专题提升(五) 天体运动中的三类典型问题

高中物理【天体运动的三类典型问题】专题训练[A 组 基础达标练]1．(多选)2021年10月19日至23日，美国星链2305持续轨道变化，对中国空间站产生安全影响。

中国空间站于10月21日3点16分进行变轨规避风险。

图示为10月20日至23日期间星链2303和中国空间站的轨道距离地面高度数据图。

假设除变轨过程，中国空间站在不同高度轨道上都是绕地球进行匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )A ．10月21日3点16分，发动机向后喷气使得中国空间站速度增加B ．10月21日3点16分，发动机向前喷气使得中国空间站速度减小C ．中国空间站在10月22日运行的线速度大于其在10月20日运行的线速度D ．中国空间站在10月22日运行的线速度小于其在10月20日运行的线速度解析：由题图可知，中国空间站从低轨道调整到高轨道运行，则空间站需做离心运动，根据GMm R 2＝m v 2R可知，空间站做离心运动，需要发动机向后喷气使得中国空间站速度增加，使得该位置处万有引力小于空间站所需要的向心力，故B 错误，A 正确；根据GMm R 2＝m v 2R，可得v ＝ GM R，空间站运行轨道半径越大，线速度越小，由题图可知，中国空间站在10月22日运行的半径大于其在10月20日运行的半径，则中国空间站在10月22日运行的线速度小于其在10月20日运行的线速度，故C 错误，D 正确。

答案：AD2．(多选)“神舟十一号”飞船曾与“天宫二号”目标飞行器顺利完成自动交会对接。

关于交会对接，以下说法正确的是( )A ．飞船在同轨道上加速直到追上“天宫二号”完成对接B ．飞船从较低轨道，通过加速追上“天宫二号”完成对接C ．在同一轨道上的“天宫二号”通过减速完成与飞船的对接D ．若“神舟十一号”与“天宫二号”原来在同一轨道上运动，则不能通过直接加速或减速某飞行器的方式完成对接解析：“神舟十一号”飞船与“天宫二号”目标飞行器正确对接的方法是处于较低轨道的“神舟十一号”飞船在适当位置通过适当加速，恰好提升到“天宫二号”目标飞行器所在高度并与之交会对接。

专题强化五天体运动的“三类热点”问题【专题解读】1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现。

2.学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解。

3.需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等。

热点一近地卫星、同步卫星和赤道上物体的区别1.卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种。

(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星。

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

2.同步卫星问题的“四点”注意(1)基本关系：G Mmr2＝ma＝mv2r＝mrω2＝m4π2T2r。

(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析。

(3)物理规律①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期。

②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径。

③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行。

(4)重要条件①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103 km，地球表面重力加速度g约为9.8 m/s2。

②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天。

③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s。

3.两个向心加速度卫星绕地球运行的向心加速度物体随地球自转的向心加速度产生原因由万有引力产生由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生方向指向地心垂直且指向地轴大小a＝GMr2(地面附近a近似等于g)a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度特点随卫星到地心的距离的增大而减小从赤道到两极逐渐减小4.两种周期(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢。

第5节 天体运动的三类热点问题 学案突破一 卫星的发射与变轨问题1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图所示。

(2)在A 点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2．各物理量的比较(1)两个不同轨道的“切点”处线速度不相等。

图中v ⅢB >v ⅡB ，v ⅡA >v ⅠA 。

(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点的线速度大小不相等。

从远地点到近地点万有引力对卫星做正功，卫星的动能增大(引力势能减小)。

图中v ⅡA >v ⅡB ，E k ⅡA >E k ⅡB ，E p ⅡA <E p ⅡB 。

(3)两个不同圆轨道上线速度大小不相等。

轨道半径越大，线速度越小，图中v Ⅰ>v Ⅲ。

(4)卫星在不同轨道上的机械能E 不相等，“高轨高能，低轨低能”。

卫星变轨过程中机械能不守恒。

图中E Ⅰ<E Ⅱ<E Ⅲ。

(5)卫星运行的加速度与卫星和中心天体间的距离有关，与轨道形状无关，图中a ⅢB ＝a ⅡB ，a ⅡA ＝a ⅠA 。

[典例1] (2021·四川省遂宁市高三下学期5月三诊)2021年1月，“天通一号”03星发射成功。

发射过程简化为如图所示：火箭先把卫星送上轨道1(椭圆轨道，P 、Q 是远地点和近地点)后火箭脱离；卫星再变轨，到轨道2(圆轨道)；卫星最后变轨到轨道3(同步圆轨道)。

轨道1、2相切于P 点，轨道2、3相交于M 、N 两点。

忽略卫星质量变化( )A ．卫星在三个轨道上的周期T 3>T 2>T 1B ．由轨道1变至轨道2，卫星在P 点向前喷气C ．卫星在三个轨道上机械能E 3＝E 2>E 1D ．轨道1在Q 点的线速度小于轨道3的线速度[典例2] (多选)若“嫦娥五号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨，进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ，由近月点Q 落月，如图所示。

