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第二章系统数学模型

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机械工程控制基础--第二章

机械工程控制基础--第二章


,
Cm
Tm J
得
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
TaTm
d2
dt 2
Tm
d
dt
Cdua
CmTa
dM L dt
CmM L
设电动机处于平衡态，导数为零，静态模型
Cdua CmML 设平衡点 (ua0,ML0, )
L
R
即有 Cdua0 CmML0 ua
i2R2
1 C2
i2dt
1 C1
(i1 i2 )dt
1
C2 i2dt u2
i1 C1
3. 消除中间变量 i1、i2，并整理：
R1C1R2C2
d2u2 dt 2
(R1C1
R2C2
R1C2
)
du2 dt
u2
u1
R2 i2 C2 u2
例5 直流电动机 1. 明确输入与输出：
输入ua 和ML，输出
注意：负载效应，非线性项的线性化。
3. 消除中间变量，得到只包含输入量和输出量的微分方程。
4. 整理微分方程。输出有关项放在方程左侧，输入有关项 放在方程右侧，各阶导数项降阶排列。
an
x(n) o
(t
)
a x(n1) n1 o
(t
)
a1xo (t) a0xo (t)
bm
x(m) i
(t
)
bm1xi(
...
a1 s
a0
(n m) 传递函数
传递函数定义：
零初始条件下，线性定常系统输出的拉氏变换与输入的拉
氏变换之比。
第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】

第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】


Z2
减速器
J Lc fL
负载
r
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
W1
W2 位置随动系统结构图绘制
r (s)
U(rs)
m (s)
1 r
操纵手柄
k
Ut (s)
1
i
kW1
Urr (s)
U(s)
c
(s)
uε
E
ur uε
ut
cc (s) k Uc (s) Ur (s) Uc(s) U
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
Kt U(s)
ut (t)
Kt
d (t)
dt
Ut (s) Ks(s)
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
s
(s)
U (s)
Kts
典型元部件的传递函数
直流电动机：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2Mc (t)
Tm
dm (t)
dt
m
(t)
K1ua
(t)
Tm
X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)
G4(s)
N(s) G3(s)
R(s)
E(s) X1(s) G1(s) X2(s)
X3(s) G2(s) X4(s) C(s)
C(s)
H(s) X4(s)
)
C(s)
C(s)
T2
X1(s) N(s) C(s) sX2(s) k1R(s) T2C(s)
控制工程基础_第二章(2017)

控制工程基础_第二章(2017)


时，
R F (s) s
18
例 求单位斜坡函数f(t)=t的拉氏变换。 f (t )
单位斜坡函数如图（b） 所示，定义为
0 t 0 f (t ) t t 0
解：利用定义式，可得
O

t
（b）单位斜坡函数
F (s)

0
1 1 st 1 1 st 1 st t e dt t ( e ) e dt 0 e 2 0 0 s s s s 0 s
12
二．举例
1．机械系统的微分方程式
机械系统设备大致分两类：平移的和旋转的。它们之间的区 别在于前者施加的力而产生的是位移，而后者施加的是扭矩产生 的是转角。
牛顿定律和虎克定律等物理定律是建立机械系统数学模型的基础
c1 m c2 xo xi
例1（1）如图所示机械系统。求其微分方程，图中Xi 表示输入位移，Xo 表示输出位移，假设输出端无负 载效应。（c、c1、c2为阻尼系数，k1、k2为弹性系数） 由牛顿定律有： 化为标准式得：
st
例 求单位脉冲函数的拉氏变换。 单位脉冲函数如图（c）所示。定义为
0 t 0 且 (t ) t 0
0
f (t )
(t )
O

0


(t )dt 1
0
t
F ( s) (t )e st dt (t )e st dt (t )e st dt f (0) e st

图c
14
（4）机械旋转系统 图中所示转动惯量为J的转子与弹性系数为k的弹性轴和阻尼 系数为B的阻尼器连接。假设外部施加扭矩m(t),则系统产生一个 偏离平衡位置的角位移(t) 。研究外扭矩m(t)和角位移(t)的关系。
02 自动控制原理—第二章

