2.2 圆内接四边形的性质与判定定理

《二圆的内接四边形的性质与判定定理》教案教学目标(一)知识目标(1)了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；(2)掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；(3)熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．(二)能力目标(1)通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；(2)通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；(3)通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．(三)情感目标(1)充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；(2)渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．教学重、难点重点：圆内接四边形的性质定理．难点：定理的灵活运用．教学过程(一)基本概念如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形A BCD的外接圆．(二)创设研究情境问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？研究：圆的特殊内接四边形(矩形、正方形、等腰梯形)1、边的性质：(1)矩形：对边相等，对边平行．(2)正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．(3)等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．2、角的关系猜想：圆内接四边形的对角互补．(三)证明猜想教师引导学生证明．(参看思路)思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢？思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢？(四)性质及应用定理1圆的内接四边形的对角互补.定理2圆内接四边形的一个外角等于它的内角的对角．经过上面的讨论，我们得到了圆内接四边形的两条性质.一个自然的想法是，它们的逆命题成立吗？如果成立，就可以得到四边形存在外接圆的判定定理.假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180°.求证：A、B、C、D在同一圆周上(简称四点共圆).分析：在不同一直线上的三点确定一个圆.经过A、B、C三点作圆O.如果能够由条件得到圆O过点D，那么就证明了命题.显然，圆O与点D有且只有三种关系：(1)点D在圆外；(2)点D在圆内；(3)点D在圆上.只要证明在假设条件下只有(3)成立，也就证明了命题.老师引导学生完成证明.可得：圆内接四边形判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆.在圆内接四边形判定定理的证明中，我们用分类思想对点D与A、B、C三点确定的圆的位置关系进行探讨，在每一种情形中都运用了反证法.当问题存在多种情形时，通过对每一种情形分别论证，最后获证结论的方法，称为穷举法.推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.请同学们自己写出推论的证明.(五)例题解析例1如图2-9(课本第29页)，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．求证：CE∥DF．例2如图2-10(课本第29页)，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC，FQ⊥AC.求证：A、B、P、Q四点共圆.(六)课堂小结回顾总结本课学习了哪些知识？。

第⼆讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理第⼆讲直线与圆的位置关系2.2 圆内接四边形的性质与判定定理A级基础巩固⼀、选择题1．圆内接平⾏四边形⼀定是( )B．菱形A．正⽅形D．矩形C．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对⾓互补，平⾏四边形的对⾓相等，所以圆内接平⾏四边形的各⾓均为直⾓，故为矩形．答案：D 2．已知AB，CD是⊙O的两条直径，则四边形ADBC⼀定是( )A．矩形B．菱形D．等腰梯形C．正⽅形解析：AB，CD均为⊙O的直径，故四边形ADBC的四个⾓均为直⾓，且对⾓线AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形．答案：A 3．四边形ABCD内接于圆，∠A∶∠B∶∠C＝7∶6∶3，则∠D等于( )B．72°A．36°D．54°C．144°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠A＋∠C＝180°.⼜由∠A∶∠C＝7∶3，设∠A＝7x，∠C＝3x，则10x＝180°，即x＝18°，所以∠B＝6x＝108°.故∠D＝180°－∠B＝72°.答案：B4.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AB的延长线上⼀点，∠CBE＝40°，则∠AOC等于( )A．20°B．40°C．80°D．