【数学】山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高二下学期期中考试(理)

鱼台一中2013—2014学年高二下学期期中检测数学〔理〕一、选择题〔每一小题5分，共计60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕复平面内，复数2)2(i -对应点位于〔 〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.假设直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，如此a 的值为〔 〕A.3-B.6-C.23-D.323.以椭圆22142x y +=的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 〔 〕 A.22122x y -= B.22142x y -= C.2214x y -= D.2212x y -=4.圆22:(2)(1)3C x y -++=，从点(1,3)P --发出的光线，经x 轴反射后恰好经过圆心C ，如此入射光线的斜率为〔 〕A.43-B.23-C.43D.23 5.点)3,1(和)4,3(-在直线032=+-a y x l ：的两侧，如此a 的取值范围是〔 〕 A.),7(]18,(+∞--∞ B.)7,18(- C.}7,18{- D.不确定Z 是复数Z 的共轭复数，假设Z ×Z i ＋2=2Z ，如此Z=〔 〕A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --1 函数()x x x f ln 22-=的递增区间是〔 〕A. )21,0(B. ),21(),21,0(+∞C. ),21(+∞ D.)21,0(),21,(-∞8. 设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '且函数)()1(x f x y '-=的图像如下列图，如此如下结论一定成立的是〔 〕 A. 函数)(x f 的极大值是)2(f ，极小值是)1(f B. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)1(f C. 函数)(x f 的极大值是)2(f ，极小值是)2(-f D. 函数)(x f 的极大值是)2(-f ，极小值是)2(f9. 假设函数1)(23+-=ax x x f 在)2,0(上单调递减，如此实数a 的取值范围为〔 〕A. 3≥aB. 3=aC. 3≤aD. 30＜a＜ 10. 假设函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点21,x x ，且11)(x x f =，假设关于x 的方程[]0)(2)(32=++b x af x f 的不同实数根的个数是〔 〕A. 3B. 4C. 5D. 611．过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，如此当α最小时cos α的值为( )A. B.1920 C.910 D.1212.椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，假设椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得12F F P∆为等腰三角形，如此椭圆C 的离心率取值范围是〔 〕A.12(,)33B.1(,1)2C.2(,1)3D.111(,)(,1)322 二、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，总分为20分，把答案填写在答题卡相应的位置〕13.正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：13r h=，把这个结论推广到空间正四面体，如此正四面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 .14.函数()cos ,01,0x x f x x ≥⎧=⎨<⎩,如此()22d f x x π-⎰的值等于 .15.二项式6的展开式的常数项是_________. 16.数列{}12132143211121231234n a 为：，，，，，，，，，，，依它的前10项的规律，如此50a =_.三、解答题〔本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕 17. 〔本小题总分为10分〕复数2(1)(23)z m m m m i =-++-〔m R ∈〕 ⑴假设z 是实数，求m 的值； ⑵假设z 是纯虚数，求m 的值；⑶假设在复平面C 内，z 所对应的点在第四象限，求m 的取值范围。

鱼台一中2013—2014学年高二上学期期末模拟考试数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A ．221169x y +=B ．2211612x y +=C ．22143x y +=D ．22134x y +=3. 从集合{1,1,2}A =-中随机选取一个数记为k ，从集合{2,1,2}B =-中随机选取一个数记为b ，则直线y kx b =+不经过第三象限的概率为 ( ) A ．29 B. 13 C. 49D. 59 4．下列说法中，正确的是（ ）A ．命题“若a b <，则22am bm <”的否命题是真命题B ． ,αβ为不同的平面，直线l α⊂，则“l β⊥”是 “αβ⊥” 成立的充要条件C ．命题“存在2,0x R x x ∈->”的否定是“对任意2,0x R x x ∈-<” D ．已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 5.“m=21”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件6. 