第2章 连续系统的数学模型

( ) =
=
() 0 + 1 −1 + ⋯ + −1 +
（2-13）
13
2.1.1 线性连续系统
性质 ：系统的传递函数 () 具有以下性质：
1. 传递函数是复变量 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质。
2. 传递函数是一种用系统参数表示输出量和输入量之间关系的表达式，
1. 线性性质
ℒ 1 () ± 2 () = 1 () ± 2 () （2-4）
2. 微分定理
ℒ () = ⋅ () − (0)
（2-5）
3. 积分定理（右上角-1表示1次积分运算）
ℒ 1 () ± 2 () = 1 () ± 2 ()
工作特性。当系统微分方程列写出来后，只要给定输入量和初始条件，
便可对微分方程求解，并由此知道系统输出量随时间变化的特性。
线性定常微分方程的求解方法有两种：
(1) 经典法；
(2) 拉普拉斯变换法（简称为拉氏变换）。
4
2.1.1 线性连续系统
（1）经典法求解
在数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。
为了克服这个障碍，需要采用 变换法建立离散系统的数学模型。
利用 变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法，推
广应用于线性离散系统。
与连续系统的数学模型类似，线性离散系统的数学模型有差分方程、
脉冲传递函数和离散状态空间表达式 (state-space representation) 三
对于一般的线性定常离散系统， 时刻的输出 () 不但与 时刻
的输入 () 有关，而且与 时刻以前的输入 − 1 , − 2 , ⋯ 有关，

二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
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六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。

i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
k
例2-3
信 号 与 系 统
求如下所示的微分方程的齐次解。
Hale Waihona Puke d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r (t ) 12r (t ) e(t ) 3 dt dt dt
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有：
信 号 与 系 统
特解为： 联立解得：
3B1 1 4 B1 3B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
统
线性时不变系统
线性的常系数微分方程
按照元件的约束特性及 系统结构的约束特性
也即：
具体系统物理模型
常系数微分方程建立
（1）元件端口的电压与电流约束关系
iR (t ) R
信 号 与 系 统

vR (t )
C


vR (t ) iR (t ) R
dvC (t ) iC (t ) C dt
vR (t ) Ri R (t )
与
时域经典法就是直接求解系统微分方程的方法。这种方 系 法的优点是直观，物理概念清楚，缺点是求解过程冗繁，应 用上也有局限性。所以在20世纪50年代以前，人们普遍喜欢 统 采用变换域分析方法(例如拉普拉斯变换法)，而较少采用时 域经典法。20世纪50年代以后，由于δ(t)函数及计算机的普 遍应用，时域卷积法得到了迅速发展，且不断成熟和完善， 已成为系统分析的重要方法之一。时域分析法是各种变换域 分析法的基础。
信 号 与 系 统
is (t )

第2章 自动控制系统的数学模型
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2．2．2 传递函数 建立数学模型的目的是为了对系统进行性能分析。分析 自动控制系统最直接的方法是求解微分方程，求得被控 量在动态过程中的时间函数，然后根据时间函数的曲线 对系统性能进行分析。求解的方法有经典法、拉氏变换 法等。 拉氏变换法是求解微分方程的简便方法，当采用这一方 法时。微分方程的求解就成为象函数的代数方程和查表 求解，使计算大为简化。更重要的是，采用拉氏变换法 能把以线性微分方程描述的数学模型转换成复数域中代 数形式的数学模型——传递函数。传递函数不仅可以表 征系统的性能，而且可以用来分析系统的结构和参数变 化对系统性能的影响。经典控制理论中应用最广泛的频 率特性法和根轨迹法就是以传递函数为基础建立起来的， 传递函数是经典控制理论中最基本最重要的概念。
解：(1)确定输入和输出量。网络的输入量为 电压ur(t)，输出量为电压uc(t) (2)根据电路理论，列出原始微分方程。
第2章 自动控制系统的数学模型
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1．信号线 信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标 记信号的象函数，如图2．20(a)所示。 2．引出点 引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号在 数值和性质上完全相同， 图2．20(b)所示。 3．比较点 比较点表示多个信号在此处叠加，输出量等于输入量的代数和。 因此在信号输入处要标明信号的极性，如图2．20(c)所示。 4．功能框 功能框表示一个相对独立的环节对信号的影响。框左边的箭头 处标以输人量的象函数，框右边的箭头处标以输出量的象函数， 框内为这一单元的传递函数。输出量等于输入量与传递函数的 乘积，即