专题提升(六) 天体运动中的三类典型问题近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运动问题赤道上物体、近地卫星、同步卫星的动力学特点赤道上的物体近地卫星同步卫星向心力来源万有引力的分力万有引力线速度v1=Rω1v2=GMRv3=(R+h)ω3=GMR h+v1<v3<v2(v2为第一宇宙速度)角速度ω1=ω自ω2=3GMRω3=3()GMR h+ω1=ω3<ω2向心加速度a1=21ωRa2=22ωR=2GMRa3=23ω(R+h)=2()GMR h+a1<a3<a2[例1](多选)如图所示,A是静止在赤道上的物体,B,C是同一平面内两颗人造卫星.B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上,C是地球同步卫星.则以下判断正确的是( CD)A.卫星B的速度大小等于地球的第一宇宙速度B.A,B的线速度大小关系为v A>v BC.周期大小关系为T A=T C>T BD.若卫星B要靠近C所在轨道,需要先加速审题指导:解此题注意三点:(1)地面上的物体随地球自转,与地球和地球同步卫星有相同的角速度. (2)近地卫星和同步卫星都满足卫星运行规律.(3)近地卫星与地面上物体比较时要借助地球同步卫星这一桥梁.解析:第一宇宙速度为近地卫星的环绕速度,为最大环绕速度,所以B 的速度小于第一宇宙速度,故A 错误;A,C 相比较,角速度相等,由v=ωr,可知v A <v C ,根据卫星的线速度公式得v C <v B ,则v A <v C <v B ,故B 错误;同理,根据可知T C >T B ,有T A =T C >T B ,故C 正确;卫星要想从低轨道到达高轨道,需要加速做离心运动,故D 正确. 1.(2016·四川卷,3)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上.设东方红一号在远地点的加速度为a 1,东方红二号的加速度为a 2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3,则a 1,a 2,a 3的大小关系为( D ) A.a 2>a 1>a 3 B.a 3>a 2>a 1 C.a 3>a 1>a 2D.a 1>a 2>a 3解析:由于东方红二号卫星是同步卫星,则其角速度和赤道上的物体角速度相等,可得a 2=r 2ω2,而a 3=r 3ω2, 由于r 2>r 3,则可得a 2>a 3. 又由万有引力定律G2Mmr =ma 和题目中数据可得r 1<r 2, 则可以得出a 2<a 1,故选项D 正确.2.(多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v 1、向心加速度大小为a 1,近地卫星线速度大小为v 2、向心加速度大小为a 2,地球同步卫星线速度大小为v 3、向心加速度大小为a3.设近地卫星距地面高度不计,同步卫星距地面高度约为地球半径的6倍.则以下结论正确的是( BCD ) A.23v v =6 B.13v v =17C.23a a =49 D.13a a =17解析:近地卫星和同步卫星都绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力有G2Mm r=m 2v r ,解得v=GM r ,两卫星的轨道半径之比为1∶7,所以23v v =71,故A 错误;地球赤道上的物体和同步卫星具有相同的周期和角速度,根据v=ωr,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以13v v =17,故B 正确;根据万有引力提供向心力得G 2Mm r =ma,a=2GMr,两卫星的轨道半径之比为1∶7,则23a a =49,C 正确;同步卫星与随地球自转的物体具有相同的角速度,根据a=rω2,地球的半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶7,所以13a a =17,故D 正确. 航天器的变轨问题1.卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道.如图所示,发射卫星的过程大致有以下几个步骤:(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上. (2)在A 处点火加速,由于速度变大,进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 处(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2.卫星变轨的实质 两类变轨 离心运动近心运动变轨起因 卫星速度突然增大卫星速度突然减小受力分析 G2Mm r <m 2v r G2Mmr >m 2v r 变轨结果变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动能量分重力势能、机械能均增加重力势能、机械能均减小析角度1 变轨过程中各物理量的变化[例2](2019·河北唐山模拟)(多选)如图所示,地球卫星a,b分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行,椭圆轨道在远地点A处与圆形轨道相切,则( AD)A.卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短B.两颗卫星分别经过A点处时,a的速度大于b的速度C.两颗卫星分别经过A点处时,a的加速度小于b的加速度D.卫星a在A点处通过加速可以到圆轨道上运行解析:由于卫星a的运行轨道的半长轴比卫星b的运行轨道半径短,根据开普勒第三定律,卫星a的运行周期比卫星b的运行周期短,选项A正确;两颗卫星分别经过A点处时,a的速度小于b的速度,若卫星a在A点处加速后万有引力恰好提供向心力,则可以做匀速圆周运动,选项B错误,D正确;两颗卫星分别经过A点处,a的加速度等于b的加速度,选项C错误.分析卫星变轨问题的三点注意(1)卫星变轨时半径的变化,要根据万有引力与所需向心力的大小关系判断.决定.(2)卫星稳定在新轨道上的运行速度由v=GMr(3)卫星通过不同轨道的同一点(切点)时的速度大小关系可根据离心或向心运动的条件分析得出.角度2 变轨问题中能量分析[例3] (多选)目前,在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转,其中一些卫星的轨道可近似为圆,且轨道半径逐渐变小.若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用,则下列判断正确的是( BD)A.卫星的动能逐渐减小B.由于地球引力做正功,引力势能一定减小C.由于气体阻力做负功,地球引力做正功,机械能保持不变D.卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小解析:卫星在轨道半径逐渐变小的过程中,由于地球引力做正功,引力势能一定减小,故B正确;卫星的环绕速度当半径r减小时,运行速度增大,卫星的动能增大,选项A错误;由于气体阻力做负功,地球引力做正功,根据功能关系,机械能(引力势能和动能之和)减小,选项C错误;由于卫星的动能增大,地球引力做的正功大于卫星克服气体阻力做的功,选项D 正确.1.(多选)如图所示,在发射地球同步卫星的过程中,卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ,然后在Q点通过改变卫星速度,让卫星进入地球同步轨道Ⅱ,则( ACD)A.该卫星在P点的速度大于7.9 km/s,小于11.2 km/sB.卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/sC.在轨道Ⅰ上,卫星在P点的速度大于在Q点的速度D.卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ解析:卫星在P点做圆周运动的速度为7.9 km/s,卫星在P点的速度大于7.9 km/s会做离心运动,运动轨迹为椭圆,但必须小于11.2 km/s,否则就会脱离地球束缚,故A正确;环绕地球做圆周运动的人造卫星,最大的运行速度是7.9 km/s,故B错误;P点比Q点离地球近,故在轨道Ⅰ上,卫星在P 点的速度大于在Q 点的速度,C 正确;卫星在Q 点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ,故D 正确.2.(2019·河南南阳月考)(多选)若“嫦娥四号”从距月面高度为100 km 的环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨,进入近月点为15 km 的椭圆轨道Ⅱ,由近月点Q 落月,如图所示.关于“嫦娥四号”,下列说法正确的是( AD )A.沿轨道Ⅰ运动至P 时,需制动减速才能进入轨道ⅡB.沿轨道Ⅱ运行的周期大于沿轨道Ⅰ运行的周期C.沿轨道Ⅱ运行时,在P 点的加速度大于在Q 点的加速度D.在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变解析:要使“嫦娥四号”从环月圆形轨道Ⅰ上的P 点实施变轨进入椭圆轨道Ⅱ,需制动减速做近心运动,A 正确;由开普勒第三定律知,沿轨道Ⅱ运行的周期小于沿轨道Ⅰ运行的周期,B 错误;根据牛顿第二定律,有G2Mm r =ma,解得a=G 2Mr,沿轨道Ⅱ运行时,在P 点的加速度小于在Q 点的加速度,C 错误;月球对“嫦娥四号”的万有引力指向月球,所以在轨道Ⅱ上由P 点运行到Q 点的过程中,万有引力对其做正功,它的动能增加,重力势能减小,机械能不变,D 正确.双星或多星模型1.宇宙双星问题(1)特点:如图(甲)所示绕公共圆心转动的两个星体组成的系统,我们称之为双星系统. (2)动力学规律①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供,即122Gm m L=m 1r 121ω, 122Gm m L=m 2r 222ω; ②两颗星的周期及角速度都相同,即T 1=T 2,ω1=ω2; ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为:r 1+r 2=L. (3)两颗星到圆心的距离r 1,r 2与星体质量成反比,即12m m =21r r . 2.宇宙三星问题(1)三颗质量均为m 的星体位于同一直线上,两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R 的圆形轨道上运行[如图(乙)所示].