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第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章自动控制系统的数学模型本章要点系统的数学模型是对系统进行定量分析的基础和出发点。
本章主要介绍从微分方程、传递函数和系统框图去建立自动控制系统的数学模型。
内容包括系统微分方程的建立步骤、传递函数的定义与性质、系统框图的建立、等效变换及化简、系统各种传递函数的求取以及典型环节的数学模型。
为了对自动控制系统性能进行深入的分析和设计，须定量计算系统的动、静态性能指标。
而要完成此项任务，就必须掌握其变化规律，用一个反映其运动状态的数学表达式描述系统的动态过程。
这种描述系统各变量之间关系的数学表达式称为系统的数学模型。
系统数学模型的建立主要有解析法和实验法。
解析法是从系统元件所遵循的一些基本规律出发去推导系统的数学模型。
如果不了解系统的结构和运动规律，则应采用实验法建立数学模型，即在系统的输入端加上测试信号，在根据测试出的输出响应信号建立其数学模型。
系统的数学模型有多种，经典控制理论中常用的数学模型有：微分方程（时域数学模型）、传递函数（复域数学模型）、频率特性（频域数学模型）和动态结构图(几何模型)。
第一节系统的微分方程微分方程是描述系统的输入量和输出量之间关系最直接的方法。
当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切描述系统的运动过程。
一、系统微分方程的建立步骤1．根据系统的组成结构、工作原理和运动规律，确定系统的输入量和输出量。
2．从输入端开始，根据各环节所遵循的运动规律，依次列写微分方程。
联立方程，消去中间变量，求取一个只包含系统输入量和输出量的微分方程。
3．将方程整理成标准形式。
即把含输出量的各项放在方程的左边，把含输入量的各项放在方程的右边，方程两边各导数按降幂排列，并将有关系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。
二、举例说明例2-1求图2-1所示RC网络的微分方程。
解：由图可知，输入量为u i(t) , 输出量为u o(t) ，根据电路遵循的基尔霍夫电压定律，有dtt du Ct i t u R t i t u o o i )()()()()(=+=消去上式中的中间变量i(t) ，得)()()(t u dtt du RCt u o o i += 整理得 ()()()o o i du t RCu t u t dt+= 例2-2 求直流电动机的微分方程。
第二章系统的数学模型2．3图中三图分别表示三个机械系统。
求出他们各自的微分方程，图中xi表示输入位移，xo表示输出位移，假设输出端无负载效应。
解：（1）、对图（a）所示系统，有牛顿定律有c1(x i-x0)-c2x0=m x0即m x0+(c1-c2) x0= c1x i（2）、对图（b）所示系统，引入一中间变量x，并有牛顿定律有(x i-x)k1=c(x-x0)c(x-x0)=k2x0消除中间变量有c(k1+k2)x0+k1k2x0=ck1x i（3）、对图（c）所示系统，有牛顿定律有c(x i-x0)+ k1 (x i-x)= k2x0即c x0+(k1+k2)x0=c x i+ k1x i2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有⎰+=idt C i R u o 22111i R u u o i =-dt i i C u u o i ⎰-=-)(111消除中间变量，并化简有ii i oo o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R uR C 12211221122112211)(1)1(+++=++++（2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有dt i C i R u u o i ⎰++=111i R dt i C u o 221+=⎰消除中间变量，并化简有i i o o u C u R u C C uR R 2221211)11()(+=+++2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。
图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。
解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：图 2.5M=J θ＋C m θ＋Rk(R θ－x) (1)K(R θ－x)=m x ＋c x (2)消除中间变量x ，即可得到系统动力学方程mJ θ（4）＋（mC m ＋cJ ）θ＋(R 2km ＋C m C ＋kJ) θ＋k(cR 2＋C m ) θ=m M ＋c M ＋k M 2.6 已知系统的动力学方程如下,试写出它们的传递函数Y(s)/R(s) (a) y •••+15y ••+50y •+500y=r ••+2r (b) 5y ••+25y •=0.5r •(c) y ••+25y=0.5r (d) y ••+3y •+6y+4ydt ⎰=4r解: 根据传递函数的定义, 求系统的传递函数, 只需将其动力方程两边分别在零初始条件进行拉式变换, 然后求Y(s)/R(s). (a) 3s Y(s) + 152s Y(s) + 50sY(s) + 500 Y(s)=2s R(s) + 2R(s)∴ Y(s)/R(s) = 23221550500s s s s ++++ (b) 52s Y(s) + 25sY(s) = 0.5sR(s)∴ Y(s)/R(s) =20.5525ss s+ (c) 2s Y(s) + 25Y(s) = 0.5R(s)∴ Y(s)/R(s) =20.525s + (d) 2s Y(s) + 3sY(s) + 6 Y(s) + 41s Y(s) = 4R(s)∴ Y(s)/R(s) = 324364ss s s +++ 2.7 若某线性定常系统在单位阶跃输入作用下，其输出为y(t)=1－22t t e e --+。
试求系统的传递函数。
解：由传递函数的定义有()i X s =1sY(s) =11221s s s -+++ ∴ Y(s)/()i X s = 2226232s s s s ++++2.8 输出y （t ）与输入x （t ）的关系为y （t ）=2x （t ）+0.5x 3（t ） （a ）求当工作点分别为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值。
（b ）在这些工作点处作小偏差线性化的模型，并以对工作点的偏差来定义x 和y ，写出新的线性化模型。
