3.圆内接四边形的性质与判定

圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。

圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。

本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。

一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。

这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。

二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。

这个性质可以通过割线定理来证明。

割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。

2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。

这个性质可以通过引入圆的半径来证明。

设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。

由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。

3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。

设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。

这个性质可以通过扇形定理来证明。

扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。

综上所述，a+b=c+d。

4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。

这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。

设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。

圆内接四边形的性质（对角线相等）圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，本文将探讨圆内接四边形的性质之一——对角线相等。

1. 圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

这种情况下，对角线相等的性质就会出现。

2. 圆内接四边形的性质对于任意一个圆内接四边形，其对角线是相等的。

也就是说，四边形的两条对角线长相等。

证明如下：设圆内接四边形的四个顶点分别为A、B、C、D，四条边分别为AB、BC、CD、DA。

连接AC和BD作为对角线。

我们需要证明|AC| = |BD|。

由于四边形的四个顶点都在同一个圆上，根据圆上弧所对的圆心角相等的性质，我们可以得到：∠ABC = ∠CDA∠BCD = ∠DAB又因为圆上的切线与半径垂直，我们可以得到：∠BAC = ∠BDC∠CBD = ∠CAD根据上述等角关系，我们可以证明△ABC与△CDA全等，以及△BCD与△DAB全等。

因此，我们可以得出以下结论：∠A = ∠C，∠B = ∠D△ABD与△CBA全等根据全等三角形的性质，我们可以得到：|AB| = |CB||AD| = |CD|因此，我们有|AC| = |AB| + |BC| = |CB| + |CD| = |BD|。

这样，我们证明了对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

3. 圆内接四边形的应用圆内接四边形的对角线相等这一性质在几何学中有广泛应用。

例如，当我们需要求解一个圆内接四边形的对角线长度时，我们可以利用这一性质进行计算。

另外，对角线相等还可以用于证明其他性质，扩展到更复杂的几何问题中。

4. 总结圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，并且四条边恰好与圆相切。

对于圆内接四边形来说，其对角线是相等的。

这一性质可以通过等角关系和全等三角形的性质进行证明。

圆内接四边形的对角线相等性质在几何学中有广泛应用，可以用于计算和证明其他性质。

通过本文的讨论，我们对圆内接四边形的对角线相等性质有了更深入的了解，也增加了对几何学中相关概念的理解。

二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ， 则由∠A ＋∠C ＝180°， 可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中， 由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆． 法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上． 故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ， 故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值， 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33， 即△ABD 的最大面积是3 3.。

圆内接四边形的性质在几何学中，圆内接四边形是指四边形的四个顶点都能与一个圆相切。

在本文中，我们将探讨圆内接四边形的性质。

一、面积对于圆内接四边形ABCD，其面积可以通过下面的公式计算：S = (AD × BC)/2其中，AD表示对角线AD的长度，BC表示对角线BC的长度。

二、对角线的关系在圆内接四边形中，对角线的乘积等于两条对边的乘积，即AD ×BC = AB × CD。

这一性质也被称为圆内接四边形的对角线定理。

三、周长圆内接四边形的周长可以通过下面的公式计算：P = AB + BC + CD + DA其中，AB、BC、CD和DA分别表示四边形的四条边的长度。

四、正方形和矩形的特殊情况当圆内接四边形是正方形时，它的对角线相等且垂直平分对方角。

而当圆内接四边形是矩形时，它的对角线相等且相交于对角线的中点。

五、圆内接四边形和三角形的关系对于一个圆内接四边形ABCD，将其顶点A、B、C和D分别与圆心O连接，我们可以得到四个扇形AOB、BOC、COD和DOA。

而这四个扇形的总和等于一个完整的圆，即AOB+BOC+COD+DOA = 360°。

六、欧拉公式对于任意圆内接四边形ABCD，其顶点A、B、C和D所构成的四个角的外角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D = 360°。

七、特殊情况下的圆内接四边形如果一个圆内接四边形是菱形或者平行四边形，那么它的性质和这些特殊四边形的性质相同。

例如，菱形内接圆的对角线相互垂直且平分对角线的夹角。

综上所述，圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括面积关系、对角线的关系、周长计算公式以及和其他几何形状的关系。

这些性质在解决几何问题中起到了重要的作用，为我们提供了简化问题和推导结论的便利。

圆内接四边形的性质是几何学中的基础知识，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。

3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。

2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。

(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。

圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。

求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º； （2）∠DCE=∠A 。

图1E图2BAD ⌒ BCD⌒ ⌒∠A 所对的弧是BCD∠BCD 所对的弧是BAD⌒ ⌒⌒m m .21,21A BAD BCD BCD =∠=∠1111证明：（1）∵，，∴∵和的度数和是360 º∴同理，∠B+∠D=180º。

