2014-2015年福建省福州市闽清高中等四校联考高二上学期数学期中试卷带答案(文科)

福建省闽清县第一中学2014-2015学年高二上学期第一次月考数学试题1．x ＋1与y －1的等差中项为10，则x ＋y 等于( ) A ．0 B ．10 C ．20 D ．不确定2．数列{n a }是等差数列，=+=++221030162,60a a a a a 则（ ） )(A 0 )(B 20 )(C 40 )(D 2103．如图，在一座20米高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰 角为060，塔底俯角045，那么这座塔的高度为（ ）米)(A )331(20+)(B )31(20+ )(C )26(10+ )(D )26(20+ 4．△ABC 中，若∠A ︰∠B ︰∠C=1︰2︰3，则a ︰b ︰c 等于（ ）)(A 1︰2︰3 )(B 3︰2︰1 )(C 2︰3︰1 )(D 1︰3︰25．△ABC 中，若B=ac b =2,60，则△ABC 一定是（ ）(A)锐角三角形 (B) 钝角三角形 （ C ）等腰三角形 （D ）等边三角形6．在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项之和为165，所有偶数项之和为150，则n 等于（ ）)(A 9 )(B 10 )(C 11 )(D 127. 已知等差数列｛a n ｝中，｜a 3｜=｜a 9｜，公差d<0，则使其前几项和S n 取得最大值的自然数n 是（ ） A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、不存在8．△ABC 中，若35,20==∆ABC S bc ，△ABC 的外接圆半径是3，则a 等于（ ） (A)5 (B) 43（C ）3 （D ）89．在数列{}n a 中，若对于任意的n ≥2,都有)(,1是非零常数q q a a n n =⋅-成立，则称在数列{}n a 是等积数列，那么下列描述正确的是（ ）(A) 22006a a = (B) 20072006a a =（C ）020072006>⋅a a （D ）20032006a a =10．在△ABC 中，角A 、B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定A 、8B 、9C 、10D 、1112.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且nn B A =3204++n n ，则使得 nnb a 为整数的正整数n 的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5二．填空题（每小题4分，共16分）13．在△ABC 中，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于14. 在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2n 1n n 1a a a 0(n 2)+--+=≥，则2n 1s 4n --=11在等差数列{a n }中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n ＝( ) 15. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________18（12分）已知a 、b 、c 是ABC S C B A ABC ∆∠∠∠∆是的对边，中,,的面积， 若a = 4, b = 5, 35S =, 求：C 边的长度。

2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．1282．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2 D．43．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.235．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣17．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=19．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6 D．9二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有人．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G 于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．2014-2015学年福建省泉州市南安一中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）某同学进入高二前，高一年的四次期中、期末测试的数学成绩的茎叶图如图所示，则该同学数学成绩的平均数是（）A．125 B．126 C．127 D．128【解答】解：由茎叶图得，该同学数学成绩的平均数是=125，故选：A．2．（5分）样本11、12、13、14、15的方差是（）A．13 B．10 C．2 D．4【解答】解：由题意得，样本的平均数x==13，所以S2=[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2] =2，故选：C．3．（5分）设命题p：函数y=cos2x的最小正周期是命题q：函数y=sinx的图象关于y轴对称，则下列判断正确的是（）A．p∨q为真B．p∧q为假C．P为真D．￢q为假【解答】解：对于P：周期为：T=π，是假命题，对于q：图象关于原点对称，是假命题，故选：B．4．（5分）已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．B．C．D．=0.08x+1.23【解答】解：法一：由回归直线的斜率的估计值为1.23，可排除D由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5），将x=4分别代入A、B、C，其值依次为8.92、9.92、5，排除A、B法二：因为回归直线方程一定过样本中心点，将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有C满足，故选：C．