第三章-行波法与积分变换法Word版
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ch3 行波法与积分变换法
9 2 f1 (3 x ) x C 4 3 2 f2 ( x) x C 4
1 2 f ( x ) x C 1 4 f ( x) 3 x2 C 2 4
代入 u( x , y ) f1 (3 x y ) f 2 ( x y ) 得到所求的解为:
行波法与积分变换法
行波法只适用波动方程的初值问题.
积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于
自变量为无限的情形，其主要思想：降维 使用积分变换法的两个困难： 1、选取哪一种积分变换 2、逆变换难求
(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；
(2)了解三维波动方程的泊松公式； (3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；
常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1，2) 的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征 线传播的。
x at 变换 常称为特征变换，行波法也称为特征 x at 线法。
注：
容易看出, 一维波动方程的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx 1 ( x at ) 2 ( x at ) | | 1 ( x at ) 2 2 1 x at 2 ( x at ) | | 1 ( ) 2 ( ) | d 2a x at 1 1 x at d 2 2 2a x at 即: | u1 u2 | (1 t )
1 3 2 u( x , y ) (3 x y ) ( x y )2 3 x 2 y 2 4 4
2 u 2sin x u cos x u yy cos x u y 0 例2 求方程 xx xy
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法第3章行波法及积分变换法
e jat e jat ( ) e jat e jat ( ) 2 a 2j
1 1 ( ) jat ( ) jat jat jat ( )e ( )e e e 2 2a j j
x at 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( ) d ( ) d 0 0 2 2a
f ( n 1) (0)
f '(x) pF ( p) f (0)
f ''(x) p2 F ( p) pf (0) f '(0)
偏微分方程变 常微分方程
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例3 解定解问题 2 u 2 u , x 0, t 0 a 2 x t x0 u ( x,0) 0, u (0, t ) N , t0 解：对t求拉氏变换 2 d U ( x, p ) 2 pU ( x , p ) a , x0 2 dx N U (0, p ) p
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
u( x, t )的大小完全取决于
初始条件 ( x), ( x)在区间[ x at , x at ]的值
而与区间外面的 ( x), ( x)的值无关
决定区域
积分变换法
G (ω ) x取傅立叶变换 p U (ω , p ) − F (ω ) = −ω U ( x, p ) + 2 p x 1 ↔ G (ω ), ↔ F (ω ) 其中 2 2 2 (1 + x ) 1+ x
2 2
G (ω ) + F (ω ) 2 G (ω ) 1 ω p U (ω , p ) = = 2 + F (ω ) ⋅ 2 ⋅ p2 + ω 2 p p + ω2 ω
U (ω , t ) = Ce
− a 2ω 2t
C =1
u
2 2
U (ω , t ) = e
− a 2ω 2t
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
↔ e −a ω t
u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
2 拉氏变换法 拉普拉斯变换的定义
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
3.3 积分变换法
1 傅里叶变换法 傅里叶变换的定义 +∞ F (ω , t ) = ∫ f ( x, t )e − jω x dx
−∞
1 +∞ f ( x, t ) = F (ω , t )e jω x dω 2π ∫−∞ 傅里叶变换的性质
微分性 位移性 积分性 相似性 f ( n ) (x) ↔ ( jω ) n F (ω ) f(x − a) ↔ F (ω )e − jω a x 1 ∫0 f (ξ )dξ ↔ jω F (ω ) 1 ω f (ax) ↔ F ( ) a a
F (ω ) f(ξ)dξ ↔ jω
2 2
G (ω ) + F (ω ) 2 G (ω ) 1 ω p U (ω , p ) = = 2 + F (ω ) ⋅ 2 ⋅ p2 + ω 2 p p + ω2 ω
U (ω , t ) = Ce
− a 2ω 2t
C =1
u
2 2
U (ω , t ) = e
− a 2ω 2t
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
↔ e −a ω t
u ( x, t ) =
1 2a πt
e
−
x2 4σ 2t
x
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
2 拉氏变换法 拉普拉斯变换的定义
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换
3.3 积分变换法
1 傅里叶变换法 傅里叶变换的定义 +∞ F (ω , t ) = ∫ f ( x, t )e − jω x dx
−∞
1 +∞ f ( x, t ) = F (ω , t )e jω x dω 2π ∫−∞ 傅里叶变换的性质
