定积分的应用练习题
定积分的应用练习题 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤-上的一段弧所围成的图形面积 为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1 cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( )
定积分测试题
题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ) )(2122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2
定积分的应用练习题,DOC
欢迎阅读 题型 1.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求面积 2.由已知条件,根据定积分的方法、性质、定义,求体积 内容 一.微元法及其应用 二.平面图形的面积 1.直角坐标系下图形的面积 2.边界曲线为参数方程的图形面积 3. 极坐标系下平面图形的面积 三.立体的体积 1.已知平行截面的立体体积 2.旋转体的体积 四.平面曲线的弦长 五.旋转体的侧面积 六.定积分的应用 1.定积分在经济上的应用 2.定积分在物理上的应用 题型 题型I微元法的应用 题型II求平面图形的面积
题型III 求立体的体积 题型IV 定积分在经济上的应用 题型V 定积分在物理上的应用 自测题六 解答题 4月25日定积分的应用练习题 一.填空题 1. 求由抛物线线x x y 22+=,直线1=x 和x 轴所围图形的面积为__________ 2.抛物线x y 22=把圆822≤+y x 分成两部分,求这两部分面积之比为__________ 3. 由曲线y x y y x 2,422==+及直线4=y 所围成图形的面积为 4.曲线3 3 1x x y - =相应于区间[1,3]上的一段弧的长度为 5. 双纽线θ2sin 32=r 相应于2 2 π θπ ≤ ≤- 上的一段弧所围成的图形面积为 . 6.椭圆)0,0(1sin 1cos b a t b y t a x ???+=+=所围成的图形的面积为 二.选择题 1. 由曲线22,y x x y ==所围成的平面图形的面积为( ) A . 31 B . 32 C . 21 D . 2 3 2. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为( ) A . 223a π B . 243a π C . 2 8 3a π D . 23a π 3. 曲线2 x x e e y -+=相应于区间],0[a 上的一段弧线的长度为 ( ) A . 2 a a e e -+ B . 2a a e e -- C . 12++-a a e e D .12-+-a a e e 4. 由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为( )。
定积分的简单应用
定积分的简单应用 海口实验中学陈晓玲 一、教材分析 “定积分的简单应用”是人教A版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修2-2第一章1.7的内容。从题目中可以看出,这一节教学的要求就是让学生在充分认识导数与积分的概念,计算,几何意义的基础上,掌握用积分手段解决实际问题的基本思想和方法,在学习过程中了解导数与积分的工具性作用,从而进一步认识到数学知识的实用价值以及数学在实际应用中的强大生命力。在整个高中数学体系中,这部分内容也是学生在高等学校进一步学习数学的基础。 二、教学目标(以教材为背景,根据课标要求,设计了本节课的教学目标) 1、知识与技能目标: (1)应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程问题; (2)学会将实际问题化归为定积分的问题。 2、过程与方法目标: 通过体验解决问题的过程,体现定积分的使用价值,加强观察能力和归纳能力,强化数形结合和化归思想的思维意识,达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。 3、情感态度与价值观目标: 通过教学过程中的观察、思考、总结,养成自主学习的良好学习习惯,培养数学知识运用于生活的意识。 三、教学重点与难点 1、重点:应用定积分解决平面图形的面积和变速直线运动的路程问题,在解决问题的过程中体验定积分的价值。 2、难点:将实际问题化归为定积分的问题。 四、教学用具:多媒体 五、教学设计
教学环节教学设计师生 互动 设计意图 一、 创设情境 引出新课1、生活实例: 实例1:国家大剧院的主题构造 类似半球的构造,如何计算建造时中间玻璃段的使用面积? 边缘的玻璃形状属于曲边梯形,要计算使用面积可以通过计算 曲边梯形的面积实现。 实例2:一辆做变速直线运动的汽车,我们如何计算它行驶的 路程? 2、复习回顾: 如何计算曲边梯形的面积? 3、引入课题: 定积分的简单应用 学生:观 察。 教师:启 发,引导 学生:思 考,回 忆。 学生:疑 惑,思 考,感 受。 教师:启 发,引 导。 学生:复 习,回忆 老师:引 入课题 数学源于生活,又服 务于生活。 通过对国家大剧院的 观察,创设问题情境,体 验数学在现实生活中的 无处不在,激发学生的学 习热情,引导他们积极主 动的参与到学习中来。 启发学生把物理问题 与数学知识联系起来,训 练学生对学科间的思维 转换和综合思维能力。 学生感受定积分的工 具性作用与应用价值。 在生活实例的启发 下,引导学生把所学知识 与实际问题联系起来,回 忆如何计算曲边梯形面 积。 这是这节课的知识基 础。 引入本节课的课题。 哎呀,里程表坏了,你 能帮我算算我走了多 少路程吗? x y o y f(x) = a b A ?=b a dx x f A) (
定积分单元测试题
定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ,则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?,则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ,则()x f 等于( )。 (A )2ln x e ; (B ) 2ln 2x e ; (C ) 2ln +x e ; (D ) 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续,则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(( ) (A ))(2x xf ; (B ))(2x xf -; (C ))(22x xf ; (D ))(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数,且?+=10 )(2)(dt t f x x f ,则)(x f =( ) (A )1-x ; (B )1+x ; (C)1+-x ; (D )1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?,其中()f x 为连续函数,则lim ()x a F x →=( ) (A )a (B ))(a af (C ))(a f (D )0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( )
最新定积分的简单应用测试题
一、选择题 1. 如图所示,阴影部分的面积为() 2. 如图所示,阴影部分的面积是() 面积(如图)是( A. 2(x2—1)dx '0 B . | 2(x2—1)dx| ■ 0 C. 2|x2 —1|dx D. '(x2—1)dx + 2(x2—1)dx J c J ▲ 0 1 4.设f(x)在[a, b]上连续,则曲线f(x)与直线x= a, x= b, y= 0 围成图形的面积为() A. b f(x)dx B. | b f(x)dx| 'a ' a 精品文档 A. b f(x)dx 'a C. b[f(x) —g(x)]dx 'a B. b g(x)dx 'a D. b[g(x)—f(x)]dx -a C.32 肿5 D.35 3.由曲线y= x2—1、直线x= 0、x= 2和x轴围成的封闭图形的
C. b |f(x)|dx 'a D .以上都不对 5. 16 曲线y =1—w 与x 轴所围图形的面积是() D.5 1 2 比较积分值0 e x dx 和 1 2 1 — U x dx 大于 0e x dx 2 1 C . U x dx 等于 0 7.由曲线y = x 2, y = x 3围成的封闭图形面积为( ) B.1 D. 12 6. 1 x >e dx fe"dx 的大小() 1 2 , 1 B . o e xdx 小于 ° 1 2 1 - D . o e x dx 和°e Xjx 不能比较 e dx A-12 Cl 8.求 1 /dx 的解( ) C . -1 9.求 12 x 2dx 的解( ) A.* C .- 3 10 .过原点的直线I 与抛物线y =x 2— 2ax (a>0)所围成的图形面 积 为9a 3,则直线I 的方程为( ) A . y = iax B . y = ax C . y = — ax D . y = — 5ax
知识讲解_定积分的简单应用(基础)
