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3.1行波法3.1第一讲

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2011第三章行波法

2011第三章行波法
u
t =0
x=0
= ϕ ( x ) 和 ut
=0
= ψ ( x)
达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为x≥0 达朗贝尔公式是无限长弦的公式。由于自变量限制为 ≥
1 1 u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] + 2 2a
x + at x − at
x =0
和
ut
t =0
= ψ ( x)
ux
=0
ϕ ( x ) Φ( x ) = ϕ (− x )
( x ≥ 0) ( x < 0)
ψ ( x ) Ψ( x ) = ψ (− x )
x + at
( x ≥ 0) ( x < 0)
1 1 + u( x , t ) = [Φ( x + at ) + Φ( x − at )] + ∫at Ψ(ξ )dξ 2 2a x −
∂2 ∂2 ( 2 − a2 )u ( x , t ) = 0 2 ∂t ∂x
∂2 u (ξ , η ) = 0 ∂ξ∂η
3
坐标变换
x − at
∂ ∂ 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： 将 ∂x 和 看作如同数一样的算子，可以进行加减乘除： ∂t ∂ ∂ ∂ ∂ ( +a )( − a )u( x , t ) = 0 ∂t ∂x ∂t ∂x x x + at
x1 ≤ x ≤ x1 + x2 2
x1 + x2 ≤ x ≤ x2 2 x < x1 , x > x2
t4 t3 t2 t1 t=0
ϕ (x)

数学物理方法 行波法

数学物理方法 行波法

利用初始条件u(x,0)=(x)和v(x,0)=(x)，得到
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
数学物理方法2015.02
第二节 特征线方法
举例
u u 2 0, x t u( x,0) e x2 , x R, t 0 xR
当 1/2a t 1/a
1 2 (1 x at ), 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 at , 1 (1 x at ), 2 1 2 (1 x at ), 1 at x at at x 1 at 1 at x 1 at 1 at x at at x 1 at
1 2
at x 1 at
当 3/4a t 1/a
x, 1 2 (1 x at ), u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ),
数学物理方法2015.02
2 x i i 1 n
2 n 2u u 2 a 2 2 t i 1 xi
方程变形为
2 2u u n 1 u 2 a 2 2 t r r r
当n=3时，可写为
2 2 ru ru 2 a 2 2 t r
数学物理方法2015.02
当 0t 1/2a
1 2 (1 x at ), 1 x, u ( x, t ) 1 at , 1 x, 1 2 (1 x at ), 1 at x 1 at 1 at x at at x at at x 1 at 1 at x 1 at

数学物理方法课件第七章-----行波法

数学物理方法课件第七章-----行波法
能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）； • 掌握达朗贝尔公式的应用和物理意义; • 掌握行波法解题的要领，并且能够使用 行波法求解定解问题；
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
• 考虑如下定解问题（无界弦的自由振动问题）：
这里“无界”的理解： 如果考察的弦线长度很 长，而需要知道的 又仅仅是在较短的、离 开边界很远的一段范围 内的振动情况，则 远处的边界条件可以忽 略，可以那弦线的长度 视为无限或无界。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式
两边再对积分，得
x at x at
u ( , ) f ( )d G ( ) F ( ) G ( ) 还原自变量，得到①的 通解为 u ( x, t ) F ( x at) G ( x at) ⑤ 其中，F ( )和G ( )为任意函数。
故 只 要 遇 到形 如 § 7.1中 的 定 解 问题 ( Ⅰ )的 问 题 ， 或 者 变 形 后 够 能化 为 这 类
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
四、关于达朗贝尔公式的应用
例2：使用行波法求解定解 问题 utt a 2u xx 0, - x , t 0 1 u | 0 , u | t t 0 t 0 1 x2 解：本例题为一维波动 方程的标准形式，可以 直接使用达朗贝尔 公式求解。 这里 ( x) 0, ( x) 1 , 故由达朗贝尔公式得 2 1 x
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。

