上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习题型整理分析：第5部分 数列与极限

第五部份 数列与极限3五、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22（d 为公差，N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的概念加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈(1n na a +=常数，)n N ∈，也可以证明持续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n 有：n n n n a a a a -=-+++112（nn n n a a a a 112+++=）. ［举例］数列}{n a 知足：)(22,111N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：数列}1{na 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式. 分析：注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而nn n a a a 2211+=+，所以21111=-+n n a a .即数列}1{na 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以12+=n a n . 3六、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和（即持续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n 项和（和不为0）、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列.［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，则=12S ＿；分析：注意到812484,,S S S S S --是等差数列的持续4项的和，它们成等差数列.可以取得16812=-S S ，所以3612=S . ［举例2］已知数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，则=12T ＿. 分析：由812484,,T T T T T 成等比，则8124248)(T T T T T ⋅=，所以64)(34812==T T T . 37、在等差数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等比数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅等差（等比）数列中简化运算的技能多源于这条性质. ［举例］数列}{n a 是等比数列，124,5128374=+-=⋅a a a a ，且公比q 为整数，则10a 的值为＿＿＿＿＿＿＿.分析：由8374a a a a ⋅=⋅得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=⋅=+4128512124838383a a a a a a 或⎩⎨⎧=-=128483a a ，又此数列的公比为整数，所以⎩⎨⎧=-=128483a a 公比2-=q ，则5122810==q a a .3八、等差数列当首项01>a 且公差0<d ，前n 项和存在最大值.当首项01<a 且公差0>d ，前n 项和存在最小值.求等差数列前n 项和的最值可以利用不等式组⎩⎨⎧≥≤≤≥+)0(0)0(01n n a a 来肯定n 的值；也可以利用等差数列的前n 项的和是n 的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.［举例1］若}{n a 是等差数列，首项0,0,020072006200720061<⋅>+>a a a a a ，则（1）使前n 项和n S 最大的自然数n 是＿＿；（2）使前n 项和0>n S 的最大自然数=n ；分析：由条件可以看出0,020072006<>a a ，可知2006S 最大，则使n S 最大的自然数为2021；由020072006>+a a 知040121>+a a ，02)(4012401214012>+=a a S ，200740134013a S ⋅=，所以04013<S ，则使0>n S 的最大自然数为4012. ［举例2］在等差数列}{n a 中，知足7473a a =且n S a ,01>是数列前n 项的和.若n S 取得最大值，则=n ＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最大体起身点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由7473a a =知111334)6(7)3(3a d d a d a -=⇒+=+，则1113343733)1(4a n a n a a n -=--=.当9≤n 时0>n a ，当10≥n 时0<n a ，所以9=n .3九、数列}{n a 是等比数列，其前n 项的和n S 是关于q 的分段函数⎪⎩⎪⎨⎧≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n ，在求和进程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.［举例1］数列}{n a 是等比数列，前n 项和为n S ，且11lim a S n n =∞→，求1a 的取值范围. 分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前n 项和存在的前提条件是1||<q ，且q a S n n -=∞→1lim 1，知1111a q a =-，则q a -=121，有)2,1()1,0(21 ∈a ，则)2,1()1,0(1 ∈a )0,1()1,2(--- .［举例2］数列}{n a 是等比数列，首项11=a ，公比1-≠q ，求nn S 1lim ∞→的值. 分析：涉及到等比数列的前n 项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当1=q 时，n na S n ==1，此时01lim 1lim ==∞→∞→n S n n n ；当1≠q 时，q q S n n --=11，则nn S 1lim ∞→= 1,(||1)1lim 0,(||1)1n n q q q q q →∞-<⎧-=⎨>-⎩. 40、等差数列、等比数列的“大体元”是首项、公差（比），当感觉不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若n a {｝是等差数列，则对于任意自然数n m ,有d m n a a m n )(-+=；若n a {｝是等比数列，则对于任意的自然数n m ,，有m n m n q a a -⋅=.在这两关系式中若取1m =，这就是等差（比）数列的通项公式.［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，首项01>a ，且05375=+a a .若此数列的前n 项和为n S ，问n S 是不是存在最值？若存在，n 为何值？若不存在，说明理由.分析：对于本题来讲，等差数列的大体性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为d ，则0)6(5)4(311=+++d a d a ，即1214a d -=，由01>a 知0<d ，所以数列}{n a 是递减数列，故n S 有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：11121425)214)(1(a n a n a a n -=--+=，当6≤n 时，0>n a ，当7≥n 时，0<n a .所以6S 最大.综上知，当6=n 时，n S 最大，不存在最小值.[举例2]已知正项等比数列}{n a 中，首项11>a ，且15735=⋅a a .若此数列的前n 项积为n T ，问n T 是不是存在最值？说明理由.分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方式是一样的.对于单调正项数列，前n 项积n T 最大（小），则应知足)11(1111⎩⎨⎧>≤⎩⎨⎧<≥++n n n n a a a a . 设此数列公比为q ，则1)()(461341=⋅q a q a ，则2141-=a q .214251121411)(n n n a a a a ---=⋅=.由11>a 知：6≤n 时，7,1≥>n a n 时，1<n a .所以当6=n 时，6T 最大，n T 没有最小值.