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分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
第三章行波法与积分变换法在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。
本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。
行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。
对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。
但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。
本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。
对于一维波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （3.1） 作如下代换：x at x at ξη=+⎧⎨=-⎩（3.2） 利用复合函数微分法则，得u u u u u x x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 2222222()()2u u u u u x x xu u u ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （3.3）同理有2222222222()()[2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂ （3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得20u ξη∂=∂∂ （3.5） 将（3.5）式对η积分得()u f ξξ∂=∂，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ （3.6）其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x xu a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t ax G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx at x dt t aat x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。
已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。
称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
三、公式的物理意义 由)()(),(at x G at x F t x u -++=其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波，)(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。
达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。
因此此法称为行波法。
四、依赖区间、决定区域、影响区域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。
区间[x-at,x+at]称为点（x,t ）的依赖区间对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。
故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。
因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t 后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为0,21>+≤≤-t at x x at x而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
例 求解柯西问题：⎪⎩⎪⎨⎧+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202x u x u x y u u u y y y yy xy xx解：其特征方程为0)(32)(22=--dx dxdy dy由此可得特征线方程为dy x c y x =+=-3因此作变换⎩⎨⎧+=-=y x y x μξ,3 从而可得ηξ∂∂∂u2＝0 从而有)()3(),(y x G y x F y x u ++-=由初始条件可得)()3(3)()3(''2=+-=+x G x F x x G x F所以有C x G x F =-)(3)3(，从而可得Cxx G Cx x F +=-=43)(49)3(22故而可知223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。
补充：Fourier 变换一、定义设)(x f 为定义在),(+∞-∞，若积分⎰+∞∞--=dx e x f s F isx )()(存在，称)(s F 为)(x f 的Fourier 变换。
⎰+∞∞-=ds e s F x f isx )(21)(π称为)(s F 的逆Fourier变换。
记⎰⎰∞+∞--+∞∞--====dse s F s F F xf dxe xf s F x f F isxisx )(21)]([)()()()]([1π二、性质 1．线性性质若已知),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则有).()()]()([2121s bF s aF x bf x af F +=+ 2．对称性若)()]([s F x f F =，则)(2)]([s f x F F -=π。
3．相似性若)()]([s F x f F =，则)(1)]([as F a ax f F = 4．延迟性若)()]([s F x f F =，则若0)()]([0isx e s F x x f F -=- 5．频移性若)()]([s F x f F =，则)(])([00s s F e x f F x is -=，)(])([00s s F e x f F x is +=-。
6．微分性若)()]([s F x f F =，则)()](['s isF x f F =，特别)()()]([)(s F is x f F n n =。
7．积分性若)()]([s F x f F =，则)(1])([s F isdx x f F =⎰。
8．卷积性若),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则)()()](*)([2121s F s F x f x f F =。
§3.3 积分变换法举例例1、 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为),(t x F 的热源，杆的初温为)(x ϕ，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：.- ),(u 0, ,- ),,(0222+∞<<∞=>+∞<<∞+∂∂=∂∂=x x t x t x f xu a t u t ϕ 很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。
下面我们用Fourier 变换法求解。
用),(),,(t s G t s U 表示),(),,(t x f t x u 的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变换可得G U s a dtt s dU +-=22),( 此为一阶ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解条件)(0s U t Φ==从而可得τττd e s G e s U t sa t s a )(2222),()(---⎰+Φ=再利用Fourier 逆变换可得原问题的解。
由Fourier 变换表知ta x ts aeta e F 2224121][---=π再由Fourier 变换的卷积性质知⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=tt a x ta x d et f d a d et at x u 0)(4)(4)(222),(21)(21),(ξττξτπξξϕπτξξ。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化； 2．对所得简化问题求解；3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C 0 ，求杆上温度分布规律。
解：由题意可知，等价于求下定解问题),(u .0,0u 0, ,0 ,00222t f x t x xu a t u x t =+∞<<=>+∞<<∂∂=∂∂== 此问题不能用Fourier 变换法（？）。
要用Laplace 变换法求解。
若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t 的Laplace 变换。
记)}({)()},,({),(t f L p F t x u L p x U ==，则作Laplace 变换可得)(0222p F U dx Ud apU x ==-从而可得xapxap BeAeU +=-由定解条件知，当∞→x 时，U 有界，从而可得Ｂ＝０．又)(0p F U x =-，故xa pe p F U -=)(为求原问题的解，下用Laplace 逆变换，查表可知)0(1)}2({2)(2≥==-+∞-⎰k e p tkerfc L dte y erfc pkyt π令axk =，则知 ⎰⎰∞+---+∞-===ta xy paxyt dye ta x erfc e pL dte y erfc 222412)2(}1{2)(ππ再由Laplace 变换的微分性质知ta x ta xy pax pax eta x dy edt d epp L eL 222242/341122[}1{}{-∞+-----===⎰ππ最后，由Laplace 变换卷积性知⎰---=tt a x d et f a x t x u 0)(42/32)(1)(2),(τττπτ。
注：从例1 和例2解的表达公式不难看出：函数ta x eta x 2242-π对热传导问题起重要作用。