设1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=＞＞的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双 曲线的渐近线方程为 ( )A. 340x y ±=B. 350x y ±=C. 430x y ±=D. 540x y ±= 7. 数列{}n a 是公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 是等比数列{}n b 的相邻三项，若 52=b ，则n b 等于（ ）A. 1)35(5-⋅nB. 1)35(3-⋅nC.1)53(3-⋅nD. 1)53(5-⋅n8. 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴 上方的部分相交于点A ，AK l ⊥,垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）A. 4 B ．．．89. 已知ABC ∆中C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b =( )A. 2 B ．4＋ C ．4— D 10.已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于（ ）A. 3B. 4C. 23D. 2411. 设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点12.已知椭圆()2211x y m m +=>和双曲线()2210x y n n-=>有相同的焦点12,,F F P 是它们的一个交点，则12F PF ∆的形状是 （ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 随,m n 的变化而变化二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中， 1BA 与AC 所成的角为 ．14．已知双曲线22221x y a b -=的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同，那么双曲线的方程为________．15. 已知双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上，若MF 1→·MF 2→＝0，则点M到x 轴的距离为_________．C 1A1116．如右图,1!!1ABCD A BC D -为正方体，棱长为2，下面结论中 正确的结论是________．(把你认为正确的结论都填上, 填序号) ①BD ∥平面11CB D ； ②1AC ⊥平面11CB D ； ③过点1A 与异面直线AD 和1CB 成90°角的直线有2条； ④三棱锥1B ACD -的体积43． 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分)已知命题p ：方程x 2 + mx + 1=0有两个不相等的实根；q ：不等式4x 2+4(m –2)x +1>0 的解集为R ；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围。

本试卷分第I 卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分第I 卷（共60 分）、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的.用水量y与月份X 有较好的线性相关关系， 其回归直线方程是y = -°.7x a ，则a 等于（）P 」「：：」 厂-68.26%P （A —2石石）=95.44% P （»—旳 +旳）=99.74%）的户数约为（ ）（参考数据：若随机变量 服从正态分布N宀则.满分150分，时间120分钟.1.已知集合 M ・..0,1,2?, N = :x一2 ：：：x ：：：2,x ・ Z ，则 M "N 为（A.（0,1） B . {0,1} C.1.0,11 D . 一2.将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则 P 0 X 3等于（）135 A.B .C .8 883.下表是某厂1-4月份用水量（单位:7 8百吨）的一组数据月份x 用水量y4.5 2.5A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25A.17B.23C.34D.465.已知a ，b 为实数，则“A.必要不充分条件a •b = 0 ”是“ a = —1 ”的（）bC.充要条件 •既不充分也不必要条件 6.设命题p: -n • N ,则一 p 为（ ） A. n 。

N , n 2 - 2n0 .-n N , n 2 _2nC. n 0 N , n ：2n0.-n N , n 22n7.若随机变量X 的分布列为（ ）且E X =1，则随机变量 X 的方差D X 等于（ ）1 A.B . 0 C. 1 D3A. 25B. 4C. 5D. 16个绿球”，贝U P B A 二A. 24B. 72C. 96D. 360 11.若关于x 的不等式x^ a 1 X a ：0的解集中恰有3个整数，则a 的取值范围是（） B. :-3 , -2 )U( 4, 5: C. 4,5〕 D. (-3 , -2 )U( 4, 5)12.已知函数f x 1为偶函数，且f x 在1「：上单调递增，f -1产0，则f X-1 0的解集为（ ）A.-：：,0 IJ 4,：： B. 」：,-1 U C.」：,-1 J 4,二D. 」：,0 U 1,::第n 卷（共90分）二、填空题（每题 5 分, 满分20 分 卜，将答案填在答题纸上）13.随机变量 X L B 10, 1 ，变量 Y =20 4X ，则 E Y ________________I 2丿 14. 