《二圆的内接四边形的性质与判定定理》教案教学目标(一)知识目标(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．(二)能力目标(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．(三)情感目标(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．教学重、难点重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．教学过程(一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．(二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)1、边的性质：(1)矩形：对边相等，对边平行．(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．(三)证明猜想教师引导学生证明．(参看思路)思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？(四)性质及应用定理1圆的内接四边形的对角互补.定理2圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.显然，圆O与点D有且只有三种关系：(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上.只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.老师引导学生完成证明.可得：圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.请同学们自己写出推论的证明.(五)例题解析例1如图2-9(课本第29页)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．例2如图2-10(课本第29页)，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆.(六)课堂小结回顾总结本课学习了哪些知识？。
第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。
圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。
定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。
证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。
由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。
因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。
所以AE=CE，DE=BE。
又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。
故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。
因此AC和BD互相平分。
2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。
证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。
因此EH=AF, EI=DG。
又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。
因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。
又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。
因此AH²+CI²=BH²+IB²。
由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。
3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。
证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。
因此OA·OC=OB·OD。
又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。
故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。
同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。
两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。
