第三章 行波法与积分变换法

第三章 行波法与积分变换法 在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。

§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）

要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。 对于一维波动方程 222

22

uuatx

 （3.1）

作如下代换： xatxat



（3.2）

利用复合函数微分法则，得 uuuuuxxx



2222222

()()2uuuuuxxxuuu





（3.3）

同理有 222

2

2222

22

()()[2]uuuuuaatuuua





（3.4）

将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 20u （3.5）

将（3.5）式对积分得 ()uf，（()f是的任意可微函数）

在对此式对积分得 212(,)()()()()uxtfdffxatfxat （3.6） 其中1f，2f都是任意二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含两个任意函数的解）。 在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f，2f的具体形式。为此，必须考虑定解条件，下面我们来讨论无限长先的自由横振动。设弦的初始状态为已知，即已知定解条件 00(),(),ttuxxuxxt









（3.7）

将（3.6）中的函数代入（3.7）中，得 1212

()()(), (3.8)()()(), (3.9)fxfxxafxfxx









在（3.9）两端对x积分一次，得

120

1()()()xfxfxdCa （3.10）

由（3.8）与（3.10）解出1()fx，2()fx得

10

11()()()222xCfxxda

20

11()()()222xCfxxda

把这里确定出来的1()fx，2()fx代回到（3.6）中，即得方程（3.1）在条件（3.7）下的解为 11(,)[()()]()22xatxatuxtxatxatda （3.11）

（3.11）式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔（D’Alembert）公式。 现在我们来说明达朗贝尔公式的物理意义。由于达朗贝尔公式是由（3.6）得来的，所以我们只需说明（3.6）式的物理意义。 首先，考虑22()ufxat的物理意义。我们来说明这样的函数是代表一个沿x轴正方向转播的行波，为了讲清楚这一点，我们不妨考虑一个特例。假定2()fx的图形如图3.1（a）所示，在0t时，2()ufx；在12t时，2()2aufx，其图形如图3.1（b）所示；在1t时，2()ufxa，其图形如图3.1（c）所示；在2t时，2(2)ufxa，其图形如图3.1（d）所示。这些图形说明，随着时间t的推移，22()ufxat的图形以速度a向x轴的正方向移动。所以，22()ufxat表示一个以速度a向x轴的正方向传播的行波，称为右行波。同样道理，11()ufxat就表示一个以速度a向x轴的负方向传播的行波，称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动点总是以行波的形式分别向两个方向传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数a。基于上述原因，所以本节所用的方法就称为行波法。 从达朗贝尔公式（3.11）还可以看出，解在(,)xt点的数值仅依赖于x轴上区间[,]xatxat内的初始条件，而与其他点的初始条件无关。区间[,]xatxat称为点(,)xt的依赖区间。它是由过(,)xt点的两条斜率分别为1a的直线在x轴所截得的区间（图3.2（a））。 对初始轴0t上的一个区间12[,]xx，过点1x作斜率为1a的直线

1xxat，过点2x作斜率为1a的直线2xxat，它们和区间12[,]xx一起构成一个三角形区域（图3.2（b）），此三角形区域中任一点(,)xt的依赖区间都落在区间12[,]xx的内部，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间12[,]xx上的初始条件决定，而与此区间外的初始条件无关，这个三角形区域称为区间12[,]xx的决定区域，在12[,]xx上给定初始条件，就可以在其决定区域中决定初值问题的解。 若过点12,xx分别作直线1xxat，2xxat，则经过时间t后受到区间12[,]xx上初始扰动影响的区域为

12(0)xatxxatt， 在此区域之外的波动不受12[,]xx上初值扰动的影响，称xt平面上由上述不等式确定的区域为12[,]xx的影响区域（如图3.2（c））。 从上面的讨论中我们可以看到，在xt平面上斜率为1a的两族直线xat常数，对一维波动方程（3.1）的研究起着重要的作用，我们称这两族直线为一维波动方程（3.1）的特征线。因为在特征线

2xatC，右行波2()ufxat的振幅取常数值22()fC，在特征线

1xatC，右行波1()ufxat的振幅取常数值11()fC，且这两个数值随特征线的移动（即常数(1,2)iCi的改变）而改变，所以，波动实际上是沿特征线传播的。变换（3.2）常称为特征变换，行波法又称为特征线法。 注 容易看出，一维波动方程（3.1）的两族直线xat常数，正好是常微分方程 222()()0dxadt

的积分曲线，这个常微分方程称为（3.1）的特征方程。对于更一般的二阶线性偏微分方程 2222220uuuuuABCDEFuxxyyxy （3.12）

来所，它的特征方程为 22()2()0AdyBdxdyCdx

（3.13）

这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程（3.12）特征曲线。二阶线性偏微分方程的特征线仅与该方程中的二阶导数项的系数有关，而与其低阶项的系数是无关的。 需要注意的是，并不是任意一个二阶线性偏微分方程（3.12）都有两族实的特征线。例如，若在某一区域内20BAC，这过此区域内每一点都不存在实的特征线；若在某区域内，20BAC，这过此区域内每一点仅有一条实的特征线；只有在20BAC的区域内，过其中每一点才有两条相异实的特征线。 若在某区域内20BAC，则在此区域内称（3.12）为椭圆型方程；若在某区域内，20BAC，则在此区域内称（3.12）为抛物型方程；若在某区域内20BAC，则在此区域内称（3.12）为双曲型方程，波动方程属于双曲型。 不论（3.12）为哪一种类型的方程，都可通过适当的自变量之间的代换将它化简成所谓的标准形式。关于如何将二阶线性偏微分方程化成标准形式，读者可以参考其他书籍。下面举一个例子，说明如何通过将方程化简来求解它的定解问题。 例 求下列柯西问题： 2222

200230,0,,(3.14)3,0,, (3.15)yyuuuuyxxxyyuuxxy













解 先确定所给方程的特征线。为此，写出它的特征方程

22()23()0dydxdydx

它的两族积分曲线为

13xyC

2xyC 作特征变换 3xyxy



（3.16）