100°解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，且∠CBE＝40°，由圆内接四边形性质知∠D＝∠CBE＝40°，⼜由圆周⾓定理知∠AOC＝2∠D＝80°.答案：C 5．如图所⽰，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝55°，则∠B CD的度数为( )A．35°B．45°C．55°D．75°解析：如图所⽰，连接AD，则△ABD是直⾓三⾓形，∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝35°，根据同弧所对的圆周⾓相等，∠BCD＝∠DAB＝35°.答案：A⼆、填空题6.如图所⽰，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB与DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为____．解析：因为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠BCP＝∠A.⼜∠P＝∠P，所以△BCP∽△DAP.所以BCAD＝PBPD＝13.答案：137．如图所⽰，⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，AC是⊙O1的直径，延长CA，CB，分别交⊙O2于D ，E，则∠CDE＝______．解析：连接AB，因为AC是⊙O1的直径，所以∠ABC＝90°.⼜因为∠ABC＝∠ADE，所以∠ADE＝90°，即∠CDE＝90°.答案：90°8．如图所⽰，点A，B，C，D在同⼀个圆上，AB，DC相交于点P，AD，BC相交于点Q，如果∠A＝50°，∠P＝30°，那么∠Q＝________．解析：因为∠A＝50°，∠P＝30°，所以∠QDC＝∠A＋∠P＝80°.⼜∠QCD＝∠A＝50°，所以∠Q＝180°－80°－50°＝50°.答案：50°三、解答题9.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三⾓形．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．⼜AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.⼜∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三⾓形．10.如图所⽰，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AC＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；(2)若DB＝BE＝EA，求过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值．(1)证明：因为CD为△ABC外接圆的切线，所以∠DCB＝∠A，由题设知BCFA＝DCEA，所以△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.因为B、E、F、C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，所以∠EFA＝∠CFE＝90°，所以∠CBA＝90°，所以CA是△ABC外接圆的直径．(2)解：连接CE，因为∠CBE＝90°，所以过B、E、F、C四点的圆的直径为CE，因为DB＝BE，CE＝DC，⼜因为BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2，⼜因为DC2＝DB·DA＝3DB2，所以CE2＝3DB2.所以过B、E、F、C四点的圆的⾯积与△ABC外接圆⾯积的⽐值为1 2.B级能⼒提升1.如图所⽰，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于( )A．120°B．136°C．144°D．150°解析：因为∠BCD∶∠ECD＝3∶2，且∠BCD＋∠ECD＝180°，所以∠ECD＝72°.由圆内接四边形的性质得∠A＝∠ECD＝72°.⼜由圆周⾓定理知∠BOD＝2∠A＝2×72°＝144°.答案：C 2．两圆相交于A，B，过A作两直线分别交两圆于C，D和E，F.若∠EAB ＝∠DAB，则CD＝________．解析：因为四边形ABEC为圆内接四边形，所以∠2＝∠CEB.⼜因为∠1＝∠ECB，且∠1＝∠2，所以∠CEB＝∠ECB.所以BC＝BE.在△CBD与△EBF中，∠ECD＝∠BEF，∠D＝∠F，BC＝BE，所以△CBD≌△EBF，所以CD＝EF.答案：EF3.如图所⽰，A，B，C，D四点在同⼀圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED.(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同⼀圆上，所以∠EDC＝∠EBA.故∠ECD＝∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE＝BE.因为EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，从⽽∠FED＝∠GEC.如图，连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE.⼜CD∥AB，∠EDC＝∠ECD，所以∠FAB＝∠GBA.所以∠AFG＋∠GBA＝180°.故A，B，G，F四点共圆．。