若(1 _2x 『19=a 0 + a 〔x + a 2x 2十…+ a 20i 9x2019，则专十…十号需 的值为15. “渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如 1458 ),若把四位“渐升数”按 从小到大的顺序排列，则第 22个数为 ______________ .f x 0, :： f -3 =08.已知的展开式中的常数项是 75,则常数p 的值为（）9. 一个盒子里装有大小、形状、质地相同的 12个球，其中黄球5个，篮球4个，绿球3个•现从盒子中随机取出两个球,记事件 A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个黄球,人12 DA. ——B471110.已知6件不同产品中有 为止.若恰在第4次测试后,20 15 D47472件是次品，现对它们依次不放回的抽取测试，直至找出所有次品 C.就找出了所有次品，则这样的不同测试方法数是（A. 4,516. 若为R上的奇函数，且在内是增函数，又则xf (x )兰0 的解集为 ___________ •三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)f 1 ) 117. (本小题10分)已知1—-L 的展开式中所有项的系数和为—.I 2x丿64f1屮(1)求11-丄的展开式中二项式系数最大的项；I 2x丿(1屮(2)求x 2 1 ——J的展开式中的常数项•I 2X丿18. (本小题12 分)设集合A={x| ------------ >1} , B ={x| a+1 兰2a —1} , a>0，且B Q A ,x +1求实数a的取值范围19. (本小题12分)我校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：(1)根据以上2X 2列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？(2)从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数X的分布列及数学期望2参考公式： k 2 = ------------ "ad ——b^ ------------- ，其中 n= a+b + c+d（a+bj （c+d ）（a+cj （b+d ）P （K * ）0.050.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.82820. （本小题12分）从鱼台到曲阜相距 120km,已知某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗 油量 y （L ）与速度 x （km/h ）（50_x_120）12-^,x 80,120 I60（1）该型号汽车的速度为多少时，可使每小时耗油量最低?（2）假定该型号汽车匀速从鱼台驶向曲阜，则汽车速度为多少时总耗油量最少?21. （本小题12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选 择.4方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为-，第一次抽奖，若未中奖，则5抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖。

山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高一下学期期中考试数学试卷（带解析）1．已知三点A(1，1)、B(-1，0)、C(3,-1)，则AB AC ⋅等于（ ） A ．-2 B ．-6 C ．2 D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：∵A(1,1),B(-1,0),C(3,-1)，∴(2,1),(2,2)AB AC =--=-， ∴22(1)(2)-2AB AC ⋅=-⋅+-⋅-=. 考点：平面向量的数量积. 2．设函数()sin(2-)2f x x π=，则()f x 是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】B 【解析】试题分析：∵()sin(2)sin(2)cos 222f x x x x ππ=-=--=-，∴最小正周期T=22ππ=，为偶函数.考点：三角函数的奇偶性与最小正周期.3．要得到函数cos 2y x =的图象，只需将cos(2)4y x π=+的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度【答案】B【解析】试题分析：∵cos(2)cos[2()]48y x x ππ=+=+，∴要得到函数y=cos2x 的图像，需要将cos(2)4y x π=+的函数图像向左平移8π个单位. 考点：三角函数图像平移的规律.4．已知2α=，则点P (sin ,tan )αα所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】D【解析】试题分析：∵2α=，∴322ππα<<，即α是第三象限角，∴sin 0,tan 0αα><，∴点P 在第四象限.考点：三角函数值符号判断.5．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ【答案】C【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数； B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数； C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断. 6．函数4sin(2)6y x π=-的图像的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛0,12π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,3π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6-π D.