课件：第三章 行波法

课件：第三章 行波法

0(3 .1)(3.2)
对于上述初值问题，由于微分方程现定解条件都是 线性的，所以叠加原理同样成立，即如果函数和 分
别是下ux述,0初 值utt问x,题aut2uxx,x0 x (3.3)
(3.4)
•和
uuxtt,0a20u,xux txf,0x((,33t..650))
的解，则 u u1x,t u2x就,t是 原初值问题 (3.1)(3.2)的解，这
1
2 1
2
x x
1
2a 1
2a
x
x0 x
x0
d d
c
2a c
2a
( 3.17)
把它们代入(3.13) 得初值问题(3.3)(3.4)的解
ux, t
x
at
2
x
at
1 2a
xat(3.1d8) xat
这个公式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式，或称为达 朗贝尔解。这种求解方法称为达朗贝尔解法。
题大
有有
其局
特限
殊 的 优 点
性
， 但 对
，
内 波 动 方 程 的 定
解 问
题 ，
波 法 只 能 用 于 求
解 无
界 区
波解 法定 ，解 二问 是题 积和 分方
变法 换，
法一 。是
本 章 我 们 将 介
绍 另 外
两 个
引 言
3.2 达朗贝尔（D’Alembert）公式 波的传播
• 本章我们将介绍另外两个求解定解问题和方法， 一是行波法，二是积分变换法。行波法只能用于 求解无界区域内波动方程的定解问题，虽然有很 大有局限性，但对于波动问题有其特殊的优点， 所以该法是数理方程的基本之一。我们只注重解 决问题的思路，导出形式解，不追求分析的条件 与验证。积分变换法不受方程的类型限制，主要 用于无界区域，但对于有界区域也能应用

数学物理方程：第3章 波动问题的行波法

数学物理方程：第3章 波动问题的行波法

第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。

公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。

若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。

方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。

顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。

波动方程和行波法ppt课件

波动方程和行波法ppt课件
弯成任意的形状，它都保持静止。绷紧后， 相邻小段之间有拉力，这种拉力称为弦中的 张力，张力沿线的切线方向。
精品课件
10
由于张力的作用，一个小段的振动必带动它 的邻段，邻段又带动它自己的邻段，这样一个 小段的振动必然传播到整个弦，这种振动的传 播现象叫作波。弦是轻质弦（其质量只有张力 的几万分之一）。跟张力相比，弦的质量完全 可以略去。
位移， u t t 为弦的横向加速度。 近似：考虑小的振动， 1 ， 2 为小量。
cos1121!241!4 1
精品课件
19
cos2122!242!4 1
sin11 3 1 !3 5 1 !5 1tan1
sin22 3 2 !3 5 2 !5 2tan2
ds(dx)2(du)21(ux)2dx
∵
ux
xFdxdxutt
T u x xd x F d xd x u tt
utt TuxxF
精品课件
23
即
utt a2uxx f
—— 弦的强迫横振动方程
其中: a 2 T
，
f
F
量纲分析：T:MLT2 ， : ML1
精品课件
24
∴
T
:
MLT2 ML1
L2T2
即 a2 :L2T2
a ：振动的传播速度 a
沿 y方向（纵向）： T2 sin 2 T1sin1
于是由牛顿第二定律对 dx 所对应的这一小
段弦有:
T 2cos2T 1cos10
①
T 2 s in2 T 1 s in 1 F d s (d s ) u tt②
精品课件
18
其中: 是弦的线密度，即单位长度的
质量，d s 为 d x 对应弧长，u 为弦的横向

课件4：3.1　波的形成

课件4：3.1　波的形成

，质点1开始振动，则下列关于各质点的振动和介质中的波的说法正确的是(
4
A.介质中所有的质点的起振方向都竖直向下，图中质点9起振最晚
B.图中所画出的质点起振时间都是相同的，起振的位置和起振的方向是不同的
C.图中质点8的振动完全重复质点7的振动，只是质点8起振时，通过平衡位置

