定积分的简单应用--面积ppt

《定积分的定义》课件

总结词：定积分具有线性性质、可加性、可减性、可乘性和可除性。
详细描述：定积分具有一系列的性质，其中最重要的是线性性质，即两个函数的和或差的积分等于它们各自积分的和或差；其次，定积分具有可加性和可减性，即函数在一个区间上的积分等于该区间左端点处的函数值与区间长度乘积的一半减去右端点处的函数值与区间长度乘积的一半；此外，定积分还具有可乘性和可除性，即函数与常数的乘积的积分等于该常数乘以函数的积分，函数除以常数的积分等于函数乘以该常数的倒数。这些性质在求解定积分时非常有用。
功的计算
定积分可用于计算力在空间上所做的功，通过将力在空间上进行积分得到总功。
电磁学中的应用
在电磁学中，电场强度和磁场强度是空间的函数，通过定积分可以计算电场强度和磁场强度在空间上的分布。
THANKS
感谢观看

微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用非常广泛，它为解决各种实际问题提供了重要的数学工具。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种函数的定积分，从而解决诸如面积、体积、长度、平均值、极值等问题。此外，它也是微分方程求解的重要基础。
微积分基本定理的证明
总结词
微积分基本定理的证明涉及到了极限理论、实数性质等深奥的数学知识，是数学严谨性的一个典范。
详细描述
证明微积分基本定理需要利用极限的运算性质和实数完备性等数学知识。其证明过程体现了数学的严谨性和逻辑性，是数学教学中的重要内容。同时，对于理解微积分的本质和深化数学素养具有重要意义。
03
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接计算定积分的基本方法
详细描述
直接法是计算定积分最基本的方法，它基于定积分的定义，通过将被积函数进行微分和积分，然后进行计算。这种方法适用于一些简单的定积分计算，但对于一些复杂的定积

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2-2

排除A；当阴影有在x轴上方也有在x轴下方时，a f(x)dx是两
面积之差，排除B；无论什么情况C都对，故应选C.
b
【误区警示】曲线f(x)与直线x=a，x=b，y=0围成图形的面积不能均用 f(x)dx表示，要根据图形位置分不同情况选用适当
a b
的积分值表示.
【补偿训练】过原点的直线l与抛物线y=x2-2ax(a>0)所围成的图形面积为 9 a3，则直线l的方程为(
【方法技巧】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求解，得到函数图象的交点的横坐标a，b(a<b)，确定积分区间[a， b]. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积
函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面积，
即S= [f1(x)-f2(x)]dx(其中f1(x)>f2(x)).
(2-x)dx.
1 2
2
(3)正确，曲线y=3-x2与直线y=-1的交点为(-2，-1)，
(2，-1)，所以围成的图形面积为 2［(3-x2)-(-1)］dx=

2
2
(4-x2)dx. (2)√ (3)√
答案：(1)×
2.做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图中阴影部分的面积是____________.
b
1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线y=sin x，x∈[ ， ]，与x轴围成的图形的面积为
3 2 2

3 2 2
sin xdx.(
)
1 0
(2)曲线y=x3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为 x3dx+

1.7定积分的简单应用(3课时)

W =
ò
b
a
F (x )dx
思考3：如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置xm处，那么拉伸弹簧所需的力F(x)与x的函数关系是什么？ F(x)＝kx，
其中k为弹力系数.
x
思考4：如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置l m处，那么克服弹力所作的功为多少？
l
1 2 l 1 2 W = ò kxdx = kx |0 = kl (J ) 0 2 2
思考3：该图形的面积用定积分怎样表示？
y y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
蝌
0
1
xdx -
1 0
x dx
2
思考4：利用微积分基本定理计算，该图形的面积等于多少？
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
3 2 1 0
C
B
D A 1
x
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
1.7
1.7.1
定积分的简单应用
定积分在几何中的应用
问题提出
b
1 5730 p 2
t
1.定积分ò f (x )dx 的含义及其几何意 a 义分别是什么 n b b- a f ( xi ) òa f (x )dx = nlim å n i= 1
y
y＝f(x)
ò
O
b
a
f (x )dx
O
10
40
C 60 t(s)
思考2：汽车在[0，10]，[10，40]，[40， 60]（单位：s）三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？
v(m/s) 30
A