微分性 位移性 积分性 相似性 f ( n ) (x) ↔ ( jω ) n F (ω ) f(x − a) ↔ F (ω )e − jω a x 1 ∫0 f (ξ )dξ ↔ jω F (ω ) 1 ω f (ax) ↔ F ( ) a a
F (ω ) f(ξ)dξ ↔ jω
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
第三章 行波法与积分变换法
第三章行波法与积分变换法在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。
本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。
行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。
对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。
但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。
本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。
对于一维波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （3.1） 作如下代换：x at x at ξη=+⎧⎨=-⎩（3.2） 利用复合函数微分法则，得u u u u u x x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 2222222()()2u u u u u x x xu u u ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （3.3）同理有2222222222()()[2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂ （3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得20u ξη∂=∂∂ （3.5） 将（3.5）式对η积分得()u f ξξ∂=∂，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ （3.6）其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。
第三章-行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
数理方程第3讲
(3 .1 0 )
6
由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得
f1 ( x ) f2 ( x) 1 2 1 2
(x) (x)
2a
1
1
x 0
( ) d ( ) d
C 2 C 2
2a
x 0
把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为
依赖区间
O
xat
xat
x
10
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
2
1 u
2
当u不依赖于q,时, 这个方程可简化为
1 2 u 1 u r 2 2 2 r r r a t
2
a
2
t
2
25
或 但
r
u
2
r
2
2
2 2
u r u r
2
r u
2
a
2 2
t
2
2
.
u r
2
( ru ) r
2 2 2 2u u u 2 u , 2 a 2 2 2 t y z x x , y , z , t 0 . (3 .2 2 ) (3 .2 3) u |t 0 0 ( x , y , z ), u x, y, z . 1 ( x , y , z ), (3 .2 4 ) t t0
行波法
+ c2 e
px +α y − iβ y
(12)
3．1 达朗贝尔公式
本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.
例子. 一维波动方程的达朗贝尔公式
设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为
泛定方程 u tt − a 2 u xx = 0 初始条件
(1) (2) (3)
u t =0 = ϕ ( x ), ut
第三章 行波法与积分变换法 3.0 二阶线性偏微分方程的行波解
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以 自变量的线性组合作变量代换，进行求解 的一种方法，它对波动方程类型的求解十 分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的 简单二阶线性偏微分方程
au xx + bu xy + cu yy = 0
，则
u( x, y) = c1e
2
px+q1 ( p ) y
+ c2e
px+q2 ( p ) y (10)
(ii) b − 4ac = 0, 抛物型，上述方程有相等的实根
q1 ( p ) = q2 ( p )
，则
u(x, y) = c1e
px+q1 ( p) y
+ c2 xe
px+q1 ( p) y
（11）
⎧ 根据(10)得 ⎪0,( x ≤ x1 ) ⎪ x 1 ⎪1 Φ( x) = ∫−∞ψ (ξ )dξ = ⎨ 2a ( x − x1 )ψ 0 ,( x1 ≤ x ≤ x2 ) 2a ⎪ ⎪1 ⎪ 2a ( x2 − x1 )ψ 0 ,,( x ≥ x2 ) ⎩
这里
行波法与积分变换法
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
在 x t 平面上斜率为
, 对一维波动方程的研究起到重要作用, 常数 称这两族直线为一维波动方程的特征线, 变换
1 的两族直线 x at a
x at 称为特征变换, 行波法也叫特征线法. x at
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
1 1 f x f x x 2 at x at ] u x, t 1 [ x d 2 2a x at x 1 x d C f1 x f 2 —达朗贝尔(D’Alembert)公式 .