第二讲直线与圆的位置关系圆内接四边形的性质与判定定理级基础巩固一、选择题．圆内接平行四边形一定是( )．菱形．正方形．矩形．等腰梯形解析：由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案：．已知，是⊙的两条直径，则四边形一定是( )．菱形．矩形．等腰梯形．正方形解析：，均为⊙的直径，故四边形的四个角均为直角，且对角线＝，所以四边形为矩形．答案：．四边形内接于圆，∠∶∠∶∠＝∶∶，则∠等于( )．°．°．°．°解析：由圆内接四边形的性质定理，∠＋∠＝°.又由∠∶∠＝∶，设∠＝，∠＝，则＝°，即＝°，所以∠＝＝°.故∠＝°－∠＝°.答案：.如图所示，四边形是⊙的内接四边形，为的延长线上一点，∠＝°，则∠等于( )．°．°．°．°解析：因为四边形是圆内接四边形，且∠＝°，由圆内接四边形性质知∠＝∠＝°，又由圆周角定理知∠＝∠＝°.答案：．如图所示，若是⊙的直径，是⊙的弦，∠＝°，则∠的度数为( )．°．°．°．°解析：如图所示，连接，则△是直角三角形，∠＝°，则∠＝°－∠＝°，根据同弧所对的圆周角相等，∠＝∠＝°.答案：二、填空题.如图所示，四边形是圆的内接四边形，延长与相交于点.若＝，。

圆内接四边形的性质与判定定理【学习目标】1. 经历圆内接四边形性质定理的探究过程；2. 理解圆内接四边形的性质与判定定理；3.能应用内接四边形的性质与判定定理理解解决相关的几何问题.【学习重难点】1.圆内接四边形性质定理；2.圆内接四边形性质定理的应用.【第一课时】【自学导引】1.用30分钟的时间阅读课本P27-P29页的内容，完成课前预习内容。

并将预习过程中的疑惑写在我的疑惑里。

2.小组合作完成探究一至三的任务，准备课堂随机展示，点评。

【课前预习】一、问题导学问题1. 众所周知，任意三角形都有外接圆.正方形有外接圆吗？长方形有外接圆吗？问题2. 对于任意四边形，我们如何研究它是否有外接圆？问题3. 我们要找出什么样的四边形具有外接圆，是否可以从反面入手：如果一个四边形内接于圆，那么这样的四边形有什么特征呢？问题4. 圆内接四边形的对角互补，那么他的逆命题成立吗？如果成立，可以得到四边形存在外接圆的判定定理.二、预习自测1．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1 圆的内接四边形的对角______．定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的______．(2)判定判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______．推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_____．2.判断下列命题是否成立.（1）任意三角形都有外接圆，但可能不止一个；（）（2）矩形有唯一的外接圆；（）（3）菱形有外接圆；（）（4）正多边形有外接圆. （）【课内探究】合作、交流、展示、点评探究一证明：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.（推理的证明）探究二 5.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，,,,⊥⊥为垂DE AB DF AC E F足.求证：E、B、C、F四点共圆.C【当堂检测】1. 已知半径为5的⊙O 中，弦52AB =5AC =，则BAC ∠= A.15o B.210o C.10515o o 或 D.2100o o 或32. 如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝110°， 则∠BCD ＝______度．【第二课时】 【学习重难点】1.理解圆内接四边形的概念；2.掌握圆内接四边形的性质定理、判定定理及其推论，并能解决有关问题.【自主学习】1.圆内接四边形的性质定理：定理1 圆的内接四边形的对角___ ___．定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的__ ____．思考：内接于圆的平行四边形、菱形、梯形分别是矩形、正方形、等腰梯形？2.圆内接四边形的判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么_ _____． 推论 如果四边形的一个外角等于 ，那么这个四边形的四个顶点共圆． 思考：圆内接四边形的性质定理和它的判定定理及推论有何关系？【自主检测】O·· O FED CBA 1.如图所示，四边形ABCD 内接于⊙O ，110BOD ∠=o ， 则BCD ∠=______度．2.如图，,AD BE 是ABC ∆的两条高，求证：CED ABC ∠=∠.【典例分析】例1.如图，⊙1O 和⊙2O 都经过A 、B 两点，经过点A 的直线CD 与⊙1O 交于点C ，与⊙2O 交于点D .经过点B 的直线EF 与⊙1O 交于点E ，与⊙2O 交于点F ．求证：//CE DF ．例2.如图，CF 是ABC ∆的AB 边上的高，FP BC ⊥，FQ AC ⊥.求证：A 、B 、P 、Q 四点共圆.【目标检测】1.如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若15PB PD =,则BCAD的值为 .2.如图，D 、E 分别为ABC ∆的边AB 、AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合，已知AE AC AD AB ⋅=⋅.求证：C 、B 、D 、E 四点共圆.3. 如图，已知四边形ABCD 内接于圆，延长AB 和DC 交于E ，EG 平分E ∠，且与BC 、AD 分别交于F 、G .求证：CFG DGF ∠=∠.【总结提升】证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补。