5．（5分）“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直，则4a2+a﹣3=0，即a=﹣1或a=3，故“直线a2x﹣y+6=0与直线4x﹣（a﹣3）y+9=0互相垂直”是“a=﹣1”的必要不充分条件，故选：B．6．（5分）下列命题是真命题的是（）A．∃x∈R使得sinxcosx=B．∃x∈（﹣∞，0）使得2x＞1C．∀x∈R恒有sinx＞cosx D．∀x∈（0，π）恒有x2＞x﹣1【解答】解：对于A，∵sinxcosx=，∴2sinxcosx=，即sin2x=＞1，∴x∈∅，A错误；对于B，当x∈（﹣∞，0）时，0＜2x＜1，∴B错误；对于C，当x∈[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z时，sinx≤cosx，∴C错误；对于D，∵x2﹣（x﹣1）=x2﹣x+1=+＞0，∴x2＞x﹣1恒成立，∴D正确．故选：D．7．（5分）设x，则sinx的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：x对应的所有结果构成的区间长度是，∵sinx＞∴0＜x＜∴满足sinx＜的x构成的区间长度是由几何概型概率公式得P=．故选：C．8．（5分）已知焦点在x轴上的椭圆离心率e=，它的半长轴长等于圆x2+y2﹣2x ﹣3=0的半径，则椭圆的标准方程是（）A．+=1 B．+=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：设椭圆的标准方程为，（a＞b＞0）．由圆x2+y2﹣2x﹣3=0可得（x﹣1）2+y2=4，半径R=2．∴a=2．∵离心率e==，∴c=1．∴b2=a2﹣c2=3．∴椭圆的标准方程是．故选：A．9．（5分）从分别写有0、1、2、3、4的五张卡片中取出一张，记下数字后放回，再从中取出一张卡片并记下其数字，则二次取出的卡片上数字之和恰为4的有（）A．5种 B．6种 C．7种 D．8种【解答】解：取出的两张卡片的数字之和恰好的等于4为：（4，0），（0，4），（2，2），（1，3），（3，1）共5个，故选：A．10．（5分）某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a、b，则双曲线﹣=1的离心率e的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，共有6×6=36种结果满足条件的事件是e=＞∴b＞a，符合b＞a的情况有：当a=1时，有b=3，4，5，6四种情况；当b=2时，有a=5，6两种情况，总共有6种情况．∴概率为=．故选：A．11．（5分）若抛物线的顶点在原点，焦点与双曲线﹣=1的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能是（）A．x2=4y B．y2=4x C．x2=﹣12y D．y2=﹣12x【解答】解：∵双曲线﹣=1的焦点为（0，3），（0，﹣3），当所求的抛物线的焦点为（0，3）时，抛物线方程为x2=12y，当所求的抛物线的焦点为（0，﹣3）时，抛物线方程为x2=﹣12y，结合选项可知，选项C正确，故选：C．12．（5分）椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，若AF2⊥BF2，则三角形△AF2B的面积是（）A．B．10 C．6 D．9【解答】解：椭圆：+=1中a=5，b=3，c=4，∵椭圆：+=1上的一点A关于原点的对称点为B，F2为它的右焦点，AF2⊥BF2，∴AO=4，设A（x，y），则x2+y2=16，∵+=1，∴|y|=，∴三角形△AF2B的面积是2×=9，故选：D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）用分层抽样的方法从某校的高中生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年抽取20人，高三年抽取10人，又已知高二年学生有300人，则该校高中生共有900人．【解答】解：高二抽取45﹣20﹣10=15人，由得x=900．故答案为：900．14．（4分）命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．【解答】解：命题“∀x∈R，x3﹣x2+1＞0”是全称命题，否定时将量词对任意的x∈R变为∃∈R，再将不等号＞变为≤即可．故答案为：∃x∈R，x3﹣x2+1≤0．15．（4分）先后抛掷硬币三次，则有且仅有二次正面朝上的概率是．【解答】解：先后抛掷硬币三次出现的所有的基本事件：（正、正、正）、（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）（反、反、正）、（正、反、反）、（反、正、反）、（反、反、反）共8种情况，则有且仅有二次正面朝上的事件有：（反、正、正）、（正、反、正）、（正、正、反）所以有且仅有二次正面朝上的概率P=，故答案为：．16．（4分）过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，当＜k时，椭圆的离心率e的取值范围是．【解答】解：过椭圆：+=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，F是椭圆的右焦点，BF⊥x轴于F点，则：B（），进一步利用：解得：k=，由于：，解得：，故答案为：．三．解答题：（本大题共6小题，满分74分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽取100个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如下频率分布表：（Ⅰ）补充完成频率分布表，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.9，40.1）的中点值是40.0）作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值（精确到0.1）．【解答】解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下：…（6分）（2）这批乒乓球直径的平均值约为：39.6×0.10+39.8×0.20+40.0×0.50+40.2×0.20=39.96≈40.00（mm）．