高中数学同步教学第4章 §3 定积分的简单应用

0
0
＝π(12x2－15x5)|01＝π(12－15)＝π×130＝130π.
• 4．由曲线y＝x2,直线x＝1,x＝2与x轴所围成的平面图形绕x
31π 5
轴[解旋析转] 一设周所得所旋得转旋体的转体体积的为体V，积为________.
则 V＝2π(x2)2dx＝2πx4dx＝5πx5|12＝315π.
1
1
互动探究学案
命题方向1 ⇨不分割型平面图形面积的求解
• 典例 1 曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形16 的面积为____.
• [思路分析] 从图形上可以看出,所求图形的面积可以转化为一个三角形与一个曲边三角形面积的差,进而可以用定积分求出面积．为了确定出积分的上、下限,我们需要求出直线[解和析抛] 物解线方程的组交yy点＝＝xx的，2，横坐标．
第四章定积分
• 本章知识概述：本章的主要内容是定积分的概念,计算和简单应用．
• 教科书通过曲边梯形面积问题,变速直线运动物体的路程问题,变力做功等问题,充分演示了定积分概念产生的背景以及定积分概念形成过程中的思路．微积分基本定理为我们处理积分的计算问题提供了有力工具,教科书主要介绍了求简单图形的面积和求简单旋转体的体积．
1．平面图形的面积如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有 f(x)≥0，那么定积分b f(x)dx 表
a
示由__直__线__x_＝__a_,x_＝__b_(_a_≠_b_)_,y_＝__0_和__曲__线__y_＝__f_(_x)_______所围成的曲边梯形的面积． 2．简单几何体的体积
得 x1＝0，x2＝1. 故所求图形的面积为
S＝1xdx－1x2dx
0
0

数学分析定积分课件

定积分在物理中的应用
• 定积分在物理中的应用 • 求解物体的位移 • 求解物体的速度 • 求解物体的加速度
定积分在工程中的应用
• 定积分在工程中的应用 • 求解工程问题的累积效应 • 求解工程问题的优化问题 • 求解工程问题的概率分布
数06学分析定积分习题精选
与解答
习题精选与解题思路
习题精选
连续函数的定积分与间断函数的定积分
连续函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在 • 连续函数的定积分可以通过基本积分公式、换元积分法和分部积分法求解
间断函数的定积分
• 如果函数f(x)在[a, b]上存在间断点，则定积分∫[a, b] f(x) dx可能存在 • 间断函数的定积分可以通过黎曼和和勒贝格积分求解
基本积分公式的应用
• 求解简单的定积分问题 • 通过换元法求解复杂积分问题
换元积分法及其应用
换元积分法的基本原理
• 通过换元将复杂的积分问题转化为简单的积分分法的应用实例
• 将三角函数转换为幂函数 • 将指数函数转换为幂函数 • 将多项式函数转换为幂函数
定积分的极限存在性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx存在
定积分的唯一性
• 如果函数f(x)在[a, b]上连续，则定积分∫[a, b] f(x) dx的值唯一 • 如果函数f(x)在[a, b]上单调有界，则定积分∫[a, b] f(x) dx的值唯一
分部积分法及其应用
分部积分法的基本原理
• 将复杂的积分问题分解为简单的积分问题 • 通过分部积分求解定积分

高考数学第1轮总复习第17讲定积分及简单应用课件理 (广东专)

二定积分的简单应用
【例 2】(1)下图中，阴影部分的面积是( )
A．16 C．20
B．18 D．22
素材2
(1)由曲线 y＝cosx(0≤x≤32π)与坐标轴所围成图形的面积
是( )
A．2
B．3
5 C.2
D．4
(2)作变速直线运动的质点，其速度(单位：m/s)与时间(单
位：s)的关系式为 v(t)＝t2－4t＋3，则该质点在时间段[0,4]上
2定积分的几何意义：
ⅰ( )当函数 f x 在区间[a， b ]上恒
为正时，定积分 b a
f x dx的几何
意义是由曲线②
和直线
③
所围成的曲边
梯形的面积 (如图中阴影部分 )．
(ⅱ )一
ห้องสมุดไป่ตู้
般
情
况
下
定
积
分
b
a
f
x
dx
的几何意义是介于 x轴，函数
a
b
D.cf(x)dx－bf(x)dx
b
a
5.如图，在一个长为 π，宽为 2 的矩形 OABC 内，曲线 y
＝sinx(0≤x≤π)与 x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形 OABC
内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可能的)，
则所投点落在阴影部分的概率是( )
1
2
A.π
B.π
C.π4
当函数f x的图象在x轴上方和下方都有时，
b
a
f
x dx表示界于x轴、
曲线y f x以及直线
x a，x b之间各部分

1.7.1 定积分在几何中的简单应用

a
O a
b
f (x )d x f (x )d x
a
c
b
a
b
f (x )d x -S f (x )d x
a
c
f
c
f (x )d x 。
c
yf (x)
b x
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成
的曲边梯形位于 x 轴的下方，
一、复习回顾
2、牛顿—莱布尼茨公式
2 2
-1
O
1A
x
-1
＝
2 3
3
1
x
2
0
1 3
x
3
1 0
＝
2 3
-
1 3
＝
1 3
归纳
定积分的简单应用
求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤：
（1）画草图，求出曲线的交点坐标
（2）将曲边形面积转化为曲边梯形面积（3）确定被积函数及积分区间（4）计算定积分，求出面积
四、例题实践求曲边形面积
1.7.1定积分在几何中的简单应用
定积分的简单应用
一、复习回顾 1、定积分的几何意义：
当 f(x ) 0 时，积分
a f ( x ) dx
b
在几何上表示由 y = f (x )、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x) O a b y
x
b
思考
如图, 一桥拱的形状为抛定积物线, 已知该抛物线拱的高为分常数h, 宽为常数b. 的 2 简求证: 抛物线拱的面积 S bh 3 单应用建立平面直角坐标系确定抛物线方程