af '1 x af ' 2 x x ……………②
由第二式得
1 f1 x f 2 x d C .............③ a0 其中 C f (0) f (0) 1 2
x
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
由① ,③ 代入通解表达式，得
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
可以证明，当 ( x, y) 0 时，有两条相异的实特
征线
1 ( x, y) c1,2 ( x, y) c2
因此特征线法对双曲型方程都是有效的，沿着特 征线做自变量替换 1 ( x, y), 2 ( x, y) 总可以 把双曲型方程化为
2u 2u 2u 2 2 2
代入方程化简得:
2u 0
3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
第二式的两端得关于 它的通解为
x
积分得
1 1 u f1 3x f x f 1 f 2 f1 0 f 2 0 C 2 3 3 9 2 3 f f 其中 . 3x x C 解得 1 , f21是两个二次连续可微函数 4 4 1 2 3 于是原方程的通解为 f1 x x C 4 4 ux, y f 3 x y f x y 3 3 1 2 2 f x x C 2 4 4 2 代入初始条件 u | y0 3x , u y | y 0 0 ，得 所求问题的解为
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
数理方程第三章(1)
为正、为零或者为负而确定的。 或者为负而确定的。 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、抛物 如果方程在一个区域内的每点都是双曲型、 型或椭圆型的， 型或椭圆型的，那么就称方程在这个区域内是双 曲型、抛物型或椭圆型。 曲型、抛物型或椭圆型。
双曲型方程 注2：行波法适用于双曲型方程。 ：行波法适用于双曲型方程。
x = x1 + at
B
x1
x = x2 − at x2 x
B = {( x, t ) | x1 + at ≤ x ≤ x2 − at , t ≥ 0}
决定区域。 称三角区域 B 为区间 [ x1 , x2 ] 的决定区域
进一步的分析其物理意义表明, 进一步的分析其物理意义表明, 在 xot 平面上
x1 − at ≤ x ≤ x2 + at
称区域
(t > 0).
A = {( x, t ) | x1 − at ≤ x ≤ x2 + at , t > 0}
t
为区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域。 影响区域
x = x1 − at
x = x2 + at
A
x1
x2
x
(3) 决定区域
t
考虑区间 [ x1 , x2 ],
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u = 2 +2 + 2, ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.4)
同理可得
∂u2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 = a ( 2 −2 + 2) 2 ∂t ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
(3.1.5)
将 (3.1.4), (3.1.5) 代入到 (3.1.1), 可以得到
∂ 2u = 0. ∂ ξ∂ η
行波法-3-2(E)
y
2) 求出 u ( r , t ) 的通解
基于前面的考虑，以下 将证明 ( ru ) 满足一维波动方程： 基于前面的考虑， 满足一维波动方程：
2 ∂ 2 [ru ( r , t )] 2 ∂ [r u ( r , t ) ] =a 2 ∂t ∂ r2 描写一种球面波， 上也果真如此。 出这点， 首先可以预料 u( r , t ) 描写一种球面波，事实 上也果真如此。为了看 出这点，
0
r
∫
0
r
u ( ρ , t ) ρ 2 dρ
∂2 为何跑得如此利索？！ 为何跑得如此利索？！ ∂t 2
S rM
详见附录推证
= a 2 ∫∫
S rM
∂u ∂u 2 ∂ dS = a 2 ∫∫ r dΩ = 4πa 2 r 2 u (r , t ) ∂n ∂n ∂r S rM
将上述两个结果代入（ ），得到 将上述两个结果代入（ 3.25），得到
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u ) =a ( 2 + + ∂ t2 ∂x ∂ y2 ∂ z2
S rM
( 3.21)
M ′(ξ ,η , ζ )
θ
M ( x, y, z )
r
u
∂u ∂t
t =0
= ϕ ( x, y, z )
( 3.22)
ϕ
z x o
t −0
= ψ ( x, y, z )
经过这样一捣鼓
⇒
2 ∂ 2 ( ru) 2 ∂ ( ru ) =a 2 ∂ r2 ∂t
2
的一维波动方程！ 这是一个关于 (ru)ห้องสมุดไป่ตู้的一维波动方程！其通 解为
∂ 2 ( ru) ∂ 2 ( ru) 上式可变型为 a − =0 ∂ r2 ∂ t2
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
S上下 : ( at ) 2 ( x ) 2 ( y) 2
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
行波法积分变换法
1 u ( x, t ) ( ( x at ) ( x at )) 2 1 x at ( )d . 2a x at
这个公式称为达朗贝尔公式。
9
举例，求解弦振动方程的柯西问题
2u 2u 2 0 (t 0, x ) 2 t x t 0 : u x, u sin x ( x ) t
F ( )
1 f ( x) 2
. Fourier变换
1 设 f ( x) 是定义在R上的函数，且 f ( x) C [L, L]
则
f ( x) 可以展开为Fourier 级数 a0 n
f ( x)
n an cos x bn sin x 2 L L n 1
L
其中
1 an L 1 bn L
由达朗贝尔公式可得其解为：
1 1 x t u ( x, t ) (( x t ) ( x t )) sin d 2 2 x t 1 x t 1 x ( cos x t ) x sin x sin t 2 2
10
•第二节 一维定解问题的积分变换法
给我们以启发，通过适当的变量代换，令
x at x at
方程化为只含二阶混合偏导数的下述标准形式：
u 0
2
3
2u 0,
u 0
将方程先对积分一次，再对 积分一次， 容易看出其解的一般形式为
将（1）式两端关于 x 求导一次，得
（1） （2）
F ' ( x) G' ( x) ' ( x).