解：（a ）将x 0=0, x 0=1, x 0=2分别代入y(t)=2x(t)+0.5x 3(t)中，即得当工作点为x 0=0,x 0=1,x 0=2时相应的稳态输出值分别为y 0=0,y 0=2.5,y 0=8(b) 根据非线性系统线性化的方法有，在工作点（x 0,y 0）附近,将非线性函数展开成泰勒级数，并略去高阶项得Y 0+△y=2x 0+0.5x 03+(2+1.5x 2)∣x=x0·△x△y=（2+1.5x 2）∣x=x0△x若令x=△x,y=△y 有 y=（2+1.5x 02）x 当工作点为x 0=0时,y=（2+1.5x 02）x=2x 当工作点为x 0=1时,y=（2+1.5x 02）x=3.5x 当工作点为x 0=2时,y=（2+1.5x 02）x=8x 2.9 已知滑阀节流口流量方程式ρpcwx Q v2=,，式中，Q 为通过节流阀流口的流量；P 为节流阀流口的前后油压差；v x 为节流阀的位移量；c 为流量系数；w 为节流口面积梯度；ρ为油密度。
试以Q 与P 为变量（即将Q 作为P 的函数）将节流阀流量方程线性化。
解：利用小偏差线性化的概念，将函数),(p x F Q v =在预定工作点),(οοp x F v 处按泰勒级数展开为：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(+…消除高阶项，有：),(p x F Q v ==),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+ p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(∴ ),(),(00p x F p x F Q v v -=∆=),(οοp x F v +v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(-),(οοp x F v=v v vx p x x F∆∂∂•)(00,)(+p p x p F v ∆∂∂•)(00,)(若令=1K )(00,)(p x x Fv v∂∂，=2K )(00,)(p x p F v ∂∂，则有：p K x K Q v ∆*+∆*=∆21 若上式改写为增量方程的形式为： p K x K Q v *+*=212.10试分析当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)分别为惯性环节，微分环节，积分环节时，输入、输出的闭环传递函数。
解：由于惯性环节、微分环节，积分环节的传递函数分别是G(s)= 1KTs +，而闭环传递函数为G(s)=Ts ，G(s)=Ks，而闭环函数为G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•，则（1） 当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为惯性环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•=111KTs K Ts +±+= 1KTs K ++（2）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为微分环节时， G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1TsTs±（3）当反馈环节H(s)=1，前向通道传递函数G(s)为积分环节时，G B （s ）=()1()()G s G s H s ±•= 1Ks K s±=Ks K ±2.11证明图（题2.11）与图（题2.4（a ））所示系统是相似系统（即证明两系统的传递函数具有相同的形式）。
解：对题2.4（a ）系统，可列出相应的方程。
()()()22110111121()3o i o i u R i idt C u u R i u u i i dt C ⎧=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩⎰⎰对以上三式分别做Laplace 变换，并注意到初始条件为零，即 (0)(0)0I I •== 11(0)(0)0I I •== 则()()()()()2()2()22()()11()()1()()()111()456o i o S i o I s U s R I s R I s C s C s U s U s R I I s I s U s U s C s C s ⎧=+=+⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎩11(5)C s⨯，得()1()()1()111[]7i o S R U s U s I C s C s-= 1(6)R ⨯，得()1()11()()1()11[]8S i o S R I R R U s U s I C s C s-=- (7)(8)+，得11()()()111()[]i o S R R U s U s I C s C s+-= 即111()()()()1111111i o R C s R U s U s I s I s C s R C s R C s -=⨯=++ 则()1()()()1191i o R U s U s I s R C s=++将（4）式中的()o U s 带入（9）式1()2()()21112()2111()11()1i R U s R I s I s C s R C sR R I s C s R C s=+++=+++再用（4）式与上式相比消去()I s ，即得电系统的传递函数为2()()2()1()2()21122122111()1()1111o i R I s U s C s G s R U s R I s C s R C sR C s R R C s R C s+==++++=+++而本题中，引入中间变量x ，依动力学知识有22111()()()()i o i o i o o x x k x x c x x c x x c k x••••••⎧-+-=-⎪⎨⎪-=⎩对上二式分别进行拉氏变换有2()()2()()()()11()()11[][][]i o i o o o k X s X s sc X s X s X s X s sc c sX s X s k c s -+-=-⎧⎪⎨=⎪+⎩ 消除()X s 有22()22()1121()22211111o i k c X s k c ssG s k c s k c X s k c s c c k c s s sk ++===++++++ 比较两系统的传递函数有 122k C ⇔111k C ⇔22c R ⇔ 11c R ⇔2.12求图所示两系统的传递函数。
解：（1）由图（a）中系统，可得动力学方程为(x i(t)-x o(t))k=m x o(t)+cox(t)作Laplace变换，得[X i(s)-X o(t)]k=ms2Xo(s)+ csX o (s) 则有G（s）= X o (s)/ X i(s)=k/( ms2+cs+k)(2) 由图（b）中系统,设i为电网络的电流，可得方程为u i=Ri+L didt+1cidt⎰u o=1cidt ⎰作Laplace变换，得U i(s)=RI(s)+LsI(s)+ 1csI(s)U o(s)= 1csI(s)消除中间变量有G（s）= U o(s)/ U i(s)=211LCs RCs++ 2.13求图（题2、13）所示系统的传递函数。
