山东省济宁市邹城一中2019-2020学年高一数学下学期期中检测试题

2020～2020 学年度第二学期期中考试高一数学试题第 I 卷（选择题 60 分） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，满分 60 分；在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.）1.若，且，则 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】C【解析】，则 的终边在三、四象限；则 的终边在三、一象限，，，同时满足，则 的终边在三象限。

2.已知，则（）A.B.C.【答案】C【解析】分析】利用三角函数诱导公式，直接计算出结果.【【详解】依题意.故选 C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，属于基础题.3.已知向量 ， 满足 A. 3， B. 2，则（ C. 0【答案】D【解析】【分析】利用向量运算的分配律和数量积，计算出表达式的结果.）【详解】依题意，故选 D.D. D. -1【点睛】本小题主要考查向量运算的乘法分配律，考查数量积的运算，属于基础题.4.已知 与 均为单位向量，若A. 60°B. 45°，则向量 与 的夹角大小是（ C. 30°） D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】对两边平方，化简后利用向量数量积的公式求得两个向量的夹角.【详解】对两边平方得，即，，故选 A. 【点睛】本小题主要考查向量模的运算，考查向量的数量积运算和夹角的求法，属于基础题.5.下列函数中最小正周期为 且图象关于直线 对称的是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的周期和对称轴对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于函数的最小正周期为 ， ，由此排除 D 选项.将 代入 A 选项， ，故 是函数的对称轴，符合题意. 将 代入 B 选项，，故 不是函数的对称轴，排除 B 选项. 将 代入 C 选项， ，故 不是函数的对称轴，排除 C 选项.故 本小题选 A. 【点睛】本小题主要考查三角函数周期性的知识，考查三角函数对称轴的特点，属于基础题.6.分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是（ ）①若 ，则 ； ②若，则 ；③若 A. 0，则： ④若 B. 1，则. C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据向量相等及共线的定义对四个命题逐一分析判断，由此得出正确命题个数.【详解】对于①，当两个向量平行时，大小和方向可能不相等，即两个向量不一定相等，故①错误.对于②，两个向量模相等，方向不一定相同，故②错误.对于③，两个向量模相等，不一定共线，也可能垂直或者其它的情况，故③错误.对于④，如果两个向量相等，则大小和方向都相同，故④命题正确.综上所述，共有 个命题为真命题，故选 B.【点睛】本小题主要考查平面向量相等、共线等知识的理解，属于基础题.7.要得到函数 （） A. 向右平移 个单位的图象，只需将函数的图象B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位D. 向左平移 个单位【答案】D 【解析】 【分析】 根据三角函数图像变换的知识，直接选出正确选项.【详解】依题意，故向左平移 个单位得到，故选 D. 【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换的知识，属于基础题.8.已知向量 A. -2 【答案】B 【解析】 【分析】.，B. 2，若与互相垂直，则实数 （ ）C. -1D. 1先求得的坐标，然后利用两个向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得 的值.【详解】依题意，由于与互相垂直，故，解得 ，故选 B.【点睛】本小题主要考查平面向量坐标运算，考查两个向量垂直的坐标表示，属于基础题.9.设函数，其中 、 、 、 均为非零的常数，若A. 5，则的值是（ ） B. 3C. 1D. 不确定【答案】A【解析】【分析】化简的表达式，将所得结果代入的表达式中，由此求得的值.【详解】由于，故，所以.. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档 题.10.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为 ，半径等于 6 米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）A. 16 平方米B. 18 平方米C. 20 平方米D. 22 平方米 【答案】C 【解析】 【分析】 根据弧田面积公式，代入数据，计算出弧田面积. 【详解】由于圆心角为 ，故圆心到弦的距离为，弦长为，所以弧田面积为平方米.故选 C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查弧田面积计算，属于基础题.11.已知函数，则函数（ ）A. 的最小正周期为 ，最大值为 5B. 的最小正周期为 ，最大值为 6C. 的最小正周期为 ，最大值为 5D. 的最小正周期为 ，最大值为 6【答案】B【解析】【分析】利用降次公式化简 ，由此求出函数的最小正周期和最大值.【详解】依题意，故最小正周期为，最大值为，所以本小题选 B.【点睛】本小题主要考查降次公式，考查三角函数的最小正周期，考查三角函数的最大值的求法，属于基础题.12.如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点 且三组对边分别平行.点 ， 是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点 在“六芒星”上（内部以及边界），若 ，则 的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】如图建立平面直角坐标系， 令正三角形边长为 ，则 ，由图知当 在 点时有，大值 ，同理在与 相对的下顶点时有 本题答案选 ．，可得 ，此时 有最 ，此时 有最小值 ．故第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若角 的终边经过点，且，则实数 ________.【答案】 . 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，利用列方程，解方程求得 的值.【详解】根据三角函数的定义，有，解得.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题.14. 【答案】 .________.【解析】【分析】利用化简表达式，由此求得表达式的值.【详解】由于，故. 【点睛】本小题主要考查两角和的正切公式的应用，考查化归与转化的数学思想方法，属于 基础题.15.函数 图所示，则（ ， ， 是常数， ， ， ________.）的部分图象如【答案】 . 【解析】 【分析】 先根据图像求得 的解析式，然后求得的值.【详解】由图像可知，像可知，.所以，故 ，故.，有图 .即【点睛】本小题考查根据三角函数图像求三角函数解析式，考查三角函数求值，属于基础题.16.在中，点 在 上，且________.【答案】【解析】不妨设，，，∵从而，，从而，即，，则实数 k 的取值范围是，从而，即 ，，故答案为 .， ，又三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 70 分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤）17.已知．（Ⅰ）求值；（Ⅱ）求的值．的 【答案】(1) .(2) . 【解析】 分析：（Ⅰ）利用诱导公式化简原式即得 的值.( Ⅱ）先把原式化成 形式再计算.详解：（Ⅰ）的（Ⅱ）原式===点睛：（1）本题主要考查诱导公式和同角的关系，意在考查学生对这些基础知识的转掌握能力和转化能力.(2) 求的值时，先变成，这里利用了1= 题效率.，接着把分式的分母分子同时除以 ，分式中变得只有 tanx，提高了解18.已知向量，.（I）当实数 为何值时，向量 与（Ⅱ）若向量，共线？ ，且 ， ， 三点共线，求实数 的值.【答案】（1） （2）【解析】 【分析】 （1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出； （2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．【详解】（1）kk（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．2 （1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k 与 2 共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0， 即 2k﹣4+5＝0，得k．（2）∵A、B、C 三点共线，∴．∴存 实数 λ，使得，又 与 不共线，∴，解得．【点睛】本题考查了向量的运算法则、共线定理、平面向量基本定理，属于基础题．19.已知向量，（ ），记函数 为向量 在向量 上的投影，且 是函数 的图象距离 轴最近的一条对称轴.（I）求函数 的表达式：（II）若，，求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】 【分析】 （I）根据向量投影的计算公式，求得 的表达式，并利用辅助角公式合二为一，根据三 角函数对称轴的概念，求得 的值，由此求得三角函数的解析式.（II）根据 的值和 的取值范围没去的 的值.代入的表达式，由此计算出的值.【详解】（I）由题意，得，由于“ 是函数 的图象距离 轴最近的一条对称轴”，所以，得 .所以.（Ⅱ）因为，，所以由（I），得【点睛】本小题主要考查向量投影的计算，考查三角函数对称轴，考查同角三角函数的基本 关系式，考查两角和的正弦公式，属于基础题.20.