02 自动控制原理—第二章

Tm J
Tm
d dt
K u u a K m (Ta
dM c dt
Mc)
电感La较小，故电磁时间常数Ta可以忽略 ，则
Tm
d dt
K uua K m M c
如果取电动机的转角 （rad）作为输出，电枢电压ua （V），考 虑到 d ，可将上式改写成
2.举例 ①一个自变量：励磁电流成正 比，但if增加到某个范围后，磁路饱和，发电机的电势与励磁电流呈 现一种连续变化的非线性函数关系。 设：x—励磁电流， y—发电机的输出电势。 y=f(x)
设原运行于某平衡点（静态工作点） A点：x=x0 , y=y0 ,且y0=f(x0) B点：当x变化△ x， y=y0+△ y 函数在（x0 , y0 ）点连续可微，在A 点展开成泰勒级数，即
y k x
df ( x ) k dx x x0
②两个自变量： y=f(x1， x2) 静态工作点： y0=f(x10， x20) 在y0=f(x10， x20) 附近展开成泰勒级数，即
f 1 2 f f 2 f 2 f y f ( x10 , x 20 ) ( x1 x10 ) ( x 2 x 20 ) ( x1 x10 ) 2 ( x1 x10 )( x 2 x 20 ) ( x 2 x 20 ) 2 2 2 x 2! x x 2 x1x 2 x 2 1 1
例2-2
解 设回路电流i1和i2为中间变量。根据基尔霍夫电压定律对前一回 路，有
u i R1i1
对后一回路，有
1 C1
(i
1
i 2 ) dt
1 C2
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型

自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型




c(t ) e
dt Leabharlann t

c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0





0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化

2.4第二章 系统的数学模型--第四节 系统的微分方程及线性化


四、电气系统中的元件复阻抗
2、电容
i(t)
C
u(t)
u (t )

1 C

i(t
)dt

u(t)

1 C
i(t)
sU (s) 1 I (s) U (s) 1 I (s)
C
Cs
零初始状态下
四、电气系统中的元件复阻抗 3、电感 i(t) L
u(t)
u(t) L di(t) dt
U (s) Ls I (s) 零初始状态下
R
ui
C
uo
3、列出如图电气系统的微分方程。
解：物理规律： 基尔霍夫原理 输 入: 电压 ui(t) 输 出: 电压 uo(t)
设：电路电流为 i(t)
i
ui
R
C
uo
ui (t)

uo (t)

R i
1 C
(t) 1 C
i(t)d t
i(t
)d
t

iu(it()t
五、微分方程建立示例
2、列出如图机械系统的微分方程。
解：物理规律： 达朗贝尔原理 输 入: 力矩 τ(t) 输 出: 位移 θ(t)
τ
ห้องสมุดไป่ตู้
kJ
θ(t)
J
t kJ t cJ wt J t t kJ t cJt Jt Jt cJt kJ t t
线性系统的特点：可以运用叠加原理。
2、非线性系统 必须用非线性微分方程描述
的系统。 不能使用叠加原理
y(t) x2 (t) 对于非线性问题通常采用如下的处理途径 线 性 化 处 理：在工作点附近将非线性函数用泰勒级
第2章 控制系统的数学模型

第2章 控制系统的数学模型

第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。

物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。

从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。

相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。

数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。

(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。

反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。

(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。

描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。

也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。

动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。

微分方程或差分方程常用作动态数学模型。

动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。

在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。

即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。

三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。

如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。

对于线性系统，它们之间是等价的。

但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。

线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。

经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。

而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。

而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。

第二章系统数学模型的建立

第二章系统数学模型的建立

工质状态 （温度）
工况﹑环境﹑条件 （过热器管长）
时间
建模时多采用分 区集总方法，即将三 维空间的分布参数简 化为一维空间。否则 无法求解。
（4）时间常数差别大
在发电厂中各设备的动态特性不同，其时间常数（动 态响应速度）差别十分悬殊，例如：
汽机甩负荷——转速 烟温——主汽温 燃料——汽压 减温水量——主汽温 时间常数小 响应快
原则2：应建立系统的方框图
方框图——用不同的方框来描述系统的各不同部分， 各个方框之间依据信号的传递关系连接成一个整体，概 括地说明系统的特性。 每个方框——都是由系统的分解而得。 系统的方框图是用来指导系统研究的，它是对系统的 最原则的综合。一般来说，可以根据设备的功能、介质 的性质和过程扣特点把一个系统划分成许多子系统，子 系统又是由许多环节组成的，当不再往下分解时，环节 即为分解的极限，从而确定系统的外部边界和内部边界， 于是整个框图的雏形便形成了。
第二章 系统数学模型的建立
数学模型：——是系统的数学描述，
是系统研究的基础， 是计算机仿真的依据。
2· 建立系统模型的任务 1
（1）确定系统模型的结构 ——定义模型性质、确定模型框架和边界条件、 明确各环节的特性和相互关系。 （2）提供系统模型的数据 ——确定系统中各环节特性的定量关系，确定各 环节相互间的定量关系（即信号传递的定量 关系）。
• 对于已运行的Байду номын сангаас站，如果对原设计进行了改动，对改 动部分应依据改动后的资料。
• 仿真机设计之前尽可能全面地收集到建模所需的资料。
（2）进行初步设计
•初步设计应利用所收集的主要设计资料、根据对仿真机 的要求、按系统和子系统进行。 •初步设计的主要目的：明确仿真范围，绘制仿真系统图。
第二章线性系统的数学模型ppt课件

