例谈天体运动问题

天体运动的分析一、万有引力定律及其应用 重力与重力加速度1．关于重力（1）在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有：mg ＝GMmR 2 （2）由于F n ＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为F n ＝0，mg ＝GMmR 2 2．重力加速度（1）任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G Mm R 2＝mg ，g ＝GMR 2 （R 为星球半径，M 为星球质量）（2）星球上空某一高度h 处的重力加速度：GMm R ＋h2＝mg′，g′＝GM R ＋h2随着高度的增加，重力加速度逐渐减小*二、天体质量和密度的估算1．解决天体圆周运动问题的一般思路：利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 （1）两条线索①万有引力提供向心力F ＝F n ②重力近似等于万有引力提供向心力 （2）两组公式①G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r②mg ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2T 2r （g 为轨道所在处重力加速度） 2．天体质量和密度的计算}（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g 4πGR（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 进行计算①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2 ②若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3＝3πr 3GT 2R 3③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2．可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度三、对人造卫星的认识及变轨问题1．人造卫星的动力学特征：万有引力提供向心力，即 G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m （2πT ）2r'2．人造卫星的运动学特征（1）线速度v ：由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝ GMr ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小 （2）角速度ω：由G Mmr 2＝mω2r 得ω＝GMr 3，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小 （3）周期：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2π r 3GM ，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大3．卫星的稳定运行与变轨运行分析 （1）什么情况下卫星稳定运行卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动，满足的公式：G Mm r 2＝mv 2r （2）变轨运行分析：当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行①当v 增大时，所需向心力mv 2r 增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v ＝ GMr 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加 ~②当卫星的速度突然减小时，向心力mv 2r 减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v ＝ GMr 知其运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星1．环绕速度与发射速度的比较近地卫星的环绕速度v ＝G MR ＝gR ＝ km /s ，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v ＝ G Mr ，其大小随半径的增大而减小．但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大2．地球同步卫星特点（1）地球同步卫星只能在赤道上空．（2）地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期 （3）地球同步卫星相对地面静止:（4）同步卫星的高度是一定的五、双星、三星模型宇宙中，离其它天体较远的两（三）个天体，靠相互的万有引力提供做圆周运动的向心力，以相同的角速度绕同一点做匀速圆周运动一、万有引力定律及其应用【例1】英国《新科学家（New Scientist ）》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650—500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R 约为45 km ，质量M 和半径R 的关系满足MR ＝c 22G （其中c 为光速，G 为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ） A ．108 m/s 2 B ．1010 m/s 2C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2*【变式1】2009年6月19日凌晨5点32分（美国东部时间2009年6月18日下午5点32分），美国航空航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41号发射场用“宇宙神­5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器（LRO ）送入一条距离月表31英里（约合50 km ）的圆形极地轨道，LRO 每天在50 km 的高度穿越月球两极上空10次．若以T 表示LRO 在离月球表面高度h 处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R 表示月球的半径，则（ ）A ．LRO 运行的向心加速度为4π2RT 2B ．LRO 运行的向心加速度为C ．月球表面的重力加速度为4π2RT 2 D ．月球表面的重力加速度为二、天体质量和密度的估算【例2】已知万有引力常量G ，地球半径R ，月球和地球之间的距离r ，同步卫星距地面的高度h ，月球绕地球的运转周期T 1，地球的自转周期T 2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M 的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G Mm h 2＝m(2πT 2)2h 得M ＝4π2h 3GT 22．（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果．（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法．>#【变式2】“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T ，则月球的平均密度ρ的表达式为（k 为某个常数）（ ）A ．ρ＝k TB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2 D ．