已知函数 （I）求函数（Ⅱ）当. 的单调递增区间；时，求函数 的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)， ；(Ⅱ)函数 的最大值是 1，最小值是 .【解析】 【分析】 （I）利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，化简 的解析式，然 后利用正弦型函数的单调增区间的求法，求得函数的单调递增区间.（II）根据 的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数 的最大值和最小值.【详解】（I）易得令，，所以，.故所求函数 的单调递增区间为，.（Ⅱ）因为，所以，所以，所以，即.故当时，函数 的最大值是 1，最小值是 .【点睛】本小题主要考查同角三角函数 基本关系式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数单调区间和值域的计算，属于中档题.21.已知函数，图所示. （I）求函数 （Ⅱ）设 根的和.的解析式； ，且方程的（ ， ，）在一个周期内 图象如有两个不同的实数根，求实数 的取值范围以及这两个【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.【解析】 【分析】 （I）根据三角函数的图像的最高点，求得 的值，根据三角函数的周期，求得 的值，根据函数图像上的特殊点，求得 的值，由此求得函数的解析式.（II）画出函数的图像与函数的图像，根据图像求得 的的取值范围.根据对称性求得两根的和.【详解】（I）由题设图象，易得 ，，所以 ，所以.所以.因为函数 的图象经过点 ，所以，即.又因为，所以，所以，所以 .故所求函数 的解析式为.（Ⅱ）由题意，知方程有两个不同的实数根等价于函数与 因为的图象有两个不同的交点. ，易画出函数的图象与函数的图象（如图所示）.依据图象可知：当或时，的图象直线与曲线有两个不同的交点，即方程有两个不同的实数根，故所求实数 的取值范围为.①当时， 与 的图象有两交点且关于直线两个不同的实数根分别为 ， ，所以当，即对称，设此时方程②当时， 与 的图象有两交点且关于直线 对称，设此时方程两个不同的实数根分别为 ， ，所以，即综上，当时，所求方程的两根之和为当时，所求方程的两根之和为 .【点睛】本小题主要考查已知三角函数图像求三角函数解析式，考查零点问题，考查数形结 合的数学思想方法，属于中档题.22.已的向量，，且.（I）求 · 表达式以及的取值范围；（Ⅱ）记函数，若 的最小值为 ，求实数 的值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） . 【解析】 【分析】（I）根据向量数量积的坐标运算以及模的运算，求得 · 的表达式，求得平方后的表达式，由此求其取值范围.（II）利用（I）的结论，求得 的表达式，令进行换元，然后对 进行分类讨论，利用二次函数的最值，求得实数 的值.【详解】（I）易得.因为又，所以，所以，.（Ⅱ）依题意，得.令，由（I）知，，则有.①当，即 时，有，解得 ，此与 矛盾：②当，即时，有.解得 （舍）：③当，即 ，有，此与题设不符.综上所述，所求实数 .【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量模的运算，考查含有参数的三角 函数最值问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.。

邹城一中高一数学期中检测卷一、单选题1．若复数z 满足：(1i)2z ⋅+=，则||z =( )A ．1B ．2C ．3D ．22．已知()3,1A -，()3,2B ，O 为坐标原点，()2R OP OA OB λλ=+∈u u u r u u u r u u u r .点P 在x 轴上，则λ的值为( )A ．0B ．1C ．1-D ．2- 3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝3，那么原△ABC 的面积是( )A ．3B ．22C ．3D ．34．已知ABC V 的角A 、B 、C 所对的边为a 、b 、c ，c =1b =，23C π=，则a =（）A B ．2CD ．3 5．已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（）A ．18:1B ．3:1C ．D 26．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数7．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC V 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =u u u vA ．3144AB AD +u u u v u u u v B ．1344AB AD +u u u v u u u v C ．12AB AD +u u u v u u u vD ．3142AB AD +u u u v u u u v 9．设l 是直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则//l βD ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥ 10．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r r B ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D11．一船向正北方向航行,看见正西方向有两个相距10海里的灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后, 看见一灯塔在船的南偏西60°方向上,另一灯塔在船的南偏西75°方向上,则这艘船的速度是( )A ．5海里/时B．/时C ．10海里/时D．/时 12．对任意向量,a b r r ，下列关系式中不恒成立的是（）A ．a b a b ⋅≤r r r rB ．||a b a b -≤-r r r rC ．22()||a b a b +=+r r r rD ．22()()a b a b a b +-=-r r rr r r 13．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC D 的中心O ，则1AC 与底面ABC 所成角的余弦值等于（）A ．3BCD 14．若O 为ABC V 所在平面内任意一点，且满足()20BC OB OC OA ⋅+-=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 一定为（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形 15．已知4a =r ，3b =r ，()()23261a b a b -⋅+=r r r r . （1）求a r 与b r的夹角θ； （2）求a b -r r.A ．（1）60°（2B ．（1）60° （2C ．（1）120° （2D ．（1）120° （216．已知复数12z i =-（i 为虚数单位）.（1）若002z z z z ⋅=+，求复数0z 的共轭复数；（2）若z 是关于x 的方程250x mx -+=一个虚根，求实数m 的值. A ．（1）2+i （2）2B ．（1）2+i （2）2-C ．（1）2i - （2）2-D ．（1）2i - （2）217．在锐角ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin c A =. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆的面积为2，求a b +的值. A ．（1）30C =o （2）5B ．（1）30C =o （2）6C ．（1）60C =o （2）5D ．（1）60C =o （2）618．如图，四棱锥S ABCD -的底面是边长为1的正方形，SD 垂直于底面ABCD ，1SD =.（1）求平面SBC 与平面ABCD 所成二面角的大小；（2）设棱SA 的中点为M ，求异面直线DM 与SB 所成角的大小. A ．（1）30o （2）60︒B ．（1）30o （2）90︒C ．（1）45o （2）60︒D ．（1）45o （2）90︒二、多选题1．（多选题）在下列向量组中，不能把向量(3,2)a =r 表示出来的是（）A ．1(0,0)e =u r ，2(1,2)e =u u rB ．1(1,2)e =-u r ，2(5,2)e =-u u rC ．1(3,5)e =u r ，2(6,10)e =u u rD ．1(2,3)e =-u r ，2(2,3)e =-u u r2．（多选题）下列说法正确的是（） A ．在ABC V 中，::sin :sin :sin a b c A B C =B ．在ABC V 中，若sin 2sin 2A B =，则A B =C ．在ABC V 中，若sin sin A B >，则A B >；若A B >，则sin sin A B >D ．在ABC V 中，sin sin sin +=+a b c A B C3．（多选题）在ABC V中，a =10c =，30A =︒，则角B 的值可以是（） A ．105ºB ．15ºC ．45ºD ．135º4．（多选题）关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（） A ．若a b a c ⋅=⋅r r r r ，则b c =r r； B ．已知(,3)a k =r ，(2,6)b =-r ，若//a b r r ，则1k =-；C ．非零向量a r 和b r ，满足||||||a b a b ==-r r r r ，则a r 与a b +r r的夹角为30º； D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r 5．（多选题）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AB ==，2BC =，M ，N 分别为棱11C D ，1CC 的中点，则下列说法正确的是（）A ．A M NB 、、、四点共面B ．平面ADM ⊥平面11CDD CC ．直线BN 与1B M 所成角的为60oD ．//BN 平面ADM6．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（） A ．()()11i i -+B ．11i i-+ C ．11i i+- D ．()21i -7．（多选题）如图，设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，)cos cos 2sin a C c A b B +=，且3CAB π∠=．若点D 是ABC V 外一点，1DC =，3DA =，下列说法中，正确的命题是（）A ．ABC V 的内角3B π=B ．ABC V 的内角3C π=C ．四边形ABCD 3+ D ．四边形ABCD 面积无最大值8．（多选题）若,,a b c v v v 均为单位向量,且0,()()0a b a c b c ⋅=-⋅-≤v v v v v v ,则a b c +-v v v 的值可能为( )A ．21-B ．1C ．2D ．2三、解答题如图，四棱锥P ABCD -中，AP ⊥平面1,//,,,2PCD AD BC AB BC AD E F ==分别为线段,AD PC 的中点.（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：平面BEF ⊥平面PAC。