…（12分）18．（12分）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（Ⅰ）求回归直线方程=•x+，其中=﹣20，=﹣；（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（Ⅰ）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入﹣成本）【解答】解：（I）∵=8.5，=80∴=﹣=80+20×8.5=250∴所求回归直线方程为：=﹣20x+250 …（6分）（II）设工厂获得的利润为L（x）元，则L（x）=（x﹣4）（﹣20x+250）=﹣20x2+330x﹣1000∴当x=8.25时L（x）最大361.25∴为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为8.25元…（12分）19．（12分）已知点F（1，0），直线L：x=﹣1，动点P到点F的距离等于它到直线L的距离；（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）是否存在过点N（4，2）的直线m，使得直线m被轨迹C截得的弦AB恰好被点N平分．若存在，求直线m的方程，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵点P到点F的距离等于它到直线l的距离，∴点P的轨迹C是以F为焦点、直线l：x=﹣1为准线的抛物线，其方程是：y2=4x；（Ⅱ）假设存在满足条件的直线m，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=8，y1+y2=4，当直线m的斜率不存在时不合题意，设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣4），联立方程组得k2x2﹣（8k2﹣4k+4）x+（2﹣4k2）=0，∴x1+x2==8，解得k=1，当k=1时，方程x2﹣8x﹣2=0满足△＞0，∴存在直线m，且所求的直线方程是x﹣y﹣2=0．20．（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上，若右焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为3；（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与椭圆相交于不同的两点M、N，且|MN=2|，求直线斜率k的值．【解答】解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：，右焦点F（C，0），∵右焦点F到直线x﹣y+=0的距离为3，∴，解得：C=∴所求的椭圆方程为：．（Ⅱ）由，得：（3k+1）x2+6kx=0，设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，x1x2=0，∵|MN|=2，∴，解得：k=．21．（12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．（1）从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n＜m+2的概率．【解答】解（1）从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1，4和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3，共6个．从袋中取出的球的编号之和不大于4的事件共有1，3和2，1两个．因此所求事件的概率P==．（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果（m，n）有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个．又满足条件n≥m+2的事件为：（1，3），（1，4），（2，4），共3个，所以满足条件n≥m+2的事件的概率为P1=．故满足条件n＜m+2的事件的概率为1﹣P1=1﹣=．22．（14分）已知抛物线G：x2=4y；（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x1＞x2＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G 于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的切线的斜率存在，设为k（k≠0），过点P（2，1）的切线方程为y﹣1=k（x﹣2），联立，得x2﹣4kx+4（2k﹣1）=0．由△=0，即16k2﹣16（2k﹣1）=0，解得k=1．∴所求的直线方程是y=x﹣1；（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），则直线BD的方程为y=﹣x+1．由，得x2﹣4kx﹣4=0．∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4．∴|AC|==4（1+k2）．同理：|BD|==．∵四边形ABCD的面积为32，∴|AC||BD|=32，即=32．解得：k=1或k=﹣1．∴直线AC的方程是：y=x+1．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：AB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°E-aaBE挖掘图形特征：x-a a-a运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。