2．2 圆内接四边形的性质与判定定理1．圆内接多边形的定义．如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多边形叫做____________，这个圆叫做多边形的________．2．圆内接四边形的性质定理1：圆内接四边形的对角________．圆内接四边形的性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的________．3．圆内接四边形的判定定理．如果一个四边形的对角________，那么这个四边形的四个顶点共圆．4．判定定理的推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的________，那么这个四边形四个顶点共圆．5．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，求证：A、B、C、D四点共圆．预习导学1．圆内接多边形外接圆2．互补对角3．互补4．对角5．证明：四边形ABCD为矩形，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝DB，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵点A、B、C、D到O点的距离相等，∴A、B、C、D这四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上．►一层练习1．已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的个数有( )①如果∠A＝∠C，则∠A＝90°；②如果∠A＝∠B，则四边形ABCD是等腰梯形；③∠A的外角与∠C的外角互补；④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4.A．1个 B．2个C．3个 D．4个1．B2．圆内接平行四边形一定是( )A．正方形 B．菱形C．等腰梯形 D．矩形2.D3．下列命题中，真命题的个数为( )①任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；②矩形有唯一的外接圆；③菱形有外接圆；④正多边形有外接圆．A．1个 B．2个C．3个 D．4个3．解析：①错误，任意三角形有唯一的外接圆；②正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；③错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；④正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等．答案：B4．如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，已知∠BOD＝60°，则∠BAD＝______，∠BCD＝________.4．30°150°►二层练习5．在圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是( )A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2C．4∶1∶3∶2 D．以上都不对5.B6．如图所示，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，过C 作CE ∥AB 交AD 的延长线于E ，那么与∠BCE 互补的角是( )A ．∠BADB ．∠ADC C ．∠CDED ．∠DEC 6.C7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，点E 为AB 延长线上一点，∠CBE ＝40°，则∠AOC 等于( )A ．20°B ．40°C ．80°D ．100° 7.C8．如图所示，PA 为⊙O 直径，PC 为⊙O 的弦，过AC ︵的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B .若HB ＝6，BC ＝4，则⊙O 的直径为( )A ．10B ．13C ．15D ．208．解析：连PH 及CH ，由圆内接四边形的性质定理有∠BCH ＝∠A ， 则△PAH ∽△HCB ，PA CH ＝HA BC， 又CH ＝HA ，则PA ＝13. 答案：B9．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为________，最小的内角为________．9．120° 60°10．如图，⊙O 的内接四边形BCED ，延长ED 、CB 交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________，CE ＝________．10．解析：由圆内接四边形的性质定理有∠ADB ＝∠C ，∠ABD ＝∠E . 则△ABD ∽△AEC ，则AD AC ＝AB AE ＝BDCE代入数据即得DE ＝5，CE ＝27.答案：5 27 ►三层练习11．如下图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB ＝1，PD ＝3，则BCAD的值为________．11.1312．如图所示，在△ABC 中，AD ＝DB ，DF ⊥AB 交AC 于点F ，AE ＝EC ，EG ⊥AC 交AB 于点G .