2019-2020学年济宁市邹城市高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合．终边过点，则A. B. C. D.2.若tan280°=a，则sin80°的结果为()A. −1a B.√1+a2C. −√1+a2D. −√1+a23.设a⃗，b⃗ 为非零向量，且|a⃗⋅b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，那么()A. a⃗⊥b⃗B. a⃗，b⃗ 同向C. a⃗，b⃗ 反向D. a⃗，b⃗ 平行4.设a⃗、b⃗ 均是非零向量，且|a⃗|=2|b⃗ |，若关于x的方程x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ =0有实根，则a⃗与b⃗ 的夹角的取值范围为()A. [0,π6] B. [π3,π] C. [π3,2π3] D. [π6,π]5.函数f(x)=cos2x是()A. 最小正周期为π的偶函数B. 最小正周期为π的奇函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2√2π的偶函数6.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图，为了得到g(x)=2cos2x的图象，可以将f(x)的图象()A. 向右平移个π12单位B. 向左平移个π12单位C. 向右平移个5π12单位D. 向左平移个5π12单位8. 已知向量a ⃗ =(2cos 2x,√3)，b ⃗ =(1,sin2x).设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ，若f(α−π3)=2，α∈[π2,π]，则sin(2α−π6)=( )A. −√32B. 12C. −12D. √329. cos()的值是A.B. −C.D.10. 如图，在离地面高400 m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为，山脚A 处的俯角为，已知，则山的高度BC 为( )A. 700 mB. 640 mC. 600 mD. 560 m11. 已知函数f(x)=sin(2x −π6)，则“b −a >π2”是“函数f(x)在(a,b)上不单调”的( )A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12. 如图，在△ABC 中，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是线段BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 上的一点，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数m 的值为( ) A. 111 B. 211 C. 311 D. 811二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，，，则．14.在三角形中，A，B，C是三角形A BC的内角，设函数=+−，则的最大值为________．15.函数的图象如图所示，则f(x)的解析式为______．16.已知向量a⃗=(1,2),b⃗ =(2,m)，若a⃗//b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.(1)已知π2<a<π，且sin(π−α)=45，求sin(2π+α)tan(π−a)cos(−π−a)sin(3π2−α)cos(π2+α)的值．(2)已知点P(cosθ,sinθ)在直线y=−2x上，求1+sin2θ−cos2θ1+sin2θ+cos2θ的值．18.已知抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且抛物线上横坐标为1的点到F的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(Ⅰ)求抛物线的方程；(Ⅱ)若AF⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率； (Ⅲ)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．19. 已知|a ⃗ |=4,|b ⃗ |=3，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°．(1)求(a ⃗ −b ⃗ )⋅(2a ⃗ +b ⃗ )； (2)求|a ⃗ +b ⃗ |．20. 已知函数f(x)=Asin(4x +φ)(A >0,0<φ<π)在x =π16时取得最大值2．(1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)的解析式；(3)若α∈[−π2,0]，f(14α+π16)=65，求sin(2α−π4)的值．21. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，已知4S =a 2+c 2−b 2．(Ⅰ)求角B 的值；(Ⅱ)设m =(√3−1)a +√2c ，若b =√2，求m 的取值范围．22. 已知椭圆C ：y 2a 2+x2b 2=1(a >b >0)的上、下焦点分别为F 1，F 2，上焦点F 1到直线 4x +3y +12=0的距离为3，椭圆C 的离心率e =12．(I)若P 是椭圆C 上任意一点，求|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围； (II)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆交于点B(B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1H ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且|MO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求直线l 的方程．【答案与解析】1.答案：D解析：解：，故选D．2.答案：C解析：解：∵a=tan280°=tan100°=−cot10°=−cos10°sin10°=−√1−cos210°<0，解得cos10°=−√1+a2，则sin80°=cos10°=−a√1+a2，故选：C．由条件利用诱导公式求得cos10°=−a√1+a2，从而求得sin80°=cos10°的值．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于中档题．3.答案：D解析：解：|a⃗⋅b⃗ |=|a⃗||b⃗ |，即||a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >|=|a⃗||b⃗ |，得cos<a⃗,b⃗ >=±1，<a⃗,b⃗ >=0或．故选D．利用向量的数量积，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用，向量的平行判断．4.答案：B解析：解：∵关于x的方程x2+|a⃗|x+a⃗⋅b⃗ =0有实根，∴|a⃗|2−4a⃗⋅b⃗ ≥0，∴a⃗⋅b⃗ ≤|a⃗ |24，∴cos<a⃗,b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|≤|a⃗ |24|a⃗ ||b⃗|=12，又0≤<a⃗,b⃗ >≤π，∴π≤<a⃗,b⃗ >≤π．3故选：B．，代入夹角公式得出cos<a⃗,b⃗ >的范围，从而得出向量夹角的范围．令判别式△≥0可得a⃗⋅b⃗ ≤|a⃗ |24本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．5.答案：A解析：本题考查了余弦函数的图象及性质的运用，属于基础题．根据余弦函数的图象及性质判断即可．解：函数f(x)=cos2x．=π，函数的最小正周期T=2π2余弦函数的图象关于y轴对称，∴f(x)是偶函数．故选：A．6.答案：D解析：试题分析：根据已知我们可得命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应该是一个特称命题，根据全称命题的否定方法，我们易得到结论．解：命题“所有能被2整除的数都是偶数”是一个全称命题，其否定一定是一个特称命题，故排除A，B，结合全称命题的否定方法，我们易得，命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定应为，“存在一个能被2整除的整数不是偶数”，故选D考点：命题的否定点评：本题考查的知识点是命题的否定，做为新高考的新增内容，全称命题和特称命题的否定是考查的热点7.