绝密★启用前2019-2020学年江苏省扬州中学高二下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．化简：25A =（）A ．10B ．20C ．30D ．40答案：B直接根据排列数的性质求解即可. 解：由题意，255420A =⨯=.故选：B. 点评：本题考查排列数的运算，属于基础题. 2．下列导数运算正确的是（） A ．211'x x⎛⎫=⎪⎝⎭ B ．(sin )cos x 'x =-C ．(3)'3xx= D ．1(ln )x '=x答案：D根据导数的运算法则和特殊函数的导数，逐一判断. 解：∵根据函数的求导公式可得，∵'211x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴A 错；∵'(sin )cos x x =，∴B 错；∵'(3)3ln 3x x=，C 错；D 正确. 点评：本题考查了导数的运算法则以及特殊函数的导数. 3．（a+b ）5的展开式中a 3b 2的系数为（） A ．20 B ．10 C ．5 D ．1答案：B直接利用二项展开式的通项公式求得展开式中a 3b 2的系数.解：解：（a+b ）5的展开式的通项公式为：T r+15rC =•a5﹣r•b r；令5﹣r ＝3可得r ＝2；∴（a+b ）5的展开式中a 3b 2的系数为：25C =10.故选：B. 点评：本题考查二项式展开式的通项公式，考查求特定项展开项的系数，属于基础题 4．已知()310P AB =，()35P A =，则()|P B A 等于（）A ．950 B ．12C ．910D ．14答案：B利用条件概率公式计算可得结果. 解：由条件概率公式得()()()3110|325P A P AB P B A ===. 故选：B. 点评：本题考查利用条件概率公式计算概率值，考查计算能力，属于基础题. 5．在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，若()010.4P ξ<<=，则()02P ξ<<=（）A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.2答案：B由正态分布的图像和性质得()()02201P P ξξ<<=<<得解. 解：由正态分布的图像和性质得()()02201=20.4=0.8P P ξξ<<=<<⨯. 故选B 点评：本题主要考查正态分布的图像和性质，考查正态分布指定区间的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 6．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512020+a 能被13整除，则a ＝（）A ．0B ．1C ．11D ．12答案：D由51＝52﹣1，然后将512020展开，求其余数，然后令余数与a 的和能被13整除即可. 解：解：512020＝（52﹣1）2020＝（1﹣52）20200122202020202020202020202020525252C C C C =-+-+.因为52能被13整除，所以上式从第二项起，每一项都可以被13整除，所以上式被13除，余数为020201C =，所以要使512020+a 能被13整除，因为a ∈Z ，且0≤a ＜13，只需a+1＝13即可， 故a ＝12. 故选：D. 点评：本题考查二项式定理的应用，用二项式定理解决整除问题，掌握二项展开式通项公式是解题关键． 7．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的值的范围是：3.1415926＜π＜3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字有（） A ．2280 B ．2120 C ．1440 D ．720答案：A整体上用间接法求解，先算出1，4，1，5，9，2，6这7位数字随机排列的种数，注意里面有两个1，多了22A 倍，要除去，再减去小于3.14的种数，小于3.14的数只有小数点前两位为11或12，其他全排列. 解：由于1，4，1，5，9，2，6这7位数字中有2个相同的数字1，故进行随机排列，可以得到的不同情况有7722A A ，而只有小数点前两位为11或12时，排列后得到的数字不大于3.14，故小于3.14的不同情况有552A ，故得到的数字大于3.14的不同情况有75752222280A A A -=.故选：A 点评：本题主要考查数字的排列问题，还考查了理解辨析的能力，属于中档题. 8．若关于x 的不等式1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（）A ．9 B ．8C ．7D ．6答案：A根据题意可将1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3x x k ≥，令()ln xf x x=，利用导数，判断其单调性即可得到实数k 的最小值． 解：因为不等式有正整数解，所以0x >，于是1127k xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭转化为ln 3ln 3k xx≥，1x =显然不是不等式的解，当1x >时，ln 0x >，所以ln 3ln 3k x x ≥可变形为ln 3ln 3x x k≥． 令()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=， ∴函数()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，而23e <<，所以 当*x ∈N 时，()(){}max ln 3max 2,33f f f ==，故ln 33ln 33k≥，解得9k ≥．