第二章线性系统的数学模型ppt课件


传递函数的定义：零初始条件下系统输出与输入函 数的拉氏变换之比为系统的传递函数。
传递函数有如下性质： (1) Xo(S)= G(S)Xi(S)，信号传递的性质。
用方框图表示：
Xi(S)
G(S)
Xo(S)
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ia(t)CJm ddn(tt)iL(t)
（2-3）
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
ua(t)R aia(t)Ladd a(it)tea(t)
ea(t)Cen(t)
（2-1） （2-2）
J dn(t) ia(t)Cm dt iL(t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
Ti (t)
La Ra
（电磁时间常数）
T m T id d 2 n ( 2 t)t T m d d ( t)n tn ( t) C 1 eu a ( t) T m J C m iL ( t) d d L ( t) i t
输出 输入
负载扰动
（2-3）
将式(2-2)、 (2-3)一起代入式(2-1)中，消去中间
变量得：
L C a m Jd d 2 n 2 ( t)t R C a m Jd d ( t)n tC e n ( t) u a ( t) L ad d L ( t) i tR a iL ( t)
令：
Tm
(t)
JRa CeCm
（机电时间常数）
整理得：
2.678第二章 系统的数学模型--第六、七、八节 系统的方框图及其变换法则

2.678第二章 系统的数学模型--第六、七、八节 系统的方框图及其变换法则


G1 (s) G1 (s)G2 (s) 1 G1 (s)H2 (s)H3 (s) G1 (s)H1 (s) G1 (s)G2 (s)H1 (s)
1 G4 (s )
1 G4 (s )
G3 ( s )G4 (s ) 1 G3 ( s )G4 (s ) H 4 (s )
1 G4 (s ) 1 G4 (s )
CN(s) G2(s)
GR ( s )
R(s)
CR ( s ) G1 ( s)G2 ( s) R ( s ) 1 G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
C GR G G G
1
R(s)
2
C(s) G(s)=G1(s) G2(s)
2、并联
C1 G1R C2 G2 R C C C 1 2
3、 反馈
R(s)
基本术语
C(s) G(s) R(s) C(s)


E(s)
B(s) H(s)
G( s) 1 G( s) H ( s)
GR ( s ) CR ( s) G1 ( s)G2 ( s) R ( s) 1 G1 ( s )G2 ( s ) H ( s)
显然：系统输出C(s)，是由R(s)和N(s)共同作用的结果。
C(s)= CR(s)+ CN(s)
N(s)作用下系统的闭环传递函数GN(s)
N(s)

G1(s)
特别 注意
C G1 R G2 R GR G G G
1
C ( s ) G ( s ) E ( s ) E ( s ) R ( s ) B ( s ) C ( s ) G ( s ) R ( s ) G ( s ) H ( s )C ( s ) B( s ) H ( s )C ( s ) C ( s) G (s) R( s) ( s) R (s) 1 G( s) H ( s)
自动控制原理第二章

自动控制原理第二章

例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性

机械工程控制基础-系统数学模型


由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式

机械控制工程(董玉红 第二版)—第二章 系统的数学模型

uo (t )为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
d Ri (t ) L i (t ) U o(t ) U i (t ) 0 dt
Ui(t)
R
L C 图2-3 uo(t)
电容两端电压为：
1 U o (t ) C