其中一个环绕星由其余两颗星的引力提供向心力:22Gm R +22(2)Gm R =ma.(2)三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上[如图(丙)所示].每颗星体运动所需向心力都由其余两颗星体对其万有引力的合力来提供.2×22Gm L cos 30°=ma,其中L=2Rcos 30°.3.宇宙四星问题(1)其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上,沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动[如图(丁)所示].(2)另一种是三颗星体始终位于正三角形的三个顶点上,另一颗位于中心O,外围三颗星绕O 做匀速圆周运动[如图(戊)所示].三颗星体转动的方向相同,周期、角速度、线速度的大小相等.4.宇宙多星的分析思路 角度1 双星问题 [例4]宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,而不至于因为万有引力的作用而吸引到一起.如图所示,某双星系统中A,B 两颗天体绕O 点做匀速圆周运动,它们的轨道半径之比r A ∶r B =1∶2,则两颗天体的( A ) A.质量之比m A ∶m B =2∶1 B.角速度之比ωA ∶ωB =1∶2 C.线速度大小之比v A ∶v B =2∶1 D.向心力大小之比F A ∶F B =2∶1审题指导:(1)双星做匀速圆周运动的周期相同. (2)公式G122m m r 中的r 是两星间的距离,而不是轨道半径. 解析:双星绕连线上的一点做匀速圆周运动,其角速度相同,周期相同,两者之间的万有引力提供向心力,F=m A r A ω2=m B r B ω2,所以m A ∶m B =2∶1,选项A 正确,B,D 错误;由v=rω可知,线速度大小之比v A ∶v B =1∶2,选项C 错误.(1)双星系统中,两星的向心力大小一定相等,等于它们之间的万有引力,向心力不会因为两星质量、轨道半径不同而不同.(2)万有引力定律表达式中的r 表示双星间的距离,此处应该是L;而向心力表达式中的r 表示它们各自做圆周运动的半径,此处为r 1,r 2,千万不可混淆. 角度2 三星问题 [例5]三颗相同的质量都是M 的星球位于边长为L 的等边三角形的三个顶点上.如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变,下列说法正确的是( B )A.23G MB.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力指向圆心OC.3LD.2GML解析:根据万有引力定律,任意两颗星球之间的万有引力为F 1=22GM L ,方向沿着它们的连线.其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力为F=2F 1cos 23G M ,方向指向圆心,选项A 错误,B 正确;三个星球运行的轨道半径r=2cos30L3L,选项C 错误;23G M =M 2v r可得GML选项D 错误. (1)多星问题中,质量相同的各星处于同一圆轨道上,绕某一点做匀速圆周运动,或处于同一直线上的三星绕其中一颗做匀速圆周运动,某一星体所需向心力是其他星体对它万有引力的矢量和.(2)解题时首先明确多星系统中各星体的位置及周期关系,再分析各星做匀速圆周运动的向心力的来源和轨道半径.1.两个质量不同的天体构成双星系统,它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动,下列说法正确的是( C )A.质量大的天体线速度较大B.质量小的天体角速度较大C.两个天体的向心力大小相等D.若在圆心处放一个质点,它受到的合力为零解析:双星系统做匀速圆周运动的角速度ω相等,选项B 错误.两个天体之间的万有引力提供向心力,所以两个天体的向心力大小相等,选项C 正确.由万有引力定律及牛顿运动定律得G122m m L =m 1r 1ω2=m 2r 2ω2,其中r 1+r 2=L,故r 1=212m m m +L,r 2=112m m m +L,则12v v =12r r =21m m ,故质量大的星球线速度小,故选项A 错误.若在圆心处放一个质量为m 的质点,质量为m 1的天体对它的万有引力为F 1=G 121mm r ,质量为m 2的天体对它的万有引力为F 2=G 222mmr ,由A 项分析知m 1r 1=m 2r 2,则F 2=G1132mm r r ,显然,F 2≠F 1,即圆心处放的质点受到的合力不为零,选项D 错误. 2.(多选)宇宙中有这样一种三星系统,系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成,两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行,轨道半径为r.关于该三星系统的说法正确的是( BC )A.在稳定运行的情况下,大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B.在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧C.小星体运行的周期为32rD.小星体运行的周期为32r解析:在稳定运行的情况下,对某一个环绕星体而言,受到其他两个星体的万有引力,两个万有引力的合力提供环绕星体做圆周运动的向心力,选项A 错误;在稳定运行的情况下,大星体应在小星体轨道中心,两小星体在大星体相对的两侧,选项B 正确;对某一个小星体有2GMm r +2(2)Gmmr =mr,解得小星体运行的周期32选项C 正确,D 错误. 1.(2019·北京卷,18)2019年5月17日,我国成功发射第45颗北斗导航卫星,该卫星属于地球静止轨道卫星(同步卫星).该卫星( D ) A.入轨后可以位于北京正上方B.入轨后的速度大于第一宇宙速度C.发射速度大于第二宇宙速度D.若发射到近地圆轨道所需能量较少解析:同步卫星只能位于赤道正上方,故A 错误;由2GMmr=m 2v r 知,卫星的轨迹半径越大,环绕速度越小,因此入轨后的速度小于第一宇宙速度(近地卫星的速度),故B 错误;同步卫星的发射速度大于第一宇宙速度、小于第二宇宙速度,故C 错误;若该卫星发射到近地圆轨道,所需发射速度较小,所需能量较少,故D 正确.2.(2018·全国Ⅰ卷,20)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波.根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s 时,它们相距约400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈.将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( BC ) A.质量之积 B.质量之和 C.速率之和 D.各自的自转角速度解析:两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示.每秒转动12圈,即转速n=12 r/s,角速度ω=2πn,中子星运动时,由万有引力提供向心力得122Gm m l =m 1r 1ω2,122Gm m l =m 2r 2ω2,l=r 1+r 2,联立可得122()G m m l +=ω2l,所以m 1+m 2=23l G ω,质量之和可以估算;由线速度与角速度的关系v=ωr 得,v 1=ωr 1,v 2=ωr 2,解得v 1+v 2=(r 1+r 2)ω=ωl,速率之和可以估算;质量之积和各自自转的角速度无法求解,故B,C 正确,A,D 错误. 3.(2016·天津卷,3)我国即将发射“天宫二号”空间实验室,之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( C )A.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B.使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接D.飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接解析:使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速,则向心力变大,飞船将脱离原轨道而进入更高的轨道,不能实现对接;若空间实验室减速,则向心力变小,空间实验室将脱离原轨道而进入更低的轨道,不能实现对接,故选项A,B 错误;要想实现对接,可使飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速,然后飞船将进入较高的空间实验室轨道,逐渐靠近空间实验室后,两者速度接近时实现对接,选项C 正确;若飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速,则飞船将进入更低的轨道,不能实现对接,选项D 错误.4.(2019·福建泉州质检)(多选)如图,虚线Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道,其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s 对应的近地环绕圆轨道,轨道Ⅱ为椭圆轨道,轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s 对应的脱离轨道,a,b,c 三点分别位于三条轨道上,b 点为轨道Ⅱ的远地点,b,c 点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍,则( CD )A.卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍B.卫星经过a 点的速率为经过bC.卫星在a 点的加速度大小为在c 点的4倍D.质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能解析:由开普勒第三定律可得21T T ,故A 错误;卫星在轨道Ⅰ做匀速圆周运动,半径为r,Ⅱ轨道为椭圆,卫星经过b 点可以加速后做匀速圆周运动,由,卫星经过a 点的速率大于经过b ,故B 错误;由公式a=2GM r 可知,卫星在a 点的加速度大小为在c 点的4倍,故C 正确;卫星越高,发射过程中要克服引力做功越多,所以质量相同的卫星在b 点的机械能小于在c 点的机械能,故D 正确.。