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,6π 【答案】A 【解析】试题分析：A ：当12x π=时，()4sin(2)4sin 00126f x ππ=⋅-==，是对称中心； B ：3x π=时，()4sin(2)4sin 0362f x πππ=⋅-=≠，不是对称中心； C ：6x π=-时，()4sin[2()]4sin()0662f x πππ=⋅--=-≠，是对称中心；D ：6x π=时，()4sin(2)4sin 0666f x πππ=⋅-=≠，不是对称中心，故选A. 考点：三角函数图像对称中心判断. 7．函数()sin 2()3f x x π=-在[0,π]上的图像大致是( )【答案】A 【解析】试题分析：当x=0时，2()s i n ()03f x π=-<，排除B,C ，令32()32x ππ-=，得13[0,]12x ππ=∉，因此()f x 在[0,]π上的图像应只有一个最低点，故选A ，. 考点：三角函数的图像.8．已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且αβ>，则下列结论正确的是( )A ．(cos )(cos )f f αβ>B ．(sin )(sin )f f αβ>C ．(sin )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ< 【答案】B 【解析】试题分析：∵奇函数()f x 在[-1,0]上是减函数，∴()f x 在[0,1]上是增函数，又∵,αβ是锐角三角形两内角，∴sin ,sin [0,1]αβ∈，又∵αβ>，∴sin sin ,cos cos αβαβ><， ∴(sin )(sin ),(cos )(cos )f f f f αβαβ><，B 正确，A 错误；.对于C,D ：∵,αβ为锐角三角形两内角，∴2παβ+>，∴2παβ>-，即s i n s i n ()c o s 2παββ>-=，∴(si n )(cos )f f αβ>，∴C 正确，D 错误.考点：1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较. 9．下列各式中值等于12的是（ ） A ．sin15cos15οοB.2tan 22.51tan 22.5οο-C.22cossin 1212ππ-【答案】B【解析】试题分析：A ：2sin15cos15sin 301sin15cos15===224；B ：22tan 22.512tan 22.511==tan 451tan 22.521tan 22.522οοοο⋅=--； C：22cos sin cos12126πππ-==； D==，故选B. 考点：与三角函数有关代数式值的计算. 10．已知(,)2παβπ∈，且tan tan 2παβ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，那么必有( ) A ．αβ< B ．βα< C ．32παβ+< D ．32παβ+> 【答案】C【解析】试题分析：∵3tan tan()tan()tan()222πππαββπβ<-=-+=-，∵(,)2παβπ∈，， ∴3(,)22ππαβπ-∈，而正切函数tan y x =的单调性可知，其在[,]2ππ上单调递增，∴32παβ<-，即32παβ+<，∴C 正确，D 错误A,B,无法判断其正确与否，故选C.考点：正切函数的单调性.11．设sin ,2011,()3(4),2011,x x f x f x x π⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则f(2 016)＝( ) A.12 B ．－12D【答案】D 【解析】试题分析：2008(2016)(2012)(2008)sin sin(669)33f f f πππ====+=. 考点：求分段函数函数值.αα【答案】3|2,()4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】试题分析：在[0,]π上第一个出现终边在第二象限角平分线的角为34π，之后每隔2π个单位出现一个终边落在第二象限角平分线上角，因此所求集合为3|2,()4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 考点：终边相同的角的集合.13．sin(120)cos1290cos(1020)sin(1050)-+--=_______. 【答案】1 【解析】试题分析：∵33sin(120)cos1290sin120cos(3603210)()224-=-⋅+=-⋅-=； 111cos(1020)sin(1050)cos(10203603)sin(10503603)224--=-+⋅-+⋅=⋅=； ∴原式31144=+=. 考点：三角函数值的计算. 14．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π； ②终边在y 轴上的角的集合是k {,}2k Z παα=∈； ③把函数y 3sin 23x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图像； ④函数y sin 2x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0，π]上是减函数． 其中，正确的说法是________． 【答案】①③ 【解析】试题分析：①：cos 2y x =-的最小正周期为22T ππ==，正确； ②：在[0,]π上第一个出现终边在y 轴的角为2π，之后每隔π个单位出现一个终边落在y 轴上的角，因此所求集合为|,()2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，∴②错误；③：函数3sin(2)3y x π=+的图像向右平移6π个单位长度以后的函数解析式为：3sin[2()]3sin 263y x x ππ=-+=，∴③正确；④：当[0,]x π∈时，[,]222x πππ-∈-，∴函数y sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[0，π]上是增函数，∴④错误.