答案：B解析：解：根据函数的图象：T=4(7π12−π3)=4×π4=π=π，故：ω=2ππ=2，由于函数的最小值为−2，故：A=2，当x=π3时，f(π3)=0，解得：φ=2π3+φ=kπ，由于：|φ|<π，所以：φ=−2π3．所以：f(x)=2sin(2x−2π3).所以把函数f(x)的图象向左平移π12个单位得到y=2cos2x的图象．故选：B．首先利用函数的图象求出函数f(x)的关系式，进一步利用图象的平移变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．8.答案：C解析：解：f(x)=a⃗⋅b⃗=2cos2x+√3sin2x=1+cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π6)+1；∴f(α−π3)=2sin(2α−π2)+1=−2cos2α+1=2；∴cos2α=−12；∵α∈[π2,π]；∴2α∈[π,2π]；∴2α=π+π3；∴sin(2α−π6)=sin(π+π6)=−12． 故选C ．进行数量积的运算，并化简即可得出f(x)=2sin(2x +π6)+1，这样根据f(α−π3)=2即可得出cos2α=−12，而由α的范围便可得出2α的范围，从而求出α，这样便可求出sin(2α−π6)的范围．考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，以及两角和的正弦公式，三角函数的诱导公式．9.答案：D解析：10.答案：C解析：11.答案：B解析：解：函数f(x)=sin(2x −π6)的周期T =π，b −a >T2，故函数f(x)在(a,b)不单调，充分性； 又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要． 故选：B ．由b −a >T2可知函数f(x)在(a,b)不单调，充分性；又函数f(x)在(a,b)上不单调，只需满足(a,b)包含最值点，故不必要，得到答案．本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力．12.答案：A解析：解：∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λNB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−λ)AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +1−λ4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(m +211)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +211AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=m +211，1−λ4=211，解得：m =111， 故选：A ．以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为基底表示出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 即可． 本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用．13.答案：解析：试题分析：根据题意，由于，，则可知，对，可知，可知=，故答案为。

姓名，年级：时间：山东省青岛市胶州市实验中学2019—2020学年第二学期高一数学期中模拟检测（三）（时间：120分钟 满分150分）一、单选题（每小题5分，共40分) 1．设z 是纯虚数，i 是虚数单位，若21z i +-是实数，则z =（ ) A ．2i -B ．12i - C ．12iD ．2i2．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB =A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144+AB ACD ．1344+AB AC3．在ABC ∆中，已知向量AB 与AC 满足()AB AC BC ABAC+⊥且1•2AB AC ABAC=，则ABC ∆是( ） A ．三边均不相同的三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等边三角形 4．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．200，20C ．100,10D ．200,105．现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛,共有2道备选题目,若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．346．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则::PAB PAC PBC S S S =△△△(） A ．1∶2∶3B ．1∶2∶1C ．2∶1∶1D ．1∶1∶27．已知外接圆半径为6的ABC ∆的三边为,,,a b c 4sin sin 3B C +=,ABC ∆面积为S ,且222S b c a =+-，则面积S 的最大值为（ ）A ．17B C D 8．在ABC ∆中,1AB =,2AC =，AB AC BC +=，则AC 在BC 方向上的投影是（ ）A ．5- B ．5- C ．5D ．5二、多选题（每小题5分，共20分)9．已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ，i 为虚数单位）,且1a b +=,下列命题正确的是( ） A ．z 不可能为纯虚数 B ．若z 的共轭复数为z ，且z z =,则z 是实数 C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于1210．(多选题）关于平面向量,,a b c ，下列命题中错误的是（）A ．若//,0a b a ≠，则存在R λ∈，使得b a λ=。

一、选择题：(本题共10小题，每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案) 1．下列命题正确的是（ ）A ．终边与始边重合的角是零角B ．终边与始边都相同的两个角一定相等C ．小于90的角是锐角D ．若120α=-，则α是第三象限角 2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( ) A ．200，20 B ．200，10C ．100，10D ．100，203．下列区间中是使函数sin()4y x π=+单调递增的一个区间是（ ）A ．2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]π-，0D ．42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知扇形的半径为1，中心角为30°，关于弧长l 与扇形面积S 正确的结果为（ ） A ． 12l π=B ． 3l π=C ． 6S π=D ． 12S π=5．下列既是偶函数又是以π为周期的函数（ ）A ．cos y x =B ．sin(2)2y x π=-C ．2sin()2y x π=+D ．32cos(2)2y x π=+6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A ．110B ．15C ．310D ．257．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两2019-2020学年度第二学期期中考试高一数学（平行班）试题球至多有一个白球”中的哪几个( )A ．①③B ．②③C ． ①②D ．①②③8．将函数4cos(2)5y x π=+的图像上各点向右平行移动2π个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式是（ ）A ．4cos(4)5y x π=+B ．4sin(4)5y x π=+C ．4cos(4)5y x π=-D ．4sin(4)5y x π=-+9．已知1sin cos 8αα=-，且344ππα<<，则cos sin αα+的值等于（ ）A ．32 B ．32- C ．34 D ．34- 10．任意ABC ∆中，给出下列4个式子，其中为常数的是（ ） ①sin()sin A B C ++；②cos()cos A B C ++；③sin(22)sin 2A B C ++； ④cos(22)cos 2A B C ++；A ．①②B ． ②③C ． ③④D ．①④二、填空题：(本题共5小题，每题4分，共20分．)11．在半径为1的圆O 内任取一点A ，则12OA <的概率为_____________.12．如果sin 0tan 0θθ><，，那么角θ所在象限是_____________. 13．已知1cos(75)6α︒+=，则sin(15)α︒-=_____________. 14．为了科普“新型冠状病毒”相关知识，增强中学生预防意识，某中学随机抽取30名学生参加相关知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m ，众数为n ，平均数为x ，则m ，n ，x 的大小关系为 .(用“<”连接)15．已知函数2()sin cos f x x x a =++，a R ∈，若对区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上任意x ，都有()1f x ≤成立，则实数a 的取值范围_____________.三、解答题：(本题共5小题，每题12分，共60分．) 16．化简计算：（1）已知tan 2x =，计算221sin 2cos x x+；（2）化简sin()cos()cos(2)cos()2πααπαππα+---+17．