(2) ∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º∴∠DCE=∠A。

反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗已知：四边形ABCD中，∠B +∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上。

分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D 与⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。

圆内接四边形知识点总结在几何学中，圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。

它具有一些独特的性质和特点，下面将对圆内接四边形的相关知识点进行总结。

一、定义：圆内接四边形是指四个顶点都位于同一圆上的四边形。

二、性质：1. 对角线互相垂直：在圆内接四边形中，对角线互相垂直。

换句话说，连接圆内接四边形相对顶点的线段相互垂直。

2. 对角线平分：在圆内接四边形中，对角线互相平分。

这意味着连接圆内接四边形相对顶点的线段相互等长。

3. 对角线交点是圆心：对角线的交点是圆内接四边形的圆心。

圆内接四边形的圆心是四个顶点所在圆的中心。

4. 对角线和边的关系：圆内接四边形的任意一条边与圆心连线构成的角是顶点对边上相对顶点与圆心的角的一半。

5. 内接四边形周长公式：圆内接四边形的周长等于对角线的和。

6. 面积公式：圆内接四边形的面积可以通过利用已知的弦长和半径来计算。

三、推论：1. 正方形是圆内接四边形的一种特殊情况：当正方形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。

2. 矩形是圆内接四边形的一种特殊情况：当矩形的对角线相等时，它也是一个圆内接四边形。

3. 圆内接四边形的内角和：圆内接四边形的内角和等于360度。

这是因为，对角线互相垂直，所以每个顶点的内角和为90度，而四个顶点的内角和为360度。

四、示例问题：1. 已知一个圆的半径为r，求解圆内接四边形的面积。

解答：可以利用已知的半径和弦长来计算四边形的面积。

首先根据已知半径r和弦长的关系，可以求出弦长。

然后利用弦长和半径计算圆内接四边形的面积。

2. 已知一个圆内接四边形的对角线d1和d2的长度分别为x和y，求解四边形的周长。

解答：根据圆内接四边形的性质可知，对角线相等，即d1 = d2。

可以利用已知对角线的长度x或y来求解四边形的周长，周长等于2(x+y)。

3. 若一个圆内接正方形的面积为16平方厘米，求解正方形的边长。

解答：已知圆内接正方形的面积为16平方厘米，根据正方形的性质可知，面积等于边长的平方。

圆内接四边形是数学中的一个重要概念。

在本文中，我们将讨论圆内接四边形的模型判定问题，包括如何判定一个四边形是否能够内接一个圆，以及如何构建一个圆内接四边形的模型。

一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。

这个圆被称为四边形的内切圆，圆心被称为四边形的内切圆心。

二、圆内接四边形的性质1.圆内接四边形的对角线相互垂直。

2.圆内接四边形的对角线相互平分。

3.圆内接四边形的对角线交点为内切圆心。

三、圆内接四边形的模型判定问题圆内接四边形的模型判定问题是指给定一个四边形，判断该四边形是否能够内接一个圆的问题。

下面我们将介绍两种方法来解决这个问题：1.使用四边形的对角线长度判断对于一个四边形，如果它的对角线相等，那么它一定是一个圆内接四边形。

这是因为对角线相等是圆内接四边形的充分必要条件。

我们可以通过计算四边形的对角线长度来判断它是否能够内接一个圆。

2.使用四边形的内角判断另一种方法是通过计算四边形的内角来判断它是否能够内接一个圆。

具体来说，如果一个四边形的内角都是直角，那么它一定是一个圆内接四边形。

因为直角四边形一定能够内接一个圆。

我们可以通过计算四边形的内角来判断它是否能够内接一个圆。

四、构建圆内接四边形的模型除了判定一个四边形是否能够内接一个圆外，我们还可以构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。

下面是构建这个模型的步骤：1.已知圆的半径我们已知内接圆的半径r。

2.确定圆心位置我们可以确定内切圆心在坐标系中的位置。

3.确定四边形的顶点我们可以通过内切圆心和半径确定四边形的顶点位置。

4.连接四边形的顶点我们连接四个顶点，就得到了一个圆内接四边形。

通过上述步骤，我们可以构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。

五、结论在本文中，我们讨论了圆内接四边形的模型判定问题，包括圆内接四边形的定义、性质，以及判定一个四边形是否能够内接一个圆的方法。

我们还介绍了如何构建一个给定半径的内接圆的圆内接四边形模型。