圆内接四边形的性质

圆内接四边形定理圆内接四边形定理概述：圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一圆上，这种四边形具有一些特殊的性质，其中最重要的就是圆内接四边形定理。

定义：设ABCD为一个圆内接四边形，其对角线交于E点，则有以下结论：1.对角线互相平分结论：对角线AC和BD互相平分。

证明：作AE、CE、BE、DE交BD于F、G、H、I。

由于ABCD为圆内接四边形，所以∠AEB=∠CEB，∠AED=∠CED。

因此三角形AEB与三角形CEB全等，三角形AED与三角形CED全等。

所以AE=CE，DE=BE。

又因为AF+FB=BF+FC, 所以AF=FC, BG=DH。

故AF+BG=FC+DH, 即AC=BD。

因此AC和BD互相平分。

2.对角线垂直结论：对角线AC和BD垂直。

证明：连接AD、BC，并过E点作AD和BC的垂线EF和EG，则AEHF和CEIG均为矩形。

因此EH=AF, EI=DG。

又因为AE=CE, DE=BE, 所以AH=DJ, CI=BJ。

因此AH·HD=BH·HC, CI·ID=AI·IB。

又因为AH+HD=BH+HC, CI+ID=AI+IB，所以AH²-HB²=CI²-IB²。

因此AH²+CI²=BH²+IB²。

由勾股定理可知，∠ACB为直角，即对角线AC和BD垂直。

3.对角线乘积相等结论：对角线AC和BD的乘积相等。

证明：设O为圆心，则OA=OC, OB=OD。

因此OA·OC=OB·OD。

又因为AECD为一组相似的四边形，所以AE/CE=DE/BE，即AE·BE=CE·DE。

故AE·BE+CE·DE=2AE·BE。

同理，BF·FA+CD·DI=2BF·FA。

两式相加得到AC(BF+CD)=BD(AF+CE)，即AC/AF=BD/CE。

二圆内接四边形的性质及判定定理[对应学生用书P21]1．圆内接四边形的性质(1)圆的内接四边形对角互补．如图：四边形ABCD内接于⊙O，则有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．如图：∠CBE是圆内接四边形ABCD的一外角，则有：∠CBE＝∠D.2．圆内接四边形的判定(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．[对应学生用书P21][例1]如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA 的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DF A.[思路点拨]本题主要考查圆内接四边形判定及性质的应用．解题时，只需证A，D，E，F四点共圆后可得结论．[证明]连接AD.因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EF A＝90°，所以A，D，E，F四点共圆．所以∠DEA＝∠DF A.圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内角的对角，可用来作为三角形相似的条件，从而证明一些比例式的成立或证明某些等量关系．1．圆内接四边形ABCD 中，已知∠A ，∠B ，∠C 的度数比为4∶3∶5，求四边形各角的度数． 解：设∠A ，∠B ，∠C 的度数分别为4x,3x,5x ， 则由∠A ＋∠C ＝180°， 可得4x ＋5x ＝180°.∴x ＝20°.∴∠A ＝4×20°＝80°，∠B ＝3×20°＝60°， ∠C ＝5×20°＝100°，∠D ＝180°－∠B ＝120°.2．已知：如图，四边形ABCD 内接于圆，延长AD ，BC 相交于点E ，点F 是BD的延长线上的点，且DE 平分∠CDF .(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AC ＝3 cm ，AD ＝2 cm ，求DE 的长． 解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠2，∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC ＝∠4. ∴AB ＝AC .(2)∵∠3＝∠4＝∠ABC ， ∠DAB ＝∠BAE ， ∴△ABD ∽△AEB . ∴AB AE ＝ADAB. ∵AB ＝AC ＝3，AD ＝2， ∴AE ＝AB 2AD ＝92.∴DE ＝92－2＝52(cm).[例2] 如图，在△ABC 中，E ，D ，F 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且AP ⊥BC于P .求证：E ，D ，P ，F 四点共圆．[思路点拨] 可先连接PF ，构造四边形EDPF 的外角∠FPC ，证明∠FPC ＝∠C ，再证明∠FPC ＝∠FED 即可．[证明] 如图，连接PF ， ∵AP ⊥BC ，F 为AC 的中点，∴PF ＝12AC .∵FC ＝12AC ，∴PF＝FC.∴∠FPC＝∠C.∵E、F、D分别为AB，AC，BC的中点．∴EF∥CD，ED∥FC.∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C.∴∠FPC＝∠FED.∴E，D，P，F四点共圆．