4
或最大位移处的时间总是比质点7通过相同位置时落后
4
质点12、16未振动.
时，质点8未达到波峰，正在向上振动，
3
(2)t＝
4
时，质点8、12、16的运动状态如何？
解析
由乙图可知，t＝
上振动，质点16未振动.
3
4
时，质点8正在向下振动，质点12向
归纳总结
根据波的形成特点，先振动的质点带动后面的质点振
动，后面质点总是落后于前面质点的振动，每一个质点都在自己
2.联系
(1)振动是波动的起因，波是振动的传播；
(2)有波动一定有振动，有振动不一定有波动；
(3)波动的周期等于质点振动的周期，波动和振动都是周期性运动.
课堂探究
三、由传播方向确定质点振动方向的方法
带动法
原理：先振动的质点带动邻近的后振动的质点.
方法：在质点P靠近波源一方附近的图象上另找一点P′，若P′在
能量传播开来.波源和介质质点之间的相互作用力阻碍波源的振动，是一种阻力，所
以波源的振动不可能是自由振动.相邻的介质质点间存在相互作用，故介质质点也不
是自由振动.
2.如图所示为沿水平方向的介质中的部分质点，相邻质点间的距离相等，其中O为
波源，设波源的振动周期为T，自波源通过平衡位置竖直向下振动开始计时，经过
调相差

第二章 行波法

第二章 行波法
第二章 行波法
2.1 一维齐次波动方程的初值问题
一维波动方程的解可表示成左行波和右行波的叠加, 用此方法求解定解问题，称为行波法，又称为达朗贝尔法， 其过程是： 首先将方程化为双曲第一类标准形式，求出方程的 通解，再由初始条件确定定解问题的解。
2.1.1 达朗贝尔公式
一维齐次波动方程初值问题可表示为
这就是著名的达朗贝尔公式，其中φ,ψ分别为二次和一次可 微函数。 此公式满足波动方程及初始条件，公式中不含任何 待定函数或常数，解函数连续地完全依赖初始条件，所以 解函数是存在的、唯一的、稳定的，故一维齐次波动方程 的初值问题的解是适定的。
达朗贝尔公式 举例 1
试求一维齐次波动方程初值问题
2 2u 2 u , x ,t 0 2 a 2 x t u x,0 sin x , u x,0 2x t
在端点条件的影响区（ x≧0，x-at<0 ），利用达朗贝 尔公式可得
0 1 1 x at u x, t x at x - at ψ ξ dξ ψ ξ d x at 2 2a 0 1 1 x at x at at - x at- x ψ ξ dξ 2 2a
x at x at 2 2
于是在特征线，得表达式
ux, t 0 x ux, t x o x at 0 x at 0
椭圆型方程的初值稳定性
讨论阿达玛 (Hadamard) 问题
其次证明满足微分方程 由
u xx shntsinnx utt shntsinnx
证得 u xx utt 0 因此函数满足初值条件和椭圆方程。

数理方程第3讲

数理方程第3讲

(3 .1 0 )
6
由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得
f1 ( x ) f2 ( x) 1 2 1 2
(x) (x)
2a
1
1
x 0
( ) d ( ) d
C 2 C 2
2a
x 0
把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为
依赖区间
O
xat
xat
x
10
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
2

1 u
2
当u不依赖于q,时, 这个方程可简化为
1 2 u 1 u r 2 2 2 r r r a t
2
a
2
t
2
25
或 但
r
u
2
r
2
2
2 2
u r u r
2

r u
2
a
2 2
t
2
2
.

u r
2
( ru ) r
2 2 2 2u u u 2 u , 2 a 2 2 2 t y z x x , y , z , t 0 . (3 .2 2 ) (3 .2 3) u |t 0 0 ( x , y , z ), u x, y, z . 1 ( x , y , z ), (3 .2 4 ) t t0

第三章 行波法

第三章 行波法

第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。

达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。

第三章 行波法-1

第三章 行波法-1
lim u ( r , t ) = u ( M , t ) = u ( x, y, z, t )
r →0
1 u (r , t ) = 4πr 2
∫∫ u(ξ ,η, ζ , t )dS
S rM
根据 u 的连续性, 可知
这个平均值在 M ( x,y,z ) 固定后, 仅与 r 和 t 有关.
可以证明，作为 r, t 的函数 u
个函数可以由初始条件来确定. 这就是三维波动方程 的关于原点为球对称的解. 整理得
2
即
1 (ru )rr u tt = a r
(ru )tt
= a (ru )rr
2
2.一般情形 考虑 u在以r为半径的球面S rM 上的平均值
其中
ξ = x + r sin θ cos ϕ η = y + r sin θ sin ϕ ζ = z + r cos θ
ξ = 3x − y η = x + y
∂ 2u ∂ ∂u ∂u ∂ξ ∂ ∂u ∂u ∂η = (− + ) + (− + ) 2 ∂y ∂ξ ∂ξ ∂η ∂y ∂η ∂ξ ∂η ∂y
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = −2 + 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2
代入方程化简得:
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
ξ = x + y − cos x η = −x + y − cos x
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
则原方程可以变为
于是，方程的通解为
u(x, y) = f1 (x + y − cosx) + f 2 (−x + y − cosx)
其中 f 1
f ,2
是任意的二次连续可微函数.