故选：A ． 点评：本题主要考查不等式能成立问题的解法，涉及到对数函数的单调性的应用，构造函数法的应用，导数的应用等，意在考查学生的转化能力，属于中档题． 二、多选题9．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是（）A ．-3是()f x 的一个极小值点；B ．-2和-1都是()f x 的极大值点；C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞；D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-． 答案：ACD由导函数与单调性、极值的关系判断． 解：当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，∴3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-． 故选：ACD. 点评：本题考查导数与函数单调性、极值的关系，一定要注意极值点两侧导数的符号相反．10．将高二（1）班的四个同学分到语文、数学、英语三个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一名同学的分配方法有多少种？下列结论正确的有（） A ．11113213C C C C B ．2343C A C ．122342C C A D ．18答案：BC根据题意，有2种解法，解法1，先将4人分三组，再将分好的三组全排列，由分布计数原理计算可得B 正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，由分布计数原理计算可得C 正确；即可得答案； 解：解：根据题意，解法1，先将4人三组，有C 42种分组方法，再将分好的三组全排列，对应三个兴趣小组，有A 33种情况，则有C 42A 33种分配方法，B 正确；解法2，在3个小组中选出1个，安排2个同学，有C 31C 42种情况，再将剩下的2人全排列，对应剩下的2个兴趣小组，有A 22种情况，则有C 31C 42A 22种分配方法，C 正确； 故选：BC. 点评：本题考查排列组合的应用，分组分配问题，可以先分组后分配，也可以直接分配，解题的关键是分析思路，做到不重不漏，属于基础题.11．已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10答案：ABC由题意利用二项式系数的性质,求得n 的值即可. 解：∵已知()na b +的展开式中第5项的二项式系数4n C 最大,则7n =或n ＝8或n ＝9故选：ABC. 点评：本题主要考查了根据二项式系数最大的项求参数的问题,当n 为偶数时,最大的二项式系数为2n nC ,当n 为奇数时,最大的二项式系数为12n nC-与12n nC+.属于基础题. 12．关于函数()sin xf x e a x =+，(),x π∈-+∞，下列说法正确的是（） A ．当1a =时，()f x 在()()0,0f 处的切线方程为210x y -+= B ．当1a =时，()f x 存在唯一极小值点0x 且()010f x -<< C ．对任意0a >，()f x 在(),π-+∞上均存在零点 D ．存在0a <，()f x 在(),π-+∞上有且只有一个零点 答案：ABD直接法，逐一验证选项，选项A ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程，选项B 通过导数求出函数极值并判断极值范围，选项C 、D ，通过构造函数，将零点问题转化判断函数()sin xe F x a=-与直线y a =的交点问题. 解：选项A ，当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，所以()01f =，故切点为()0,1，()xf x e cosx '=+，所以切线斜率()02k f ='=，故直线方程为：()120y x -=-，即切线方程为：210x y -+=，选项A 符合题意； 选项B ，当1a =时，()sin xf x e x =+，(),x π∈-+∞，()xf x e cosx '=+，()sin 0x f x e x -"=>恒成立，所以()f x '单调递增，又3433cos 044f e πππ-⎛⎫⎛⎫'-=+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，202f π⎛⎫'-=> ⎪⎝⎭， 故()f x 存在唯一极值点，不妨设03,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 则()00f x '=，即000xe cosx +=，()()000000sin sin cos 1,04x f x e x x x x π⎛⎫=+=-=-∈- ⎪⎝⎭，选项B 符合题意；对于选项()sin xf x e a x =+，(),x π∈-+∞，令()0f x =，即sin 0x e a x +=，当x k π=，1k >-且k Z ∈显然没有零点，故x k π≠，1k >-且k Z ∈，所以sin x e a x =-，则令()sin xe F x x =-，()()2cos sin sin x e x x F x x-'=， 令()0F x '=，解得34x k ππ=-+，1k >-，k Z ∈， 所以3,4x k k ππππ⎛⎫∈-+-+ ⎪⎝⎭单调递减，3,4x k k πππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭单调递增，有极小值334434k f k πππππ-+-⎛⎫-+=≥ ⎪⎝⎭， 1,4x k k πππ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭单调递增，1,4x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭单调单调递减，有极大值114414k f k πππππ+⎛⎫+=≤ ⎪⎝⎭， 故选项C ，任意0a >均有零点，不符合，选项D ， 存在0a <，有且只有唯一零点，此时14a e π=， 故选：ABD. 