(1)求证：点D 、E 、F 、G 四点共圆； (2)求证：点G 、B 、C 、F 四点共圆．12．证明：(1)连接GF ，由DF ⊥AB ，EG ⊥AC ，知∠GDF ＝∠GEF ＝90°，∴GF 中点到点D 、E 、F 、G 四点距离相等． ∴点D 、E 、F 、G 四点共圆． (2)连接DE .由AD ＝DB ，AE ＝EC ， 知DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B .又由(1)中点D、E、F、G四点共圆，∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B.∴∠B＋∠GFC＝180°.∴点G、B、C、F四点共圆．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE.(1)证明：∠D＝∠E；(2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形．13．证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE.由已知得∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E.(2)如图设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上．又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点，故OM⊥AD，即MN⊥AD.所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE.又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E.由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形．14．如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE 的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2－14x＋mn＝0的两个根．(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C 、B 、D 、E 所在圆的半径．14解析：(1)连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AEAB.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB . 因此∠ADE ＝∠ACB . 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12. 故AD ＝2，AB ＝12.取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC . 从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12(12－2)＝5.故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.1．当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接四边形性质定理，再结合其他条件进行推理证明．2．判定四点共圆的方法：(1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆．(2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆． (4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相等)．3．圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相等、四点共圆等典型问题． 4．判定四边形为圆内接四边形除定理及推论两种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证明．【习题2.2】1．证明：∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴△ABD 和△ABE 均为直角三角形．设O 是AB 的中点，连接OE ，OD ，如图所示，则OE ＝12AB ，OD ＝12AB ，∴OE ＝OD ＝OA ＝OB ，∴A ，B ，D ，E 四点共圆，∴∠CED ＝∠ABC .2．已知：如图所示，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相垂直，E ，F ，G ，H 为各边的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共圆．证明：如图所示，连接EF ，FG ，GH ，HE ，∵点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，∴FG ∥BD ，GH ∥AC ，又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥GH .同理可证HE ⊥EF .∴∠HEF ＋∠FGH ＝180°，∴F ，G ，H ，E 四点共圆．3．证明：如图所示，∵A ，B ，C ，D 四点共圆，∴∠FCE ＝∠A .∵∠CFG ＝∠FCE ＋∠CEF ，∠DGF ＝∠A ＋∠AEG ，而∠AEG ＝∠CEF ，∴∠CFG ＝∠DGF .。

2．2圆内接四边形的性质与判定定理一．教学目标1．知识与技能目标：（1）理解圆内接四边形的性质定理，能应用定理解决相关的几何问题；（2）理解圆内接四边形的判定定理，能应用定理及推论解决相关的几何问题2．过程与方法目标：经历定理的提出、证明、应用的过程，探究定理的本质，整理点共圆的重要知识3．情感态度与价值观目标：通过对圆内接四边形性质的探究，体会观察、归纳方法在数学命题中的应用；通过对圆内接四边形判定定理的探究，进一步体会分类思想以及反证法的应用二．重点圆内接四边形的性质定理，圆内接四边形的的判定定理及推论，判定定理证明中蕴涵的数学思想方法三．难点（1）判定定理的证明（2）运用运动变化思想方法探究几何问题四、教学过程（一）导入新课1．复习：圆内接四边形的定义2．提出问题：我们知道，任意三角形都有外接圆，那么，任意四边形有外接圆吗？（1）由学生通过画图得到初步结论，形成感性认识；（2）教师进一步提出问题：具备什么条件的四边形才有外接圆呢？（与原稿相比，这样设计目标更具体，过程更容易操作，更容易激发学生的探究欲望，从而为研究圆内接四边形的判定做好铺垫）（二）推进新课1．圆内接四边形性质的研究（1）阅读教材P．27“探究”：观察一组圆内接四边形，寻找其共同特征设计如下问题，帮助学生得出结论①图中都研究哪些四边形？它们有什么共同特征？②观察以上四个图形中各四边形四个内角的关系，你能够得出什么结论？③是不是所有的圆内接四边形都有这样的结论？④你能证明你的结论吗？(1)(2)(3)(4)（与原稿相比，这样设计能够突出学生的主体作用，学生分析问题和解决问题更有目的性，更能体现知识的形成过程）（2）性质定理1：圆的内接四边形的对角互补（3）性质定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角2．提出问题：（1）回顾平行线的性质定理与判定定理：性质定理：两直线平行，同位角相等……；判定定理：同位角相等，两直线平行……；（2）回顾等腰三角形的性质定理与判定定理： 性质定理：在三角形中，等边对等角 判定定理：在三角形中，等角对等边（3）从上述性质定理与判定定理的关系中，你能够得出什么结论？（通常情况下，性质定理与判定定理是互逆的）（4）圆内接四边形的性质定理的逆命题是否成立？即对角互补的四边形是否是圆内接四边形？ （与原稿相比，这样设计沟通了通常情况下性质定理与判定定理的内在联系，更容易引起学生的思考，学生更容易接受，并且可以通过这样的规律学生其他定理，从而体会了数学定理衍生的一般过程）3．探究圆内接四边形的判定定理 （1）画出图形，写出已知，求证如图，已知，四边形ABCD 中，180=∠+∠D B 求证：D C B A ,,,在同一圆上（简称四点共圆） （2）分析过程：①任意三点C B A ,,显然在同一圆上，过这三点作圆O ，只要证明点D 在圆上；②直接证明点D 在圆上比较困难，考虑反证法；让学生回顾证明点在圆上的方法，发现只有圆的定义，即到圆心的距离等于半径，对本题而言，这很难操作。

二 圆内接四边形的性质与判定定理学习目标:(1) 通过对圆内接四边形性质的探究,体会观察,归纳方法在发现数学命题中的作用(2) 理解圆内接四边形的两条性质定理,能应用定理解决相关的几何问题(3) 通过对圆内接四边形判定定理的探究,进一步体会分类思想,掌握反证法(4) 理解圆内接四边形判定定理及推论,能应用定理及推论解决相关的几何问题重点:经历圆内接四边形性质定理的探究过程,理解圆内接四边形的性质与判定定理,能应用定理解决相关的几何问题教学过程:定理1 圆的内接四边形的对角互补定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.,,.,接圆这个圆叫做多边形的外内接多边形那么这个多边形叫做圆一个圆上如果多边形的顶点都在多边形我们来讨论与圆相关的在讨论了圆内的角以后?,???.,吗任意四边形都有外接圆一般地任意矩形是否有外接圆为什么圆吗那么任意正方形有外接任意三角形都有外接圆我们知道思考?,:么特征那么这样的四边形有什圆如果一个四边形内接于我们从问题的反面入手?,,52形的共同特征吗你能从中发现这些四边圆接于这组图中的四边形都内观察图探究-52-图()1()4()3()2.,,,.,,称为穷举法最后获证结论的方法一种情形分别论证对每通过情形时当问题的结论存在多种反证法在每一种情形中都运用关系进行讨论三点确定的圆的位置与我们用分类思想对点明中定理的证在圆内接四边形判定ABC D ().:,180,:0简称四点共圆在同一圆周上、、、求证中四边形假设D C B A D B ABCD =∠+∠.,,.那么就证明了命题过点到圆如果能够由条件得三点作圆、、经过点确定一个圆不在同一条直线上的三分析D O O C B A :,有且只有三种位置关系与点圆显然D O ();1在圆外点D ();2在圆内点D ().3在圆上点D ().,3也就证明了命题成立只有只要证明在假设条件下72-图推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.//:.,.,.,921212121DF CE F O E O EF B D O C O CD A B A O O 求证交于圆与交于点与圆的直线经过点于点交与圆交于点与圆的直线经过点两点、都经过与圆圆如图例-A B C D E F ••1O 2O 92-图.:.,,,1022四点共圆、、、求证边上的高的是如图例Q P B A AC FQ BC FP AB ABC CF ⊥⊥∆-102-图A B C F P Q。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2-2圆内接四边形的性质与判定定理2一、选择题1．已知四边形ABCD 是圆内接四边形，下列结论中正确的有( )．①如果∠A ＝∠C ，则∠A ＝90°②如果∠A ＝∠B ，则四边形ABCD 是等腰梯形③∠A 的外角与∠C 的外角互补④∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 可以是1∶2∶3∶4A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由“圆内接四边形的对角互补”可知：①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D 的特例)；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额必须相等(这里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正确，②④错误． 答案 B2．如图所示，分别延长圆内接四边形ABCD 两组对边相交于E 和F 两点，如果∠E ＝30°，∠F ＝50°，那么∠A 为( )．A ．55°B ．50°C ．45°D ．40°解析 由∠A ＋∠ADC ＋∠E ＝180°，∠A ＋∠ABC ＋∠F ＝180°，∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∴∠A ＝12(180°－∠E －∠F )＝50°. 答案 B3．圆内接平行四边形一定是( )．A ．正方形B ．菱形C ．等腰梯形D ．矩形解析 由于圆内接四边形对角互补，平行四边形的对角相等，所以圆内接平行四边形的各角均为直角，故为矩形．答案 D4．如图所示，已知在圆内接四边形ABCD 中，BA 和CD 的延长线交于点P ，AC 和BD 相交于点E ，则图中共有相似三角形( )．A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对解析 由圆周角和圆内接四边形的性质可以判定：△ABE ∽△DCE ，△ADE ∽△BCE ，△PAC ∽△PDB ，△PAD ∽△PCB .答案 B二、填空题5．若BE 和CF 是△ABC 的边AC 和AB 边上的高，则________四点共圆．解析 由∠BEC ＝∠BFC ＝90°，知△BCE 和△BCF 共圆．答案 B 、C 、E 、F6．若圆内接四边形中3个相邻的内角比为5∶6∶4，则这个四边形中最大的内角为______，最小的内角为______．解析 四边形ABCD 内接于圆且三个相邻内角比为5∶6∶4，故四个角之比一定为5∶6∶4∶3，从而最大角为360°×65＋6＋4＋3＝120°，最小角为360°×35＋6＋4＋3＝60°. 答案 120° 60°7．如图所示，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝60°，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________.解析 由∠A ＝12∠BOD ＝30°，∠BCD ＝180°－∠A ＝150°. 答案 30° 150°8．若两条直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0，(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则实数a ＝________.解析 由圆内接四边形的性质，知(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，整理得a 2＝1，∴a ＝±1.答案 1或－1三、解答题9．试说明矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．证明 ∵四边形ABCD 为矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，又AC ＝DB ，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD .则点A 、B 、C 、D 到点O 的距离相等，∴A 、B 、C 、D 这四个点在以点O 为圆心，OA 为半径的同一个圆上．10．如图所示，AB 、CD 都是圆的弦，且AB ∥CD ，F 为圆上一点，延长FD 、AB 交于点E .求证：AE ·AC ＝AF ·DE .证明 连接BD ，因为AB ∥CD ，所以BD ＝AC .因为A 、B 、D 、F 四点共圆，所以∠EBD ＝∠F .因为∠E 为△EBD 和△EFA 的公共角，所以△EBD ∽△EFA .所以DE AE ＝BD AF .所以DE AE ＝AC AF，即AE ·AC ＝AF ·DE .11．(拓展深化)如图，已知△ABC 中的两条角平分线AD 和CE 相交于H ，∠B ＝60°，F 在AC 上，且AE ＝AF .(1)证明：B 、D 、H 、E 四点共圆；(2)证明：CE 平分∠DEF .证明 (1)在△ABC 中，因为∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°.因为AD ，CE 是角平分线，所以∠HAC ＋∠HCA ＝60°，故∠AHC ＝120°.于是∠EHD ＝∠AHC ＝120°.因为∠EBD ＋∠EHD ＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．(2)连接BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.由(1)知B、D、H、E四点共圆．所以∠CED＝∠HBD＝30°.又∵∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°，所以CE平分∠DEF.。