证明四点共圆的方法常有：①如果四点与一定点等距离，那么这四点共圆；②如果四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果四边形的一个外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆；④如果两个三角形有公共边，公共边所对的角相等且在公共边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆．3．判断下列各命题是否正确．(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不只一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆．解：(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于点F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于点G.求证：(1)D、E、F、G四点共圆；(2)G、B、C、F四点共圆．证明：(1)如图，连接GF，由DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°，∴GF中点到D、E、F、G四点距离相等，∴D、E、F、G四点共圆．(2)连接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC，∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴G、B、C、F四点共圆.[例3]如图，已知⊙O与⊙O2相交于A、B两点，P是⊙O1上一点，P A、PB的延长线分别交⊙O2于点D、C，⊙O1的直径PE的延长线交CD于点M.求证：PM⊥CD.[思路点拨]⊙O1与⊙O2相交，考虑连接两交点A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直径，考虑连接AE或BE得90°的圆周角；要证PM⊥CD，再考虑证角相等．[证明]如图，分别连接AB，AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ABP＝∠D.∵A、E、B、P四点共圆，∴∠ABP＝∠AEP.∴∠AEP＝∠D.∴A、E、M、D四点共圆．∴∠PMC＝∠DAE.∵PE是⊙O1的直径，∴EA⊥P A.∴∠PMC＝∠DAE＝90°.∴PM⊥CD.此类问题综合性强，知识点丰富，解决的办法大多是先判断四点共圆，然后利用圆内接四边形的性质证明或求得某些结论成立．5.如图，P点是等边△ABC外接圆的BC上一点，CP的延长线和AB的延长线交于点D，连接BP.求证：(1)∠D＝∠CBP；(2)AC2＝CP·CD.证明：(1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠A＝60°.∴∠DBC＝120°.又∵四边形ABPC是圆内接四边形，∴∠BPC＝180°－∠A＝120°.∴∠BPC＝∠DBC.又∵∠DCB＝∠BCP，∴△BCP∽△DCB.∴∠D＝∠CBP.(2)由(1)知△BCP ∽△DCB ， ∴BC DC ＝CP CB. ∴CB 2＝CP ·CD .又CB ＝AC ，∴AC 2＝CP ·CD .6．如图，在正三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)四点P ，D ，C ，E 共圆； (2)AP ⊥CP .解：(1)证明：在△ABC 中， 由BD ＝13BC ，CE ＝13CA 知：△ABD ≌△BCE ，即∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (2)如图，连接DE .在△CDE 中，CD ＝2CE ， ∠ACD ＝60°，由余弦定理知∠CED ＝90°. 由四点P ，D ，C ，E 共圆知， ∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP .[对应学生用书P24]一、选择题1．设四边形ABCD 为圆内接四边形，现给出四个关系式：①sin A ＝sin C ，②sin A ＋sin C ＝0，③cos B ＋cos D ＝0，④cos B ＝cos D . 其中恒成立的关系式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：因为圆内接四边形的对角互补，故∠A ＝180°－∠C ，且∠A ，∠C 均不为0°或180°，故①式恒成立，②式不成立．同样由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立．④式只有当∠B＝∠D＝90°时成立．答案：B2．圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是()A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对解析：由四边形ABCD内接于圆，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，从而只有B符合题意．答案：B3．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上一点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于()A．20°B．