t
0
i (t ) dt
d2 d 整理得: LC 2 uo (t ) RC uo (t ) uo (t ) ui (t ) dt dt
df ( x) y f ( x0 ) ( x x0 ) dx x0
※
y y0 y k x
机械控制工程基础
第二章 系统的数学模型
2 ）具有两个自变量的非线性函数，设输入量为 x1(t) 和 x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。
出响应，通过比较输入和输出信号获得系统的数
学模型。
9
对系统数学模型的基本要求
• 理论上，没有一个数学表达式能够准确（绝对准确 ）地描述一个系统，因为，理论上任何一个系统都 是非线性的、时变的和分布参数的，都存在随机因 素，系统越复杂，情况也越复杂。 • 而实际工程中，为了简化问题，常常对一些对系统 运动过程影响不大的因素忽略，抓住主要问题进行 建模，进行定量分析，也就是说建立系统的数学模 型应该在模型的准确度和复杂度上进行折中的考虑 。因此在具体的系统建模时往往考虑以下因素：
得：y y 0 f ' x0 x x0 。取增量为变量，得到 线性 化方程：
y y0 y k x
对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：

第二章用拉格朗日方程建立系统数学模型

第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型§2.1概述拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。

§2.2拉格朗日方程1． 哈密尔顿原理 系统总动能),,,,,,,(321321N n q q q qq q q q T T = （2－1）系统总势能),,,,(321t q q q q U U N =（2－2）非保守力的虚功N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211（2－3）哈密尔顿原理的数学描述：0)(2121=+-⎰⎰t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4）2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式：),3,2,1()(N i Q q Uq T q T dt d iii i ==∂∂+∂∂-∂∂ （2－5）（推导：）将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有0)(221122112211221121=+++∂∂-∂∂-∂∂-∂∂++∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂⎰dt q Q q Q q Q q q Tq q U q q U q qTq q T q q T q q T q q T q q T N N N NN N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6）利用分步积分dt q q Tdt d q qT dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ⎰⎰∂∂-∂∂=∂∂212121)(][ （2－7）并注意到端点不变分（端点变分为零）0)()(21==t q t q i i δδ （2－8）故dt q q T dt d dt q qTi i t t i t t i δδ)(2121∂∂-=∂∂⎰⎰（2－9）从而有0)])([211=+∂∂-∂∂+∂∂-⎰∑=dt q Q q Uq T q T dt d i i it t i i Ni δ （ （2－10）由变分学原理的基本引理：（设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有⎰=ft t T dt t M t 00)()(η则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ）我们可以得到：0)(=+∂∂-∂∂+∂∂-i ii i Q q U q T q T dt d （2－11）即i ii i Q q U q T q T dt d =∂∂+∂∂-∂∂)( （2－12）对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型，则阻尼力与广义速度}{q成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ，}]{[}{21q C q D T≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：i i qDQ ∂∂-= （2－14） 对于仅受有势力和线性阻尼力作用的系统，其拉格朗日方程为：0)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂qD q U q T q T dt d i i i （2－15） 如果系统上还作用了除有势力和阻尼力以外的非保守力，如结构受到的外激励力（对应的广义非保守力可通过非保守力的虚功求得，仍记为i Q ），则系统的拉格朗日方程为：i i i i Q qD q U q T q T dt d =∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ )( （2－16） §2.3 拉格朗日方程在振动系统建模中应用在某些结构振动问题中，取分离体、确定各分离体的受力情况，然后利用牛顿第二定律建立方程的方法不一定可用，或者很不方便，这时，采用拉格朗日方程来建立振动方程就很方便。

第二章系统的数学模型


2.2 控制系统的复数域数学模型(传递函数)
一．传递函数
１．线性定常系统的传递函数定义为：
零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入 量的拉氏变换之比。
R(s) G(s) C(s)
传递函数
输出的拉氏变换 输入的拉氏变换
|零初始条件
C(s) R(s)
G(s)
零初始条件
➢ 零初始条件指的是输入、输出初始条件均为零，即
在给定工作点 ( x0，y0 )附近，将上式展开泰勒级数：
y
f (x)
df f ( x0 ) dx
1 d2 f x x0 ( x x0 ) 2! dx2
(x x0 )2
x x0
若在工作点 ( x0，y0 ) 附近增量 x x0 的变化很小，则可略去式中 ( x x0 )2 项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为：
l
s
1)
G(s)
i 1 d
l 1 e
sv (Tjs 1) (Tk2s2 2 kTk s 1)
j 1
k 1
纯微分环节
s
es
积分环节
惯性环节
振荡环节
延迟环节
典型环节
➢ 比例环节的传递函数为：
Proportional element (link)
C(s) G(s) K R(s)
齿轮传动
方框图为：
➢ 频域数学模型：
频率特性
2.1 线性系统的时域数学模型
本节主要研究描述 线性、定常、集总参量控制系统的微分方程的
建立和求解方法
线性元件的微分方程
一．微分方程：
给定量和扰动量作为系统输入量，被控制量作为系统输出 的一种系统描述方法