拓展课天体运动中的三类典型问题核心要点人造卫星的发射、变轨问题[要点归纳]1.卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。

2.三个运行物理量的大小比较(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A 点和B点速率分别为v A、v B。

在A点加速，则v A＞v1，在B点加速，则v3＞v B，又因v1＞v3，故有v A＞v1＞v3＞v B。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k可知T1＜T2＜T3。

[经典示例][例1]我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行器成功变轨至关重要。

如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞行器在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A 点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则()A.飞行器在B点处点火后，动能增加B.由已知条件不能求出飞行器在轨道Ⅱ上的运行周期C.只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度D.飞行器在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2πR g0解析在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为T3，则mg0＝mR4π2T23，解得T3＝2πRg0，根据几何关系可知，轨道Ⅱ的半长轴a＝2.5R，根据开普勒第三定律a3T2＝k以及轨道Ⅲ的周期，可求出在轨道Ⅱ上的运行周期，故B错误，D正确；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在轨道Ⅲ上通过B点的加速度相等，故C错误。

专题强化三 天体运动中的三种典型问题一、近地卫星、同步卫星及赤道上物体的运行问题1．同步卫星和赤道上物体：角速度相同，同步卫星轨道半径大，则线速度大。

2．同步卫星和近地卫星：向心力都是由万有引力提供，是轨道半径不同的两个地球卫星，都满足v ＝GMr，因此近地卫星的速度大。

3．近地卫星和赤道上物体：做圆周运动的半径相同，由1、2结论可知，近地卫星的线速度最大。

4．特别注意：赤道上物体的向心力由万有引力和支持力的合力提供，所以G Mmr 2＝m v 2r 不适用。

例1 a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，向心加速度为a 1；b 处于近地轨道上，运行速度为v 1；c 是地球同步卫星，离地心距离为r ，运行速度为v 2，加速度为a 2；d 是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，已知地球的半径为R ，则有( C )A ．a 的向心加速度等于重力加速度gB ．d 的运动周期有可能是20小时C ．a 1a 2＝RrD ．v 1v 2＝r R[解析] 本题考查地球表面的物体与卫星做圆周运动时的区别和联系。

同步卫星的周期与地球自转周期相同，角速度相同，则知a 与c 的角速度相同，根据a ＝ω2r 知，c 的向心加速度大。

由GMmr 2＝ma 可知，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则同步卫星的向心加速度小于b 的向心加速度，而b 的向心加速度约为g ，故知a 的向心加速度小于重力加速度g ，故A 错误；由开普勒第三定律r 3T 2＝k ，知卫星的半径越大，周期越大，所以d 的运行周期大于c的周期24 h ，故B 错误；由a ＝ω2r得，a 1a 2＝R r ，故C 正确；由GMm r 2＝m v 2r得v ＝GMr，所以v 1v 2＝rR，故D 错误。

名师点拨 卫星与赤道上物体运行问题解题技巧同步卫星是近地卫星与赤道上物体的联系桥梁，同步卫星与近地卫星符合相同规律，轨道半径越大，周期T 越大，线速度v ，角速度ω，向心加速度a n 越小；同步卫星与赤道上物体有相同的角速度ω和周期T 。

微专题6天体运动中的“三类”热点问题1. (2022·盐城考前模拟)如图所示为A星球和B星球组成的“双星系统”，已知A星球的公转周期为T，A星球和B星球之间的距离为L，B星球表面重力加速度为g，半径为R，引力常量为G，不考虑B星球的自转，则()A. A星球和B星球的质量之和为4πL3 GT3B. A星球的质量为4πL3GT2－R2gGC. A星球和B星球的动量大小相等D. A星球和B星球的加速度大小相等2. (2023·海安期初质量监测)如图所示，两颗卫星绕地球分别在圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ上运行，卫星在轨道Ⅰ上经过P点的速度为v，加速度为a，P、Q为轨道的近地点和远地点，则轨道Ⅱ上的卫星()A. P点的速度大于vB. Q点的速度大于vC. P点的加速度大于aD. Q点的加速度大于a3. (2023·泰州中学期初调研)“遂古之初，谁传道之？上下未形，何由考之？”2020年7月23日，我国探测飞船“天问一号”飞向火星！伟大诗人屈原的“天问”梦想正成为现实．图中虚线为“天问一号”的“地”“火”转移轨道，下列说法中正确的是()A. “天问一号”发射速度为大于7.9 km/s小于11.2 km/sB. “天问一号”的在轨速度总大于地球绕太阳的公转速度C. “天问一号”的在轨加速度总小于火星绕太阳的加速度D. “天问一号”从地球飞到火星轨道的时间小于半个火星年4. (2022·海安、南外、金陵三校联考)2020年我国实施“天问一号”计划，将通过一次发射，实现“环绕、降落、巡视”三大任务．如图所示，探测器经历椭圆轨道Ⅰ→椭圆轨道Ⅱ→圆轨道Ⅲ的变轨过程．Q为轨道Ⅰ远火点，P为轨道Ⅰ近火点，探测器在三个轨道运行时都经过P点．则探测器()A. 沿轨道Ⅰ运行至P点的速度大于运行至Q点的速度B. 沿轨道Ⅱ运行至P点的加速度小于沿轨道Ⅲ运行至P点的加速度C. 沿轨道Ⅰ运行的周期小于沿轨道Ⅱ运行的周期D. 与火星连线在相等时间内，沿轨道Ⅰ运行与沿轨道Ⅱ运行扫过面积相等5. (2022·如东、姜堰、沭阳三校联考)宇宙中有两颗相距无限远的恒星S1、S2，半径均为R0.图示分别是两颗恒星周围行星的公转周期T2与公转半径r3的关系图像，则()A. 恒星S1的质量等于恒星S2的质量B. 恒星S1的密度大于恒星S2的密度C. 恒星S1的第一宇宙速度大于恒星S2的第一宇宙速度D. 距两恒星表面高度相同的行星，S1的行星向心加速度较小6. 如图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d.下列说法中正确的是()A. A星的轨道半径为m1m1＋m2dB. A星和B星的线速度之比为m1∶m2C. 若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零D. 若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝m32(m1＋m2)27. 宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动．忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，关于该三星系统，下列说法中错误的是()A. 每颗星球做圆周运动的半径都为3 3RB. 每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关C. 每颗星球做圆周运动的周期都为2πRR 3GmD. 若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变8. 如图所示，A为地球表面赤道上的物体，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星．已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为3∶1，且两卫星的环绕方向相同．下列说法中正确的是()A. 卫星B、C运行速度之比为3∶1B. 卫星B的加速度大于物体A的加速度C. 同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大D. 在卫星B中一天内可看到3次日出9. (2022·金陵中学学情调研)2021年7月我国成功将全球首颗民用晨昏轨道气象卫星——“风云三号05星”送入预定圆轨道，轨道周期约为1.7 h，被命名为“黎明星”，使我国成为国际上唯一同时拥有晨昏、上午、下午三条轨道气象卫星组网观测能力的国家，如图所示．某时刻“黎明星”正好经过赤道上P城市正上方，则下列说法中正确的是()A. “黎明星”做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/sB. 同步卫星的轨道半径约为“黎明星”的10倍C. 该时刻后“黎明星”经过1.7 h能经过P城市正上方D. 该时刻后“黎明星”经过17天能经过P城市正上方10. (2022·苏北苏中六市调研二)某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动，运行方向与地球自转方向相同，赤道上有一卫星测控站B.已知卫星距地面的高度为R，地球的半径为R，自转周期为T0，地球表面的重力加速度为g.求：(1) 卫星A做圆周运动的周期T.(2) 卫星A和测控站B能连续直接通讯的最长时间t.(卫星信号传输时间可忽略)。