福建省福州四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共55分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d3．（5分）若不等式kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，则k的取值范围是（）A．（0，4）B．0，+∞）4．（5分）在△ABC中，，则此三角形解的情况是（）A．一解或两解B．两解C．一解D．无解5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} 6．（5分）表示平面区域为（）A．B．C．D．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a2006=2S2005+6，a2007=2S2006+6，则数列{ a n }的公比为q为（）A．2B．3C．4D．58．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形9．（5分）已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．610．（5分）已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．C．D．11．（5分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）12．（5分）在和之间插入两个数，使这四个数成等比数列，则插入的两个数的乘积为．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，那么它的通项公式为a n=．15．（5分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（0，1）、B（4，2）、C（2，6），如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么的范围是．16．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．则a63，54为．三．解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．18．（10分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*（1）证明数列{a n﹣n}为等比数列（2）求数列{a n}的前n项和S n．19．（12分）角A、B、C分别是锐角△ABC的三边a、b、c所对的角，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求a的最小值．20．（12分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．21．（12分）已知（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，（1）解不等式．（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．22．（14分）在数列{a n}中，S n是数列{a n}前n项和，a1=1，当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n（I）求证：数列是等差数列；（II）设求数列{b n}的前n项和T n；（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．福建省福州四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共55分）1．（5分）△ABC中，若a=1，c=2，B=60°，则△ABC的面积为（）A．B．C．1D．考点：三角形的面积公式．专题：解三角形．分析：利用三角形面积公式S△ABC=即可得出．解答：解：S△ABC===．故选B．点评：本题考查了三角形面积公式S△ABC=，属于基础题．2．（5分）下列选项中正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，c＜d，则＞C．若ab＞0，a＞b，则D．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项A、B、C，利用不等式的性质可得C正确．解答：解：当c=0时，A、B不成立．对于a＞b，由于ab＞0，故有，即，故C 正确．对于a＞b，c＞d，当a=2，b=1，c=10，d=1，显然有a﹣c＜b﹣d，故D不正确．故选C．点评：本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于基础题．3．（5分）若不等式kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，则k的取值范围是（）A．（0，4）B．0，+∞）考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：由不等式kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，对系数k分类讨论，当k=0时恒成立，当k≠0时，利用二次函数的性质，列出关于k的不等式，求解即可得到k的取值范围．解答：解：kx2﹣kx+1＞0对任意x∈R都成立，①当k=0时，1＞0对任意x∈R恒成立，∴k=0符合题意；②当k≠0时，则有，∴，∴0＜k＜4，∴实数m的取值范围为0＜k＜4．综合①②可得，实数k的取值范围为0≤m＜4．故选B．点评：本题考查了函数恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．4．（5分）在△ABC中，，则此三角形解的情况是（）A．一解或两解B．两解C．一解D．无解考点：正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinB=1，故有B=，从而得出结论．解答：解：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，即，解得sinB=1，∴B=，故此三角形解的情况是：一解，故选C．点评：本题主要考查余弦定理的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．5．（5分）不等式的解集是（）A．{x|x≤﹣1} B．{x|x＜﹣1或x＞1}C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x＜﹣1或0＜x＜1}考点：一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：把不等式的右边的x移项到左边，通分后得到x﹣1，x+1与x三者的乘积大于0，由标根法在数轴上即可得到x的范围，即为原不等式的解集．