用线性时变系统给出可控性和可观测性的严格定义。