已知函数()sin()24x f x π=+.（1）写出函数()f x 的单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间263ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.18．下表数据为某地区某种农产品的年产量x (单位:吨)及对应销售价格y (单位:千元/吨) ．（1）若y 与x 有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程．（2）若该农产品每吨的成本为13.1千元，假设该农产品可全部卖出，利用上问所求的回归方程，预测当年产量为多少吨时，年利润Z 最大?（参考公式：回归直线方程为ˆˆˆy bx a =+，1122222212n n n x y x y x y nx y b x x x nx +++-=+++-，a y bx =-） 19．高老师需要用“五点法”画函数()sin()(00)2f x A x A πωϕωϕ=+>><，，在一个（1） 请同学们帮助高老师写出表格中的两个未知量a 和b 的值，并根据表格所给信息写出函数解析式（只需在答题卡的相应位置填写答案，无需写出解析过程）；（2） 将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()g x 图像，求()y g x =距离原点O 最近的对称中心.20．空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；>300为严重污染.一环保人士记录了某地2020年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示.(1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数；(按这个月总共有30天计算)(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.一、选择题：（4分⨯10=40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DABDBDCCAB2019-2020学年度第二学期期中考试 高一数学（平行班）试题答案二、填空题：（4分⨯5=20分） 11.14； 12. 第二象限； 13. 16； 14. n <m <x ； 15. 14⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 三、解答题：（12分⨯5=60分）16.解：（1）222222221sin cos tan 15==sin 2cos sin 2cos tan 26x x x x x x x x ++=+++ （2）=cos (cos )cos (cos )0αααα---=原式17.解：（1）要求()f x 的单调递增区间，只需满足22()2242x k k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：344()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间344()22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. （2）因为263x ππ-≤≤，所以762412x πππ≤+≤，又因为7sin sin sin 6122πππ<<，所以函数()f x 在区间7612ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，18.解：（1）由所给数据计算得()()()552113,50,123,10i i i i i x y x x y y x x====--=--=∑∑，代入公式解得12.3,86.9b a =-=，所以ˆ12.386.9yx =-+．（2）因为年利润2(12.386.9)13.112.373.8Z x x x x =⋅-+-=-+，所以当x =3时,年利润Z 取得最大值，故预测当年产量为3吨时,年利润Z 大．19.解：（1）131212a b ππ==，，有表格所给数据可知52A ω==，，因此函数解析式可以确定为()5sin(2)f x x ϕ=+，再将点(5)3π，带入函数得：=2()6k k Z πϕπ-+∈，又因为2πϕ<，所以6πϕ=-，所以()5sin(2)6f x x π=-.（2）由题意的()5sin(2)6g x x π=+，令2()6x k k Z πππ+=+∈，解之得5()122k x k Z ππ=+∈，即对称中心为5(0)()122k k Z ππ+∈，， 当50(0)12k π=，对称中心为，，当1(0)12k π=--，对称中心为，，因此距离坐标原点最近的对称中心为(0)12π-，．20.解 (1)从茎叶图中发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，故该样本中空气质量优良的频率为410＝25，估计该月空气质量优良的概率为25，从而估计该月空气质量优良的天数为30×25＝12.(2)该样本中为轻度污染的共4天，分别记为a 1，a 2，a 3，a 4； 为中度污染的共1天，记为b ；为重度污染的共1天，记为c .从中随机抽取两天的所有可能结果有：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，a 4)，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共15个.其中空气质量等级恰好不同的结果有(a 1，b )，(a 1，c )，(a 2，b )，(a 2，c )，(a 3，b )，(a 3，c )，(a 4，b )，(a 4，c )，(b ，c )，共9个.9 15＝3 5.所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为。

山东省济宁市高一下学期期中数学试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题．（本题共 12 个小题） (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 将函数 y=cos(x－ )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得图象 向左平移 个单位，则所得函数图象对应的解析式是 （ ）A . y=cos xB . y=cos(2x－ )C . y=sin(2x－ )D . y=sin( x－ )2. （2 分） (2018 高二下·南宁月考) 某城市收集并整理了该市 2017 年 1 月份至 10 月份各月最低气温与最 高气温（单位： ）的数据，绘制了下面的折线图。

已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系， 则根据该折线图，下列结论错误的是（ ）A . 最低气温与最高气温为正相关B . 10 月的最高气温不低于 5 月的最高气温C . 月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在 1 月D . 最低气温低于的月份有 4 个3. （2 分） 已知 tan100°=k，则 sin80°的值等于（ ）第 1 页 共 14 页A. B.﹣ C. D.﹣ 4. （2 分） 已知 为两条不同直线 为两个不同平面,给出下列命题: （ ）①②③④其中的正确命题序号A . ③④B . ②③C . ①②D . ①②③④5. （2 分） A.0则 f{f［f(－3)］}等于（ ）B.πC . π2D.96. （2 分） 设 a＞b＞0，下列各数小于 1 的是（ ）A . 2a﹣b第 2 页 共 14 页B.（ ）C . （ ） a﹣bD . （ ） a﹣b7. （2 分） 四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，且 角的大小为（ ）平面 ABCD，PA=AB，则直线 PB 与直线 AC 所成A.B.C.D. 8. （2 分） (2017·绵阳模拟) 执行如图所示的程序框图，输出的 n 的值为（ ）A . 10 B . 11 C . 12 D . 13第 3 页 共 14 页9. （2 分） (2018·河北模拟) 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知 应填的执行语句是（ ），下列程序框图设计的是求的值，在 处A. B. C. D.10.（2 分）(2018·绵阳模拟) 在区间上随机取一个实数 ，则事件“”发生的概率是（ ）A.B.C.D.第 4 页 共 14 页11. （2 分） (2018 高三上·凌源期末) 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向右平移 个单位，得到函数的图象，则（）A.B. C. D. 12. （2 分） 如图，一环形花坛分成 A，B，C，D 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里种 1 种花， 且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A . 96 B . 84 C . 60 D . 48二、 填空题． (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2016 高一下·和平期末) 用辗转相除法或更相减损术求 459 与 357 的最大公约数是________．14. （1 分） (2017·淮安模拟) 已知函数 则 α+β=________．（0≤x＜π），且（α≠β），15. （1 分） (2016 高一下·湖南期中) 某服装商场为了了解毛衣的月销售量 y（件）与月平均气温 x（℃） 之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：月平均气温 x（℃）171382第 5 页 共 14 页月销售量 y（件）24334055由表中数据算出线性回归方程中的 b≈﹣2．