行波法与积分变换法-3-0

行波法与积分变换法-3-0

（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。

课件_行波法

课件_行波法

8. 利用行波法来讨论一端固定的半无界弦的自由振动问题 延拓法
2 2u u 2 0 (t 0,0 x ), 2 a 2 x t u ( x) (0 x ) t 0 : u ( x), t x 0 : u 0
由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程的解可以表示 为形如F(x-at)和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出 波动传播的性质。
u( x, t ) F ( x at) G( x at)
~ F ( x) u
x0
at
~ F ( x at) u
O
x0 at
x0
6. 特征线 在前面的讨论中，我们看到在 (x,t) 平面上斜率为±1/a 的 直线x=x0-at和x=x0+at对波动方程的研究起着重要作用，它们 称为波动方程的特征线。我们看到，扰动实际上沿特征线传 播。扰动以有限速率传播，是弦振动方程的一个重要特点。 行波法又叫特征线法
7. 相关概念
1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( )d x at 2 2a
u y 0 x 2 , u x 1 cos y
2
1 2 x h( x) p(0) cos y y h(1) p( y ) 6 2

1 h(1) p(0)
1 2 x cos y y h( x) p(0) h(1) p( y ) 6 1 2 2 h( x) p ( y ) x cos y y 1 6 1 3 2 1 2 2 u ( x, y ) x y x cos y y 1 6 6

行波法-1

行波法-1
1 1 x + at u ( x, t ) = ⎡ ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎤ + ψ (ξ ) dξ ⎣ ⎦ ∫ 2 2a x − at (11)
1 1 x + at u ( x, t ) = ⎡ ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎤ + ψ (ξ ) dξ ⎣ ⎦ ∫ 2 2a x − at (11)
2 ∂ 2u 2 ∂ u = a 2 ∂t ∂x 2
(1)
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2 2 ∂x ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3)
2 2 2 ⎡ ∂ 2u ∂ u ∂ u ∂ u⎤ 2 = a ⎢ 2 −2 + 2⎥ 2 ∂t ∂ξ∂η ∂η ⎦ ⎣ ∂ξ
(4)
• 将(3)及(4)代入(1)得 2 ∂ u (ξ ,η ) =0 ∂ξ∂η
3. 行波法
分离变量法 • 求解有限域内定解问题的一个常用方法 行波法
• 一种只能用于求解无界域内波动方程定解问 题的方法，即求解波动方程柯西问题的方法
3.1一维波动方程的达朗贝尔公式
常微分方程的知识
⎧ 例如： ⎪ y '' ( t ) = 0 ⎪ ⎨ y (0) = 0 ⎪ 1 ⎪ y '(0) = 3 ⎩
u2 = f 2 ( x − at ) u2 = f 2 ( x ) u2 = f 2 ( x − a )
t＝0
t＝1
u2 = f 2 ( x − a / 2 )
u2 = f 2 ( x − 2a )
t＝1/2
t＝2
达朗贝尔公式的物理意义