ρ＝kT 2三、对人造卫星的认识及变轨问题【例3】 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A 点从圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B 为轨道 Ⅱ 上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（ ） A ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的速度小于经过B 的速度B ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的动能C ．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期D ．在轨道 Ⅱ 上经过A 的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A 的加速度【变式3】1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元．如图所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 km 和2384 km ，则（ ） ）A ．卫星在M 点的势能大于N 点的势能B ．卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度C ．卫星在M 点的加速度小于N 点的加速度D ．卫星在N 点的速度大于 km/s四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星【例4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的181，月球的半径约为地球半径的14，地球上的第一宇宙速度约为 km/s ，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）A ． km/sB ． km/sC ．11 km/sD ．36 km/s【变式4】如图所示，同步卫星离地心距离为r ，运行速率为v 1，加速度为a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球的半径为R ，则下列比值正确的是( )…A ．a 1a 2＝r RB ．a 1a 2＝2)(rRC ．v 1v 2＝r RD ．v 1v 2＝R rA 夯实基础1．2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是（ ） A ．飞船变轨前后的机械能相等B ．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C ．飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度D ．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度》2．某同学通过Internet 查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信息与地球同步卫星进行比较，由此可知（ ）A ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小B ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小C ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低D ．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小3．如图所示，假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0，飞船在距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则（ ）A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为12g0RB．飞船在A点处点火时，动能增加:C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2πR g04．随着“神七”飞船发射的圆满成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是（）A．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号”B．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会C．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度D．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力5．月球与地球质量之比约为1∶80．有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（）&A．1∶6400 B．1∶80C．80∶1 D．6400∶1B 能力提高6．在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计（万有引力常量G未知）．则根据这些条件，可以求出的物理量是（）A．该行星的密度B．该行星的自转周期C．该星球的第一宇宙速度】D．该行星附近运行的卫星的最小周期7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2．火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G ．仅利用以上数据，可以计算出（ ） A ．火星的密度和火星表面的重力加速度B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C ．火星的半径和“萤火一号”的质量D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力8．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的倍，是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为小时，引力常量G=×10-11N ·m 2/kg 2,,由此估算该行星的平均密度为（ ）A ．×103kg/m 3B ．×103kg/m 3C ．×104kg/m 3D ．×104kg/m 39．假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d ．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）A ．Rd -1B ．Rd +1C ．2)(Rd R -D ．2)(dR R -10．质量为m 的人造地球卫星与地心的距离为r 时，引力势能可表示为E P =-GMmr，其中G 为引力常量，M 为地球质量．该卫星原来的在半径为R 1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R 2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ） A ．GMm (21R -11R ) B ．GMm (11R -21R )C ．12GMm (21R -11R )D ．12GMm (11R -21R )C 综合创新11．两颗靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某—点O 为圆心各自做匀速圆周运动时，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．设双星的质量分别为m 1和m 2，它们之间的距离为L ．求双星运行轨道半径r 1和r 2，以及运行的周期T ．。