[特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的转变，这种转变可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭露.咱们知道：若数列}{n a 是正项等比数列，记)1,0(log ≠>=m m a b n m n ，则数列}{n b 是等差数列.反之若数列{}n a 是等差数列，记(0)n a n b m m =>，则数列{}n b 是等比数列.4一、已知数列的前n 项和n S ，求数列的通项公式时，要注意分段⎩⎨⎧≥-==-2,111n S S n S a n n n .当1a 知足)2(,1≥-=-n S S a n n n 时，才能用一个公式表示.［举例］已知数列}{n a 的前n 项和a n n a S n ++-=2)2(.若}{n a 是等差数列，求}{n a 的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的概念起身.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.由a n n a S n ++-=2)2(知，1=n 时，1211-==a S a ，当2≥n 时，=-=-1n n n S S a )3()2(2a n a -+-.当2≥n 时，)2(21-=-+a a a n n ，而412-=-a a a .若数列}{n a 是等差数列，则4)2(2-=-a a ，所以0=a .则34+-=n a n .4二、形如：n n a a =+1+)(n f 的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：)(1n g a a nn =+的递推数列，求通项用连乘（约项）法.［举例］数列}{n a 知足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ，求数列}{n a 的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方式实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方式.等差数列的大体递推关系：d a a n n +=+1，等比数列的递推关系：q a a nn =+1. 由题知：)2(333311233222111≥⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=-=-=-=---------n a a a a a a a a n n n n n n n n n 相加得：2)31(33331211-----=+++=-n n n n a a ，又11=a ，所以)2(213≥-=n a n n ，而1a 知足此式，则)(213N n a n n ∈-=. 43、一次线性递推关系：数列}{n a 知足：c b a c a b a a a n n ,,(,,11+⋅==+是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当1=b 时，此数列是等差数列，当0=c （)0≠b 时，此数列是等比数列.解决此递推的方式是通过代换（令)k a b n n +=化成等比数列求解.［举例］已知数列}{n a 知足：)(,12,111N n a a a n n ∈+==+，求此数列的通项公式.分析：由121+=+n n a a 得：)1(211+=++n n a a 知数列}1{+n a 是等比数列，首项为2，公比为2，所以n n a 21=+，知12-=n n a .44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪个量”作为数列的“项”，并肯定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻觅“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.［举例］某企业去年末有资金积累a 万元，按照预测，从今年开始以后每一年的资金积累会在原有的基础上增加20%，但每一年底要留出b 万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b 的最大值.分析：与年数相关的应用题在解答进程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年末、年初的不同.设从今年开始每一年末该企业的资金积累为n a 万元，则b a b a a -=-+=45%)201(1（万元），b a b a a n n n -=-+=+45%)201(1，则)4(4541b a b a n n -=-+.所以数列}4{b a n -是以b a b a 54541-=-为首项，45为公比的等比数列，所以1)45)(545(4--=-n n b a b a ，1)45)(545(4--+=n n b a b a .由题知a a 25≥，则a b a b 2)2.1)(52.1(44≥-+，求得：a a b 08.09950763≈≤.即b 的最大值大约为8%a . 4五、常见的极限要记牢：⎪⎩⎪⎨⎧-=><==∞→11||1||,01,1lim q q q q q n n 或不存在，，注意n n q ∞→lim 存在与0lim =∞→n n q 是不相同的；e nn n =+∞→)11(lim ，特别注意此式的结构形式；若)(),(n g n f 是关于n 的多项式函数，要会求)()(lim n g n f n ∞→. ［举例1］求下列各式的值：（1）)4(22lim 2≠-+∞→a a a nn n n n ；（2）n n n n 2)11(lim +-∞→. 分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.（1）当2||<a 时，原式1)2(11)2(lim =-+=∞→nn n a a ；当2||>a 时，原式11)2()2(1lim -=-+=∞→n n n a a . （2）与e 相关的极限问题要注意其结构形式，注意到括号内是""+号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分母相同.当形式不同时，要向此转化.n n n n n n n )121(lim )11(lim 2+-=+-∞→∞→= 2)12(21)2111(lim )2111(lim -+-⋅+-∞→∞→=+-+=+-+e n n n n n n n n .［举例2］若1432lim 2=+++∞→n bn an n ，则=a ＿＿＿＿；=b ＿＿＿＿. 分析：对于分子分母是关于n 的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意到此式极限为1是存在的，由上分析知13,0==b a ，所以3,0==b a . 4六、理解极限是“无穷运动的归宿”.［举例］已知△ABC 的极点别离是))(0,24(),2,0(),2,0(N n nC n B n A ∈+-，记△ABC 的外接圆面积为n S ，则=∞→n n S lim ＿＿＿＿＿.分析：本题若要先求出三角形ABC 的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当∞→n 时A 、B 、C 点的转变，不难看出△ABC 被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有π4lim =∞→n n S .。

上海市格致中学2023届高三三模数学试题一、填空题1.在复数集中，若复数z 满足21z =-，则z =___________．【答案】i±【分析】设出i(,R)z a b a b =+∈，再利用复数的运算法则和复数相等的定义即可得出结果.【详解】设i(,R)z a b a b =+∈，则2222i 1z a b ab =-+=-，则2210a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得0a =，1b =或1b =-，所以i z =或i z =-，故答案为：iz =±2.双曲线2212y x -=的离心率为____．【详解】试题分析：由题意得：21,123,ca c c e a==+====3.若全集为R ，集合103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}2|2B y y x ==-+，则A B = ___________．【答案】{}|23<<x x 【分析】先求出集合,A B ，再求出B ，再利用集合的运算即可得出结果.【详解】因为103x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，由103x x -<-，得到13x <<，即{}13A x x =<<，又{}2|2B y y x ==-+，易知2y ≤，所以{}|2B y y =>，所以{}|23A B x x =<< ，故答案为：{}|23<<x x 4.