必刷04天体运动的“三类”典型问题必刷点1卫星环绕问题典例 1.如图所示,在火星与木星轨道之间有一小行星带.假设该带中的小行星只受到太阳的引力,并绕太阳做匀速圆周运动.下列说法正确的是()A.太阳对各小行星的引力相同B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值D.小行星带内各小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值【答案】C【解析】设太阳质量为M,小行星质量为m,根据万有引力定律F=G Mmr2可知,由于各小行星的质量和到太阳的距离不同,万有引力不同,A错误;由万有引力提供向心力可知,G Mmr2=m4π2T2r,则各小行星做匀速圆周运动周期T=2π√r3GM,由于各小行星的轨道半径r大于地球的轨道半径,所以,各小行星绕太阳运动的周期均大于地球的周期1年,B错误;向心加速度a=Fm =G Mr2,内侧小行星到太阳的距离小,向心加速度大,C正确;由G Mmr2=m v2r得小行星的线速度v=√GMr,小行星做圆周运动的轨道半径大于地球的公转轨道半径,线速度小于地球绕太阳公转的线速度,D错误.变式1.观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间t通过的弧长为l,该弧长对应的圆心角为θ(弧度),如图所示.已知引力常量为G,“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为()A.2π√l3Gθt2B.l3Gθt2C.l3θGt2D.lGθt2【答案】B【解析】“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为:v=lt ,角速度为ω=θt;根据线速度和角速度的关系式:v=ωr,可得其轨道半径r=vω=lθ;“嫦娥三号”做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,GMmr2=mωv,解得M=l3Gθt2,故选B.必刷点2星体表面问题典例2假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G.地球的密度为()A.3πGT2·g0-gg0B.3πGT2·g0g0-gC.3πGT2D.3πGT2g0g【答案】B【解析】设地球的质量为M,半径为R,地球上某物体的质量为m.由题意得,在两极处,G MmR2=mg0;在赤道处,G MmR2=mg+m4π2T2R;地球的密度ρ=M43πR3.联立以上各式得,ρ=3πGT2·g0g0-g,B正确.变式2..据报道,最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星,其质量约为地球质量的6.4倍.已知一个在地球表面质量为50 kg的人在这个行星表面的重量约为800 N,地球表面处的重力加速度为10 m/s2.求:(1)该行星的半径与地球的半径之比约为多少?(2)若在该行星上距行星表面2 m 高处,以10 m/s 的水平初速度抛出一只小球(不计任何阻力),则小球的水平射程是多大?【答案】 (1)2 (2)5 m【解析】 (1)在该行星表面处,G 人=mg 行,得g 行=16 m/s 2.在忽略自转的情况下,由万有引力等于物体所受的重力得GMm R 2=mg ,有R 2=GM g,故R 行2R 地2=M 行g 地M 地g 行=4,所以R 行R 地=2.(2) 由平抛运动的规律,有竖直方向h=12g 行t 2,水平方向x=vt ,故x=v √2ℎg 行,代入数据解得:x=5 m .必刷点3 卫星变轨问题典例3. 我国于2016年9月15日发射了“天宫二号”空间实验室,之后在10月17日,又发射了“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接.假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动,为了实现飞船与空间实验室的对接,下列措施可行的是( )A .使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后飞船加速追上空间实验室实现对接B .使飞船与空间实验室在同一轨道上运行,然后空间实验室减速等待飞船实现对接C .飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速,加速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接D .飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速,减速后飞船逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接【答案】C【解析】为了实现飞船与空间实验室的对接,必须使飞船在较低的轨道上加速做离心运动,上升到空间实验室运动的轨道后逐渐靠近空间实验室,两者速度接近时实现对接,选项C正确.变式3.(多选)如图所示,某人造地球卫星发射过程经过地球近地轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅰ,最终到达预定圆周轨道Ⅰ,椭圆轨道Ⅰ与近地轨道Ⅰ和圆周轨道Ⅰ分别相切于P点和Q点.已知地球半径为R,地球表面重力加速度为g,卫星从P点到Q点运行时间t PQ=8π√Rg,则下列说法正确的是()A.卫星从P点到Q点做减速运动B.圆周轨道Ⅰ的半径为8RC.圆周轨道Ⅰ的半径为7RD.卫星在圆周轨道Ⅰ的周期为14π√Rg【答案】AC【解析】卫星从P点运动到Q点的过程中,受到地球的引力方向与速度方向的夹角大于90°,因此卫星做减速运动,A项正确;设卫星近地飞行的周期为T,则mg=m(2πT )2R,设圆周轨道Ⅰ的半径为r,卫星在圆周轨道Ⅰ的周期为T',根据开普勒第三定律,(R+r2)3(2t PQ)2=R3T2=r3T'2,求得r=7R,T'=14π√7Rg,B、D项错误,C项正确.练考点过基础过素养题组一 卫星环绕问题1某行星的质量约为地球质量的12,半径为地球半径的18,那么在此行星上的“第一宇宙速度”与地球上的第一宇宙速度之比为 ( )A .2Ⅰ1B .1Ⅰ2C .1Ⅰ4D .4Ⅰ1【答案】 A【解析】 设地球质量为M ,地球半径为R ,由GMm R 2=m v 2R,可知地球上的第一宇宙速度v地=√GM R,同理,得行星上的第一宇宙速度v 行=√G ·12M18R =2√GM R,所以v 行Ⅰv 地=2Ⅰ1,则A 正确,B 、C 、D 错误.2.火星被认为是太阳系中最有可能存在地外生命的行星,对人类来说充满着神奇,为了更进一步探究火星,发射一颗火星的同步卫星.已知火星的质量为地球质量的p 倍,火星自转周期与地球自转周期相同均为T ,地球表面的重力加速度为g ,地球的半径为R ,则火星的同步卫星距球心的距离为( )A .r=√gR 2T 24π2p 3 B .r=√gRT 2p4π23 C .r=√pgR 2T 24π23 D .r=√gRT 24π2p 3【答案】C【解析】 由黄金代换式有GM 地=gR 2,又知M 火=pM 地,则GM 火=pgR 2,对火星的同步卫星有GM 火m r 2=m (2πT )2r ,解得r=√pgR 2T 24π23,C 项正确.3.2019年10月11日,我国首颗火星探测器——“火星一号”第一次公开亮相,将在未来实现火星的环绕、着陆和巡视.已知火星绕太阳公转的轨道半径是地球公转轨道半径的1.5倍,火星质量约为地球质量的十分之一,关于火星、地球绕太阳的运动,下列说法正确的是( )A .火星的周期小于地球的周期B .火星的线速度大于地球的线速度C .火星的加速度大于地球的加速度D .