第第二章 控制系统的数学模型


1
sa
1
(s a)n
18
拉普拉斯变换简表
f (t)
9
sin t
10
cost
11
1 (1 eat )
a
12
1 a
(a0
(a0
a)eat
)
13
1 a2
(at
1
e at
)
14
a0t a2
(
a0 a2
t)(eat
1)
F (s)
s2 2
s
s2 2
s s(s a)
s a0 s(s a)
1 s2 (s a)
(1)独立性（可加性）：线性系统内各个 激励产生的响应互不影响
xi1(t) xi2(t)
xo1(t) xo2(t)
xi1(t)+xi2(t) xo1(t)+xo2(t)
(2)均匀性（齐次性）
8
线形系统的一般形式
an
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n 1
y(t) ... a1
d dt
dt
s
则
证：
f (0) lim sF (s)
s
由微分定理有：
L( df (t)) sF (s) f (0) dt
两边取极限
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
s 0 dt
s
27
lim[ df (t) est dt] lim[sF (s) f (0)]
0 dt s0
s0
lim est 1
s0
[ df (t) dt] lim[sF (s) f (0)]

第二章物理系统的数学模型及传递函数


依据电学定律列写方程式 。
（1）
（2）
第二章 线性系统的数学模型
例 弹簧阻尼系统
Fs ky
ky
y
f dy dt
y
Ff fv
m
o
F
m
o
F
ma F F Fs Ff f — 粘滞摩擦系数
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
k— 弹簧系数 v— 物体相对的移动速度
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
(2) 列写微分方程 di
L dt Ri uc u
式中
i dq dt
q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
LC
d2 dt 2
uc
RC
d dt
uc
第二章 物理系统的数学 模型及传递函数
主要内容：
系统数学模型 线性系统微分方程的建立； 拉氏变换 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。
本章重点：
通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系 统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控 制系统的传递函数的基本概念。
xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。
xa
xb
f fK K (xa xb )
K
M
fK fM fB MD2xb BDxb
综合两个方程可以得到：
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对于多元函数，如y=f(x1,x2)，平衡点为(y0,x10,x20) 在平衡点邻域内进行小偏差线性化：
x1 x2
系统
y
小偏差线性化的数学处理:
1）只有一个变量的非线性函数y= f（x）线性化
yf(x 0 ) d fd ( x x ) x 0(x x 0 ) 2 1 ! d 2 d fx ( 2 x ) x 0(x x 0 )2 L
一数学模型可以描述不同的系统。
我们可以利用简单易实现的系统（如电的系统） 去模拟其它难于实现的系统（机械系统）......
2.1.3 非线性数学模型线性化
线 性 系 统 ： 满 足 叠 加 原 理 非 线 性 系 统 ： 不 满 足 叠 加 原 理
x1(t) 系统 y1(t)
x2(t)
y2(t)
Uf tan0If
※ 线性化即在小偏差范围内用直线代替曲线，即在 平衡点附近，用一次线性函数取代高次函数。
泰勒级数y：y0 f 'x0xx0 f ''2!x0xx02......
若偏差 xx0很小，则 的高次项趋于零忽 ，略 可。 以
得：yy0 f 'x0xx0。取增量为变量线 ，性 得到
化方程： yy0ykx
C uo(t)
电容两端电压为：
图2-3
Uo(t)
1 C
t
i(t)dt
0
整理得: Ld d C 2 2u to(t)Rd d C uto(t)uo(t)ui(t)
机械系统（a）和电系统（b）具有相同的数学 模型，故这些物理系统为相似系统。（即电系 统为机械系统的等效网络）
物理本质不同的系统可有相似的数学模型，同
ax1(t) +
+ bx2(t)
系统 ay1(t)+by2(t)