已知函数221xy a =-+为奇函数，则实数=a ______【答案】1【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数()221xf x a =-+为奇函数，则()()2202121x x f x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++，解得：1a =，故答案为：1.5.若nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，则常数项为___________（用数字作答）.【答案】240【分析】由17n +=可得n 的值，再写出展开式的通项，令x 的指数位置等于0即可求解.【详解】因为nx⎛+ ⎝的展开式中共有7项，所以17n +=，可得6n =，所以6x⎛+ ⎝展开式的通项为136622166C 2C 2rr r r r r r T x x x ---+==，令3602r -=可得4r =，所以常数项为446C 21516240=⨯=，故答案为：240.6.从高三某班抽取10名同学，他们的数学成绩如下：102，110，117，120，122，122，122，126，134，145（单位：分），则这10名同学数学成绩的第70百分位数是___________．【答案】124【分析】根据百分位数定义可求.【详解】解：因为1070%7⨯=，所以这10名同学数学成绩的第70百分位数是1221261242+=，故答案为：124.7.盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.【答案】49【分析】根据全概率公式求解可得.【详解】设事件A 为“第一次抽到白球”，事件B 为“第二次抽到白球”，则B AB AB =+，所以()()()()()P B P A P B A P A P B A =+，由题可得()49P A =，()59P A =，()712P B A =，()412P B A =，所以()475449129129P B =⨯+⨯=.故答案为：49.8.关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，则实数a 的取值范围为___________．【答案】,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭【分析】构造2()2f x ax x a =-+，利用函数的性质，将问题转化成在[)0,∞+上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果.【详解】因为关于x 的不等式220ax x a -+≥的解集是(),-∞+∞，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，令2()2f x ax x a =-+，易知()f x 为偶函数，所以220ax x a -+≥在R 上恒成立，即2()20f x ax x a =-+≥在[)0,∞+上恒成立，所以，当0x =时，由2220ax x a a -+=≥，得到0a ≥，当0x >时，由220ax x a -+≥，得到2122x a x x x≥=++，又因为2x x+≥x =时取等号，所以24a ≥=，综上，实数a 的取值范围为,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.故答案为：,4⎫+∞⎪⎪⎣⎭.9.已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x fx =+，则函数()y g x =的值域为___________．【答案】[2,7]【分析】确定函数()y g x =的定义域，化简可得()y g x =的表达式，换元令3log ,([0,1])x t t =∈，可得242y t t =++，结合二次函数的性质即得答案.【详解】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x fx f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]10.已知()πsin 202y x ϕϕ⎛⎫=-<<⎪⎝⎭在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，且该函数在7π0,8⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，那么ϕ的取值范围是___________．【答案】ππ,64⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件，结合sin y x =的图像与性质即可求出结果.【详解】当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2π2,3x ϕϕϕ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，又因为()πsin 2(02y x ϕϕ=-<<在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是严格增函数，所以π2π2k ϕ-+≤-且)2ππ2π(32Z k k ϕ-∈≤+，即ππ2π2π62k k ϕ+≤≤+，Z k ∈，又π02ϕ<<，取0k =，得到ππ62ϕ≤<，当7π(0,8x ∈时，7π2,4x ϕϕϕ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又π02ϕ<<，所以π02ϕ-<-<，又该函数在7π(0,)8上有最小值，所以7π3π42ϕ->，得到π04ϕ<<，综上所述，ππ64ϕ≤<.故答案为：ππ64ϕ≤<.11.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n n a S a =+，22log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是___________．①1n n a a +<；②{}2n S 是等差数列；③n S ≤④满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10．【答案】②③④【分析】根据题意得()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，即可判断②；由②知，=n S ，所以n a ==1n a +==即可判断①；因为1n S ≤1≤，令()10x x =≥，即()e 10x x x ≥+≥，构造函数()()e 10xf x x x =--≥，利用函数的单调性即可判断出③的正误；再根据题意得()22221log log 2log 2n n n S b n n S +==+-⎡⎤⎣⎦，求和得()()211log 122n T n n =-+++⎡⎤⎣⎦，再根据题意求解即可判断④的正误.【详解】因为221n n n a S a =+，当1n =时，211121a S a =+，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，所以()()21121n n n n n S S S S S ---=+-，整理得2211n n S S --=，所以数列{}2n S 是首项为211S =，公差为1的等差数列，故②正确；对于①，由()2111n S n n =+-⨯=，又正项数列{}n a 的前n 项和为n S，得到=n S ，当1n =时，解得11S =，当2n ≥时，1n n n a S S -=-，即=n a ，又111S a ==，所以1n =时，满足=n a，所以n a ==又1n a +==>，所以<1n n a a +<，故①不正确；对于③，令()()e 10xf x x x =--≥，所以()e 1xf x '=-，当0x ≥时，e 10x -≥恒成立，所以()f x 在[)0,∞+单调递增，所以()()00f x f ≥=，即()e 100x x x --≥≥，所以e 1x x ≥+在[0,)x ∈+∞上恒成立，令()11,N x n n *=≥∈，所以1≥=n S，即1n S ≤成立，故③正确；对于④，因为=n S，所以2n S +=1222222log log log n n nS n b S n ++⎛⎫== ⎪⎝⎭()222121log log 2log 22n n n n +==+-⎡⎤⎣⎦，所以1231n n n T b b b b b -=+++++ ()()()22222222221log 3log 1log 4log 2log 5log 3log 1log 1log 2log 2n n n n =-+-+-+++--++-⎡⎤⎣⎦ ()()()()222111log 1log 21log 1222n n n n =-++++=-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，因为3n T ≥，即()()211log 1232n n -+++≥⎡⎤⎣⎦，化简整理得：231260n n +-≥，当9n =时，2939126180+⨯-=-<，当10n =时，21031012640+⨯-=>，所以满足3n T ≥的n 的最小正整数解为10，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求n a ，常用思路是：一是利用1nn n a S S -=-转化为n a 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为n S 的递推关系，先求出n S 与n 之间的关系，再求n a .12.