点评：本题考查函数的切线、极值、零点问题，及参数a 的处理，数学运算，逻辑推理等学科素养的体现，属于难题. 三、填空题13．已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，若他们3人向目标各发1枪，则目标没有被击中的概率为___________. 答案：0.009由相互独立事件的概率计算公式，三人项目标各发枪一次，目标没有被击中的概率为：(10.7)(10.8)(10.85)0.30.20.150.009P =---=⨯⨯= 14．已知函数()2f x x =，则()011x f x f limx→+-=（）_____.答案：2先求出()f x '，结合导数的定义，即可求出()01(1)x f x f lim x→+-的值.解：解：∵()2f x x '=，∴()()01(1)12x f x f lim f x→+-'==，故答案为：2. 点评：本题考查了导数的定义，考查了导数的计算，本题的关键是求出函数的导数. 15．设随机变量ξ的概率分布列为，，则.答案：∵所有事件发生的概率之和为1，即P （ξ=0）+P （ξ=1）+P （ξ=2）+P （ξ=3）=1，∴，∴c=，∴P （ξ=k ）=，∴P （ξ=2）=．故答案为．16．若对任意x ＞0，恒有()112axa e x lnx x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，则实数a 的取值范围为_____. 答案：2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭由题意可得()()22ln 11axaxeex lnx +≥+，构造函数()()1ln ,0f t t t t =+>，求得导数和单调性，原题转化为()()2axf ef x ≥，结合单调性转化后分离参数，二次构造函数后转化为求解函数的最值，结合不等式恒成立思想可得所求范围. 解：解：由不等式()112axa e x lnx x ⎛⎫+≥+⎪⎝⎭，可得()()22ln 11ax ax e e x lnx +≥+， 设()()1ln ,0f t t t t =+>，则()1ln t f t t t+'=+， 设()22,11(1)()t t h t t x tx f h =''-=-=， 当0＜t ＜1时，()0h t '<；当t ＞1时，()0h t '>， 故()f t '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因此()()120f t f ''≥=>，因此()f t 在()0,∞+上单调递增，由()()2axf e f x ≥得e ax ≥x 2，即2lnx a x ≥，设()2lnx g x x =，()222lnx g x x -'=， 当x ＞e 时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当0＜x ＜e 时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 从而()g x 的最大值为()2g e e=，故2a e ≥.故答案为:2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.点评：本题考查了不等式恒成立问题，考查了函数最值的求解.本题的难点是构造函数，通过导数求函数的最值.运用导数求最值时，通常求出定义域、导数后，根据导数为零的解，确定函数的单调性，从而确定函数的最值. 四、解答题17．有5名男生，4名女生排成一排.（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？ （2）若4名女生互不相邻，有多少种不同的排法？ 答案：（1）504 （2）43200（1）从9人中取3人排除一列，用排列数表示即可（2）可用插空法求解，先排5个男生，再把4个女生插入空中，即得解 解：（1）由题意，有5名男生，4名女生排成一排，共9人从中选出3人排成一排，共有39504A =种排法；（2）可用插空法求解，先排5名男生有55A 种方法， 5个男生可形成6个空，将4个女生插入空中，有46A 种方法 故共有545643200A A =种方法 点评：本题考查了排列数的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题. 18．已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2﹣3x 在x ＝﹣1和x ＝3处取得极值. （1）求a ，b 的值（2）求f （x ）在[﹣4，4]内的最值. 答案：（1）a 13=，b ＝﹣1（2）f （x ）min ＝763-，f （x ）max ＝53（1）先对函数求导，由题意可得'()f x ＝3ax 2+2bx ﹣3＝0的两个根为﹣1和3，结合方程的根与系数关系可求， （2）由（1）可求'()f x ，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最值.