解答：解：不等式＞x可化为：＜0即x（x﹣1）（x+1）＜0，利用标根法（如图所示），可知x＜﹣1或0＜x＜1．所以原不等式的解集是{x|x＜﹣1或0＜x＜1}故选D点评：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的思想，是一道基础题．6．（5分）表示平面区域为（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：将不等式进行转化，可得到2组不等式组，进行线性规划，可得答案．解答：解：可转化为或，作出图象，如下图所示：故选D．点评：本题考查二元一次不等式组的平面区域问题，是基础题．7．（5分）设等比数列{a n}的前n项为S n，若a2006=2S2005+6，a2007=2S2006+6，则数列{ a n }的公比为q为（）A．2B．3C．4D．5考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：把题设等式相减，整理可求得a2007﹣a2006=2a2006，进而整理求得答案可得．解答：解：a2006=2S2005+6，①a2007=2S2006+6 ②②﹣①a2007﹣a2006=2（S2006﹣S2005）a2007﹣a2006=2a2006a2007=3a2006故=3即数列的公比q=3故选B点评：本题主要考查了等比数列的性质．考查了演绎推理和分析问题的能力，基本的计算能力．8．（5分）在△ABC中，已知2sinAcosB=sinC，那么△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形考点：两角和与差的正弦函数．分析：根据三角形三个内角和为180°，把角C变化为A+B，用两角和的正弦公式展开移项合并，公式逆用，得sin（B﹣A）=0，因为角是三角形的内角，所以两角相等，得到三角形是等腰三角形．解答：解：由2sinAcosB=sinC知2sinAcosB=sin（A+B），∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB．∴cosAsinB﹣sinAcosB=0．∴sin（B﹣A）=0，∵A和B是三角形的内角，∴B=A．故选B点评：在三角形内会有一大部分题目出现，应用时要抓住三角形内角和是180°，就有一部分题目用诱导公式变形，对于题目中正用、逆用两角和的正弦和余弦公式，必须在复杂的式子中学会辨认公式应用公式．9．（5分）已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是，且α=a+，β=b+，α+β的最小值是（）A．3B．4C．5D．6考点：基本不等式；等差数列的通项公式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用等差中项的意义可得a+b=1，再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．解答：解：∵a，b的等差中项是，∴a+b==1，又a＞0，b＞0．∴α+β==1+（a+b）=3+=5，当且仅当时取等号．故选C．点评：熟练掌握差中项的意义、“乘1法”和基本不等式是解题的关键．10．（5分）已知锐角三角形的边长分别是2，3，x，则x的取值范围是（）A．1＜x＜5 B．C．D．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：根据三角形为锐角三角形，得到三角形的三个角都为锐角，得到三锐角的余弦值也为正值，分别设出3和x所对的角为α和β，利用余弦定理表示出两角的余弦，因为α和β都为锐角，得到其值大于0，则分别令余弦值即可列出关于x的两个不等式，根据三角形的边长大于0，转化为关于x的两个一元二次不等式，分别求出两不等式的解集，取两解集的交集即为x的取值范围．解答：解：∵三角形为锐角三角形，∴三角形的三个内角都为锐角，则设边长为3所对的锐角为α，根据余弦定理得：cosα=＞0，即x2＞5，解得x＞或x＜﹣（舍去）；设边长为x所对的锐角为β，根据余弦定理得：cosβ=＞0，即x2＜13，解得0＜x＜，则x的取值范围是＜x＜．故选B点评：此题考查了余弦定理，熟练运用余弦定理是解本题的关键．11．（5分）已知等差数列{a n}中，有+1＜0，且该数列的前n项和S n有最大值，则使得S n＞0成立的n的最大值为（）A．11 B．19 C．20 D．21考点：等差数列的前n项和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得＜0，公差d＜0，进而可得S19＞0，S20＜0，可得答案．解答：解：由+1＜0可得＜0又∵数列的前n项和S n有最大值，∴可得数列的公差d＜0，∴a10＞0，a11+a10＜0，a11＜0，∴a1+a19=2a10＞0，a1+a20=a11+a10＜0．∴S19＞0，S20＜0∴使得S n＞0的n的最大值n=19，故选B点评：本题考查等差数列的性质在求解和的最值中应用，属基础题．二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）12．（5分）在和之间插入两个数，使这四个数成等比数列，则插入的两个数的乘积为36．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：先把所插入的数设出，然后根据等比数列的性质即可求解．解答：解：设插入的两个数分别为a，b则由题意可得，，a，b，成等比数列则由等比数列的性质可得，ab=×=36．故答案为：36．点评：本题主要考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题．13．（5分）已知x，y∈R+，且x+4y=1，则x•y的最大值为．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：变形为x与4y的乘积，利用基本不等式求最大值解答：解：，当且仅当x=4y=时取等号．故应填．点评：考查利用基本不等式求最值，此为和定积最大型．14．