已知平面向量a ，b ，c 满足1a = ，1a b b c ⋅=⋅=，a b c -+≤ a c ⋅ 的最大值为___________．【答案】2【分析】根据题意，设出a ，b ，c的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到a c ⋅的范围，从而得到结果.【详解】设()1,0a = ，()1,b s = ，()1,c st t =-，,s t ∈R ，由已知可得：a b c -+=，当且仅当22s t =时，取等号，当0st ≥时，有()2218st st -+≤，得01st ≤≤+，当0st <时，有()2618st st -+≤，得10st -≤<，所以当11st -≤≤时，12a c st -≤⋅=-≤.所以a c ⋅的最大值为2.故答案为：2.二、选择题13.“11x -<<”是“112x x -++≤”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】解绝对值不等式得到解集为{}11x x -≤≤，从而得到1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，求出答案.【详解】112x x -++≤，当1x <-时，112x x ---≤，即22x -≤，解得1x ≥-，与1x <-取交集，得∅，当11x -≤≤时，112x x -++≤，即22≤，成立，故11x -≤≤，当1x >时，112x x -++≤，解得1x ≤，与1x >取交集，得∅，综上：112x x -++≤的解集为{}11x x -≤≤，因为1111x x --<≤<≤⇒，但11x -≤≤⇒11x -<<，故“11x -<<”是“112x x -++≤”的充分不必要条件.故选：A14.实验测得六组成对数据(),x y 的值为()4,90，()5,84，()6,83，()7,80，()8,75，()9,68，由此可得y 与x 之间的回归方程为4y x b =-+，则可预测当10x =时，y 的值为（）A.67B.66C.65D.64【答案】B【分析】先求出样本中心点，线性回归方程4y x b =-+恒过(),x y ，代入即可求出b ，再令10x =，代入求解即可.【详解】由表中数据可得，()14566789 6.5x =⨯+++++=，()1908483807568806y =⨯+++++=，线性回归方程为4y x b =-+，则804 6.5b =-⨯+，解得106b =，故4106y x =-+，当10x =时，41010666y =-⨯+=.故选：B.15.将函数3=-+y x x ，[]0,1x ∈的图象绕点()1,0顺时针旋转θ角（π02θ<<）得到曲线C ，若曲线C 仍是一个函数的图形，则θ的最大值为（）A.1arctan2B.π6 C.π4D.arctan 2【答案】A【分析】要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，故只需求1x =处的倾斜角即可.【详解】函数()3f x y x x ==-+，()231f x x '=-+，当30,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，()0f x ¢>，函数在30,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上递增，当3,13x ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦时，()0f x '<，函数在3,13⎛⎤⎥ ⎝⎦上递减，()12f '=-可得在1x =处切线的倾斜角为πarctan 2-，因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为90 ，也就是说，最大旋转角为ππ1πarctan 2arctan 2arctan 222--=-=，即θ的最大值为1arctan 2.故选：A.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F D C λ= ，11D P D B μ=，其中λ，[]0,1μ∈，则下列说法不正确的是（）A.当12λ=时，三棱锥P EFD -的体积为定值B.当12μ=时，四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是94πC.PE PF +的最小值为536D.存在唯一的实数对(),λμ，使得EP ⊥平面PDF 【答案】C【分析】由线面平行的判定可知1//BD 平面EFD ，知三棱锥P EFD -底面积和高均为定值，A 正确；根据正棱锥外接球的球法，可构造关于外接球半径R 的方程，求得R 后知B 正确；将C 中问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，将问题转化为1E H 长度的求解，根据角度和长度关系可确定C 正确；以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，假设线面垂直可构造方程组求得,λμ，可知D 正确.【详解】对于A ，当12λ=时，F 为11C D 中点，又E 为1B C 中点，1//EF BD ∴，EF ⊂平面EFD ，1BD ⊄平面EFD ，1//BD ∴平面EFD ，则当P 在线段1BD 上移动时，其到平面EFD 的距离不变，∴三棱锥P EFD -的体积为定值，A 正确；对于B ，当12μ=时，取,AC BD 交点O ，连接PO ，则四棱锥P ABCD -为正四棱锥，PO ∴⊥平面ABCD ，设四棱锥P ABCD -的外接球的球心为O '，半径为R ，则O '在直线PO 上，2OC =，12OO R '=-，222OC OO O C ''∴+=，即221122R R ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得：34R =，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积29π4π4S R ==，B 正确；对于C ，将问题转化为在平面11ABC D 内求解PE PF +的最小值，作E 关于线段1BD 的对称点1E ，过1E 作1//HG AD ，交11,C D AB 于,H G ，如下图所示，1PE PE = ，11PE PF PE PF E H ∴+=+≥（当且仅当F 与H 重合时取等号）111111E BA ABD D BE ABD D BC ∠=∠-∠=∠-∠ ，()2211111sin sin 3E BA ABD D BC ⎛⎫∴∠=∠-∠=-=，11112sin sin 6E G B E E BA BE E BA ∴=⋅∠=⋅∠=，125266E H ∴==，即PE PF +的最小值为526，故C 错误；对于D ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，11,1,22E ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,,1F λ，(),,1P μμμ-，11,1,22EP μμμ⎛⎫∴=--- ⎪⎝⎭，(),,1DP μμμ=-，()0,,1DF λ= ，若EP ⊥平面PDF ，则EP DPEP DF ⊥⎧⎨⊥⎩，()()()11110221102EP DP EP DF μμμμμμλμμ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+-+--= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎪⋅=-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：336132μλ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）或336312μλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴存在唯一的实数对()13,,26λμ⎛-=⎝⎭，使得EP ⊥平面PDF ，故D 正确.故选：C.三、解答题17.在ABC 中，coscos CA =，6B π=，BC 边中线AM =（1）求A 的值；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）π6；（2【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换得出A 的值；（2）由余弦定理得出2b =，最后由面积公式得出ABC 的面积．