40°C．80°D．100°解析：四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，又由圆周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C4．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有()①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A．1个B．2个C．3个D．4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误．答案：B二、填空题5．(2014·陕西高考)如图，△ABC中，BC＝6，以BC为直径的半圆分别交AB，AC于点E，F，若AC＝2AE，则EF＝________.解析：∵B，C，F，E四点在同一个圆上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴AEAC＝EFBC，即12＝EF6，∴EF ＝3. 答案：36．如图，直径AB ＝10，弦BC ＝8，CD 平分∠ACB ，则AC ＝______， BD ＝________.解析：∠ACB ＝90°，∠ADB ＝90°. 在Rt △ABC 中，AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6. 又∵CD 平分∠ACB . 即∠ACD ＝∠BCD ， ∴AD ＝BD . ∴BD ＝AB 22＝5 2. 答案：6 5 27．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，若∠C ＝34°，则∠AOB ＝________，∠ADB ＝________.解析：∵∠C 和∠AOB 分别是AB 所对的圆周角与圆心角， ∴∠AOB ＝2∠C ＝68°.∵周角是360°，劣弧AB 的度数为68°，∴优弧AB 的度数为292°. ∴∠ADB ＝12×292°＝146°.答案：68° 146° 三、解答题8.已知：如图，E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点，对角线AC 与BD 相交于O 点，求证：E ，F ，G ，H 共圆．证明：法一：连接EF 、FG 、GH 、HE . ∵E 、F 分别为AB 、BC 的中点， ∴EF ∥AC .同理EH ∥BD .∴∠HEF ＝∠AOB .∵AC ⊥BD ，∴∠HEF ＝90°. 同理∠FGH ＝90°. ∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°. ∴E 、F 、G 、H 共圆． 法二：连接OE 、OF 、OG 、OH .∵四边形ABCD 为菱形． ∴AC ⊥BD ， AB ＝BC ＝CD ＝DA .∵E 、F 、G 、H 分别为菱形ABCD 各边的中点， ∴OE ＝12AB ，OF ＝12BC ，OG ＝12CD ，OH ＝12DA .∴OE ＝OF ＝OG ＝OH .∴E ，F ，G ，H 在以O 点为圆心，以OE 为半径的圆上． 故E ，F ，G ，H 四点共圆．9.如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC ＝ED .(1)证明：CD ∥AB ；(2)延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF ＝EG ，证明：A ，B ，G ，F 四点共圆． 证明：(1)因为EC ＝ED ，所以∠EDC ＝∠ECD .因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上， 所以∠EDC ＝∠EBA . 故ECD ＝∠EBA . 所以CD ∥AB . (2)由(1)知，AE ＝BE . 因为EF ＝EG ，故∠EFD ＝∠EGC ，从而∠FED ＝∠GEC . 连接AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ， 故∠F AE ＝∠GBE .又CD ∥AB ，∠EDC ＝∠ECD ， 所以∠F AB ＝∠GBA . 所以∠AFG ＋∠GBA ＝180°. 故A ，B ，G ，F 四点共圆．别是劣弧AB 与10．如图，已知⊙O 的半径为2，弦AB 的长为23，点C 与点D 分优弧ADB 上的任一点(点C 、D 均不与A 、B 重合)．(1)求∠ACB .(2)求△ABD 的最大面积．解：(1)连接OA 、OB ，作OE ⊥AB ，E 为垂足，则AE ＝BE .Rt △AOE 中，OA ＝2. AE ＝12AB ＝12×23＝ 3.所以sin ∠AOE ＝AE OA ＝32，∴∠AOE ＝60°，∠AOB ＝2∠AOE ＝120°. 又∠ADB ＝12∠AOB ，∴∠ADB ＝60°.又四边形ACBD 为圆内接四边形， ∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°.从而有∠ACB ＝180°－∠ADB ＝120°. (2)作DF ⊥AB ，垂足为F ，则S △ABD ＝12AB ·DF ＝12×23×DF ＝3DF .显然，当DF 经过圆心O 时，DF 取最大值， 从而S △ABD 取得最大值．此时DF ＝DO ＋OF ＝3，S △ABD ＝33， 即△ABD 的最大面积是3 3.。

