时域分析法

A'
图a:稳定的系统 图a
f A
A
f
图c:条件稳定系统。 引出两个概念： 1什么是线性定常系统的稳定性？
图c
18:38:08
图b 图b:不稳定系统
2如何判断系统的稳定性？
2
线性定常系统的稳定性的定义：
如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态， 而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态， 则称该系统是渐近稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统 是不稳定的。 稳定的充要条件：
线性定常系统稳定的充分必要条件： 闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，即闭环传递函数的 所有极点均位于为s左半平面（不包括虚轴）。
18:38:08 5
3.1.3劳斯判据 ——稳定的充分必要条件
第一步：根据系统的特征方程列劳斯表
a n s n a n 1 s n 1 ...... a1 s a0 0
>>d=[1 2 8 12 20 16 16]; >>r=roots(d) r= -0.0000 + 2.0000i -0.0000 - 2.0000i -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i 0.0000 + 1.4142i 0.0000 - 1.4142i
19
3.2控制系统的稳态误差
………
s2 s1 s0
a n 1 a n 4 a n a n 5 b2 a n 1 a a a n a n 7 b3 n1 n6 a n1
18:38:08
…
… …
6
第二步：劳斯稳定判据
（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定

在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL

n2
e nt 1 e nt
1
2
2
( 1 2 cos d t sin d t )
sin( d t arctg 1 2 )
y (t )
ζ =0.3
(t 0)

ζ =0.6 ζ =1 ζ >1
1
2
1

§4－3 二阶系统的瞬态响应
d t p t p d n 1 2
§4－3 二阶系统的瞬态响应
3、超调量 p p
y(t p ) y () y ( )
1 1 2
1 1
2

ωn
e
nt p
1 2
2
sin(d t p )
ωd
)
t
取拉氏逆变换：
y (t ) 1 nte nt e nt
2
t0
y (t )
2、当 1 时，称为过阻尼；
s 1, 2 n n
Y ( s)
2 n
1
1
1 A B C ( s s1 )( s s2 ) s s s s1 s s2
k 0.3
§4－2 一阶系统的瞬态响应 二、一阶系统的单位斜坡响应
r (t ) t
1 R(s) 2 s
Y (s) 1 1 1 T T Y (s) R( s) 2 2 R(s) Ts 1 s s s s 1 T
y (t ) t T Te
t T
tg 1
1 2
1 1 2
e nt r sin( d t r ) 1

cos 1 sin 1 1 2

第3章时域分析法基本要求3－1 时域分析基础3－2 一、二阶系统分析与计算3－3 系统稳定性分析3－4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。

熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。

5熟练掌握计算稳态误差的方法。

6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础，经典控制论中三种分析（时域，根轨迹，频域）、研究和设计控制系统的方法，都是建立在这个基础上的。

3－1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。

依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

这是一种直接方法，而且比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态，典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。

即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。

2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为：s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为：t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为：2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为：③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为：其拉氏变换为：1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义：图中1代表了脉冲强度。