气象部门预测下个月的平均气温约为 6℃，据此估计，该商场下个月毛衣的销售量约为________件．（参考公式：b=）16. （1 分） 统计的基本思想是：________ ．三、 解答题． (共 6 题；共 65 分)17. （5 分） (2017 高一下·郴州期中) 已知 tanα=﹣3，且 α 是第二象限的角，求 sinα 和 cosα．18. （15 分） (2016 高一下·滑县期末) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工某零件所花费的时间，为 此做了四次实验，得到的数据如表：零件的个数 x（个）2345加工的时间 y（小时） 2.5 3 4 4.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；（2） 求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= x+ ，并在坐标系中画出回归直线； （3） 试预测加工 6 个零件需要多少时间？第 6 页 共 14 页（注： =，=﹣ ）19. （5 分） (2019 高一下·临沂月考) 已知圆心 为的圆，满足下列条件：圆心 位于 轴正半轴上，与直线相切且被轴 截得的弦长为，圆 的面积小于 13.（Ⅰ）求圆 的标准方程；（Ⅱ）设过点的直线 与圆 交于不同的两点，以为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线 ，使得直线 与恰好平行?如果存在，求出 的方程；如果不存在，请说明理由.20. （15 分） (2020 高一下·滕州月考) 已知 O 为坐标原点，对于函数为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数.，称向量（1） 设函数，试求的伴随向量；（2） 记向量的伴随函数为，求当且时的值；（3） 由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的 2 倍，再把整个图象向右平移 个单位长度得到 的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点 P，使得.若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由.21. （10 分） (2019 高二上·张家口月考) 某学校需要从甲、乙两名学生中选一人参加数学竞赛，抽取了近 期两人 次数学考试的成绩，统计结果如下表：甲的成绩(分) 乙的成绩(分)第一次第二次第三次第四次第五次（1） 若从甲、乙两人中选出一人参加数学竞赛，你认为选谁合适?请说明理由.（2） 若数学竞赛分初赛和复赛，在初赛中有两种答题方案：方案一：每人从 道备选题中任意抽出 道，若答对，则可参加复赛，否则被淘汰.第 7 页 共 14 页方案二：每人从 道备选题中任意抽出 道，若至少答对其中 道，则可参加复赛，否则被润汰.已知学生甲、乙都只会 道备选题中的 道，那么你推荐的选手选择哪种答题方条进人复赛的可能性更大? 并说明理由.22. （15 分） (2017 高一上·奉新期末) 已知函数 f（x）=，g（x）=f（x）﹣a（1） 当 a=2 时，求函数 g（x）的零点； （2） 若函数 g（x）有四个零点，求 a 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，记 g（x）得四个零点分别为 x1，x2，x3，x4，求 x1+x2+x3+x4 的取值范围．第 8 页 共 14 页参考答案一、 选择题．（本题共 12 个小题） (共 12 题；共 24 分)1-1、2-1、 3-1、4-1、 5-1、 6-1、7-1、 8-1、 9-1、 10-1、11-1、 12-1、二、 填空题． (共 4 题；共 4 分)13-1、14-1、 15-1、第 9 页 共 14 页16-1、三、 解答题． (共 6 题；共 65 分)17-1、 18-1、 18-2、 18-3、第 10 页 共 14 页19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

2020-2021学年山东省济宁市邹城市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（1，0），＝（2，4），则||＝（）A．B．5C．7D．252．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x（10﹣x）＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+和5﹣，数系扩充后这两个根分别记为5+i和5﹣i．若z（5+i）＝5﹣i，则复数z＝（）A．1﹣i B．1+i C．D．3．已知向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），则下列关于向量的运算错误的是（）A．m（）＝m B．（m﹣n）＝m﹣nC．若m＝，则＝D．若m＝n，则m＝n4．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，1，1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（）A．πB．6πC．36πD．8π5．如图，△A′B'C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D″∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B'C′＝2，那么（）A．AD的长度大于AC的长度B．BC的长度等于AD的长度C．△ABC的面积为1D．△A′B′C′的面积为6．在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cos B＝．若＝3，则a+c的值为（）A．2B．3C．4D．67．下列命题正确的是（）A．复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则实数m＝1B．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，则与重合C．若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点Z在复平面的虚轴上D．已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y（i是虚数单位，O为复平面坐标原点，x，y∈R），则x+y＝18．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A．圆锥的母线长为18B．圆锥的表面积为27πC．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D．圆锥的体积为18二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列关于复数的命题中正确的是（）A．若z是虚数，则z不是实数B．若a，b∈R且a＞b，则a+2i＞b+iC．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数z＝（3t﹣1）+（t2+2t+2）i（t∈R）对应的点在实轴上方10．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（）A．若b＝1，c＝2，A＝，则△ABC的面积为B．若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝2C．若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形D．若a＝，b＝2，c＝3，则＝11．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且++＝，||＝||，则有（）A．＝﹣B．＝C．点O是△ABC的垂心D．在方向上的投影向量的长度为12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论错误的是（）A．直线A1C1与BD1为异面直线B．直线BB1与平面ACD1平行C．将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为16πD．若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从A 点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．设复数z＝（）2021，其中i是虚数单位，则z的虚部是．14．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，测得∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，已知另一座山高BC＝300米，则山高MN＝．15．在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则＝．16．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是（答案不唯一）．（2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是（答案不唯一）．四、解答题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知复数z＝+（m2﹣3m）i（m∈R）．（Ⅰ）当m取什么值时，复数z是纯虚数？（Ⅱ）当m＝1时，求||．18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱CC1，AA1的中点．（Ⅰ）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由；（Ⅱ）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线．19．