太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力 【答案】D【解析】设太阳质量为M ,行星质量为m ,根据万有引力提供向心力有GMm r 2=m 4π2r T 2,得T=√4π2r 3GM,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,所以火星的公转周期比地球的公转周期大,故A 错误;根据万有引力提供向心力有GMm r 2=mv 2r,解得:v=√GMr,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的公转速度比地球的公转速度小,故B 错误;根据万有引力提供向心力有GMm r =ma ,解得:a=GM r ,由于火星的公转半径比地球的公转半径大,火星的加速度比地球的加速度小,故C 错误;根据万有引力定律得:F 日火F 日地=GMm火r 日火2GMm地r日地2=110m 地m 地×r 日地2(1.5r 日地)2=245,故太阳对火星的万有引力小于对地球的万有引力,故D 正确.4. (2015·全国卷Ⅰ)由于卫星的发射场不在赤道上,同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时,发动机点火,给卫星一附加速度,使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ,某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ,此时卫星的高度与同步轨道的高度相同,转移轨道和同步轨道的夹角为30°,如图所示,发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )A.西偏北方向,1.9×103 m/sB.东偏南方向,1.9×103 m/sC.西偏北方向,2.7×103 m/sD.东偏南方向,2.7×103 m/s【答案】B【解析】合速度为同步卫星的线速度,为:v=3.1×103 m/s;一个分速度为在转移轨道上的速度,为:v1=1.55×103 m/s;合速度与该分速度的夹角为30°,根据平行四边形定则,另一个分速度v2如图所示:该分速度的方向为东偏南方向,根据余弦定理,大小为:v2=√v2+v12-2vv1cos30°代入数据,解得v2=1.9×103 m/s.5.2019年4月10日21时,人类首张黑洞照片在全球六地的视界面望远镜发布会上同步发布.该黑洞半径为R,质量M和半径R的关系满足:MR =c22G(其中c为光速,G为引力常量).若天文学家观测到距黑洞中心距离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则()A.该黑洞质量为v2r2G B.该黑洞质量为v2rGC.该黑洞的半径为c22v2r D.该黑洞的半径为v2r2c2【答案】B【解析】令黑洞的质量为M,环绕天体质量为m,根据万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力有:GMmr2=m v2r,可得黑洞的质量M=v2rG,故A错误,B正确;据黑洞质量M和半径R的关系满足:MR =c22G,可得黑洞的半径R=2GMc2=2v2rc2,故C、D错误.6.科学家发现太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量是(引力常量G已知)()A.恒星与太阳质量之比B.恒星与太阳密度之比C.行星与地球质量之比D.行星与地球表面的重力加速度之比【答案】A【解析】根据万有引力提供向心力可得:G Mmr2=m(2πT)2r,解得:M=4π2r3GT2,由题意可知,行星与恒星的距离为地球到太阳距离的100倍(即知道轨道半径之比),行星围绕该恒星的周期为1 200年,地球绕太阳的周期为1年(即知道周期之比),而G是常数,所以利用上式可求出恒星与太阳的质量之比,故A正确;由A分析可求出恒星与太阳的质量之比,但由于不知恒星与太阳的半径之比,所以不能求出恒星与太阳的密度之比,故B 错误;根据万有引力提供向心力可得:G Mmr 2=m (2πT )2r ,解得的M 是中心天体的质量,所以不能求出行星与地球的质量之比,故C 错误;根据公式m 0g=Gm 0m R 2可知,g=GmR2,由于不知行星与地球的半径之比和质量之比,所以不能求出行星与地球表面的重力加速度之比,故D 错误.7.(多选)地球和火星围绕太阳的公转均可以看做匀速圆周运动.地球的轨道半径为r 1,周期为T 1,运行速度为v 1,角速度为ω1,加速度为a 1,火星的轨道半径为r 2,周期为T 2=kT 1,运行速度为v 2,角速度为ω2,加速度为a 2.下列关系正确的有 ( )A .ω1ω2=k B .r1r 2=23C .v 1v 2=√k3 D .a1a 2=√k【答案】AB【解析】根据G Mmr 2=mr 4π2T 2得:T=√4π2r 3GM ,则T 2T 1=√r 23r 13=k ,解得:r 1r 2=23,因为ω=2πT ,则有:ω1ω2=T2T 1=k ,故A 、B 正确.根据GMmr 2=m v 2r 得:v=√GMr ,则有:v 1v 2=√r2r 1=√k 3,故C 错误.根据G Mm r 2=ma ,得:a=GMr2,则有:a 1a 2=r 22r 12=√k 43,故D 错误.8.因“光纤之父”高锟的杰出贡献,早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”.假设高锟星为均匀的球体,其质量为地球质量为k 倍,半径为地球半径的q 倍,则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )A .1k倍 B .k q倍C .kq2倍D .1q倍【答案】C【解析】根据地球表面物体重力等于万有引力求得地球表面重力加速度的表达式,再根据“高锟星”表面物体重力等于万有引力求得“高锟星”表面重力加速度,进而得到比值.解析 设地球质量为M ,半径为R ,地球表面重力加速度为g ,那么,由地球表面物体重力等于万有引力可得:GMm R 2=mg ,所以,g=GMR 2;由题意可知“高锟星”质量为kM ,半径为qR ,设“高锟星”表面重力加速度为g',那么,由“高锟星”表面物体重力等于万有引力可得:kGMm (qR)2=mg',所以,g'=kGMq 2R 2=kq 2g ,故C 正确,A 、B 、D 错误.9.(多选)如图所示,两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动,用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积.下列关系式正确的有( )A .T A >TB B .E k A >E k BC .S A =S BD .R A 3T A2=R B 3T B2【答案】AD【解析】卫星做匀速圆周运动时有GMm R 2=m v 2R =mRω2=mR4π2T 2,则T=2π√R 3GM ∝√R 3,故T A >T B ,T A 2T B2=R A 3R B 3,A 、D 皆正确;E k =12mv 2=GMm 2R∝1R,故E k A <E k B ,B 错误;S=12ωR 2=12√GMR ∝√R ,故C 错误.题组二 星体表面问题10.(多选)关于自由落体运动的加速度g ,下列说法正确的是 ( )A .同一地点轻重不同的物体的g 值一样大B .北京地面的g 值比上海地面的g 值略大C .g 值在赤道处大于在南北两极处D .g 值在地面任何地方都一样 【答案】B【解析】 不管物体轻重如何,在同一地点,g 值相等,故A 正确;随着纬度的升高,重力加速度增大,则北京地面的g 值比上海地面的g 值略大,赤道处的重力加速度小于两极处重力加速度,故B 正确,C 、D 错误.11. 宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h 处释放,经时间t 落到月球表面(设月球半径为R ).据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )A .2√RℎtB .