Y (s) b1s n1 b2 s n2 bn1s bn num(s) G( s ) n n 1 n2 U ( s) s a1s a2 s an1 den(s)
(2 2)
在MATLAB 语言中，可以利用分别定义的传递函数分子、分母多项式系数 向量方便地加以描述。例如对于（2-2 ）式，系统可以分别定义传递函数的 分子、分母多项式系数向量为：
第四章 补充
连续系统常用的数学模型及其转换
1．微分方程及传递函数的多项式模型
d ( n ) y (t ) d ( n 1) y (t ) dy(t ) d ( n 1)u (t ) d ( n 2)u (t ) du(t ) a a a y ( t ) b b b bnu (t ) 1 n 1 n 1 2 n 1 n n 1 n 1 n2 dt dt dt dt dt dt (2 1)
[例4] 已知系统的状态空间描述为
2.25 5 2.25 4.25 x 0.25 0.5 1.25 1.75 y 0 2 0 2x 0 .5 4 2 1.25 0.25 x u 2 1.25 1 0.25 0.75 0 1.25
num b1 b2 bn1 bn den 1 a1 a2 an1
an
sys tf (num, den)
[例1] 已知系统传递函数为
G(s)
2s 9 s 4 3s 3 2s 2 4s 6
利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。 解:
在 MATLAB 中，用函数 ss( ) 来建立控制系统的状态空间模 型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空 间模型。ss( )函数的调用格式为： sys=ss(a,b,c,d)

时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O

t
（b）单位斜坡函数
F (s)

0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O

0


(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st

图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。

c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10

f (t) u 3 10
p
u pf (t) 2p 10
u(t) (Ae5t B)U(t)
2 du(t) 10u(t) df (t)
dt
dt
u(t) 5Ae5t U(t) (A B)(t)
2(A B) 1 B0
u(t) 1 e5tU(t)V 2
H
(
p)

2p2 8p 3 ( p 1)( p 3)2
求系统的响应 y(t)。
解： D(p) (p 1)(p 3)2 0 p1 1 p2 p3 3
y0 (t) K1e t K 2e3t K 3te3t
y0 (0 ) K1 K2 =2 y0 (0 ) K1 3K 2 K3=1
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us


R 2L
,
d

02 2 , 0
1 LC
4
三、 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2

R L
duc dt

1 LC
uc

1 LC Us
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
C
uc Aep1t Be p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即
R2
L C
（自然频率、固有频率）
uc (A Bt)ept Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2

jϕ jβ t ∧ ∧ • jβ t • jϕ 式中 F = Fe ，并进一

所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 a不等于特征根； a等于特征单根； a等于r重特征根 所有的特征根均不等于 ± jβ
eα t
Peα t Pteα t + P0eα t 1 Prt reα t + Pr −1t r −1eα t +⋅⋅⋅+ Pteα t + P0eα t 1 P cos(β t) + Qsin(β t) 或Acos(β t −θ )，其中Ae jθ = P + jQ
例如，若方程式（2.1-1 ）的n个特征根λi均为实单根，则其齐次解 yh ( t ) = ∑ Ci eλit
i =1 n
( 2.1-5)
式中常数Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
表2-1 不同特征根所对应的齐次解 特征根λ 单实根 r重实根 一对共轭复根 Ceλt Cr -1t r −1eλt + Cr -2t r − 2 eλt + ⋅⋅⋅ + C1teλt + C0 eλt eα t C cos ( β t ) + D sin ( β t ) 或A cos ( β t − θ ) , 其中 Ae jθ = C + jD [Ar −1t r −1 cos ( β t + θ r −1 ) + Ar − 2t r − 2 cos ( β t + θ r − 2 ) + ⋅⋅⋅ + A0 cos ( β t + θ 0 )]eα t 齐次解yh ( t )
由上式解得P = Q = 1, 得方程的特解 于是方程的全解，即系统的全响应