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若||＝3，且，求的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且|k|＝|﹣k|（0＜k≤1），求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．20．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）．（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？注：≈0.32，结果精确到0.01．21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sin＝；②a2+b2﹣c2﹣ab＝0；③b＝3；④c＝2．（Ⅰ）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAC＝，BC＝1，AB+AC＝2+，AB＜AC，AB ∥CD，点E为四边形ABCD的外接圆劣弧（不含端点C，D）上一动点．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并证明；（Ⅱ）若＝x+y（x，y∈R），设∠DAE＝α，y＝f（α），求函数f（α）的最小值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知向量＝（1，0），＝（2，4），则||＝（）A．B．5C．7D．25解：根据题意，向量＝（1，0），＝（2，4），则+＝（3，4），故|+|＝＝5，故选：B．2．1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x（10﹣x）＝40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+和5﹣，数系扩充后这两个根分别记为5+i和5﹣i．若z（5+i）＝5﹣i，则复数z＝（）A．1﹣i B．1+i C．D．解：由z（5+i）＝5﹣i，得z＝＝＝＝．故选：C．3．已知向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），则下列关于向量的运算错误的是（）A．m（）＝m B．（m﹣n）＝m﹣nC．若m＝，则＝D．若m＝n，则m＝n解：由题意，向量，，实数m，n（m≠0，n≠0），由向量的运算律可得，m（）＝m，故选项A正确；由向量的运算律可得，（m﹣n）＝m﹣n，故选项B正确；若m＝，因为m≠0，则＝，故选项C正确；当时，m＝n，此时m和n不一定相等，故选项D错误．故选：D．4．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，1，1，且其顶点都在球面上，则该球的体积是（）解：长方体的体对角线的长是：＝，球的半径是：．这个球的体积：π×（）3＝π．故选：A．5．如图，△A′B'C′是斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，D′是B′C′的中点，且A′D″∥y′轴，B′C′∥x′轴，A′D′＝2，B'C′＝2，那么（）A．AD的长度大于AC的长度B．BC的长度等于AD的长度C．△ABC的面积为1D．△A′B′C′的面积为解：把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A，AD⊥BC，则有AC＞AD，A错误；对于B，BC＝B'C′＝2，AD＝2A′D′＝4，B错误；对于C，△ABC的面积S＝×BC×AD＝4，C错误；对于D，△A′B′C′的面积S′＝S＝，D正确；故选：D．6．在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2＝ac且cos B＝．若＝3，则a+c的值为（）解：∵＝3，∴ac cos B＝3，∵cos B＝，∴b2＝ac＝4，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得4＝（a+c）2﹣2ac﹣2ac cos B，∴（a+c）2＝18，∴a+c＝3，故选：B．7．下列命题正确的是（）A．复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，则实数m＝1B．设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，则与重合C．若|z﹣1|＝|z+1|，则复数z对应的点Z在复平面的虚轴上D．已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y（i是虚数单位，O为复平面坐标原点，x，y∈R），则x+y＝1解：对于A：复数1+i是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的一个根，所以：（1+i）2﹣m（1+i）+2＝0，整理得：m＝2，故A错误；对于B：设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，若|z1|＝|z2|，即这两个向量的模长相等，但是与不一定重合，故B错误；对于C：若|z﹣1|＝|z+1|，设z＝x+yi（x，y∈R），故：，整理得：x＝0，故z＝bi，故C正确；对于D：已知复数﹣1+2i，1﹣i，3﹣2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，若＝x+y，所以（3，﹣2）＝x（﹣1，2）+y（1，﹣1），整理得：x＝1，y＝4，故x+y ＝5，故D错误．故选：C．8．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（）A．圆锥的母线长为18B．圆锥的表面积为27πC．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°D．圆锥的体积为18解：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2，又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝3πl，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，所以πl2＝3×3πl，解得l＝9，所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；圆锥的表面积S＝S圆锥侧+S底＝3×π×9+π×32＝36π，故选项B错误；因为圆锥的底面周长为2π×3＝6π，设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为α，则6π＝α•9，解得，所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；圆锥的高h＝，所以圆锥的体积为π，故选项D正确．故选：D．二、多项选择题（本题共4个小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．下列关于复数的命题中正确的是（）A．若z是虚数，则z不是实数B．若a，b∈R且a＞b，则a+2i＞b+iC．一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零D．复数z＝（3t﹣1）+（t2+2t+2）i（t∈R）对应的点在实轴上方解：根据虚数的定义，A正确；B选项，虚数不能比较大小，错误；C选项，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，说法错误；D选项，对应点的坐标为（3t﹣1，t2+2t+2），因为t²+2t+2＝（t+1）²+1＞0，所以点在x轴上方，说法正确．故选：AD．10．已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（）A．若b＝1，c＝2，A＝，则△ABC的面积为B．若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝2C．若sin2A+sin2B+cos2C＞1，则△ABC为锐角三角形D．若a＝，b＝2，c＝3，则＝解：选项A，△ABC的面积S＝bc sin A＝×1×2×sin＝，即选项A正确；选项B，由正弦定理知，，所以，解得a＝2，即选项B正确；选项C，因为sin2A+sin2B+cos2C＞1，所以sin2A+sin2B＞1﹣cos2C＝sin2C，结合正弦定理，得a2+b2＞c2，由余弦定理知，cos C＝＞0，所以C为锐角，但无法确定A和B的大小，即选项C错误；选项D，由余弦定理知，cos A＝＝＝，所以＝cb•cos（π﹣A）＝3×2×（﹣）＝﹣，即选项D错误．故选：AB．11．已知△ABC外接圆的圆心为O，半径为2，且++＝，||＝||，则有（）A．＝﹣B．＝C．点O是△ABC的垂心D．在方向上的投影向量的长度为解：因为++＝，所以+﹣+﹣＝，所以＝﹣，故A正确；由++＝，可得＝﹣＝，所以四边形OBAC为平行四边形，又O为△ABC外接圆的圆心，所以||＝||，又||＝||，所以△OAB为正三角形，因为△ABC外接圆的半径为2，所以四边形OBAC是边长为2的菱形，所以OA⊥BC，所以•＝0，即•（﹣）＝0，所以＝，故B 正确；由以上分析可得∠BAC＝，△ABC为钝角三角形，故△ABC的外心O不是垂心，故C错误；由四边形OBAC是边长为2的菱形，可得∠ACB＝，所以在方向上的投影向量的长度为||cos＝2×＝，故D正确．故选：ABD．12．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则下列结论错误的是（）A．直线A1C1与BD1为异面直线B．直线BB1与平面ACD1平行C．将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，可能制作的最大零件的表面积为16πD．