第3章行波天线

第3章行波天线

缺点: (1)结构庞大，场地大。适用于大型固 定电台作远距离通信用。 (2)副瓣多，副瓣电平较高。 (3)由于终端有负载电阻吸收能量，故 天线效率为50－80％左右。
4.其它形式的菱形天线
d
～
接终端负载
双菱天线
主菱形 回授菱形
终端吸收铁线 回授线 回授线长度调节器
回授式菱形天线
3.1.3 行波V形天线
1.菱形天线的构成
l 2φ h
接 特 性 阻抗
接馈线
λ ⎞ ⎛ θm1 = cos ⎜1 − ⎟ ⎝ 2L ⎠
−1
1 2θ0 4 3 θm1 2
负 载
菱形天线的辐射
I1dL1
～
θ
dEθ1 dEθ2
I4=－I1
长轴辐射场的相位差决定于三个因素： 1.电流方向相反产生相位差π； 2.极化方向相反(电场方向相反) 产生的相位差π ； 3.路程差为0
馈 线 Rl V形斜天线
Rl
电台
Rl
倒V形天线（又称为Λ天线）
3.1.4 低架行波天线
工作方向 l
终端电阻
电台
架设方便、隐蔽
E⊥ dI dx l dε2 “2” dε1 dx “1” xcosϕ ϕ x x=0 E11 x
E11
E⊥
ϕ=0o x
低架行波天线接收过程
o φ=90
o φ=90 o φ=0 180o
H＝ l
λ
4 sin Δ 0 1 2 (1 − sin φ 0 cos Δ 0 )
0
λ
=
φ 0 = 90 − Δ 0
菱形天线的优点: (1)菱形天线可以在2:1或3:1频率范围内使用， 频带宽。 (2)结构简单，架设经济，维护方便。 (3)方向性较强,适合于短波远距离定点通信。 (4)天线上驻波成分很小，因此不会发生电压 或电流过大的问题，可应用于较大的功率。

第9章 行波法

第9章 行波法

第九章 行波法§34行波法行波法只适用于波动方程，它本身具有明确的物理意义 。

§34.1达朗伯公式.行波讨论一线密度为ρ，张力为T 的无限长均匀轻弦，并设初始位移为()x ϕ，初始速度为()x ψ，则定解问题为()()2000tt xx t tt u a u ux u x x ϕψ==⎧-=⎪⎨==-∞<<∞⎪⎩由22121122a a a a -=知该微分方程为双曲型，由特征方程： 211122220dy dy a a a dx dx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 得2210dt a dx ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭ 即22dx a dt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则特征线为1x at c -=和2x at c += 作变换,x at x at ςη=-=+， 于是有0u ςη= 即()()12u f f ςη=+，其中1f 和2f 为任意函数，代入原自变函数形式为()()()12,u x t f x at f x at =++-。

讨论：1、函数叠加；2、函数传播；3、对于有限区间，两独立函数乘积由初始条件有：()()()()()()()()()()()012121210201xx f x f x x af x af x x f x f x d f x f x a ϕψψςς⎧+=⎪⎨''-=⇒-=+-⎪⎩⎰ ()()()()()()()()()()001102021020111222111222x x x x f x x d f x f x a f x x d f x f x a ϕψςςϕψςς⎧=++-⎡⎤⎣⎦⎪⎪⎨⎪=---⎡⎤⎣⎦⎪⎩⎰⎰ 则()()()()11,22x atx at u x t x at x at d aϕϕψςς+-=++-+⎡⎤⎣⎦⎰物理意义：对于无限长弦的自由振动，任意扰动是以行波的形式向两方传播出去，波速为a 。

讨论： ①()()()00,0x x u x t ϕψ==⇒=②()()()()()()()()1,021,2t u x x x x t u x t x at x at ϕϕψϕϕ==+=>=++-⎡⎤⎣⎦③01212(,0)0(,)(,0)0(,)x x x x x x x x ϕψψ=⎧⎪∈⎧⎨=⎨⎪∉⎩⎩11012210211(,)()()22()()011()()()221()2x at x atx u x t d d a a x at x at x x x d x x x x x a a x x x x aψξξψξξψξξψψ+--∞-∞-∞=-≡Φ+-Φ-⎧⎪≤⎪⎪Φ==-≤≤⎨⎪⎪-≤⎪⎩⎰⎰⎰P172-174§34.2 端点的反射研究半无限长弦的自由振动，其定解问题为：①()()220000000ttxx t t t x T u a u a x u x u x x u ρϕψ===⎧-==<<∞⎪⎪⎪==≤<∞⎨⎪=⎪⎪⎩由边界条件00x u==知，若其将半无限长弦看做无限长弦的0x ≥部分，则(),u x t 应为奇函数，相应的()x ϕ和()x ψ也应作奇拓展。