考点：1、三角函数的性质；2、终边相同的角的集合. 15．函数f(x)＝2sin(ωx ＋3π)，又f(α)＝－2，f(β)＝0，且|α－β|的最小值为2π，则正数ω＝________. 【答案】2 【解析】试题分析：∵()2sin(),()2,()03f x wx f f παβ=+=-=，而||αβ-的最小值为2π，这说明()f x 的最低点与对称中心的最小水平距离为2π，从而最小正周期T π=，即2,2w wππ==. 考点：三角函数的最小正周期.16．已知向量→→→+=21e e a ，→→→+=2134e e b ，其中)0,1(1=→e ，)1,0(2=→e ， 试计算a b ⋅及→→+b a 的值；求向量a 与b 的夹角的正弦值.【答案】（1）7,||41a b a b ⋅=+=；（2）2sin ,a b <>=. 【解析】试题分析：（1）由)0,1(1=→e ，)1,0(2=→e 可知→→→+=21e e a =(1,0)+(0,1)=(1,1)，同理(4,3)b =，根据平面向量数量积的坐标表示可得a b ⋅14137=⋅+⋅=，另可求得(1,1)(4,3)a b +=+=，根据平面向量模的坐标表示；可得2||5a b +=+=； （2）由平面向量数量积的定义||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>，变形可得cos ,||||a ba b a b ⋅<>=⋅，由（1）中所求可得527,cos ⨯=>=<，从而sin ,110a b <>=-=. （1）由题有)1,1(=，)3,4(=，∴a b ⋅14137=⋅+⋅=；而(1,1)(4,3)(5,4)a b +=+=+=2||5a b +=+=；（2）由题有527,cos ⨯=>=<，∴sin ,1a b <>=-=. 考点：1、平面向量的数量积；2、向量模、夹角的计算.17．如图所示，点O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3 cm ，周期为3 s ，且物体向右运动到A 点(距平衡位置最远处)开始计时．(1)求物体离开平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式；(2)求该物体在t ＝5 s 时的位置．【答案】（1）23cos 3x t π=；（2）O 点左侧且距O 点1.5 cm 处. 【解析】试题分析：（1）根据正弦型函数sin()y A wx ϕ=+的物理模型为简谐运动.，因此可设所求函数解析式为sin()(,0,02)x A wx A w ϕϕπ=+>≤<，根据,,A w ϕ分别表示简谐运动的振幅，周期，初相的物理意义，与条件中描述的振幅为3cm ，周期为3s 以及距平衡位置最远处开始计时可求得23,=32A w ππϕ==，，从而得到函数表达式为223sin()3cos 323x t t πππ=+=；（2）在（1）中求得的函数表达式中令t=5，可得x=-1.5，即可求得物体在t=5s 时的位置.（1）设位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系式为sin()(,0,02)x A wx A w ϕϕπ=+>≤<， 则由已知条件，振幅为3cm ，周期为3s 可得，A=3，23T wπ==，得23w π=.又∵物体向右运动到A 点（距平衡位置最远处）开始计时，∴当t ＝0时，有3sin 3x ϕ==，∴sin 1ϕ=，又∵02ϕπ≤<，∴2πϕ=，从而所求的函数关系式是223sin()3cos 323x t t πππ=+=； （2）令t ＝5，得103cos 1.53x π==-，故该物体在t ＝5 s 时的位置是在O 点左侧且距O 点1.5 cm 处．.考点：正弦型函数sin()y A wx ϕ=+的物理模型简谐运动. 18．函数1()sin()(0,0,)2f x A x A πϖϕϖφ=+>><的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数1()f x 的表达式；(2)将函数1y ()f x =的图象向右平移4π个单位，得函数2y ()f x =的图象，求2y ()f x =的最大值，并求出此时自变量x 的集合．【答案】（1）1()2sin(2)6f x x π=+；（2）5{|,}12x x k k Z ππ=+∈. 【解析】试题分析：（1）根据题中的信息可知，周期T π=，于是22w Tπ==，又当512x π=为函数的一个零点，根据正弦函数图像的性质，可得6πϕ=，最后根据图像过（0，1）可得sin16A π=，即A=2，从而1()2sin(2)6f x x π=+.；（2）由函数图像平移的规律可得2()2sin(2)3f x x π=-，再根据正弦函数sin y x =的性质，当2()2x k k Z ππ=+∈时，y取到最大值，因此，对于2()f x ，当22()32x k k Z πππ-=+∈时取到最大值，从而可以求得所求集合为5{|,}12x x k k Z ππ=+∈. （1）由题图知，周期11()1212T πππ=--=，于是22w T π==，又当512x π=时，22x k ϕππ+=+，∴26k πϕπ=+，又∵||<2πϕ，∴0,6k πϕ==，又∵图像过（0，1），∴sin16A π=，A=2，∴1()2sin(2)6f x x π=+；（2）依题意，2()2sin[2()]2sin(2)463y f x x x πππ==-+=-.∴当22()32x k k Z πππ-=+∈时，y 有最大值2，解得：5()12x k k Z ππ=+∈， ∴x 取值集合为5{|,}12x x k k Z ππ=+∈. 