由（2）、（3）两式，解得
达朗贝尔
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (5)
为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， 为了求解问题(5)(6)，我们利用齐次化原理， (5)(6) 齐次化原理 把非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 非齐次方程的求解问题化为相应的齐次方程 的求解问题化为相应的 的情况来处理， 的情况来处理， 从而可以直接利用前面有关齐 次方程的结果。 次方程的结果。
5
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(3) (4)
首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 自变量变换求解 首先我们考察问题(3)(4). 通过自变量变换求解。 (3)(4) 为此， 为此，令 其逆变换为
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2) (3) (4) (6)
u tt = a 2 u xx (−∞ < x < +∞, t > 0),
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x) u ( x,0) = 0, u t ( x,0) = 0
u ( x,0) = ϕ ( x), u t ( x,0) = ψ ( x)
(2)
3
u tt = a 2 u xx + f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), (1)
第三章行波法
第三章 行波法§3.1 达朗贝尔法（行波法）考虑无界弦的自由振动问题，有定解问题如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂)()0,()()0,(22222x x u x x u x u a t u tψϕ ∞+<∞-+∞<<∞->+∞<<∞-x x t x 0, 对于上面的标准形方程，它有两族特征曲线1c at x =+，2c at x =-作变换at x +=ξ，at x -=η由上面的方程变为：02=∂∂∂ηξu 求上面偏微分方程的解先对η积分一次得)(1ξηf u =∂∂ 再对ξ积分一次得：⎰+=+=)()()()(2ηξηξξG F f d f u其中G F ,是具有任意连续可微函数，将原自变量代回得原方程的通解为)()(),(at x G at x F t x u -++=下面通过初始条件确定上面的任意函数G F ,∵ )(0x u t ϕ==，)(0x u t t ψ==∴ )()()(x x G x F ϕ=+ （1）)()()(//x x aG x aF ψ=- （2）对（2）从0x 到x 积分得：⎰-+=-x x x G x F d ax G x F 0)()()(1)()(00ααψ （3）（1）+（3）得)]()([21)(21)(21)(000x G x F d a x x F x x -++=⎰ααψϕ ⎰---=x x x G x F d a x x G 0)]()([21)(21)(21)(00ααψϕ ∴ ⎰+-+++-=at x atx d a at x at x t x u ααψϕϕ)(21)]()([21),( 该公式叫达朗贝尔公式例：确定初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧==>∞+<∞∂∂=∂∂-122222)0,( cos )0,(0 e x u x x u ,t x -x u a t u t 解：略。
达朗贝尔方程的物理定义：先讨论0)(=x ψ （即振动只有初始位移）)]()([21),(at x at x t x u ++-=ϕϕ 先看)(at x -ϕ项：当0=t 时若观察者位于c x =处，此时 )()(c at x ϕϕ=-在x 轴上，若观察者以速度a 沿轴正方向运动，则在t 时刻观察者位于at c x +=处，此时：)()()(c at at c at x ϕϕϕ=-+=-由于t 是任意的，这说明观察者在运动过程中随时可以看到相同的波形，可见，波形和观察者一样，以速度a 沿x 轴正方向传播。
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第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x xu a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t ax G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ（4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。
已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。
称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
三、公式的物理意义 由)()(),(at x G at x F t x u -++=其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波，)(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。
达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。
因此此法称为行波法。
四、依赖区间、决定区域、影响区域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。
区间[x-at,x+at]称为点（x,t ）的依赖区间对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。
故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。
因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t 后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为0,21>+≤≤-t at x x at x而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
