第三章行波法

第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。

公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。

若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。

方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。

顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。

第三章 行波法§3.1 达朗贝尔公式（P150-152）1．确定下列初值问题的解（1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -===解：因为()()0,1x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x at x at x at u x t d aϕϕψαα+--++=+⎰ =t（2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()2sin ,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =2231sin cos 626x at x at a t a⎡⎤++⎣⎦ =2231sin cos 3x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -===解：因为()()3,x x x x ϕψ==由达朗贝尔公式有：()()()()1,22x at x atx at x at u x t d a ϕϕψαα+--++=+⎰ =()()1cos cos 122x at x at x at x at e d aα+---+++⎰ =1cos cos x at e t -+2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ϕ，初始速度为()'a x ϕ-。

解：该问题的数学模型为：()()()()2',,0,0,,0tt xx t u a u x t u x x u x a x ϕϕ⎧=-∞<<+∞>⎪⎨==-⎪⎩由达朗贝尔公式：()()()()'1,22x at x atx at x at u x t a d a ϕϕϕαα+--++=+-⎰=()x at ϕ- 2．求解弦振动方程的古沙问题()()()()()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ϕψ=⎧⎪-=-∞<<+∞⎨⎪=-∞<<+∞⎩解：该方程的通解为：()()()12,u x t f x t f x t =++- （1）令：t x =-()()()1202x f f x ϕ=+令： t x =()()()1220x f x f ψ=+令2y x =，则有：()()()()12210202y f y f y f y f ψϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩所以：()()1102x t f x t f ψ+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()()2202x t f x t f ϕ-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭()()()12,0022x t x t u x t f f ψϕ+-⎛⎫⎛⎫=+-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭又 ()()121(0)(0)002f f ϕψ+=+⎡⎤⎣⎦ 所以古沙问题解为： ()()()00,222x t x t u x t ϕψψϕ++-⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。

第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3） （1）+（3）得 )]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a tu t 解：略。

达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。

第三章行波法数理方法研究物理和工程问题的三大步骤：1、写出定解问题2、求解3、分析解答我们已经学会了导出方程和写出定解条件（定解问题）的基本方法，下边的重点是求解和解答过程：各种求解数学物理方程的方法，主要包括：1、行波法2、分离变量法3、积分变换法4、格林函数法5、保角变换法本章问题的引入：1、无限长细弦的抖动（一维）2、投石入水中形成的圆形扩散波（二维）3、灯塔上的灯光（三维）若当研究问题时只关心一端时间某处发生的振动，边界的影响还来不及达到该处，波将一直向前传播，称此为行进波（行波），解决这类行波问题引入了行波法。

中心：用行波法求解无界空间波动问题。

1、掌握达朗贝尔公式的应用和行波法解题步骤；2、有源问题化为无源问题的冲量法；3、三维问题化为一维问题的平均值法。

三、分析解答：1、适定性的证明：（1）解存在：并且满足泛定方程和定解条件；利用公式（2）唯一性：因为f 1和f 2的任意性已经由定解条件确定，所以解是唯一的。

（3）稳定性：不妨设：()()()()110022|, |t t t x x u u x x ϕψϕψ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩()()()()1212||,||x x x x ϕϕδψψδ−≤−≤2、行波法：（1）它基于波动的特点；（2）引入了坐标变换简化方程；（3）优点：求解方式易于理解，求解波动方程十分方便；（4）缺点：通解不易求，有局限性。

习题 3.12232110, (,0)0, (,0)1;(3) 0, (,0), (,0);8230(,0)3(,0)0tt xx t tt xx t xx xy yy yu a u u x u x u a u u x x u x x u u u u x x u x −===−===+−=⎧⎪=⎨⎪=⎩、确定下列初值问题的解：（）、解下列初值(仅需思考，选作）问题：OXYZ(,,)M x y z 0000(,,)M x y z ϕθ处的解和xyzz ′x ′y ′ϕθ(,,)M x y z ′′′′(,,)M x y z泊松公式的物理意义：定解问题在M 点t 时刻的值与以M 点为中心，以at 为半径的球面上的初值确定的。

第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。

达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。