圆内接四边形的性质在平面几何中，圆是一个非常重要的基本概念，广泛应用于各种数学和物理问题中。

圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的特殊情况。

本文将讨论圆内接四边形的性质及相关定理，并给出相应的证明。

一、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上的情况。

这意味着四边形的每一条边都是圆的切线。

二、圆内接四边形的基本特性1. 对角线互相垂直：圆内接四边形的对角线互相垂直。

这个性质可以通过割线定理来证明。

割线定理指出，从一个点到圆的切点引出的两条割线所形成的夹角是切线和割线所形成的弧所对应的角的一半。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的对角线互相垂直。

2. 对角线相等：圆内接四边形的对角线相等。

这个性质可以通过引入圆的半径来证明。

设圆的半径为r，四边形的对角线分别为d1和d2，那么可以得出d1=2r*sin(a)，d2=2r*sin(b)，其中a和b分别为两对角所对应的圆心角。

由于a和b的和等于360度，即a+b=360度，因此有sin(a)+sin(b)=2*sin((a+b)/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(180/2)*cos((a-b)/2)=2*sin(90)*cos((a-b)/2)=2*cos((a-b)/2)，所以d1=d2，即对角线相等。

3. 边长之和相等：圆内接四边形的相对边之和相等。

设四边形的边长分别为a、b、c、d，那么可以得出a+b=c+d。

这个性质可以通过扇形定理来证明。

扇形定理指出，圆上的两个弧所对应的圆心角相等，则这两个弧所夹的弦所代表的线段长度之和相等。

由于四边形的每一条边都是圆的切线，所以四边形的边长所对应的圆心角相等，即a+c=b+d。

综上所述，a+b=c+d。

4. 周长最大：给定定圆面积情况下，圆内接四边形的周长最大。

这个性质可以通过用半径来表示四边形的边长，并应用不等式来证明。

设圆的半径为r，四边形的边长为a、b、c、d，那么有a=2*r*sin(a/2)，b=2*r*sin(b/2)，c=2*r*sin(c/2)，d=2*r*sin(d/2)。

圆内接四边形的性质在几何学中，圆内接四边形是指四边形的四个顶点都能与一个圆相切。

在本文中，我们将探讨圆内接四边形的性质。

一、面积对于圆内接四边形ABCD，其面积可以通过下面的公式计算：S = (AD × BC)/2其中，AD表示对角线AD的长度，BC表示对角线BC的长度。

二、对角线的关系在圆内接四边形中，对角线的乘积等于两条对边的乘积，即AD ×BC = AB × CD。

这一性质也被称为圆内接四边形的对角线定理。

三、周长圆内接四边形的周长可以通过下面的公式计算：P = AB + BC + CD + DA其中，AB、BC、CD和DA分别表示四边形的四条边的长度。

四、正方形和矩形的特殊情况当圆内接四边形是正方形时，它的对角线相等且垂直平分对方角。

而当圆内接四边形是矩形时，它的对角线相等且相交于对角线的中点。

五、圆内接四边形和三角形的关系对于一个圆内接四边形ABCD，将其顶点A、B、C和D分别与圆心O连接，我们可以得到四个扇形AOB、BOC、COD和DOA。

而这四个扇形的总和等于一个完整的圆，即AOB+BOC+COD+DOA = 360°。

六、欧拉公式对于任意圆内接四边形ABCD，其顶点A、B、C和D所构成的四个角的外角和等于360°，即∠A+∠B+∠C+∠D = 360°。

七、特殊情况下的圆内接四边形如果一个圆内接四边形是菱形或者平行四边形，那么它的性质和这些特殊四边形的性质相同。

例如，菱形内接圆的对角线相互垂直且平分对角线的夹角。

综上所述，圆内接四边形具有一些特殊的性质，包括面积关系、对角线的关系、周长计算公式以及和其他几何形状的关系。

这些性质在解决几何问题中起到了重要的作用，为我们提供了简化问题和推导结论的便利。

圆内接四边形的性质是几何学中的基础知识，对于进一步学习和应用几何学知识具有重要的意义。

圆的内接四边形定理圆的内接四边形定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个圆内接四边形的性质。