若矩形ACC1A1是某圆柱的轴截面（过圆柱的轴的截面叫做圆柱的轴截面），则从A 点出发沿该圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离是解：根据题意，依次分析选项：对于A，直线A1C1与BD1既不平行也不相交，是异面直线，A正确；对于B，BB1∥DD1，而直线DD1与平面ACD1相交，故直线BB1与平面ACD1也相交，B 错误；对于C，将形状为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的铁块磨制成一个球体零件，当球的半径为棱长一半，即其半径为1时，球的表面积最大，其表面积最大值S＝4π×12＝4π，C错误；对于D，从A点沿圆柱的侧面到相对顶点C1的最短距离即为圆柱侧面展开图一个顶点到对边中点的距离，即其最短距离d＝，D正确；故选：BC．三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．设复数z＝（）2021，其中i是虚数单位，则z的虚部是﹣1．解：∵，∴z＝（）2021＝（﹣i）2021＝﹣i2021＝﹣i4×505+1＝﹣i，∴z的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．14．某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN，现选择点A和另一座山的山顶（点）C作为测量观测点，从A测得点M的仰角∠MAN＝45°，点C的仰角∠CAB＝30°，测得∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，已知另一座山高BC＝300米，则山高MN＝300．解：在△ABC中，BC⊥AB，∠CAB＝30°，BC＝300，所以可得AC＝＝＝600，在△MAC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，由正弦定理可得：＝，即＝，所以可得AM＝300，在Rt△AMN中，∠MAN＝45°，所以MN＝AM•sin∠MAN＝300×＝300；故答案为：300．15．在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则＝﹣2．解：∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝+，＝﹣，又∵AB＝4，AD＝3，cosθ＝，∴∴•＝（+）•（﹣）＝•﹣+＝×﹣9+×16＝﹣2，故答案为：﹣2．16．如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．（1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是②【或③或④】（答案不唯一）．（2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是①③⑤【或②③④】（答案不唯一）．解：（1）由图可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④．（2）以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④，还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤，故答案为：②（或③或④），①③⑤（或②③④）．四、解答题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．已知复数z＝+（m2﹣3m）i（m∈R）．（Ⅰ）当m取什么值时，复数z是纯虚数？（Ⅱ）当m＝1时，求||．解：（I）若z为纯虚数，则，解得m＝﹣1．故当m＝﹣1时，复数z是纯虚数．（II）当m＝1时，z＝﹣4﹣2i，∵，∴||＝．18．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E，F分别是棱CC1，AA1的中点．（Ⅰ）画出平面BED1F与平面ABCD的交线，并说明理由；（Ⅱ）设H为直线B1D与平面BED1F的交点，求证：B，H，D1三点共线．解：（Ⅰ）如图所示，直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线，理由如下：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵E，F分别是棱CC1，AA1的中点，DA⊂平面AA1D1D，D1F⊂平面AA1D1D，且DA与D1F不平行，∴在平面AA1D1D内分别延长D1F，DA，则D1F与DA必相交于一点，不妨设为点P，∴P∈AD，P∈D1F，∵DA⊂平面ABCD，D1F⊂平面BED1F，∴P∈平面ABCD，D1，P∈平面BED1F，即P为平面ABCD和平面BED1F的公共点，又∵B为平面ABCD和平面BED1F的公共点，连接PB，∴直线PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．证明（Ⅱ）：如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵BB1∥DD1，，且BB1＝DD1，∴四边形BB1D1D为平行四边形，∵H为直线B1D与平面BED1F的交点，∴H∈B1D，又∵B1D⊂平面BB1D1D，∴H∈平面BB1D1D，又∵H∈平面BED1F，平面BED1F∩平面BB1D1D＝BD1，∴H∈BD1，∴B，H，D1三点共线．19．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中＝（1，2）．（Ⅰ）若||＝3，且，求的坐标；（Ⅱ）若是单位向量，且|k|＝|﹣k|（0＜k≤1），求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值．解：（Ⅰ）∵＝（1，2），且，∴，由||＝3，得＝＝，得λ＝±3，∴＝（3，6）或（﹣3，﹣6）；（Ⅱ）由|k|＝|﹣k|，得，∴，∵，，∴，可得，∵0＜k≤1，令g（k）＝，则g（k）在（0，1]上单调递减，可得g（k）min＝g（1）＝1．即的最小值为1．此时与夹角的余弦值cos＜＞＝．20．某市政府为确保在“十四五”开局之年做好城市基础设施配套建设，优化公园环境，方便市民休闲活动．计划在城市公园内的一条小河上建造一座桥，如图为建造该桥所用的钢筋混凝土预制件模型（该模型是由一个长方体挖去一个直四棱柱而成）及尺寸（单位：米）．（Ⅰ）问：浇制一个这样的预制件需要多少立方米混凝士（钢筋体积略去不计）？（Ⅱ）为防止该预制件桥梁风化腐蚀，需要在其表面涂上一层保护液（假定保护液涂层均匀、单位面积使用的保护液一定），为合理购买保护液数量，请计算该预制件的表面积是多少？注：≈0.32，结果精确到0.01．解：（Ⅰ）由题意，该预制件是由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的直四棱柱EFGH ﹣E1F1G1H1后剩下的几何体，则所求混凝土的量等价于该几何体的体积，因为S几何体底ABCDEFGH＝0.6×1.1﹣×0.3＝0.54，所以V几何体底ABCDEFGH•AA1＝0.54×21＝11.34（立方米），故浇制一个这样的预制件需要11.34立方米混凝士；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该预制件底面面积为2S几何体底ABCDEFGH＝2×0.54＝1.08，其余侧面均为长方形，且AB＝CD＝0.6，BC＝1.1，EF＝GH＝，AH＝DE＝FG＝0.3，所有侧面面积之和为（AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA）×AA1＝（0.6+1.1+0.6+0.3×3+0.32×2）×21＝80.64，所以该预制件的表面积是1.08+80.64＝81.72（平方米）．21．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若△ABC同时满足下列四个条件中的三个：①sin＝；②a2+b2﹣c2﹣ab＝0；③b＝3；④c＝2．（Ⅰ）请指出符合题意的三个条件，并说明理由；（Ⅱ）求△ABC的面积．解：（Ⅰ）符合题意的三个条件是②③④，理由如下：条件①sin＝，则＝或，∴B＝或（舍），即B＝，条件②a2+b2﹣c2﹣ab＝0，由余弦定理知，cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵B+C＜π，∴①②只能选择一个，若选①③④，由于b＝3，c＝2，即c＞b，∴C＞B＝，与B+C＜π相矛盾，故①③④不能同时选，∴符合题意的三个条件是②③④．（Ⅱ）∵a2+b2﹣c2﹣ab＝0，b＝3，c＝2，∴a2+9﹣12﹣3a＝0，即a2﹣3a﹣3＝0，解得a＝或（舍负），∴△ABC的面积S＝ab sin C＝××3×sin＝．22．如图所示，在四边形ABCD中，∠BAC＝，BC＝1，AB+AC＝2+，AB＜AC，AB ∥CD，点E为四边形ABCD的外接圆劣弧（不含端点C，D）上一动点．（Ⅰ）判断△ABC的形状，并证明；（Ⅱ）若＝x+y（x，y∈R），设∠DAE＝α，y＝f（α），求函数f（α）的最小值．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理知：CB2＝AB2+AC2﹣2AC•AB•cos∠CAB，∴1＝（AB+AC）2﹣（2）AC•AB，又因为AB+AC＝2，所以AC•AB＝2所以AB，AC分别为方程x2﹣（2）x+2＝0的两根，因为AB＜AC，所以AB＝，AC＝2，所以AC2＝AB2+BC2，所以AB⊥BC，即△ABC为直角三角形（Ⅱ）解：如图，因为AB⊥BC，所以AC是四边形ABCD的外接圆的直径，AD⊥DC，所以四边形ABCD为矩形，连接DE，∠AED＝∠ACD＝，设AE交CD于F，作CG平行于AF且交AB于G，则四边形AGCF为平行四边形，所以＝+，又因为＝x+y（x，y∈R），由平面向量基本定理知：＝y，所以y＝，在△ADE中，因为∠AED＝，∠DAE＝α，所以∠ADE＝﹣α，由正弦定理知：＝，所以AE＝2sin（﹣α），在Rt△ADF中，AF＝＝，所以f（α）＝y＝＝＝＝＝，α∈（0，），因为α∈（0，），所以2α+∈（，），∴sin（2α+）∈（，1]，∴1+2sin（2α+）∈（2，3]，所以，当α＝时，f（α）取最小值，最小值为．。