定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积: ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图,由三条直线x a =,x b =()a b <,x 轴(即直线()0y g x ==)及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积: ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3.由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =(不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤,在区间[,]c b 上()0f x ≥)围成的图形的面积: ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? =()c a f x dx -?+()b c f x dx ?. 4. 如图,由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =,x b =()a b <围
成图形的面积: 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释: 研究定积分在平面几何中的应用,其实质就是全面理解定积分的几何意义: ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时,容易转化为定积分求其面积; ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时,其在x 轴下的部分对应的定积分为负值,应取其相反数(或绝对值); 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 (1)画出图形; (2)确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分上、下限; (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分表达式; (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ,等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分,即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动,并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <,那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释: 1. 利用定积分解决运动路程问题,分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度,速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题,要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂:定积分的简单应用 385155 例1】 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。
1.7定积分的简单应用
§1.7定积分的简单应用(二课时) 一:教学目标 知识与技能:初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法;让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法:进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观:体会定积分在物理中应用(变速直线运动的路程、变力沿直线做功), 培养学生唯物主义思想。 二:教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三:教学过程:(第一课时) 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么? 2、定积分的几何意义是什么? 3、微积分基本定理是什么? 2、定积分的应用 (一)利用定积分求平面图形的面积 例1.计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积,可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解:2 01y x x y x ?=?==?=??及,所以两曲线的交点为(0,0)、(1,1),面积 S=1 20 0x dx = -? ? ,所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤: 1.作图象;2.求交点;3.用定积分表示所求的面积;4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2.计算由直线4y x =- ,曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析:首先画出草图(图1.7 一2 ) ,并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
定积分练习题及答案(基础)
第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义,?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2)设?-=1110)(2dx x f ,则?-=1 1)(dx x f _____5____, ?-=1 1)(dx x f ____-5___,?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 (1) 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 (B ) .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定
三、计算题 1.估计积分的值:dx x x ?-+3 121 解:设1)(2+=x x x f ,先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值, ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ,由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续,且?- =10)()(dx x f x x f ,求函数)(x f . 解:设 a dx x f =?10)(,则a x x f -=)(,于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010, 得41=a ,所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解:原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解:原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x
最新定积分的简单应用导学案
定积分的简单应用导 学案
定积分的简单应用导学案 学科:高二数学课型:新授课课时:2课时编写时间:2013-3-15 编写人:邓朝华审核人:陈平班级:姓名: 【导案】 【学习目标】 1.熟练掌握应用定积分求解平面图形的面积问题。 2.掌握应用定积分解决变速直线运动的路程和变力做功等问题。 3.培养学生的建模水平和解决实际问题的能力。 【学习重难点】 重点:应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力做功等问题使学生在解决问题的过程中体验定积分的价值。 难点:将实际问题化归为定积分的问题。 【学案】 1.计算平面图形面积的一般步骤 在利用定积分求平面图形的面积时,一般要先____________,再借助 ________________直观确定出____________________以及积分的____________。 2.变速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分,即s=____________________________. 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10
3.变力作功 (1)恒力F的作功公式 一物体在恒力F(单位:N)的作用下做直线运动,如果物体沿着与F相同的方向移动了s(单位:m),则力F所作的功为____________。 (2)变力F(x)的作功公式 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动,并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b(a<b),那么变力F(x)所作的功为W=________________。 4.例题分析 【例1】计算由曲线y2=x, y=x2所围图形的面积S。 【例2】计算由直线y=x-4,曲线 以及x轴所围图形的面积S. 【例3】一辆汽车的速度-时间曲线如图所示。求汽车在这1min行驶的路程。 仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢10