第八章 相关与回归分析

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t2
n
et2
n 2 e e t1
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n 2
t 1
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t2
t2
n
r sxy
(xi x)( yi y)
i1
s
2 x
s
2 y
n
n
(xi x)2 ( yi y)2
i 1
i 1
5
3杜宾-沃森检验法（DW检验）
DW检验是J.Durbin(杜宾)和G.S.Watson(沃 特森)于1951年提出的一种适用于小样本 的检验方法。DW检验只能用于检验随机 误差项具有一阶自回归形式的序列相关 问题,随机误差项的一阶自回归形式为
（假设 已知,等于1）
• 一阶差分法是将原模型 原模型存在完全一阶正自相关，即
Yt 0 1X1
• 变换为
t t1 t
Y Yt1 (0 0 ) 1(1 X t1) (t t1)
Yt 1X1 t
(该模型没有常数项)
• 其中，为经典误差项。则应满足应用普通最小二乘法
的经典假定，用普通最小二乘法估计差分模型，得到
主成分法，偏最小二乘法。
19
• 序列相关性带来的问题 1 参数的估计量不再具有最小方差 线性无偏性 2 均方误差可能严重低估误差项的 方差 3 F检验、T检验失效
第八章 时间序列的回归分析
残差序列相关
对回归方程随机部分的假定： 是一个随机变量,通常满足: 1: 服从正态分布,Y也服从正态分布 2：E ( ) 0,即E(0 ) 0, E(1) 1 3 :Var( ) 2 常数 方差齐性 4 : Cov(i , j ) 0， 相互独立 ~ N (0, 2 ), y ~ (0 1X , 2 ) 5 : 在多元中， 诸自变量相互独立

回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。

在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。

一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。

它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。

1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。

通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。

1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。

通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。

1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。

它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。

逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。

二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。

它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。

2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。

它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。

2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。

它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。

斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。

应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。

假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。

我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。

我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。

MS A 168.00 F 20.56 MS e 8.17
查附表在f1=3，f2=12时， F0.05=3.49，F0.01=5.95 实得 F＞ F0.01或 P＜0.01，说明药剂处理有统计意义。
四、单因素方差分析模型参数的估计 当方差分析结果为否定原假设时，就需要估计模型的有 关参数 ，下面就讨论方差分析模型参数的估计。 单因素方差分析的模型 为 xij i ij i 1,2, , r 2 ~ N ( 0 , ), 且相互独立 j 1,2, , m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指标 的作用; ij为随机因素对试验指标 值的影响。需要估计的 参数 有 , i , 2。不难证明这些参数的 极大似然估计量为： 1 r m 1 m 1 r m ˆ i xij ˆ xij xij rm i 1 j 1 m j rm i 1 j 1 1 r m 1 2 2 ˆ ˆ) ( xij SSe rm i 1 j 1 rm
Tr
T

xr
x
其中xij是因素A第i水平下第j次重复试验结果 , m r m r T T Ti xij xi T xij Ti x . m rm j 1 i 1 j 1 i 1
单因素方差分析的统计模型
试验数据xij满足 xij i ij i 1,2,, r 2 ~ N ( 0 , ),且相互独立 j 1,2,, m ij 其中为总以平均效应， i为因素A的第i个水平Ai 对试验指 标的作用 ; ij为随机因素对试验指标 值的影响。
鸡重/g-1000
60 80 1 2 12 9 28
Ti

11-16 5
6-11
-
合计 7
1
3
3
4
1
13
3
3
1
1
8
7
7
2
1 24
24
按耕作深度
分组（cm)
3
8
1
10
1
12
1
14
16
18
合计
3
双变量分组相关表
平均收获率(100kg/亩)
4
5
6
7
1
1
3
2
2
6
3
2
3
5
2
1
2
3
13 11 6
8 合计
3
6
14
1
11
2
5
1
1
4
40
25
多因素复合分组相关表 （日产吨数）
11
第一节 相关分析的一般问题
相关关系种类
相关程度 相关方向 关系表现形式 影响因素 依存关系
完不完 全完全 相全不 关相相
正 相 关
负 相 关
线 性 相
非 线 性
单复 相相 关关
关关
关相
关
因非 果因 关果 系关
系
12
第一节 相关分析的一般问题
二、相关分析与回归分析 （一）涵义
1、相关分析是对具有相关关系的变 量之间的关系密切程度进行分析研究的 统计方法。
倾斜度
煤层深度（m)
100以下
年采掘量（千吨） 100￣250 250￣400 400以上
0.7m
13
35度以下 （缓斜度）
0.7￣0.9 0.9￣1.1