【小问1详解】因为coscos C A =，所以由正弦定理可得cos cos CA =2sin cos cos cos )B A A C C A A C B=+=+=因为sin 0B ≠，所以cos 2A =，因为()0,πA ∈，所以π6A =.【小问2详解】因为6B π=，23C A B ππ=--=，可知ABC 为等腰三角形.在AMC 中，由余弦定理可得2222cos120AM AC MC AC MC =+-⋅︒即227(2cos12022b bb b =+-⨯⨯⨯︒，解得2b =.所以ABC 的面积为22113sin 2222S b C ==⨯⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中､四边形11ABB A 是菱形，且160ABB ∠=，2AB BC ==，1CA CB =，1CA CB ⊥，（1）证明：平面1CAB ⊥平面11ABB A ；（2）求直线1BB 和平面ABC 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）7【分析】（1）连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，证明CO BO ⊥可得线面垂直，再由面面垂直的判定定理得证；（2）利用等体积法求出点1B 到平面ABC 的距离d ，再由线面角公式1sin dBB θ=求解即可.【小问1详解】连接1BA 交1AB 于O ，连接CO ，如图，四边形11ABB A 是菱形，所以11AB A B ⊥，又1CA CB =，1CA CB ⊥，O 是1AB 的中点，所以1CO AB ⊥且112CO AB =，由160ABB ∠=︒，可知1ABB 为正三角形，所以12AB AB ==，BO =，在BOC中，22222212CO BO BC =+==+，所以CO BO ⊥，又1BO AB O = ，1,BO AB ⊂平面11ABB A ，所以CO ⊥平面11ABB A ，又CO ⊂平面1CAB ，所以平面1CAB ⊥平面11ABB A .【小问2详解】设1B 到平面ABC 的距离为d ，因为ABC 中，2AB BC ==，AC ==所以11222ABCS AC =⨯，又1224ABB S =⨯= ，1CO =，所以由11B ABC C ABB V V --=，可得11133ABC ABB d S CO S ⋅=⋅△△,即172ABB ABCS d S ===△△,设直线1BB 和平面ABC 所成角为θ，则17sin 27d BB θ===.19.2022年11月21日第22届世界杯在卡塔尔开幕，是历史上首次在中东国家举办，也是第二次在亚洲国家举办的世界杯足球赛.某校“足球社团”调查学生喜欢足球是否与性别有关，现从全校学生中随机抽取了()*40k k ∈N 人，若被抽查的男生与女生人数之比为5：3，男生中喜欢足球的人数占男生的35，女生中喜欢足球的人数占女生的13.经计算，有95%的把握认为喜欢足球与性别有关，但没有99%的把握认为喜欢足球与性别有关.（1）请完成下面的列联表，并求出k 的值；喜欢足球不喜欢足球合计男生女生合计（2）将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男学生中随机抽取3人，记其中喜欢足球的人数为X ，求X 的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.()20P k χ≥0.100.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表见解析，2k =；（2）分布列见解析，95【分析】（1）依题意，先填好列联表，再根据卡方计算临界值求出k ；（2）按照二项分布求解.【小问1详解】由已知，完成列联表，喜欢足球不喜欢足球合计男生15k 10k 25k 女生5k 10k 15k 合计20k20k40k将数值代入公式可得2χ的观测值：()222240150508202025153k k kk k k k kχ⨯-==⨯⨯⨯，根据条件，可得83.841 6.6353k≤<，解得1.440 2.488k ≤<，因为*k ∈N ，所以2k =；【小问2详解】由（1）知，样本的男生中喜欢足球的频率为35，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取一人，喜欢足球的概率为35，则3~3,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()03033280C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121332361C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()212332542C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303332273C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则X 的分布列为X 0123P812536125541252712539355EX =⨯=；综上，2k =，数学期望为95.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，且过点12⎫⎪⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点（异于椭圆顶点），点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点．①若点P 在直线12x =上，求证：线段MN 的垂直平分线恒过定点S ，并求出点S 的坐标；②求证：当OMN 的面积最大时，直线OM 与ON 的斜率之积为定值．【答案】（1）2214x y +=；（2）①证明见解析，3(,0)8S ；②直线OM 与ON 的斜率之积为14-.【分析】（1）根据焦距和所过点联立方程组求解即可；（2）设出直线方程并与椭圆方程联立，①根据中点公式及垂直平分线方程化简即可证明并得到定点；②利用弦长公式和点到直线距离公式，表示出三角形面积，并借助重要不等式得到三角形面积最大时，直线方程中的参数满足的条件，由此化简直线OM 与ON 的斜率之积即可得出定值.【小问1详解】因为焦距为2c =，即c =2223a b c -==，又因为椭圆过点12⎫⎪⎭，所以223114a b+=，解得221,4b a ==，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 方程为y kx m =+，设112200(,),(,),(,)M x y N x y P x y .由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(14)8440k x kmx m +++-=，2222226416(1)(14)16(14)0k m m k k m ∆=--+=+->，2121222844,1414km m x x x x k k--+==++.①因为点P 为线段MN 的中点，点P 在直线12x =上，所以1202412142x x km x k +-===+，即2148k km +=-，2148k m k+=-.所以00y kx m =+21141288k k k k+=+=--.所以线段MN 的垂直平分线方程为001()y y x x k-=--，即111()82y x k k +=--，即13(8y x k =--.故线段MN 的垂直平分线恒过定点3(,0)8S .②由弦长公式得12MN x =-=坐标原点到直线MN 的距离为21m d k=+，所以OMN 的面积为12OMNS MN d =⋅△2222222214141142214141m m k m k k m k k k+-+=⨯+-=⨯+++22221422114m k m k++-≤⨯=+.当且仅当22214m k m =+-，即22214m k =+时等号成立.所以12121212()()OM ONy y kx m kx m k k x x x x ++==22121212()k x x km x x m x x +++=2222222(44)8(14)44k m k m m k m --++=-2222241144444m k m m m --===---.所以直线OM 与ON 的斜率之积为定值14-.21.已知2()46ln f x x x x =--，（1）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程以及()f x 的单调性；（2）对(1,)x ∀∈+∞，有21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭恒成立，求k 的最大整数解；（3）令()()4(6)ln g x f x x a x =+--，若()g x 有两个零点分别为1x ，2x ()12x x <且0x 为()g x 的唯一的极值点，求证：12034x x x +>.