考点：1、三角函数的图像与性质；2、函数图像平移规律.19．函数sin()(0,0,0)2y A wx A w πϕϕ=+>>≤≤在(0,7)x π∈内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时，max 3y =；当6x π=时，min 3y =-.(1)求此函数的解析式；(2)求此函数的单调递增区间． 【答案】（1）133sin()510y x π=+；（2）[41010]()k k k Z ππππ-++∈，. 【解析】 试题分析：（1）根据题意可得A=3，x π=与6x π=是在一个周期内相邻的最小值与最大值点，因此可以得到周期10T π=，从而15w =，再根据点(,3)π在此函数图像上，可得310πϕ=，因此可以得到函数解析式为133sin()510y x π=+；（2）根据正弦函数sin y x =在[2,2]()22k k k Z ππππ-++∈上单调递增，可令132225102k x k πππππ-+≤+≤+，解得41010()k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，从而可以得到函数的单调递增区间为[41010]()k k k Z ππππ-++∈，. （1）由题意得3,652T A πππ==-=，∴2110,5T w T ππ===，∴13sin()5y x ϕ=+， 又∵点(,3)π在此函数图像上，∴3sin()35πϕ+=，∵02πϕ≤≤，∴3,5210πππϕϕ+==，∴133sin()510y x π=+； （2）令132225102k x k πππππ-+≤+≤+，解得41010()k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴此函数的单调递增区间为[41010]()k k k Z ππππ-++∈，． 考点：正弦型函数sin()y A wx ϕ=+的图像与性质. 20．已知(sin ,1),(sin ,cos ),()a x b x x f x a b →→→→===⋅ (1)若()1f x ≥，求x 的范围； (2)求()f x 的最大值以及此时x 的值. 【答案】（1）[2,2]()22x k k k Z ππππ∈-++∈；（2）当23x k ππ=-+或2)3x k k Z ππ=+∈，(时，max5()4f x =. 【解析】试题分析：（1）根据平面向量数量积的坐标表示可得22()sin cos 1cos cos 1f x a b x x x x →→=⋅=+=-+≥，解得0cos 1x ≤≤，这表示x 的终边落在一、四象限以及y 轴上，因此[2,2]()22x k k k Z ππππ∈-++∈即为所求范围；（2）由（1）22()sin cos 1cos cos f x a b x x x x →→=⋅=+=-+这是一个关于cos x 的二次函数，从而问题等价于求22151(),[1,1]24y t t t t =-++=--+∈-的最大值，易得当23x k ππ=-+或2)3x k k Z ππ=+∈，(时，max 5()4f x =. （1）由题意22()sin cos 1cos cos 1f x a b x x x x →→=⋅=+=-+≥，即2cos cos 0x x -≤，0cos 1[2,2]()22x x k k k Z ππππ≤≤⇒∈-++∈；（2）∵22()sin cos 1cos cos f x a b x x x x →→=⋅=+=-+令cos ,[1,1]x t t =∈-，则22151(),[1,1]24y t t t t =-++=--+∈-， 当12t =，即23x k ππ=-+或2)3x k k Z ππ=+∈，(时，max 5()4f x =.考点：1、平面向量的数量积；2、简单的三角不等式；3、三角函数与二次函数相结合求最值.21．若函数2()sin cos (0)f x ax ax ax a =>的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为2π. (1)求m 和a 的值；(2)若点A(x 0，y 0)是y ＝f(x)图象的对称中心，且0[0,]2x π∈，求点A 的坐标．【答案】（1）12m =-或3,22m a ==；（2）51(,)242π或111(,)242π. 【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式的降幂变形以及辅助角公式，可以把()f x 变形为1()sin(2)62f x ax π=-++，又根据条件()f x 的图像与直线y=m 相切，可知m 为函数()f x 的最大值或最小值，即12m =-或32m =，而相邻两个点之间的距离即相邻两条对称轴之间的距离即为函数的周期2T π=，从而求得a=2；（2）根据正弦函数sin y x =的对称中心为(,0)k π，可令4()6x k k Z ππ+=∈，解得()424k x k Z ππ=-∈，即0()424k x k Z ππ=-∈，又有0[0,]2x π∈，可求得整数k 的值为1或2，从而可以得到对称中心的坐标为51(,)242π或第 11 页 共 11 页 111(,)242π. （1）21cos 21()sin cos 2sin(2)262ax f x ax ax ax ax ax π-===-++， 由题意()f x 的图像与直线y=m 相切，∴m 为()f x 的最大值或最小值，即12m =-或32m =； 又∵相邻两切点之间的距离为2π，∴函数()f x 的周期为2π，∴2,222a a ππ==； （2）由（1）可知1()sin(4)62f x x π=-++， 令4()6x k k Z ππ+=∈，解得()424k x k Z ππ=-∈， 即0()424k x k Z ππ=-∈，又∵0[0,]2x π∈，∴0()4242k k Z πππ≤-≤∈，解得11366k ≤≤，∵k Z ∈，∴k ＝1或k ＝2，∴点A 的坐标为51(,)242π或111(,)242π. 考点：1、三角恒等变形；2、三角函数的图像与性质.。