这个定理在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学和物理学中。

在本文中，我们将详细介绍圆的内接四边形定理的定义、证明和应用。

定义圆的内接四边形定理是指：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。

证明我们可以通过几何推理来证明圆的内接四边形定理。

首先，我们假设一个四边形ABCD是内接四边形，它的四个顶点都在同一个圆上。

我们需要证明的是，对角线AC和BD互相垂直，且它们的交点O是圆的中心。

我们可以通过以下步骤来证明：1. 连接对角线AC和BD，它们的交点为O。

2. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的四个顶点都在同一个圆上。

因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COD = 180°∠BOC + ∠COA = 180°3. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 360°4. 由于圆的周角定理，圆的周角等于360°，因此：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 圆的周角5. 由于四边形ABCD是内接四边形，所以它的对角线互相垂直。

因此，我们可以得到以下两个等式：∠AOC + ∠COA = 90°∠BOC + ∠COD = 90°6. 将这两个等式相加，得到：∠AOC + ∠BOC + ∠COA + ∠COD = 180°7. 将步骤5和步骤6的结果代入步骤4的等式中，得到：180° = 圆的周角8. 由于圆的周角等于360°，因此：180° = 360°9. 这是一个矛盾的结论，因此我们的假设不成立。

因此，我们可以得出结论：如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形是内接四边形，它的对角线互相垂直，且对角线的交点是圆的中心。

CD ·OBA EP圆内接四边形性质定理证明：如右图：圆内接四边形ABCD ，圆心为O ，延长BC 至E ，AC 、BD 交于P ，则： 一、圆内接四边形的对角互补：∠ABC+∠ADC=180°，∠BCD+∠BAD=180° 二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠DCE=∠BAD 三、圆内接四边形对应三角形相似：△BCP ∽△ADP 四、相交弦定理：AP×CP=BP×DP五、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD一、圆内接四边形的对角互补的证明（三种方法）【证明】方法一：利用一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

如图，连接OB 、OD 则∠A=21β，∠C=21α ∵α+β=360°∴∠A+∠C=21×360°=180°同理得∠B+∠D=180°（也可利用四边形内角和等于360°）【证明】方法二：利用直径所对应的圆周角为直角。

设圆内接四边形ABCD证明：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°连接BO 并延长，交⊙O 于E 。

连接AE 、CE 。

则BE 为⊙O 的直径 ∴∠BAE=∠BCE=90° ∴∠BAE+∠BCE=180°∴∠BAE+∠BCE-∠DAE+∠DAE=180° 即∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DAE=180°∵∠DAE=∠DCE （同弧所对的圆周角相等） ∴∠BAE-∠DAE+∠BCE+∠DCE=180° 即∠BAD+∠BCD=180° ∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）【证明】方法三：利用四边形内角和为360°及同弧所对的圆周角均相等连接AC 、BD ，将∠A 、∠B 、∠C 、∠D 分为八个角 ∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8 ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8=360（四边形内角和为360°）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6 （同弧所对的圆周角相等）∴∠1+∠2+∠5+∠6=21×360°=180°∵∠1+∠2=∠A ∠5+∠6=∠C ∴∠A+∠C=180°∴∠B+∠D=360°-（∠A+∠C ）=180° （四边形内角和等于360°）二、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角证明如图，求证：∠DCE=∠BAD ∠BCD+∠DCE=180°（平角为180°）∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补） ∴∠DCE=∠BAD三、圆内接四边形对应三角形相似如上图，求证：△BCP ∽△ADP ，△ABP ∽△DCP证明： ∵∠CBP=∠DAP ，∠BCP=∠ADP （一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

11.2.5 圆内接四边形的性质1、（1）圆的内接四边形对角互补。

如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有：∠A＋∠B=1800.∠B＋∠C=1800.(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有：∠CBE=∠D.2、圆内接四边形的判定。

（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。

（2）推论；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG.求证：∠CFG=∠DGF.分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。