例 求解柯西问题：⎪⎩⎪⎨⎧+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202x u x u x y u u u y y y yy xy xx解：其特征方程为0)(32)(22=--dx dxdy dy由此可得特征线方程为dy x cy x =+=-3因此作变换⎩⎨⎧+=-=yx y x μξ,3 从而可得ηξ∂∂∂u2＝0 从而有)()3(),(y x G y x F y x u ++-=由初始条件可得)()3(3)()3(''2=+-=+x G x F x x G x F所以有C x G x F =-)(3)3(，从而可得Cxx G Cx x F +=-=43)(49)3(22故而可知223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。
补充：Fourier 变换一、定义设)(x f 为定义在),(+∞-∞，若积分⎰+∞∞--=dx e x f s F isx )()(存在，称)(s F 为)(x f 的Fourier 变换。
⎰+∞∞-=ds e s F x f isx )(21)(π称为)(s F 的逆Fourier变换。
记⎰⎰∞+∞--+∞∞--====dse s F s F F xf dxe xf s F x f F isxisx )(21)]([)()()()]([1π二、性质 1．线性性质若已知),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则有).()()]()([2121s bF s aF x bf x af F +=+ 2．对称性若)()]([s F x f F =，则)(2)]([s f x F F -=π。
3．相似性若)()]([s F x f F =，则)(1)]([as F a ax f F = 4．延迟性若)()]([s F x f F =，则若0)()]([0isx e s F x x f F -=- 5．频移性若)()]([s F x f F =，则)(])([00s s F e x f F x is -=，)(])([00s s F e x f F x is +=-。
6．微分性若)()]([s F x f F =，则)()](['s isF x f F =，特别)()()]([)(s F is x f F n n =。
7．积分性若)()]([s F x f F =，则)(1])([s F isdx x f F =⎰。
8．卷积性若),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则)()()](*)([2121s F s F x f x f F =。
§3.3 积分变换法举例例1、 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为),(t x F 的热源，杆的初温为)(x ϕ，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：.- ),(u 0, ,- ),,(0222+∞<<∞=>+∞<<∞+∂∂=∂∂=x x t x t x f xu a t u t ϕ 很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。
下面我们用Fourier 变换法求解。
用),(),,(t s G t s U 表示),(),,(t x f t x u 的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变换可得G U s a dtt s dU +-=22),( 此为一阶ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解条件)(0s U t Φ==从而可得τττd es G es U t s a ts a )(2222),()(---⎰+Φ=再利用Fourier 逆变换可得原问题的解。
由Fourier 变换表知ta x t s a eta e F 22224121][---=π再由Fourier 变换的卷积性质知⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=tt a x ta x d et f d a d et at x u 0)(4)(4)(2222),(21)(21),(ξττξτπξξϕπτξξ。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化； 2．对所得简化问题求解；3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C 0 ，求杆上温度分布规律。
解：由题意可知，等价于求下定解问题),(u .0,0u 0, ,0 ,00222t f x t x xu a t u x t =+∞<<=>+∞<<∂∂=∂∂== 此问题不能用Fourier 变换法（？）。
要用Laplace 变换法求解。
若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t 的Laplace 变换。
记)}({)()},,({),(t f L p F t x u L p x U ==，则作Laplace 变换可得)(0222p F U dx Ud apU x ==-从而可得xapxa p BeAeU +=-由定解条件知，当∞→x 时，U 有界，从而可得Ｂ＝０．又)(0p F U x =-，故 xa p ep F U -=)( 为求原问题的解，下用Laplace 逆变换，查表可知)0(1)}2({2)(2≥==-+∞-⎰k e p tkerfc L dte y erfc pkyt π令axk =，则知 ⎰⎰∞+---+∞-===ta xy pax yt dye ta x erfc epL dte y erfc 222412)2(}1{2)(ππ再由Laplace 变换的微分性质知ta x ta xy pax pax et a x dy e dt d e ppL eL 222242/341122[}1{}{-∞+-----===⎰ππ最后，由Laplace 变换卷积性知⎰---=tt a x d et f a x t x u 0)(42/322)(1)(2),(τττπτ。