【答案】（1）切线方程为85y x =-+；单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞（2）k 的最大整数解为3（3）证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，求出(1)f '，(1)f 即可得到切线方程，解()0f x '>得到单调递增区间，解()0f x '<得到单调递减区间，需注意在定义域范围内；（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x x k h x x +<=-，求导分析()h x 的单调性，即可求出k 的最大整数解；（3）由2()ln g x x a x =-，求出导函数分析其极值点与单调性，构造函数即可证明；【详解】解：（1）2()46ln f x x x x =-- 所以定义域为()0,+¥6()24f x x x'∴=--；(1)8f '=-；(1)3f =-所以切线方程为85y x =-+；2()(1)(3)f x x x x'=+-，令()0f x '>解得3x >令()0f x '<解得03x <<所以()f x 的单调递减区间为()0,3，单调递增区间为(3,)+∞.（2）21()()6112xf x f x x k x ⎛⎫'->+-- ⎪⎝⎭等价于min ln ()1x x xk h x x +<=-；22ln ()(1)x xh x x --'∴=-，记()2ln m x x x =--，1()10m x x'=->，所以()m x 为(1,)+∞上的递增函数，且(3)1ln 30m =-<，(4)2ln 40m =->，所以0(3,4)x ∃∈，使得()00m x =即002ln 0x x --=，所以()h x 在()01,x 上递减，在()0,x +∞上递增，且()000min 000ln ()(3,4)1x x x h x h x x x +===∈-；所以k 的最大整数解为3.（3）2()ln g x x a x =-，(2)(2)()20a g x x x x +-'=-==得0x =，当x ⎛∈ ⎝，()0g x '<，x ⎫∈+∞⎪⎪⎭，()0g x '>；所以()g x在⎛ ⎝上单调递减，⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，而要使()g x 有两个零点，要满足()00g x <，即202g a a e ⎛=-⇒> ⎝；因为10x <<2x >，令21x t x =(1)t >，由()()12f x f x =，221122ln ln x a x x a x ∴-=-，即：2221111ln ln x a x t x a tx -=-，212ln 1a t x t ∴=-而要证12034x x x +>，只需证1(31)t x +>，即证：221(31)8t x a +>即：22ln (31)81a tt a t +>-由0a >，1t >只需证：22(31)ln 880t t t +-+>，令22()(31)ln 88h t t t t =+-+，则1()(186)ln 76h t t t t t'=+-++令1()(186)ln 76n t t t t t =+-++，则261()18ln 110t n t t t-'=++>(1)t >故()n t 在(1,)+∞上递增，()(1)0n t n >=；故()h t 在(1,)+∞上递增，()(1)0h t h >=；12034x x x ∴+>.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的极值，最值以及函数的单调性，综合性比较强，属于难题.。

第二部分 不等式17、基本不等式22(,2b a ab ab b a +≤≥+要记住等号成立的条件与b a ,的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.［举例］已知正数b a ,满足32=+b a ，则ba 11+的最小值为＿＿＿＿＿＿. 分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由)223(31)23(3122(3111+≥++=+++=+b a a b b b a a b a b a ，当且仅当b a a b =2等号成立，此时223,123+=+=b a .18、学会运用基本不等式：||||||||||||b a b a b a +≤±≤-.［举例1］若关于x 的不等式a x x <---|2||1|的解集是R ，则实数a 的取值范围是＿＿；分析：由不等式的解集为R ，则a 大于|2||1|---x x 的最大值.由绝对值不等式的性质知：1|)2()1(||2||1|=---≤---x x x x ，所以1>a .[举例2]若关于x 的不等式a x x <-+-|2||1|的解集不是空集，则实数a 的取值范围是＿.分析：1|)2()1(||2||1|=---≥-+-x x x x ，知1>a .19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.［举例］解关于x 的不等式：)0(12)1(>>--a x x a . 分析：原不等式化为：0)]2()1)[(2(02)2()1(>----⇒>----a x a x x a x a .注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当1=a 时，不等式的解集为}2|{>x x ；（2）当10<<a 时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根12,221--==a a x x ，而211112>-+=--a a a ，此时不等式的解集为)12,2(--a a ；（3）当1>a 时，同样可得不等式的解集为),2()12,(+∞---∞ a a . 20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数)0(,>+=a xa x y 的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.［举例1］已知函数223)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当21,41[∈x 时，81)(≥x f ，求实数a 的值. 分析：6)3(23)(22a a x x f +--=，则161622≤⇒≤a a ，又此二次函数开口向下，则有181)21(81)41(≥⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥a f f .知1=a .注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.[举例2]求函数1363)(2+++=x x x x f 在区间]2,2[-上的最大值与最小值. 分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设t x =+3，则t t t t x f 414)(2+=+=，]5,1[∈t .当2=t 时，t t 4+取最小值4；当5=t 时，t t 4+取最大值529.所以函数)(x f 在区间]2,2[-上的最大值为41，最小值为295.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法. 21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数),(x a f y =的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x x a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 时等号成立.所以有22<a .（2）注意到0224>+⋅-xx a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a 的一次不等式.不妨设)24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .。