√2RℎtC .√RℎtD .√Rℎ2t【答案】B【解析】设在月球表面处的重力加速度为g 则h=12gt 2,所以g=2ℎt2飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动时有mg=m v 2R 所以v=√gR =√2ℎRt 2=√2Rℎt,选项B 正确.12.宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内太空授课时,指令长聂海胜悬浮在太空舱内“太空打坐”的情景如图.若聂海胜的质量为m ,飞船距离地球表面的高度为h ,地球质量为M ,半径为R ,引力常量为G ,地球表面的重力加速度为g ,则聂海胜在太空舱内受到的重力大小为( )A .0B .mgC .GMm ℎ2D .GMm(R+ℎ)2【答案】A【解析】飞船在距地面高度为h处,由万有引力等于重力得:G'=mg'=GMm(R+ℎ)2,故D正确,A、B、C错误.13.(2019·全国卷Ⅰ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动,它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火,它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火.已知它们的轨道半径R金<R地<R火,由此可以判定() A.a金>a地>a火B.a火>a地>a金C.v地>v火>v金D.v火>v地>v金【答案】A【解析】行星绕太阳运动时,万有引力提供向心力,设太阳的质量为M,行星的质量为m,行星的轨道半径为r,根据牛顿第二定律有:G Mmr2=ma=m v2r,可得向心加速度为a=G Mr2,线速度为v=√GMr,由题意有R金<R地<R火,所以有a金>a地>a火,v金>v地>v火,故A正确,B、C、D 错误.题组三卫星变轨问题14.“天宫一号”被长征二号火箭发射后,准确进入预定轨道,如图所示,“天宫一号”在轨道1上运行4周后,在Q点开启发动机短时间加速,关闭发动机后,“天宫一号”沿椭圆轨道2运行到达P点,开启发动机再次加速,进入轨道3绕地球做圆周运动,“天宫一号”在图示轨道1、2、3上正常运行时,下列说法正确的是()A.“天宫一号”在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B .“天宫一号”在轨道3上的角速度大于在轨道1上的角速度C .“天宫一号”在轨道1上经过Q 点的加速度大于它在轨道2上经过Q 点的加速度D .“天宫一号”在轨道2上经过P 点的加速度等于它在轨道3上经过P 点的加速度 【答案】D【解析】 根据v=√GM r,可知v 3<v 1,选项A 错误;据ω=√GM r3可知ω3<ω1,选项B 错误;加速度与万有引力大小有关,r 相同,则a 相同,与轨道无关,选项C 错误,选项D 正确.15.(多选)中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心发射升空,由长征运载火箭将飞船送入近地点为A 、远地点为B 的椭圆轨道上,B 点距离地面高度为h ,地球的中心位于椭圆的一个焦点上.“天宫一号”飞行几周后进行变轨,进入预定圆轨道,如图所示.已知“天宫一号”在预定圆轨道上飞行n 圈所用时间为t ,引力常量为G ,地球半径为R.则下列说法正确的是( )A .“天宫一号”在椭圆轨道的B 点的加速度大于在预定圆轨道的B 点的加速度 B .“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中,机械能守恒C .“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B 点运行的过程中,动能先减小后增大D .由题中给出的信息可以计算出地球的质量M=(R+ℎ)34π2n 2Gt【答案】 BD【解析】 在B 点,由GMm r 2=ma 知,无论在哪个轨道上的B 点,其加速度相同,A 项错;“天宫一号”在椭圆轨道上运行时,其机械能守恒,B 项对;“天宫一号”从A 点开始沿椭圆轨道向B运行中,动能一直减小,C 项错;对“天宫一号”在预定圆轨道上运行,有G Mm(R+ℎ)2=m (R+h )4π2T 2,而T=tn ,故M=(R+ℎ)34π2n 2Gt 2,D 项对.16.2019年1月,我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆.在探测器“奔向”月球的过程中,用h 表示探测器与地球表面的距离,F 表示它所受的地球引力,能够描述F 随h 变化关系的图象是( )【答案】 D【解析】 设地球的质量为M ,半径为R.探测器的质量为m.根据万有引力定律得:F=GMm (R+ℎ)2,可知,F 与h 是非线性关系,F -h 图象是曲线,且随着h 的增大,F 减小,故A 、B 、C 错误,D 正确.17.小型登月器连接在空间站上,一起绕月球做圆周运动,其轨道半径为月球半径的3倍.某时刻,空间站与登月器减速分离,登月器沿如图所示的椭圆轨道登月,在月球表面逗留一段时间,完成科考工作后,启动后仍沿原椭圆轨道返回,当第1次回到分离点时恰与空间站对接.登月器启动时间可以忽略不计,整个过程中空间站保持原轨道绕月运行.已知月球表面的重力加速度为g ,月球半径为R ,不考虑月球自转的影响,则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )A .4.7π√RgB .3.6π√RgC .1.7π√RgD .1.4π√Rg【答案】 A【解析】 空间站运行周期T=2π√(3R)3GM ,结合GM=gR 2可得T=6√3π√Rg .登月器沿椭圆轨道运动,椭圆轨道的半长轴为2R ,由开普勒第三定律可得(3R)3T 2=(2R)3T 12,解得T 1=2√69T ,则最短时间t=T -T 1≈4.7π√Rg ,A 正确.18.(多选)作为一种新型的多功能航天飞行器,航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身.假设一航天飞机在完成某次维修任务后,在A 点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅰ,如图所示,已知A 点距地面的高度为2R (R 为地球半径),B 点为轨道Ⅰ上的近地点,地球表面重力加速度为g ,地球质量为M.又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零,则当物体与星球球心距离为r 时,其引力势能E p =-GMm r(式中m 为物体的质量,M 为星球的质量,G为引力常量),不计空气阻力.则下列说法中正确的有( )A .该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点的速度小于经过B 点的速度B .该航天飞机在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度大于它在轨道Ⅰ上经过A 点时的向心加速度C .在轨道Ⅰ上从A 点运动到B 点的过程中,航天飞机的加速度一直变大D .可求出该航天飞机在轨道Ⅰ上运行时经过A 、B 两点的速度大小【答案】ACD【解析】在轨道Ⅰ上A点为远地点,B点为近地点,航天飞机经过A点的速度小于经过B点的速度,故A正确;在A点,航天飞机所受外力为万有引力,根据G Mmr2=ma,知航天飞机在轨道Ⅰ上经过A点和在轨道Ⅰ上经过A点时的加速度相等,故B错误;在轨道Ⅰ上运动时,由A点运动到B点的过程中,航天飞机距地心的距离一直减小,故航天飞机的加速度一直变大,故C正确;航天飞机在轨道Ⅰ上运行时机械能守恒,有-GMmr A +12m v A2=-GMmr B+12m v B2,由开普勒第二定律得r A v A=r B v B,结合GMmR2=mg,r A=3R,r B=R,可求得v A、v B,故D正确.。