第三章 行波法

第三章 行波法

,那么在 之间呢？我们不能回答这个问题，事实上，当 时， ，取极限就是把不等的部分补上了。不过，要严格证 明这个问题， 需要用到 函数， ， 它相当于(3.1.14)的极限形式。 直接的推导见[23]p206-210，那里也称之为冲量法。
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
，
另一推导见[24] P58-60，[1]p54-57
在唯一解 证明 注意到 Dalembert 公式知道 Cauchy 问题(3.1.13)的解。 初始条件：显然 是
1. 一维波动方程的 Cauchy 问题
1.1 一维齐次波动方程的 Cauchy 问题
1.1.1 DAlembert 公式 考察齐次弦振动方程的 Cauchy 问题 (3.1.1) 为求此问题的解，注意到弦振动方程有两簇特征线 为新的坐标轴，则可将弦振动方程化为第一标准型，为此引进坐标变换 由链式法则可将(3.1.1)的泛定方程化为 (3.1.3) 两边对 积分再对 积分得 (3.1.4) 代回到原变量 可得原方程的一般解 (3.1.5) 其中 与 是两个任意连续可微函数。 为了求 Cauchy 问题(3.1.1)的解，还须适当地选取 使得初始条件成立，但我们实际 做的却是用初值去定出这两个任意可微函数。将初值代入通解(3.1.5)得 (3.1.6) (3.1.7) 对(3.1.7)积分得 ，若以特征线 (3.1.2)
，则
必是半无界问题(3.2.3)的解。
我们将
表为更明确的形式。
(3.2.5) 这样我们求得了半无界问题(3.2.3)的形式解。为了保证形式解(3.2.5)的确是问题(3.2.3) 的解，还须对右端函数加上一定的条件，例如，我们可以证明： 定理 3.5 如果 ， 且适 合如下的相容性条件， ，则半无界问题(3.2.3)的解 ，该解由公式(3.2.5)表出且在有限时间内按最大模一致稳定。 证明 我们只证相容性条件，其余留着习题。 注意到初始条件 ，边界条件 ， 。而 。由 的 ，由 所以 。/// 2.2 再看 的情形 ，则原问题(3.2.1)化为在 ，从而 ，从而 得

数学物理方法3-3行波法

数学物理方法3-3行波法

第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
§3.3.2
一般二阶线性方程的分类
2u 2u 2u u u A 2 2B C 2 D E Fu 0 x xy y x y
两个自变量的二阶线性方程的一般形式：
特征方程 A(dy ) 2 2 Bdxdy C (dx) 2 0
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
§3.3
行波法
§3.3.1 达朗贝尔公式及其物理意义 §3.3.2 §3.3.3 一般二阶线性方程的分类 半无界区域上的问题
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
§3.3.1 达朗贝尔公式及其物理意义 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界区域上的波动方程等…

0
引理 3.3.3
对定理 3.3.1 中的问题, 当函数 f ( x, t ) 是关于 x 的
奇 （偶， 周期） 函数， 则该问题的解 u2 ( x, t ) 也是关于 x 的奇 （偶， 周期）函数。
第三章
偏微分方程的定解问题
第三节 行波法
2 2 2 x , t1 0 t 2 a x 2 , t1 t 1 令： ( x, 0) 0, ( x, 0) f ( x, ), x t1 1 x at1 1 x a (t ) ( x, t1 ) f ( , )d f ( , )d x at x a t ( ) 1 2a 2a

