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第二章控制系统的数学模型§2.1引言●数学模型（1）描述系统输入、输出变量及内部各变量关系的数学表达式。
I—O—内部变量（2）系统中各物理量之间相互作用的关系及各自的变化规律用数学形式表达出来。
（3）是舍弃了各种事物的具体特点而抽象出它们的共同性质（即运动）来加以研究的工具。
●控制理论研究的问题是：（1）一个给定的控制系统，它的运动有何性质和特性—分析* 运动：泛指一切物理量随时间的变化（2）怎样设计一个控制系统，使其运动具有给定的性质和特性—综合和设计●工程角度上：控制理论要解决的问题（进一步解释）（1）不满足于求解方程c(t)=f(r(t) )—数学课程已有（2）提出更深入的问题a.这些曲线有何共同性质；b.系统参数值波动对曲线有何影响？c.如何修改参数甚至结构才能改进这些曲线，使之满足工程要求。
—建立控制系统的数学模型，也是研究和解决这些问题的第一步，故建立描述控制系统运动的数学模型是控制理论的基础。
数学模型的形式不只一种：它们各有特长和最适合的场合；它们彼此之间也有紧密的联系；各种数学描述方法的共同基础是微分方程；一元高次微分方程多元一次微分方程(状态方程)Laplace变换为工具——传函传函阵§ 2.2 基本数学模型例 用数学模型表示下图的RC 无源网络给定r u 为输入量,c u 为输出量解：由克希霍夫定律 ⎰+⋅=idt i R u C r 1 r c c u u dtdu RC =+ ⎰=idt u C c 1 令T RC =（时间参数），则微分方程为：r c c u u dtdu T =+ 线性定常系统在初始条件为零时，传递函数为：£{c(t)}/£{r(t)})()()(s U s U s U s T r c c =+⋅⋅ 1.1)(/)()(+==→s T s U s U s G r c 其形式和参数由系统的结构和参数决定，与r(t)无关。
+ 第二章控制系统的数学模型一．是非题1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。
（√）2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。
（√）3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。
（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。
K sC 。
τsD 。
以上都不是2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1SB 。
21S C 。
2S D 。
S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。
()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。
()()12G s G s4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。
()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。
()()12G s G s 三． 填空题1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为2221ks s τζτ++3．212t 的拉普拉斯变换为31s4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法四．计算题§2-1 数学模型1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dtdiL u +⋅+⋅= c i C u=⋅ c c c u u C R u C L +'⋅⋅+''⋅⋅=11c c c r R u u u u L LC LC'''∴++= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -=2．试分别列写图2-4（a ）、（b ）所示无源网络的微分方程式（a ）U cC 2C 2i 2（b ）解： 对于图（a ）所示无源网络：根据电压平恒 方程式，有：12122111(1)(2)(3)(4)c r cR i dt C i i i u R iu R i u ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪=+⎪⎩⎰由1）式得： 2i =121di C di 5）把5）式代入2）式有：111di i i R C dt=+ 6） 又，由4）式，有：11r cu u i R -=将i1代入6）式，再代入3）式，有： ()]21111r c r c d u u u u Uc R R C R R dt -⎡-=+∙⎢⎣整理得：12212c r c r c du du R u R u R u R R C dtdt ⎛⎫=-+-⎪⎝⎭ 即：()1212122c r c r du duR R CR R u R R C R u dt dt++=+ 上式即为图（a ）所示电路的微分方程式。
对于图（）所示无源网络，同样，可以列出如下电压 平衡方程组：1212212221)12)13)14)r c c i i i Ri Ri i dtC u i dt u C u Ri idtC =+⎧⎪⎪=+⎪⎪⎨=+⎪⎪⎪=+⎪⎩⎰⎰⎰由3）式得：215)c r du du i C dtdt ⎛⎫=-⎪⎝⎭由2）式得：122116)i i i dt RC =+⎰由6）式代入1）式有：12221127)i i i i i dt RC =+=+⎰又,由4)式有：221c du di R i dt dt C =+ =221222221112r d u d RC i i dt dt dt C RC ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =()221112221221c r r r c d u d u c du RC C u u dtdt c dt RC C ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭整理得：()2222121222c c c r r r r c du d u du d u du RC R C C RC u u dt dtdt dt dt ⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()22121222c c cd u duR C C R C C u dt dt+++ =2212122r r r td u duR C C RC u dt d ++上式即为（b ）所示电路的微分方程式。
§2-2线性系统的微分方程一．已知f(t),求F(s)=?()1-t T111T1).f(t)1-eF s 11s s s s T T ==-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭()22221s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2⎡⎤=-=-=⎢⎥++⎣⎦ s 15222250.866s 2.53).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5s 5ππ+=+==++()0.4t 222s 0.4s 0.44).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16s 0.412-++===++++ []05).f (t)t 11t t ⎡⎤=⋅--⎣⎦()()0t s0211t s e F s s--+=()()()223s 2s 86).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞==+++已知求 二．已知F(s),求f(t)=?()222s 5s 11).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1-+==++()4t 24t s 2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint --==+++=-t 10t321119t 3).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181--+==-+++()2-2t t23s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s -++==+⋅+++ ()()t 3t 2s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412s s 1s 3--+==-++++ 三．拉氏反变换 (1) 反变换公式：⎰∞+∞-=j j stds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) f(t),)a s (s 1)s (1.F 求例+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=++=a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a1)t (f --=∴ 2：34s s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=2131213)1)(s (s 2s )1s (lim c 1s III1=+-+-=++++=-→2113233)1)(s (s 2s )3s (lim c 3s III2=+-+-=++++=-→3s 211s 21)s (F +++=∴ 3t t e 21e 21)t (f --+=∴3：34s s 55s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)3)1)(s (s 2s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 22++++=++++++= 3t t e 21e 21)t ()t (f --++=∴δ4：j1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212++++=++++=+++=解法一：2j j2j)1j)(s -1(s 3s )j -1s (lim c j1s 1+=+++++=+-→2jj-2j)1j)(s -1(s 3s )j 1s (lim c j-1s 2-=++++++=-→j)t1(t )j 1(e 2jj -2e 2j j 2)t (f --+--+=∴ []jt-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j 1--+=- （t cos j2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=--- ） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j1t t+=+=-- 1)1s (21)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2222++++++=++++=+++=t t e .2sint e .cost )t (f --+=∴虚位移定理解法二：)( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1211)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理--+=++++++=++++=+++=5 ： 3)(s 1)s(s 2s )s (F 2+++=求?)t (f =解：3s c s c 1s c 1)(s c )s (F 43122++++++=21)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 221s IV2-=+--+-=++++=-→43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d limc 221221s IV1-=++++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-→-→s s s s s s s s 323)(s 1)s(s 2s s.lim c 20s 3=+++=→1213)(s 1)s(s 2s 3).(s lim c 2-3s 4=++++=→ 3s 1.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++-+-=∴3t t t e 12132e 43te 21)t (f ---++--=∴四．用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222...=++⎪⎩⎪⎨⎧===1(t)(t)u 011r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s2L(s)22s s L 2=++］：［ 2)2s s(s 2)s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)222+++++=++=－2221)1(11s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 22221)1(11)1(1s s 1+++++=s s －－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e --=－：－－1Sin(t 45) t -=+ 121cos tcos t ttj e e λ--±⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩，特征根：＝－ 模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。