严格地讲，线性系统并不存在。所谓的线性系统，也只
是在一定的范围内保持其线性关系。
目前，非线性系统理论还远远不完善，往往在一定条件 下，将描述非线性系统的非线性微分方程线性化处理，使
其成为线性微分方程来处理。
通常控制系统工作状态为稳态，系统受到各种扰动， 产生偏差。
mdd2xt2(t)fdxd(tt)Kx(t)f(t)
2、机械旋转系统
旋转机械系统用途极其广泛，其建模方法 与平移系统非常相似。只是将平移的质量、弹 簧、阻尼器分别变成了转动惯量、扭转弹簧和 旋转阻尼。
例2.2：下图为在扭矩T作用下的机械转动系统，包含有惯量、 扭转弹簧、回转粘性阻尼。试写出其微分方程。其中转动惯量
学模型的建立主要应用牛顿定理来列写。
1、机械平动系统 平动即直线运动，其主要元件为质量、弹簧、
阻尼器。
m
预 备 f(t)
知 f(t)
识K
质量
f(t)mamd2dxt2(t)
x(t)
弹簧
x1(t)
f(t)
x2(t)
f(t) K [x 1 (t) x 2 (t)]
f(t)
阻尼器
x1(t)
C
x2’(t)
件。电气系统遵循的基本定律为：基尔霍夫电流 定律和基尔霍夫电压定律，并由此来建立电气系 统数学模型。
预备 知识
例2.3 无源电器网如图2-3所示，ui (t ) 为输入电压， u o ( t ) 为输出电压，列写其关于输入输出微分方程模型。
解：设电路中电流为 i(t)
RL
R(t)iLd di(tt)U o(t)U i(t)0 Ui(t)
数 传递函数 学 模 频率特性 型
结构框图
L L-1 频域
信号流图
Байду номын сангаас
Ui(S)
U0(S) -
I1(S)
1/R
R1
I2(S) I(S)
U0(S)
CS + + R2
建立数学模型的方法：
解析法（机理分析法）
根据系统工作所依据的物理定律列写运动方程。
实验法（系统辨识法）
给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用 适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。
f(t)
x2(t)
f(t)Cdd1x(tt)dd2x(tt)
f
'
(t
)
C
dx1(t) dt
[
dx2d’t(t)]
C
dx1(t dt
)
dx2’(t dt
)
1
X X
图2-1 机械移动系统
解：取f(t)为输入量, x为输出量
f(t)fK(t)ff(t)mdd 2xt2 (t) fK(t)Kx(t)
dx(t) f f (t) f dt
❖ 了解非线性模型的线性化方法； ❖ 结构图和信号流图的变换与化简;（重点掌握） ❖ 开环传递函数和闭环传递函数的推导和计
算。
1、什么是系统的数学模型 2、研究系统数学模型的定义 3、数学模型的表示形式 4、如何建立系统的数学模型
自动控制系统的数学模型
自动控制系统的任务是将系统的输入信 号（包括控制输入与扰动输入）的变化，及 时地、准确地、稳定可靠地传到系统的输出 端，驱动执行机构动作，使被控量按照输入 信号的要求而变化或保持恒定。
为J，转角为θ，回转粘性阻尼系数为BJ ，扭转弹簧刚度为KJ 。
J
T
KJ
BJ-粘性液体
图2-2 机械旋转系统
解：
d 2
J dt2 T Tk TB
Tk k J
d
TB BJ dt
消去中间变量，整理得微分方程：
J''(t)B J'(t)kJT
（二）电网络系统 电阻、电感、电容是电路中最基本的三个元
忽略二阶以上各项，可写成
yf(x0)dd(fxx)x0(xx0)
机械控制工程基础
No Image
1
第二章 系统的数学模型
2.1 系统的微分方程
▼
2.2 拉氏变换与反变换
▼
2.3 传递函数
▼
2.4 系统方框图及其简化
▼
2.5 反馈系统的传递函数
▼
2.6 信号流图与梅逊公式
▼
2.7 物理系统的传递函数推导 ▼
2.8 本章小结
▼
学习重点
❖ 简单物理系统的微分方程和传递函数的列 写及计算；（重点掌握）
数学模型定义：
描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的表达式。一般应根据系统的实 际机构参数及计算所要求的精度忽略一些次 要因素，使模型既能反映系统的动态特性又 能简化分析、计算
引言
数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部各变 量之间关系的数学表达式。
： 数学模型的主要形式
微分方程
时域 ※
§2.1 系统的微分方程
2.1.1 建立微分方程模型的步骤
分析系统的工作原理，确定输入量和输出量； 将系统分解为各环节，建立各环节输入量、输
出量之间的动态联系。 消去中间变量，求出系统的微分方程。 标准化微分方程。
2.1.2 系统微分方程的列写
（一）机械系统 机械系统分为平动系统和旋转系统，其数