第3章 行波天线2011

第3章 行波天线2011
极化如图所示。 极化如图所示。
∴ψ p = π
λ ∴ψ = ψ i + ψ r + ψ p = −kl + kl cos arccos1 − + π 2l 2πl λ λ = -kl + kl 1 - + π = − +π = 0 λ 2l 2l
2l
上式适用于l/λ很大时的最大辐射角的计算。 上式适用于 很大时的最大辐射角的计算。 很大时的最大辐射角的计算
第3章 行波天线
行波天线的输入阻抗近似为一纯电阻， 行波天线的输入阻抗近似为一纯电阻，可以利用坡印廷矢 量在远区封闭球面上的积分求出辐射电阻，如图 所示， 量在远区封闭球面上的积分求出辐射电阻，如图3―1―3所示， 所示 与驻波天线的辐射阻抗图1―4―5对比，可以看出，行波单导线 对比，可以看出， 与驻波天线的辐射阻抗图 对比 的阻抗具有宽频带特性。 的阻抗具有宽频带特性。 行波单导线的方向系数可以用下列近似公式计算： 行波单导线的方向系数可以用下列近似公式计算：
第3章 行波天线
l
2φ0
H
接接接 电阻
接同同
图 3―1―4
第3章 行波天线
由于菱形天线两线之间的距离是变化的， 由于菱形天线两线之间的距离是变化的 ， 故菱形 线上各点的特性阻抗不等， 从锐角端的600～ 700 变 线上各点的特性阻抗不等 ， 从锐角端的 ～ 化到钝角处的1000 。 各点特性阻抗的不均匀性引起 化到钝角处的 天线上局部的反射，从而破坏行波状态。 天线上局部的反射 ， 从而破坏行波状态 。 为了使特性 阻抗变化较小，菱形的各边通常用2～ 根导线并在钝 阻抗变化较小 ， 菱形的各边通常用 ～ 3根导线并在钝 角处分开一定距离，使天线导线的等效直径增加， 角处分开一定距离 ， 使天线导线的等效直径增加 ， 以 减小天线各对应线段的特性阻抗的变化。菱形天线的 减小天线各对应线段的特性阻抗的变化。 最大辐射方向位于通过两锐角顶点的垂直平面内， 最大辐射方向位于通过两锐角顶点的垂直平面内 ， 指 向终端负载方向，具有单向辐射特性。 向终端负载方向，具有单向辐射特性。
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u( x, t ) f ( ) f 2 ( ) f1 ( x a t ) f 2 ( x a t )
首先，考虑
u2 ( x, t ) f 2 ( x at)
，这样的函数是代表一个沿
u2
x 方向传播的行波。
为了说明这一点，不妨考虑一个特例。
当t 0时， u2 f 2 ( x )
齐次波动方程，反映介质一经扰动后，在其所在的区域内不再受到外力的 作用，如果问题的区域是整个空间，由初始扰动所引起的振动，就会一往 无前地传播出去，形成“行（进）波”，简称为“行波”。 有鉴于此，对于无界区域（无界域）的齐次波动方程，可以采用：
先定义并求出通解
然后确定任意常数并找 到特解
第三章 行波法与积分变换法
对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的。
原因之一：在偏微分方程中，相对而言，较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意
函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的
困难。
但是，事情往往都不是绝对的。通过分析，我们发现有一种情况例外：
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
这样，我们不仅有了通解
u( x, t ) f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
在第二章中，我们较为详细地讨论了分离变量法。它是求解有限域内
定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系 中的，能用若干个只含有一个变量的方程表示），对三种典型的方程——
波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程（空间静电场分布、静磁场分
布、稳定温度场分布）均可运用。
在本章中，我们将介绍另外两个求解定解问题的方法： 行波法： ——只能用于求解无界域内 波动方程的定解问题。
推导
利用复合函数微分法则得
u u u u u 1 1 x x x u u
2u x 2
2 2u 2 u a ( 3.1) t2 x 2
x at x at
由此可见，初位移、初 速率对状态的影响。
为什么这里的积分限会是如此？
且看演绎！
u t 0 ( x ) u t t 0 ( x )
u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x ) a f 1 ' ( x ) a f 2 ' ( x ) ( x )
（3.8 ）与（3.10 ）联立，解得
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
u( x, t ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
t 0
( x) ，得
( x ) ，得
f1 ( x ) f 2 ( x ) ( x )
a f1 ( x ) a f 2 ( x ) ( x )
(3.8)
( 3.9)
t 0
在（3.9 ）式两端，对 x 积分一次，得
f1 ( x ) f 2 ( x ) 1 ( )d C a ( 3.10)
积分变换法：
——不受方程类型的限制，主 要用于无界域，但对有界域也
能应用。
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）
但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的
通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 本节我们就一维波动方程，首先建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。
u2 ( x, t ) f 2 ( x a t )
1 a 当t 时， u2 f 2 ( x ) 2 2