专题探究(五)天体运动中的三类典型问题基础巩固(限时:20分钟满分:50分)一、选择题(有7题,每题6分,共42分)1.(2020·广东广州模拟)(多选)某一双星系统中,A星球质量是B星球质量的2倍,两者间距为L,经观测发现A星球上的物质在缓慢地向外太空逃逸,若干年后A星球的质量变为原来质量的一半,间距减小,由观测知此时双星系统的角速度变为原来的1.5倍,则( )A.两星球之间的距离变为2L3B.两星球之间的距离变为3L4C.B星球的轨道半径变为L3D.A星球的轨道半径变为L42.(2021·河北新高考适应性考试)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时,轨道是贴近月球表面的圆形轨道。

已知地球密度为月球密度的k 倍,地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n倍,则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为( )A.√kn B.√n3kC.√knD.√nk3.(2018·全国Ⅰ卷,20)(多选)2017年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。

根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约100 s时,它们相距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动12圈。

将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星( )A.质量之积B.质量之和C.速率之和D.各自的自转角速度4.(2021·哈尔滨师大附中月考)假定太阳系一颗质量均匀、可看成球体的小行星,自转原来可以忽略。

现若该星球自转加快,角速度为ω时,该星球表面的“赤道”上物体对星球的压力减为原来的23。

已知引力常量G,则该星球密度ρ为( )A.9ω28πGB.9ω24πGC.3ω22πGD.ω23πG5.(2021·山东济南模拟)2020年5月30日4时13分,我国在西昌卫星发射中心用长征十一号运载火箭,采取“一箭双星”方式,成功将新技术试验卫星G 星、H 星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,任务获得圆满成功。

天体中的三体问题韩博伟谈三体问题算是经典力学里面的天体力学的老难题了，从牛顿那个时候起就是物理学家和数学家的恶梦。

先说一下什么叫三体。

用物理语言来说，在一个惯性参考系中有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。

参考系是惯性参考系，也就是说不受系统外的力的作用，所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。

在天体力学里面，我们通常就只考虑万有引力。

用数学语言来说，经典力学的N体问题模型就是，在三维平直空间里有N个质点，每个质点的质量都已知而且不会变化。

在初始时刻，所有质点的位置和速度都已知。

每个质点都只受到来自其它质点的万有引力，引力大小由牛顿的同距离平方成反比的公式描述。

要求解的就是，任意一个时刻，某个质点的位置。

N=2，就是二体问题。

N=3，也就是我们要说的三体问题了。

N=2的情况，早在牛顿时候就已经基本解决了。

学过中学物理后，大家都会知道，两个质点在一个平面上绕着共同质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。

然而三体运动的情况就糟糕得多。

攻克二体问题后，牛顿很自然地开始研究三体问题，结果也是十分自然的——头痛难忍。

牛顿自述对付这种头痛的方法是：用布带用力缠紧脑袋，直至发晕为止—虽则这个办法治标不治本而且没多少创意，然而毕竟还是有效果的。

其实，三体运动已经是对物理实际简化得很厉害了。

比如说对质点，自转啦、形状啦我们统统不用考虑。

但是只要研究实际的地球运动，就已经比质点复杂得多。

比如说，地球别说不是点，连球形都不是，粗略看来是个赤道上胖出来一圈的椭球体。

于是，在月球引力下，地球的自转轴方向就不固定，北极星也不会永远是那一颗。

而考虑潮汐作用时，地球都不能看成是“硬”的了，地球自转也因此越来越慢。

然而即使是极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们为这个祭坛献上了无数脑汁也未能将它攻克。

当然，努力不会完全白费的，许多有效的近似方法被鼓捣了出来。

专题探究(五) 天体运动中的三类典型问题课时作业 基础巩固(限时:20分钟 满分:50分)一、选择题(有7题,每题6分,共42分)1.(2020·广东广州模拟)(多选)某一双星系统中,A 星球质量是B 星球质量的2倍,两者间距为L,经观测发现A 星球上的物质在缓慢地向外太空逃逸,若干年后A 星球的质量变为原来质量的一半,间距减小,由观测知此时双星系统的角速度变为原来的1.5倍,则( AC ) A.两星球之间的距离变为2L 3B.两星球之间的距离变为3L4 C.B 星球的轨道半径变为L3D.A 星球的轨道半径变为L 4解析:设B 星的质量为m,则A 星的质量为2m,若干年后A 的质量变为原来的一半,即A 的质量变为m,设开始时双星的角速度为ω,则后来双星的角速度变为1.5ω;双星A 、B 做圆周运动,它们之间的万有引力提供向心力,有G2m ·m L 2=2m ω2r A =m ω2r B ,其中r A +r B =L,后来A 星球的质量变为原来的一半,角速度变为原来的1.5倍,由牛顿第二定律得Gm ·m L ′2=m ·(1.5ω)2r A ′=m ·(1.5ω)2r B ′,其中r A ′+r B ′=L ′,解得L ′=2L3,r A ′=r B ′=L 3,故A 、C 正确,B 、D 错误。

2.(2021·河北新高考适应性考试)假定“嫦娥五号”轨道舱绕月飞行时,轨道是贴近月球表面的圆形轨道。

已知地球密度为月球密度的k倍,地球同步卫星的轨道半径为地球半径的n 倍,则轨道舱绕月飞行的周期与地球同步卫星周期的比值为( A ) A.√kn3 B.√n 3kC.√knD.√nk解析:假设地球半径为R 地,月球半径为R 月,轨道舱绕月飞行的周期为T 1,地球同步卫星的周期为T 2,对轨道舱绕月飞行有GM 月·m 舱R 月2=m 舱·R 月·4π2T 12得T 12=4π2·R 月3GM 月=4π2·R 月3G ·ρ月·43πR 月3=3πGρ月对同步卫星绕地球飞行有GM 地·m 同(nR 地)2=m 同·nR 地·4π2T 22得T 22=4π2n 3R 地3GM 地=4π2·n 3·R 地3G ·ρ地·43πR 地3=3π·n 3G ·ρ地则T 12T 22=ρ地n 3ρ月=k n3,所以T 1T 2=√kn3,故A 正确。

天体运动三类典型问题课时：1课时【学习目标】1.知道同步卫星、近地卫星、赤道上物体的特点，并会对描述它们运动的物理量进行比较。

2.理解人造卫星的发射过程，知道变轨问题的分析方法。

3.理解双星问题的特点，并会解决相关问题。

【知识讲解】一、同步卫星、近地卫星、赤道上物体运行参量比较1．相同点：都以地心为圆心做匀速圆周运动。

2．不同点：(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，同步卫星的轨道半径较大，即r 同>r 近＝r 物。

(2)运行周期：同步卫星与赤道上物体的运行周期相同。

由T ＝2πr 3Gm 地可知，近地卫星的周期小于同步卫星的周期，即T 近＜T 同＝T 物。

(3)向心加速度：由Gm 地mr 2＝ma 知，同步卫星的向心加速度小于近地卫星的向心加速度。

由a ＝rω2＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2知，同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，即a 近＞a 同＞a 物。

(4)向心力：同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力，即G m 地m r 2＝m v 2r ；而赤道上的物体随地球自转做圆周运动的向心力(很小)是万有引力的一个分力，即G m 地m r 2≠mv 2r。

【例1】 (多选)已知地球赤道上的物体随地球自转的线速度大小为v 1、向心加速度大小为a 1，近地卫星的线速度大小为v 2、向心加速度大小为a 2，地球同步卫星的线速度大小为v 3、向心加速度大小为a 3。

设近地卫星距地面的高度不计，同步卫星距地面的高度约为地球半径的6倍，则以下结论正确的是( )A ．v 2v 3＝61 B ．v 2v 3＝17 C.a 1a 3＝17D ．a 2a 3＝491思路点拨：分析求解本题时，要明确物体随地球自转、近地环绕及同步轨道运行这三种运动方式的区别与联系，不能盲目套用公式。

CD [地球赤道上的物体与地球同步卫星是相对静止的，有相同的角速度和周期，即ω1＝ω3，T 1＝T 3，比较速度用v ＝ωr ，比较加速度用a ＝ω2r ，同步卫星距地心的距离约为地球半径的7倍，则C 正确；近地卫星与地球同步卫星都绕地球做圆周运动，所需向心力由万有引力提供，由公式a ＝GMr 2可得加速度a 2∶a 3＝49∶1，D 正确；由公式v ＝GMr可得速度v 2∶v 3＝7∶1，A 、B 错误。