第一部分 集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]已知集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==，求Q P .分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .[举例2]函数⎩⎨⎧∈-∈=)()()(M x x P x x x f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定：(){|(),},(){|(),}F P y y f x x P F M y y f x x M ==∈==∈.给出下列四个判断：（1）若∅=M P ，则()()F P F M =∅；（2）若∅≠M P ，则()()F P F M ≠∅；（3）若,R M P = 则()()F P F M R =；（4）若,R M P ≠ 则()()F P F M R ≠. 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ）A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.()F P 是函数)(P x x y ∈=的值域，()F M 是函数)(M x x y ∈-=的值域.取),0[+∞=P ，)0,(-∞=M 可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若∅≠M P ，只能是}0{=M P ，此时()(){0}F P F M ⊇，（2）正确.对于命题（4）：设,a P M ∉则a P ∉且a M ∉，若0a =，显然有0()F P ∉且0()F M ∉，所以有()()F P F M R ≠；若0a ≠，由a P ∉则()a F P ∉，由a M ∉，则()a F M -∉.若有()a F M ∉，则a M -∉，所以a P -∉，则()a F P -∉，所以()()a F P F M -∉，则()()F P F M R ≠.同理可证，若()a F P -∈，则有()()a F P F M ∉.（4）也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]若}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，若∅=B A ，则2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a . 注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若B A ⊆，则∈x A 是∈x B 的充分条件；若B A ⊇，则∈x A 是∈x B 的必要条件；若B A ⊆且B A ⊇即B A =，则∈x A 是∈x B 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲⇒乙）”与“甲的充分条件是乙（乙⇒甲）”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，则点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件.分析：集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.（充分不必要、必要不充分）4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.5、若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则有)()(x a f x a f +=-或)()2(x f x a f =-等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(x f y =的图像关于直线a x =的对称曲线是函数)2(x a f y -=的图像，函数)(x f y =的图像关于点),(b a 的对称曲线是函数)2(2x a f b y --=的图像.[举例1]若函数)1(-=x f y 是偶函数，则)(x f y =的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.分析：由)1(-=x f y 是偶函数，则有)1()1(-=--x f x f ，即)1()1(x f x f +-=--，所以函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.或函数)1(-=x f y 的图像是由函数)(x f y =的图像向右平移一个单位而得到的，)1(-=x f y 的图像关于y 轴对称，故函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.[举例2]若函数)(x f y =满足对于任意的R x ∈有)2()2(x f x f -=+，且当2≥x 时x x x f +=2)(，则当2<x 时=)(x f ＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(x f x f -=+知，函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，因而有)4()(x f x f -=成立.2<x ，则24>-x ，所以)4()4()4()(2x x x f x f -+-=-=.即2<x 时209)(2+-=x x x f .6、若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a x f a x f 则)(x f 是以a 2为周期的函数.（注意：若函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±=+，则)(x f 也是周期函数） ［举例］已知函数)(x f y =满足：对于任意的R x ∈有)()1(x f x f -=+成立，且当)2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则=++++)2006()3()2()1(f f f f ＿＿＿＿＿＿. 分析：由)()1(x f x f -=+知：)()1(]1)1[()2(x f x f x f x f =+-=++=+，所以函数)(x f y =是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(-=====f f f f ，1)1()3()2003()2005(=====f f f f ，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意x 满足0)()(=+-x f x f ；偶函数对定义域内的任意x 满足0)()(=--x f x f .注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；若函数)(x f y =是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若)(x f y =是奇函数且)0(f 存在，则0)0(=f ；反之不然.［举例1］若函数a x f x -+=121)(是奇函数，则实数=a ＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到)0(f 有意义，必有0)0(=f ，代入得21=a .这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍. [举例2]若函数3)2()(2+-+=xb ax x f 是定义在区间]2,12[a a --上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(=-+-a a ，得1-=a ；又由()y f x =是偶函数，因而2=b .即]3,3[(3)(2-∈+-=x x x f ，所以此函数的值域为]3,6[-.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］若函数)(x f y =是定义在区间]3,3[-上的偶函数，且在]0,3[-上单调递增，若实数a 满足：)()12(2a f a f <-，求a 的取值范围.分析：因为)(x f y =是偶函数，)()12(2a f a f <-等价于不等式)(|)12(|2a f a f <-，又此函数在]0,3[-上递增，则在]3,0[递减.所以2|12|3a a >-≥，解得211+-<≤-a .9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像. ［举例］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像是由函数x y 2log =的图像经过下列变换得到的：先将函数x y 2log =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21（或将函数x y 2log =的图像向上平移1个单位）得到函数x y 2log 2=的图像，再将函数x y 2log 2=的图像作关于y 轴对称得到函数|2|log 2x y =的图像，再将函数|2|log 2x y =的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log 2-=x y 的图像，再将函数|12|log 2-=x y 的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log 2--=x y ，最后将函数1|12|log 2--=x y 的图像在x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与x 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[-与),23[+∞. 