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，那么它的通项公式为a n=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：由题意可得，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1及a1=S1进行求解即可．解答：解：由题意可得，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+n+1﹣=2n而a1=S1=3不适合上式故答案为：点评：本题主要考查由递推公式a n=S n﹣S n﹣1及a1=S1进行求推导数列的通项公式，解题时要注意不要漏掉对n=1的检验是否适合通项15．（5分）在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A（0，1）、B（4，2）、C（2，6），如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么的范围是．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：画出△ABC围成的区域，分析目标函数的几何意义，利用角点法，求出目标函数的最值，可得目标函数的范围．解答：解：表示△ABC围成的区域内动点P（x，y）与点（﹣1，3）联线的斜率，如下图所示：由图可知当P与A重合时，取最小值，此时=﹣2当P与C重合时，取最小值，此时=1故的范围是故答案为：点评：本题考查的知识点是简单线性规划，其中分析出目标函数的几何意义，是解答的关键．16．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．则a63，54为2007．考点：数列的应用．专题：规律型．分析：由题意可知，a63，54=（1+2+3+…+62）+54==2007．解答：解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三地有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，∴a63，54=（1+2+3+…+62）+54==2007．答案：2007．点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．三．解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）如图，货轮在海上以50浬/时的速度沿方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）为155°的方向航行．为了确定船位，在B点处观测到灯塔A的方位角为125°．半小时后，货轮到达C点处，观测到灯塔A的方位角为80°．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最简根号）．考点：解三角形的实际应用．专题：计算题；应用题．分析：在△ABC中利用三角形内角和求得∠BCA和∠BAC，则BC可求得，最后利用正弦定理求得AC．解答：解：在△ABC中，∠ABC=155°﹣125°=30°，∠BCA=180°﹣155°+80°=105°，∠BAC=180°﹣30°﹣105°=45°，BC=×50=25，由正弦定理，得∴AC==（浬）答：船与灯塔间的距离为浬．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．解题的关键是建立三角函数的数学模型，运用三角函数的基础知识来解决实际问题．18．（10分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*（1）证明数列{a n﹣n}为等比数列（2）求数列{a n}的前n项和S n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和；等比关系的确定．专题：计算题．分析：（1）由a n+1=4a n﹣3n+1可得a n+1﹣（n+1）=4a n﹣3n+1﹣（n+1）=4a n﹣4n=4（a n﹣n），从而可证（2）由（1）可求a n，利用分组求和及等差数列与等比数列的求和公式可求S n解答：解：（1）∵a n+1=4a n﹣3n+1，n∈N*，∴a n+1﹣（n+1）=4a n﹣3n+1﹣（n+1），4a n﹣4n=4（a n﹣n）．∴{a n﹣n}为首项a1﹣1=1，公比q=4的等比数列；（2）∵a n﹣n=4n﹣1，∴a n=n+4n﹣1，S n=1+2+…+n+（1+4+…+4n﹣1）==．点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造证明等比数列，等比数列的通项公式的求解及分组求和方法的应用，等差数列及等比数列的求和公式的应用．19．（12分）角A、B、C分别是锐角△ABC的三边a、b、c所对的角，．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积，求a的最小值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理可求得sinA的值，从而可得角A的大小；（Ⅱ）由S=bcsinA=，可求得bc，再利用余弦定理即可求得a的最小值．解答：解：（Ⅰ）由正弦定理可知，a=2RsinA，c=2RsinC，…（2分）得2sinA•sinC=sinC且sinC≠0…（4分）∴sinA=且A为锐角，故有A=60°…（6分）（Ⅱ）由S=bc•sinA=得bc=4…（8分）由余弦定理知a2=b2+c2﹣2bc•cosA=b2+c2﹣bc…（10分）≥2bc﹣bc=bc=4，当且仅当b=c=2时，a有最小值2…（12分）点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查基本不等式的应用，属于中档题．20．（12分）美国华尔街的次贷危机引起的金融风暴席卷全球，低迷的市场造成产品销售越来越难，为此某厂家举行大型的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足，已知生产该产品还需投入成本10+2P万元（不含促销费用），每件产品的销售价格定为元．