天体运动问题的解析与解决技巧一、引言天体运动是天文学的重要研究领域之一，涉及天体的运行轨迹、相互作用等诸多问题。

本文将对天体运动问题进行解析和解决技巧的介绍，以帮助读者更好地理解和应用天体运动的知识。

二、开普勒运动定律1. 第一定律：行星绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上。

2. 第二定律：行星和太阳连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3. 第三定律：行星绕太阳的公转周期的平方与其椭圆轨道长半轴的立方成正比。

三、牛顿引力定律与开普勒定律的关系开普勒定律是基于行星运动的观测得出的经验定律，而牛顿引力定律则给出了这种运动的物理解释。

牛顿引力定律表明，两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离平方成反比。

应用牛顿引力定律可以推导出开普勒定律中的第三定律。

四、太阳系中的行星运动问题1. 行星轨道的计算：根据开普勒的第一定律，行星轨道可以用椭圆方程来表示。

根据已知的观测数据和开普勒定律，可以计算出行星轨道的要素，如长半轴、离心率等。

2. 行星运动的周期：应用开普勒第三定律，可以根据行星轨道的长半轴计算其公转周期。

这对于了解行星的运动规律以及天文观测具有重要的意义。

五、重力势能和动能在天体运动中的应用1. 重力势能：在天体运动中，行星与星体之间的引力势能是一个重要的物理量。

计算行星在不同位置的重力势能可以帮助我们理解行星运动过程中的能量转化。

2. 动能：行星的质量、速度以及位置都与其动能有关。

通过计算行星在不同位置的动能，可以研究行星在运动过程中的机械能守恒、轨道变化等问题。

六、数值模拟与计算机模型随着计算机技术的进步，数值模拟和计算机模型在解决天体运动问题中发挥了重要的作用。

通过建立数值模型和计算机模拟，可以模拟天体之间的相互作用，预测行星轨道的演化情况，以及解决一些复杂的天体运动问题。

七、误差分析与实际观测在天体运动的研究中，误差分析是一个不可忽视的问题。

由于观测条件等各种因素的限制，观测数据中常常存在一定的误差。

关于高中天体运动问题的研究关于高中天体运动问题的研究对于高中学生来说，天体运动的问题由于涉及圆周运动、万有引力及功能关系等问题，其中变量较多，因而给他们带来了不小的困惑。

下面分类说明。

一、轨道越高发射越困难例1：关于绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的发射，下列说法正确的是（?摇?摇?摇?摇）A.卫星的轨道半径越大，其线速度越小，动能越小，因此发射越容易。

B.卫星的轨道半径越大，其线速度越大，动能越大，因此发射越困难。

C.卫星的轨道半径越大，其线速度越小，动能越小，但总的机械能越大，因此发射越困难。

D.对于不同轨道的卫星，其机械能是相同的，因此发射任何卫星难易程度相同。

解析：由=得v=可知，卫星轨道半径越大其线速度越小，动能也越小。

但并不能说明半径越大，发射越容易。

这里涉及功能关系及机械能的问题。

在卫星上升过程中万有引力做负功（万有引力指向地心，而卫星沿半径方向向外有位移，力和位移两者方向相反）。

其中随半径的增加，势能增大量大于动能减少量，使总机械能增加。

运转半径越大，则其机械能总量越大，发射所需能量越大，发射越困难。

由万有引力是具有对称性的有心力场，万有引力是保守力，可计算万有引力势能变化。

设静止质点质量为M，另一质量为m的质点自距M为r处，万有引力做功为：A=-?蘩dr=GMm(-)按势能定义E-E=-A即为势能变化。

质点m在距M，r、r处均做圆周运动，由万有引力提供向心力。

=则E=mv=同理在r处做圆周运动时E=mv=两处前后动能变化为：△E=E-E=GMm(-)即△E=-(E-E)说明在地球发射卫星过程中卫星上升过程中需克服的万有引力做功比动能的减少量要大一倍，即发射高度越高所需能量越大。

二、卫星发射过程中变轨问题的处理例2：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2飞行；最后再次点火，将卫星送入同步轨道3。

轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。

（如图）卫星能分别在1、2、3轨道上正常运行。

天体运动知识点归类解析【问题一】行星运动简史1、两种学说（1）地心说:地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

支持者托勒密。

（2）.日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。

（3）.两种学说的局限性都把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完美，最和谐的圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符。

2、开普勒三大定律开普勒1596年出版《宇宙的神秘》一书受到第谷的赏识，应邀到布拉格附近的天文台做研究工作。

1600年，到布拉格成为第谷的助手。

次年第谷去世，开普勒成为第谷事业的继承人。

第谷去世后开普勒用很长时间对第谷遗留下来的观测资料进行了整理与分析他在分析火星的公转时发现，无论用哥白尼还是托勒密或是第谷的计算方法得到的结果都与第谷的观测数据不吻合。

他坚信观测的结果，于是他想到火星可能不是按照人们认为的匀速圆周运动他改用不同现状的几何曲线来表示火星的运动轨迹，终于发现了火星绕太阳沿椭圆轨道运行的事实。

并将老师第谷的数据结果归纳出三条著名定律。

第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。

如图某行星沿椭圆轨道运行，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为a v，v过近日点时的速率为b由开普勒第二定律，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积，取足够短的时间t ，则有：所以b a v v a b = ②②式得出一个推论：行星运动的速率与它距离成反比，也就是我们熟知的近日点快远日点慢的结论。

②式也当之无愧的作为第二定律的数学表达式。

第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期平方的比值都相等。

用a 表示半长轴，T 表示周期，第三定律的数学表达式为k T a =23，k 与中心天体的质量有关即k 是中心天体质量的函数)(23M k T a =①。