a 2
0
3a 2
x
u2
的图形，以速度 a ，向 x
轴的正方向移动。
当t 1时， u2 f 2 ( x a )
0
xa 2
u2
所以，它表示一个以 以速度 a ，向 x 正方向传
( 3 .7 )
把这里已经确定了的 f1 ( x ) 和 f 2 ( x )
x C 1 1 f ( x ) ( x ) ( ) d 2 2 a 0 1 2 f ( x ) 1 ( x ) 1 x ( )d C 2 2 2 a 0 2
则得到通解
u( x , t ) f ( )d f 2 ( )
f1 ( ) f 2 ( )
( 3 .6 )
则得到通解
u( x , t ) f ( )d f 2 ( )
f1 ( ) f 2 ( )
x at ，带回原来的变量 x , t , 就得出 利用变换式 x at
（3.2）式就被写成了
u
所作代换
2u 0 或 0
(3.5)
,改写成
x a( ) , t
1 x ( ) 2 1 t ( ) 2a
即就是原来所作的代换
x at x at
数学物理方法
第三章
行波(Travling Wave)法 与 积分变换(Integral Transform)法
行波法的基本思路： 是通过自变量的变换，将方程转化为可以
先求通解，再求特解。
适用范围：
无界域齐次波动方程
——“一语道破！”
引子 — —
我们知道，要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是： 先求出它的通解，
而且，还有了满足定解条件的特解
u( x, t ) [ ( x at) ( x at)]
1 2
1 2a

x at
x at
( )d
请务必注意积分限的对应关系！
右上角第二式对x 积分一次，得 f1 ( x ) f 2 ( x )
1 a

x
0
( )d C
(3.1)
推导
上式可以分解为
( a )( a )u 0 t x t x ( 3.2 )
作代换
x a( ) , t
,因为这样一来，
t x a t x t x
t x Leabharlann ( a ) t x t x
2u 2u 2u 2u 2 a 2 2 2 t 2
（ 3.3 ）、（ 3.4 ）代入（ 3.1 ）式，得到

( 3 .4 )
u
2u 0 或 0
(3.5)
方法之二：
2 2u 2 u a 0 t2 x 2
代回到（ 3.7）式中去，即得到
2 2u 2 u 方程 a ，在条件 u( x,0) 2 2 t x
和 ut ( x,0)
1 2a
下的解
( 3.11)
u( x, t ) [ ( x at) ( x at)]
1 2

x at
x at
( )d
演绎
无限长细弦自由振动的 达朗贝尔（DAlembert）公式：
u( x, t ) [ ( x a t ) ( x a t )]
1 2
1 2a

x at
x at
( )d
（二）达朗贝尔公式（一维波动方程的解）的物理意义分析： 由于达朗贝尔公式是由通解公式得到的，因此让我们由此开始。
u
2u 0 或 0
(3.5)
2 2u u 2 a ( 3.1) 2 2 t x
这样的方程，较之（ 3.1 ），要简单得多 ; 且可以通过积分直接求 解。
方程 ( 3.5 ) 可以写成
u ( )0
u u 上式对 求积分，因 与 无关，取 f ( )，再对 求积分，
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式 弦振动方程的初值问题——无界弦的自由振动
ut ( x,0) ( x )
物理背景：
2 2u 2 u a 2 t x2 u( x,0) ( x )
, x , t 0
柯西问题
“无限长”细弦的自由横振动； “无限长”杆的自由纵振动； 或电阻、电导都为零的“无限长”传输线上的电流、电压的变化。。 这种方程的通解很容易求出，而且根据定解条件挑选特解也比较容易。
( 3 .6 )
u ( x, t ) f1 ( ) f 2 ( ) f1 ( x at) f 2 ( x at)
( 3 .7 )
其中 f1 与 f 2 都是任意连续两次可微 函数。上式就是泛定方 程
ut t a 2uxx 0
的通解。
(3.1)
结论：无界弦自由振动 方程的通解，可以表示 为形如 f1 ( x at ) 与 f 2 ( x at ) 的两个函数之和。
播的行波，称为右行波 。
当t 2时， u2 f 2 ( x 2a )
同样道理，
0
a
x
3a
u1 ( x, t ) f1 ( x at) 相应表示一个以速度为a，沿 x 轴负方向传播的行波，
称为左行波。达朗贝尔公式表明，弦上的任意扰动，总是以行波的形式，同时分别向两个方向 传播出去，其传播速度正好是弦振动方程中的常数 a 。基于上述原因，本节所用的方法，便称 其为行波法。