所以∠ECF=∠EAG.又因为EG平分∠BEC,即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.所以∠EFC=∠EGA.而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,所以∠CFG=∠DGF.3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线.∴PT2=PA·PB(切割线定理)4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线.∴PO·PC=PA·PB (割线定理)由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD.5、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D。

（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）∴△PAB∽△PCD∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC6、弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

四边形内接于圆的性质
1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，∠ABC+∠ADC=180°。

2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：∠CBE=∠ADC。

3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：∠AOB=2∠ACB=2∠ADB。

4、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD。

5、圆内接四边形对应三角形相似：△ABP∽△DCP（三个内角对应相等）。

直线和圆位置关系：
①直线和圆无公共点，称相离。

AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点。

圆心与切点的连线垂直于切线。

AB与⊙O相切，d=r。

3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。

2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。

(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。

例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。

圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。

已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。

求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º； （2）∠DCE=∠A 。

图1E图2BAD ⌒ BCD⌒ ⌒∠A 所对的弧是BCD∠BCD 所对的弧是BAD⌒ ⌒⌒m m .21,21A BAD BCD BCD =∠=∠1111证明：（1）∵，，∴∵和的度数和是360 º∴同理，∠B+∠D=180º。

(2) ∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º∴∠DCE=∠A。

反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗已知：四边形ABCD中，∠B +∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上。

分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D 与⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。

九年级圆内接四边形知识点圆内接四边形是九年级数学中的重要知识点之一。

它是指一个四边形的所有四个顶点都在同一个圆的周边上的特殊图形。

在学习圆内接四边形之前，我们先来了解一下相关的基本概念和性质。

一、圆的基本概念圆是平面几何中的一种特殊图形，由一条不断延伸的曲线组成。

圆由圆心、半径和圆周组成。

圆心是圆的中心点，通常用大写字母O表示。

半径是从圆心到圆周上的任意一点的距离，通常用小写字母r表示。

二、圆内接四边形的定义圆内接四边形是指一个四边形的所有四个顶点都在同一个圆的周边上。

其中，圆心是该四边形对角线的交点。

三、圆内接四边形的性质1. 对角线互相垂直：在一个圆内接四边形中，两条对角线相互垂直。

2. 对角线相等：在一个圆内接四边形中，两条对角线的长度相等。

3. 对边和相对角相等：在一个圆内接四边形中，相对的两条边和对应的两个角相等。

4. 任意一条边都是两条对角线和半径的和：在一个圆内接四边形中，任意一条边的长度都等于两条对角线的长度和两个半径的和。

掌握了以上的基本概念和性质，我们可以用它们来解决一些与圆内接四边形相关的问题。

例题1：已知一个圆内接四边形的半径为5 cm，求它的面积。

解：由于这个四边形是圆内接四边形，所以它的对角线相等且垂直。

设一条对角线的长度为d，则可以得知d=2r=2*5=10 cm。

根据性质3可知，这个四边形是一个矩形，所以它的面积可以通过对角线的长度计算得到。

利用矩形的面积公式S=长*宽，其中长和宽分别是两条对角线的长度，那么这个圆内接四边形的面积为S=10*10=100 cm²。

例题2：已知一个圆内接四边形的面积为36 cm²，求它的半径。

解：设这个圆内接四边形的半径为r。

根据性质4可知，这个四边形的任意一条边的长度等于两条对角线的长度和两个半径的和。

由于它是一个矩形，所以两条对角线的长度相等，即2d=2r。

根据矩形的面积公式S=长*宽，可得d*r=36。

将d=2r代入得3r²=36，整理得r²=12，再开平方得r=√12=2√3 cm。

初中数学“圆内接四边形性质”在解题中的应用圆的内接四边形具有如下性质：性质1：圆内接四边形对角互补.性质2：圆内接四边形的外角等于内对角.当遇到圆内接四边形时，能为问题的解决从角的层面提供最有效的帮助，下面就具体展示一下性质的灵活应用，供学习借鉴。

1.直接应用性质，求对角的大小例1 ：如图1，四边形ABCD 内接于⊙0，若∠A =40°，则∠C =（ ）A .110°B .120°C .135°D .140°解析：因为四边形ABCD 内接于⊙0，且∠A 与∠C 是对角，所以∠A +∠C =180°，因为∠A =40°， 所以∠C =140°，所以选D .点评：这是性质的直接性应用，应用时，抓住四点：一是确定四边形是圆的内接四边形；二 是确定对角是哪一对；三是准确布列对角和为180°的等式；四是代入求值计算即可2.用性质，联手菱形，求角的大小例2：如图2，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A 、C 、D ，与BC 相交于点E ，连接AC 、AE ．若∠D ＝80°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．20°B ．25°C ．30°D ．35°解法1：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEB =∠D =80°，所以∠EAC =∠AEB ﹣∠ACE =30°，所以选C ．解法2：因为四边形ABCD 是菱形，∠D =80°所以∠ACB =21∠DCB =21（180°﹣∠D ）=50°， 因为四边形AECD 是圆内接四边形，所以∠AEC =180°-∠D =100°，所以∠EAC =180°-∠AEC ﹣∠ACE =30°，所以选C ．点评：解答时，有如下几点体会：一是熟练掌握菱形的性质，这是解题的基础；二是熟练掌握圆内接四边形的性质，这是解题的关键；三是灵活运用性质，性质选择不同，就会得到不同的解法，这是解题的灵魂和创新点所在.3、创造条件用性质，求两角的和例3、如图3，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A +∠C ＝ ．解析：如图3，连接AB ，因为四边形ABCD 是圆内接四边形，所以∠BAD +∠C =180°. 因为P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，所以P A =PB ，因为∠P ＝102°，∠P AB =21（180°﹣∠P ）=39°，所以∠P AD +∠C =∠BAD +∠C +∠P AB =180°+39°=219°. 点评：构造圆内接四边形为性质应用创造条件是解题的关键，其次，熟练运用切线长的性质，等腰三角形的性质也是解题的有效支撑.4、创造条件用性质，求线段的长例4：如图4，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD =5，CE =13，则AE = （ ）A ．3B ．32C ．43D ．23解析：如图4，连接AC ，因为BA 平分∠DBE ，所以∠1=∠2，因为∠1=∠CDA ，∠2=∠3， 所以∠3=∠CDA ，所以AC =AD =5，因为AE ⊥CB ，所以∠AEC =90°，所以AE =2222)13(5-=-CE AC =23,所以选D ．点评：解答时，把握好五条脉络：一是角平分线得到的两个等角；二是圆内教师必须外角等于内对角得到的两个等角；三是同弧上的圆周角相等得到的两个等角；四是逻辑推理得到的两个等角；五是等腰三角形的判定和勾股定理的应用.5、用性质，探求三角之间的关系例5 ：如图5矩形ABCD 中，AD =8,DC =6，在对角线AC 上取点O ，以OC 为半径的圆切AD 于E ,交BC 于F ，交CD 于G .（1）求⊙O 的半径R ；（2）设∠BFE =α，∠GED =β，请写出α，β，90°三者之间的关系式（只需写出一个）并证明你的结论．解析：（1）如图5，连接OE ，则OE ⊥AD .因为四边形ABCD 是矩形，所以∠D =90°，根据勾股定理，得AC =10.因为OE ⊥AD ，CD ⊥AD ，所以OE ∥CD ，所以△AOE ∽△ACD ， 所以CD OE AC AO =，所以61010R R =-,解得R =415； （2）因为四边形EFCG 是圆的内接四边形，所以∠BFE =∠EGC ，因为∠GED =90°-∠EGD , ∠EGD =180°-∠EGC ,所以∠GED =∠EGC -90°即∠GED =∠BFE -90°，所以α，β，90°三者之间的关系式为α=β+90°．点评：本题是矩形与圆及圆内接四边形相结合的开放型的综合题[2]，解答时，注意如下几点：一是熟练应用切线的性质，为平行线的生成创造条件；二是熟练驾驭平行线与相似三角形的关系，用相似渗透方程的思想确定线段的长度；三是活动圆内接四边形的性质，互余的性质，邻补角的定义综合推理确定三角之间的关系，这是解题的关键.6、用性质，探求三线段之间的关系或线段比值例6：已知△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC．（1）如图6，当∠BAC＝120°时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图7，当∠BAC＝90°时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图8，若BC＝5，BD＝4，求的值．解析：（1）解法1：如图9，在AD上截取AE=AB，连接BE，因为∠BAC=120°，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△ABE和△BCD 都是等边三角形，所以∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，所以△BED≌△BAC，所以DE=AC，所以AD=AE+DE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：此法的灵魂是在较长的线段上截取一段等于其中一条线段，证明余长等于另一条线段，简称截长法，要熟练掌握.解法2：如图10，延长AB到E，使BE=AC，连接DE，因为∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，所以∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，所以△BCD是等边三角形，所以BD=CD，因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBE=∠DCA，所以△BED≌△CAD，所以DE=DA，因为∠BAD=60°，所以△DAE都是等边三角形，所以AD=AE=AB+BE=AB+AC.所以应该填AB+AC=AD．点评：这种证明的方法叫做等量延长法，实质是构造两线段的和，证明和线段等于所求线段.解答时，有三个关键要把握好：一是用好圆内接四边形的外角等于内对角，为三角形的全等提供条件；二是熟练用好等边三角形的判断，为等线段的构造奠定基础；三是灵活运用三角形全等，为问题的解决提供等线段支撑.（3）AB+AC=2AD．理由如下：解法1：如图11，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠MBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，所以△MBD≌△ACD，所以MD=AD，∠M=∠CAD=45°，所以MD⊥AD．所以AM=2AD，即AB+BM=2AD，所以AB+AC=2AD.点评：此法是顺延第一问中的解法2，关键是构造直角三角形，基础是三角形全等.解法2：如图12，过点D作ED⊥AD，垂足为D，交AC的延长线于点E,因为∠BAD=∠CAD=45°，所以BD=CD，∠AED=45°,所以AD=DE，所以AE=2AD.因为四边形ABDC内接于⊙O，ED⊥AD，CD⊥BD，所以∠ECD=∠ABD，∠BDA=∠CDE，所以△ABD≌△CED，所以AB=CE，所以AE=AC+CE=AC+AB=2AD，所以AB+AC=2AD. 点评：此法的最大特点是直角构造出了一个等腰直角三角形，让结论直接生成，利用圆内接四边形性质，互余性质得到全等三角形，从而实现解题目标.（3）如图13，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，因为四边形ABDC内接于⊙O，所以∠NBD=∠ACD，因为∠BAD=∠CAD，所以BD=CD，所以△NBD≌△ACD，所以ND=AD，∠N=∠CAD，所以∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，所以△NAD∽△CBD，所以，所以，因为AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，所以=．点评：用性质，特别是渗透了三角形相似，使得问题求解非常有情趣，有数学味道，从而体会数学解题的乐趣.解后反思：通过对圆内接四边形性质解题应用的探究，深深体会到如下几点：1.学习时，要重视对教材上的每一条性质的掌握，务必从准确记忆，科学把握，灵活应用三个维度去掌握和学习，确实夯实数学基础；2.通过学习，努力更多地去掌握数学的基本解题思路和基本的解题方法，掌握常见题型解题时需要构造的辅助线，使得解题方法更加灵活多样，有生命力，充满解题生机；3.通过学习，要锻炼自己的发散思维能力，通过解题的变式思考，一题多解的思维训练等方式，启迪自己的思维，在解题过程中碰撞数学智慧，探索发现数学解题智慧，切实提高自身数学素养和数学能力；4.通过学习，要牢牢树立数学知识一盘棋的思想，构建起适合自己的数学知识网，让数学知识，数学方法，数学思思，数学智慧都融入这个大棋盘，做到知识选择灵活自如，方法选择灵活自如，思想选择灵活自如，为数学创新思维点燃创新的火花.。