解： 解：（1）'()f x ＝3ax 2+2bx ﹣3，由题意可得'()f x ＝3ax 2+2bx ﹣3＝0的两个根为﹣1和3，则2133113b a a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解可得a 13=，b ＝-1， （2）由（1）)'(1)3)(f xx x +＝(﹣， 易得f （x ）在∞(-,-1)，(3,)+∞单调递增，在(1,3)-上单调递减，又f （﹣4）763=-，f （﹣1）53=，f （3）＝﹣9，f （4）203=-， 所以f （x ）min ＝f （﹣4）763=-，f （x ）max ＝f （﹣1）53=.点评：本题考查利用极值求函数的参数，以及利用导数求函数的最值问题，属于中档题19．某次数学知识比赛中共有6个不同的题目，每位同学从中随机抽取3个题目进行作答，已知这6个题目中，甲只能正确作答其中的4个，而乙正确作答每个题目的概率均为23，且甲、乙两位同学对每个题目的作答都是相互独立、互不影响的. （1）求乙同学答对2个题目的概率； （2）若甲、乙两位同学答对题目个数分别是m ，n ，分别求出甲、乙两位同学答对题目个数m ，n 的概率分布和数学期望. 答案：（1）49（2）详见解析 （1）根据独立重复事件的概率公式直接计算概率即可；（2）由题可知，随机变量m 服从超几何分布，所有可能取值为1，2，3；随机变量n 服从二项分布，所有可能取值为0，1，2，3；然后分别根据超几何分布、二项分布求概率的方式逐一求出每个m 、n 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望.解：（1）由题意知乙同学答对题目个数n ～B （3，23）， 乙同学答对2个题目的概率为P 2213214()()339C =⋅⋅=. （2）甲同学答对题目个数m 的所有可能取值1，2，3，P （m ＝1）12423615C C C ==，P （m ＝2）21423635C C C ==，P （m ＝3）343615C C ==. ∴m 的分布列为数学期望E （m ）1311232555=⨯+⨯+⨯=. 乙同学答对题目个数n ～B （3，23），n 的所有可能取值为0，1，2，3， P （n ＝0）0033211()()3327C =⋅⋅=，P （n ＝1）1123212()()339C =⋅⋅=， P （n ＝2）49=，P （n ＝3）33328()327C =⋅=. ∴n 的分布列为:数学期望E （n ）124801232279927=⨯+⨯+⨯+⨯=. 点评： 本题主要考查了n 次独立重复试验，二项分布，离散型随机变量的分布列，期望，属于中档题.20．已知()(2)n f x x =+，n ∈N.（1）设f(x)＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，①求a 0+a 1+a 2+…+a n ；②若在a 0，a 1，a 2，…，a n 中，唯一的最大的数是a 4，试求n 的值；（2）设f(x)＝b 0+b 1(x+1)+b 2(x+1)2+…+b n (x+1)n ，求111nr r b r =+∑. 答案：（1）①3n ；②n ＝12或13；（2）11n +(2n+1﹣2﹣n) （1）①可令x ＝1，代入计算可得所求和；②可得f(x)＝(x+2)n ＝(2+x)n 的通项公式，a r 最大即为a r ≥a r ﹣1，且a r ≥a r+1，化简计算，结合不等式的解，可得所求值；（2）由f(x)＝[1+(x+1)]n ，可得b r ＝C r n ，r ＝0，1，…，n ，推得111111r r n n C C r n ++=++，再由二项式定理，计算可得所求和.解：解：（1）①由(x+2)n ＝a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，可令x ＝1，可得3n ＝a 0+a 1+a 2+…+a n ，即a 0+a 1+a 2+…+a n ＝3n ；②f(x)＝(x+2)n ＝(2+x)n ，可得a r r n C =2n ﹣r x r ，r ＝0，1，…，n ，若在a 0，a 1，a 2，…，a n 中，a r 最大，可得11112222r n rr n r n n r n r r n r n n C C C C ---+-+--⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩，即为()()()()()()211211n n r n r r n r n n r n r r n r ⎧≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⎪-+--⎩！！！！！！！！！！！！， 化为3132n r n r ≥-⎧⎨≤+⎩，由于r ＝4时为a 4唯一的最大值， 可得n ＝12，13；（2）由f(x)＝b 0+b 1(x+1)+b 2(x+1)2+…+b n (x+1)n ，且f （x ）＝[1+(x+1)]n ，可得b r ＝C rn ，r ＝0，1，…，n ，则12111111231n n r n n n r b C C C r n ==+++++∑， 由1111r n C r r =++•()11n r n r n =⋅-+！！！•()()()111111r n n C r n r n +++=+-+！！！， 则11111n r r b r n ==++∑(C 231111n n n n C C +++++++)11n =+(2n+1﹣2﹣n). 点评：本题考查二项式定理，考查赋值法求系数和，考查组合数的性质．解题关键是掌握二项式展开式通项公式，在展开式中第k 项系数为k a ，则由11k k kk a a a a -+≥⎧⎨≥⎩可得系数最大项的项数． 21．已知函数f （x ）＝x 2﹣x+alnx （a ＜0），且f （x ）的最小值为0.（1）求实数a 的值；（2）若直线y ＝b 与函数f （x ）图象交于A ，B 两点，A （x 1，f （x 1）），B （x 2，f （x 2）），且x 1＜x 2，A ，B 两点的中点M 的横坐标为x 0，证明：x 0＞1.