需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(a x f y x f y x f y -=⇒=⇒=与变化过程：|)(|)()(a x f y a x f y x f y -=⇒-=⇒=不同.前者是先作关于y 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线a x =对称.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例1］已知函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，若不等式)()(x g x f >的解集不为空集，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：不等式)()(x g x f >的解集不为空集，亦即函数)(x f y =的图像上有点在函数)(x g y =的图像的上方. 函数12)(-=x x f 的图像是x 轴上方的半 支抛物线，函数1)(+=ax x g 的图像是过点)1,0(斜率为a 的直线.当1a =时直线与抛物线相切，由图像知：12-<a .（注意图中的虚线也满足题义）[举例2]若曲线1||2+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，则b k ,应当满足的条件是 . 分析：曲线1||2+=x y 是由)0(12≥+=x x y 与12+-=x y 交点为)1,0(和)1,0(-，图像如图（实线部分）.可以看出若直线b kx y +=曲线1||2+=x y 的图像没有公共点，此直线必与x 轴平行，所以0=k ，11<<-b .11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y 轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数12)(2+-=ax x x f ，（]4,3[]1,0[ ∈x ），若此函数存在反函数，则实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x 轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2+-=ax x x f 图像的对称轴为直线a x =知：0≤a 或4≥a 必存在反函数，10<<a 或43<<a 必不存在反函数.当]3,1[∈a 时如何讨论？注意到函数在区间]1,0[上递减，在]4,3[上递增，所以只要)1()4(f f <或)0()3(f f >即可.亦即325≤<a 或231<≤a .综上知，实数a 的取值范围是 ]0,(-∞ ),4[]3,25()23,1[+∞ . 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x 的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.［举例］函数])2,((),22(log )(22--∞∈++=x x x x f 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：令)22(log 22++=x x y ，则12)1(22222-=+⇒=++y y x x x .因为2-≤x ，所以11-≤+x ，则121--=+y x ，121---=y x .又原函数的值域为),1[+∞，所以原函数的反函数为)1(121)(1≥---=-x x f x .（若是从反函数表达式得012≥-x 求得0≥x 就不是反函数的定义域）.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线x y =对称；若函数)(x f y =的定义域为A ，值域为C ，C b A a ∈∈,,则有a a f f b b f f ==--))((,))((11.)()(1b fa a fb -=⇔=.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(x f y =反函数不是)2(1x f y -=.［举例1］已知函数)(x f y =的反函数是)(1x f y -=，则函数)43(21+=-x f y 的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y 表示,x 然后将y x ,互换即得反函数的表达式.由)43(21+=-x f y 可得]4)2([31)2(432)43(1-=⇒=+⇒=+-y f x y f x y x f .所以函数)43(21+=-x f y 的反函数为]4)2([31-=x f y . [举例2]已知⎩⎨⎧<<--≥=02,)(log 0,2)(2x x x x f x ，若3)(1=-a f，则=a ＿＿＿＿. 分析：由3)(1=-a f 得)3(f a =，所以8=a .14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,>+=b a x b ax y 的单调性. [举例]已知函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞∈x 上是单调增函数，求实数a 的取值范围.分析：函数)0,(,>+=b a xb ax y 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0>x 时，函数的最小值是ab 2，当a b x =时等号成立.],0(a b x ∈时，函数递减；),[+∞∈ab x 时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞上递增，则11≤a，得1≥a .但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证. 任设),,1[,21+∞∈x x 且21x x <.)1)(()()(212121x x a x x x f x f --=-，由函数)(x f 是单调增函数，则0)()(21<-x f x f ，而021<-x x ，则0121>-x x a .所以211x x a >对于),,1[,21+∞∈x x 且21x x <恒成立，因1121<x x ，故1≥a . 需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数12)(2+-=ax x x f 在区间]3,1[-的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.⎩⎨⎧>+≤-=)1(22)1(610)(max a a a a x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=)1(610)31(1)1(22)(2min a a a a a a x f .16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.[举例1]已知关于x 的不等式5|3|≤+ax 的解集是]4,1[-，则实数a 的值为 .分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值4,1-是方程5|3|=+ax 的根.则⎩⎨⎧=+=+-5|34|5|3|a a 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21282或或a a ，知2-=a . ［举例2］解关于x 的不等式：)(0122R a ax ax ∈>++.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0=a 时，此不等式是恒成立的，则其解集为R .当0≠a 时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122=++ax ax ，根判别式a a 442-=∆.当0>∆，即1>a 或0<a 时，方程两根为aa a a x -±-=22,1；当0=∆，即1=a 时，方程有等根1-=x ；当0<∆，即10<<a 时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1>a 时不等式的解集为),(),(22+∞-+-----∞aa a a a a a a ；当1=a 时，不等式的解集为),1()1,(+∞---∞ ；当10<≤a 时，不等式的解集为R ；当0<a 时，不等式的解集为),(22aa a a a a a a ----+-.。