（Ⅰ）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数（利润=总售价﹣成本﹣促销费）；（Ⅱ）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据利润=总售价﹣成本﹣促销费，即可建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立即可．解答：解：（1）根据利润=总售价﹣成本﹣促销费，可得y=P（）﹣（10+2P）﹣x∵，∴，即，（x≥0）；（2）∵x≥0，∴x+1≥1，∴≤17﹣4=13，当且仅当，即x=1万元时，y取得最大值13万元∴促销费用投入1万元时，厂家的利润最大点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．21．（12分）已知（x﹣1）＞0，其中0＜m＜2，（1）解不等式．（2）若x＞1时，不等式恒成立，求实数m的范围．考点：函数恒成立问题．专题：计算题；综合题．分析：（1）由于不等式的解集与方程的根有关，而0＜m＜2，从而需对m进行讨论：当m﹣1=0时，为一次不等式；当m﹣1＞0时，解集在两根之外；当m﹣1＜0时，解集在两根之间．（2）x＞1时，原命题化为（m﹣1）x+1＞0恒成立，分离参数可解．解答：解：（1）（x﹣1）＞0当m﹣1=0时，不等式为（x﹣1）＞0即{x|x＞1}．当m﹣1＞0时，不等式解集为当m﹣1＜0时，不等式解集为综上得：当m=1时解集为{x|x＞1}，当0＜m＜1时解集为当1＜m＜2时，不等式解集为（2）x＞1时，原命题化为（m﹣1）x+1＞0恒成立，∴（m﹣1）＞，∴m≥1点评：本题主要考查不等式的解法，注意解集与对应方程根之间的关系，对于恒成立问题，采用分离参数法．22．（14分）在数列{a n}中，S n是数列{a n}前n项和，a1=1，当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n（I）求证：数列是等差数列；（II）设求数列{b n}的前n项和T n；（III）是否存在自然数m，使得对任意自然数n∈N*，都有成立？若存在，求出m 的最大值；若不存在，请说明理由．考点：数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n=S n﹣1﹣S n，利用分离常数法，可证得数列是等差数列；（II）由（I）中数列的通项公式，求出S n的通项公式，进而可得数列{b n}的通项公式，利用裂项相消法，可得数列{b n}的前n项和T n；（III）由（II）中T n的表达式，可得到T n为递增数列，故对任意自然数n∈N*，都有成立，即，由此构造m的不等式，解答后可得m的范围进而得到最大值．解答：证明：（I）∵当n≥2时，2S n S n﹣1=﹣a n=S n﹣1﹣S n两边同除S n S n﹣1得：2=﹣∵a1=1，∴=1即{}是以1为首项，以2为公差的等差数列（II）由（I）得=2n﹣1即S n=∴==（﹣）∴T n=b1+b2+…+b n==（1﹣）=（III）令T（x）=，则T′（x）=则T（x）在1，+∞）上是增函数，故当n=1时，T n取最小值若对任意自然数n∈N*，都有成立只要即解得m＜，由m∈N*，∴m的最大值为9点评：本题考查的知识点是数列与不等式的综合，等差关系的确定，数列求和，熟练掌握分离常数法，裂项相消法等处理数列问题的常用方法，是解答的关键．。

福建省闽清高级中学等四校2014-2015高一上学期期中联考数学试题(考试时间2014年11月12日上午)满分：150分 考试时间：120分钟 命题者：高二集备组一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知集合{}{}=⋂=-=B A B A 则,2,1,0,1,0,1 （ ）A 、B 、C 、D 、 2、 函数的定义域为 ( ) A 、 B 、 C 、 D 、 3、若，则 （ ）A 、2B 、3C 、4D 、5 4、下列函数与是同一函数的是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、)1,0(1log ≠>=a a a y xa且5、下列函数中,在区间上为增函数的是( ). A 、 B 、 C 、 D 、6、设{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M ，给出下列四个图形，其中能表示从集合到集合的函数关系的是 （ ） A 、 B、高一数学—1— （共4页）7、三个数，，，之间的大小关系为（ ）A 、B 、C 、D 、oo8、函数的零点所在的大致区间 （ ） A 、 B 、 C 、与 D 、9、已知函数在上是单调函数，则的取值范围是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、 10、已知函数，则其图像（ ）A.关于轴对称B. 关于轴对称C.关于原点对称D. 关于轴对称 11、函数有两个零点，则 （ ）A 、B 、C 、D 、12、定义在区间上的奇函数为增函数，偶函数在区间上的图像与的图像重合，设，给出下列等式： （1）)()()()(b g a g a f b f -->-- （2）)()()()(b g a g a f b f --<-- （3）)()()()(a g b g b f a f -->-- （4）)()()()(a g b g b f a f --<-- 其中成立的是 （ ）A 、（1）、（4）B 、（2）、（3）C 、（1）（3）D 、（2）（4） 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 13、已知幂函数的图像经过点（2，）则 14、已知函数（其中的图像恒过定点15、已知全集{}{}{}7,4,4,1,4,22=+=+-=A C a A a a U U ，则16、已知函数为奇函数，且当时，则当时，的解析式为高一数学 —2— （共4页）三、解答题(本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（本题满分12分）已知集合, 集合，全集.求所有子集与B C B C B A B A U U ,,⋂⋃18、（本题满分12分）（1）1213132125()83274--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭(2) 02log 3)1.0(74lg 25lg 27log 7-+-++ .19、（本题满分12分）已知函数，且 （1） 求；（2） 判断的奇偶性；（3） 试判断在上的单调性，并证明。