答案：（1）a ＝﹣1（2）证明见解析；(1)先对f(x)求导，然后由()f x '的正负确定f(x)的单调性，求出f(x)的最小值，再根据f(x)的最小值为0求出a 的值；(2)由(1)得a ＝﹣1，设f(x 1)＝f(x 2)＝b ，得到0＜x 1＜1＜x 2，再设h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x ＜1)，然后判断h(x)的单调性，然后结合条件证明x 0＞1成立即可.解： 解：(1)()2'221a x x a f x x x x -+=-+=(x ＞0).∵a ＜0，∴1﹣8a ＞0，令()f x'＝0，得1x =2x =且x 1＜0，x 2＞0， 在14∞⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭上()f x '＞0，()f x 递增；在104⎛+⎝⎭，上()f x '＜0，()f x 递减， ∴函数f(x)在14x +=时，取最小值0， 又f(1)＝0，∴114=，解得a ＝﹣1.(2)证明：由(1)得a ＝﹣1，函数f(x)＝x 2﹣x ﹣lnx ，设f(x 1)＝f(x 2)＝b(b ＞0)，则0＜x 1＜1＜x 2，设h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x ＜1)，则h(x)＝x 2﹣x ﹣lnx ﹣(2﹣x)2+(2﹣x)+ln(2﹣x)＝2x ﹣2﹣lnx+ln(2﹣x)， ()()'2112222202222h x x x x x x x =--=-≤-=--+-⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴h(x)为减函数，∴h(x 1)＞h(1)＝0，即h(x 1)＝f(x 1)﹣f(2﹣x 1)＞0，∴f(2﹣x 1)＜f(x 1)，即f(2﹣x 1)＜f(x 2)，又x 1＜1，∴2﹣x 1＞1，又当x ＞1时，f(x)为增函数，∴2﹣x 1＜x 2，∴x 1+x 2＞2，∴x 0＞1.点评：本题考查用导数研究函数的最值，用导数研究函数零点与方程根的问题．首先根据函数的单调性确定0＜x 1＜1＜x 2，然后引入函数h(x)＝f(x)﹣f(2﹣x)(0＜x ＜1)，通过()h x 的单调性得出结论．22．已知函数f(x)＝lnx ﹣x 2+ax ，g(x)＝e x ﹣e ，其中a ＞0.(1)若a ＝1，证明：f(x)≤0；(2)用max{m ，n}表示m 和n 中的较大值，设函数h(x)＝max{f(x)，g(x)}，讨论函数h(x)在(0，+∞)上的零点的个数.答案：(1)证明见解析；(2)当0＜a ≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点；当a ＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点(1)对f(x)求导，然后求出f'(x)的零点，再判断f(x)的单调性，然后求出f(x)的最大值，进而证明f(x)≤0成立；(2)由条件知h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点，然后根据条件考虑在区间(0，1)上和x ＝1处时h(x)的零点情况即可.解：解：(1)()()()121121x x f x x x x--+'=-+=(x ＞0)， 令f'(x)＝0，则x ＝1或12x =-(舍)，∴当x ∈(0，1)时，()f x '＞0，f(x)单调递增，当x ∈(1，+∞)时，()f x '＜0，f(x)单调递减，∴f(x)≤f(x)max ＝f(1)＝0.(2)()g x 是R 上的增函数，(1)0g =，在区间(1，+∞)上，g(x)＞0，∴h(x)＝max{f(x)，g(x)}≥g(x)＞0，∴h(x)在区间(1，+∞)上不可能有零点.下面只考虑区间(0，1)上和x ＝1处的情况. 由题意f(x)的定义域为(0，+∞)，()21212x ax f x x a x x-++'=-+=. 令0()f x '＝0可得0x =负值舍去). 在(0，x 0)上()f x '＞0，f(x)为增函数，在(x 0，+∞)上()f x '＜0，f(x)为减函数，∴f(x)max ＝f(x 0).①当a ＝1时，x 0＝1，∴f(x)max ＝f(1)＝0.∵在区间(0，1)上，g(x)＜0，且g(1)＝0，∴此时h(x)存在唯一的零点x ＝1. ②当0＜a ＜1时，01x =. ∵()000120f x x a x '=-+=，∴0012a x x =-. ∴()222000000001211110f x lnx x x x lnx x ln x ⎛⎫=-+-=+-+-= ⎪⎝⎭＜， 于是f(x)＜0恒成立，结合函数g(x)的性质，可知此时h(x)存在唯一的零点x ＝1.③当a ＞1时，01x =，∴f(x)在(0，1)上递增. 又∵f(1)＝a ﹣1＞0，2221111111111102242242224f ln a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+--+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜＜， ∴f(x)在区间(0，1)上存在唯一的零点x ＝x 1.结合函数g(x)的性质，可知x ＝x 1是h(x)唯一的零点.综上，当0＜a≤1时，h(x)在(0，+∞)上有唯一的零点x＝1；当a＞1时，h(x)在(0，+∞)上也有1个零点.点评：本题考查用导数证明不等式，用导数研究函数零点个数问题，实质上都要用导数研究函数的单调性，研究最值，掌握导数与单调性的关系是解题关键．。
