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圆的内接四边形有什么性质
圆内接四边形是一个几何概念。
四个顶点在同一圆上的四边形称为圆内接四边形。
我们来看看它的属性。
以圆内接四边形ABCD为例，圆心为O，假设AC、BD交于Q，则：
1、圆内接四边形的对角互补：∠BAD+∠DCB=180°，
∠ABC+∠ADC=180°
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角：
∠CBE=∠ADC
3、圆心角的度数等于所对弧的圆周角的度数的两倍：
∠AOB=2∠ACB=2∠ADB
4、圆内接四边形对应三角形相似：△ABQ∽△DCQ
5、同弧所对的圆周角相等：∠ABD=∠ACD
6、相交弦定理：AQ×CQ=BQ×DQ
7、托勒密定理：AB×CD+AD×CB=AC×BD
8、判定定理编辑
1.如果一个四边形的对角是互补的，那么这个四边形内接于一个圆。
2.如果一个四边形的外角等于其内对角线，那么这个四边形内接于一个圆。
3.如果一个四边形的四个顶点到一个固定点的距离相等，那么这个四边形内接于一个以该点为圆心的圆。
4.如果有两个三角形有相同的底边，其他顶点都在底边的同一侧，并且顶点相等，那么这两个三角形有一个公共外接圆。
5.如果一个四边形的张角相等，那么这个四边形内接于一个圆。
第 7课 圆内接四边形的性质与判定定理【学习目的】理解圆内接四边形的性质与判定定理，能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。
【学习重点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。
【学习难点】能熟练运用圆内接四边形的性质与判定定理解题。
【过程展示】1、圆内接四边形的性质定理：定理1：定理2：2、圆内接四边形的判定定理：推论：例1、如图，⊙1和⊙O 2都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙O 1交于点C ，与⊙O 2交于点D 经过点B 的直线EF 与⊙O 1交于点E ，与⊙O 2交于点F ．求证：CE ∥DF ．例2、如图，已知AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线，交BC 的延长线于点D ，延长DA交△ABC 的外接圆于点F ，连接FB ，FC ．（1）求证：FB ＝FC ； （2）若AB 是△ABC 的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC ＝6，求AD 的长．O 2 · · O 1F E DC B AA B F C D E你还有解以上各题的好方吗？站在大家面前，勇敢地展示你的想法和解法吧！你评、我评、大家评，评出精彩，评出智慧！6．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为2∶3∶6，则∠D 的度数为________．解析：设∠A ，∠B ，∠C 分别为2x,3x,6x ，因四边形ABCD 内接于圆，∴∠D ＝180°－∠B ＝180°－3x ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝2x ＋3x ＋6x ＋180°－3x ＝360°，解得x ＝22.5°.∴∠D ＝180°－3x ＝112.5°.答案：112.5°1、如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P 。
若PB=1，PD=3，则BC AD 的值为 。
2．2圆内接四边形的性质与判定定理一．教学目标1．知识与技能目标：（1）理解圆内接四边形的性质定理，能应用定理解决相关的几何问题；（2）理解圆内接四边形的判定定理，能应用定理及推论解决相关的几何问题2．过程与方法目标：经历定理的提出、证明、应用的过程，探究定理的本质，整理点共圆的重要知识3．情感态度与价值观目标：通过对圆内接四边形性质的探究，体会观察、归纳方法在数学命题中的应用；通过对圆内接四边形判定定理的探究，进一步体会分类思想以及反证法的应用二．重点圆内接四边形的性质定理，圆内接四边形的的判定定理及推论，判定定理证明中蕴涵的数学思想方法三．难点（1）判定定理的证明（2）运用运动变化思想方法探究几何问题四、教学过程（一）导入新课1．复习：圆内接四边形的定义2．提出问题：我们知道，任意三角形都有外接圆，那么，任意四边形有外接圆吗？（1）由学生通过画图得到初步结论，形成感性认识；（2）教师进一步提出问题：具备什么条件的四边形才有外接圆呢？（与原稿相比，这样设计目标更具体，过程更容易操作，更容易激发学生的探究欲望，从而为研究圆内接四边形的判定做好铺垫）（二）推进新课1．圆内接四边形性质的研究（1）阅读教材P．27“探究”：观察一组圆内接四边形，寻找其共同特征设计如下问题，帮助学生得出结论①图中都研究哪些四边形？它们有什么共同特征？②观察以上四个图形中各四边形四个内角的关系，你能够得出什么结论？③是不是所有的圆内接四边形都有这样的结论？④你能证明你的结论吗？(1)(2)(3)(4)（与原稿相比，这样设计能够突出学生的主体作用，学生分析问题和解决问题更有目的性，更能体现知识的形成过程）（2）性质定理1：圆的内接四边形的对角互补（3）性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角2．提出问题：（1）回顾平行线的性质定理与判定定理：性质定理：两直线平行，同位角相等……；判定定理：同位角相等，两直线平行……；（2）回顾等腰三角形的性质定理与判定定理： 性质定理：在三角形中，等边对等角 判定定理：在三角形中，等角对等边（3）从上述性质定理与判定定理的关系中，你能够得出什么结论？（通常情况下，性质定理与判定定理是互逆的）（4）圆内接四边形的性质定理的逆命题是否成立？即对角互补的四边形是否是圆内接四边形？ （与原稿相比，这样设计沟通了通常情况下性质定理与判定定理的内在联系，更容易引起学生的思考，学生更容易接受，并且可以通过这样的规律学生其他定理，从而体会了数学定理衍生的一般过程）3．探究圆内接四边形的判定定理 （1）画出图形，写出已知，求证如图，已知，四边形ABCD 中，180=∠+∠D B 求证：D C B A ,,,在同一圆上（简称四点共圆） （2）分析过程：①任意三点C B A ,,显然在同一圆上，过这三点作圆O ，只要证明点D 在圆上；②直接证明点D 在圆上比较困难，考虑反证法；让学生回顾证明点在圆上的方法，发现只有圆的定义，即到圆心的距离等于半径，对本题而言，这很难操作。
3．圆内接四边形的性质与判定一、基础知识回顾1．在同圆或等圆中,相等的圆心角所对 的相等，所对的 也相等。
2. 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条 、两条 、两个 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对 。
(1) 半圆(或直径)所对的圆周角是 ; 90º的圆周角所对的弦是 . (2) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 ; 相等的圆周角所对的弧也 .二、知识延伸拓展如果四边形的各顶点在一个圆上，这个四边形叫做这个圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
例如，图1中，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形；⊙O 是四边形ABCD 的外接圆。
圆内接四边形有以下性质：性质定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的相邻内角的对角。
已知：如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DCE 是四边形ABCD 的外角。
求证：（1）∠A+∠BCD=180º，∠B+∠D=180º； （2）∠DCE=∠A 。
图1E图2BAD ⌒ BCD⌒ ⌒∠A 所对的弧是BCD∠BCD 所对的弧是BAD⌒ ⌒⌒m m .21,21A BAD BCD BCD =∠=∠1111证明：（1）∵，，∴∵和的度数和是360 º∴同理，∠B+∠D=180º。
(2) ∵∠DCE是四边形ABCD的外角，∴∠DCE+∠BCD=180º由（1）得∠A+∠BCD=180º∴∠DCE=∠A。
反过来，如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点在同一个圆上吗已知：四边形ABCD中，∠B +∠D=180°求证：A,B,C,D在同一圆周上。
分析：根据不在同一直线上的三点确定一个圆，不妨设A、B、C三点确定⊙O，则点D 与⊙O的位置关系有三种：在圆外、在圆上、在圆内，如果能排除点D在圆外和在圆内，则点D必在圆上。