4.3.1定积分的简单应用(一)利用定积分求平面图形的面积

b
a
f ( x)dx F ' ( x)dx F ( x) |b a F (b) F (a )
a
b
牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系． 2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是
确定f ( x)的原函数F ( x)
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx
4
2 xdx) ( x 4)dx
4
8
8
0
2 xdx ( x 4)dx
4
8
2 2 3 1 2 40 8 2 8 x |0 ( x 4 x) |4 3 2 3
练习 1（课本变式题）：
2 y 计算由曲线 2 x 和直线 y x 4所围成的图形的面积.
y 2x
解:
两曲线的交点
y 2 x (0,0), (8, 4). y x 4
直线与x轴交点为(4,0)
S S1 S2
4 0
S1
S2
y x4
2 xdx [
8
8
4
2 xdx ( x 4)dx]
4
8
(
4
0
2 xdx
2ห้องสมุดไป่ตู้
o
2
x
y
4
o
2 2
2
x
2
∵ s1 0 2 xdx x | 0 2 0 4

高二数学选修2-2_《定积分的概念》名师课件2

a
b
ba lim 即 x)dx lim f (i ) f (x)dx，即 f ( i)x i。 a fa (fx)(dx 0 n n i 1 i 1
b b
n
n
新课讲解
一般地，设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，用分点 a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b 将区间 [a, b] 等分成 n 个小区间，每个小区间长度为 x ba （ x ），在每个小区间 xi 1 , xi 上取一点 n i i 1,2,, n ，作和式：
a a a
b (2)性质(3)中积分区间的可加性也可以推广： f(x)dx＝
a x 1
x b 2∫f(x)dx＋„＋ f(x)dx，其中 a<x <„<x <b. f(x)dx＋ 1 n
a
x

1
xn
b (3)性质(4)：若在区间[a，b]上，f(x)≥0，则 f(x)dx≥0.
a c
c
b
y y=f(x)
思考：从定积分的几何意义解释性质⑶ b c b b b c c b b f x) dx f。 (。 x)dx f (x)dx。 f)( x)dx (x fx () x )dx (x dx f (f x) dx ( f( a)dx dx a fa a c c a a c
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
作业
教材50页 1.5A组4、5
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区

数学分析之定积分的应用

第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。

教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。

定积分的换元法和分部积分法教学课件ppt

05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程计算
总结词
定积分在变速直线运动的路程计算中有着重要的应用。通过定积分，我们可以求出物体在一定时间内的位移，从而得到物体的运动轨迹。
详细描述
在变速直线运动中，物体的速度是随时间变化的。为了计算物体在一定时间内的位移，我们需要将这段时间分割成许多小的等时间段，并计算每个时间段内物体的位移增量。将这些位移增量相加，就可以得到物体在整段时间内的位移。这个过程可以用定积分来表示，其中被积函数表示速度函数，积分变量表示时间，积分区间表示时间范围。通过定积分的计算，我们可以得到物体在一定时间范围内的位移。
定积分的计算方法
要点一
直接积分法
要点二
换元积分法
根据定积分的定义，直接计算出函数在区间[a,b]上的积分值。
通过引入新的变量替换原来的被积函数中的变量，将复杂函数的积分转化为简单函数的积分。
要点三
分部积分法
通过将两个函数相乘，将其中一个函数的积分转化为另一个函数的积分，从而求得原来函数的积分。
恒力做功的计算
总结词
定积分在恒力做功的计算中也有着广泛的应用。通过定积分，我们可以求出物体在一定距离内受到恒力作用所做的功。
详细描述
在恒力做功的计算中，物体的受力是恒定的，而物体移动的距离是变化的。为了计算物体在一定距离内受到恒力作用所做的功，我们需要将这段距离分割成许多小的等距离段，并计算每个距离段内物体所做的功。将这些功相加，就可以得到物体在整个距离范围内受到恒力所做的总功
06
定积分的数值计算方法
梯形法
要点一
总结词
简单易懂，适合初学者，但精度较低。
要点二

2020届高三一轮复习理科数学课件第2章-2.12-定积分概念及简单应用

4．已知 t>1，若∫t1(2x＋1)dx＝t2，则 t＝ 22 ．解析 ∫t1(2x＋1)dx＝(x2＋x)|t1＝t2＋t－2，从而得方程 t2＋t－2＝t2，解得 t＝2.
5．(教材改编)汽车以 v＝(3t＋2)m/s 作变速直线运动时，在第 1 s 至第 13
2 s 间的 1 s 内经过的位移是 2 m.
锁定高考
理数
第二章函数、导数及其应用
2.12
定积分概念及简单应用
【考纲考情】考试说明 1．了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念． 2．了解微积分基本定理的含义
考点
五年考情
素养定位
1．定积分的计算
1．定积分的计算，达成数学抽象和 5年2考
数学运算素养
2．定积分的几何意义，提升直观想 2．定积分的几何意义 5 年 2 考
x2－sin
x22dx＝
π2－－1 1 ；
解析 ∫0 (cos x2－sin x2)2dx＝∫0 (1－sin x)dx＝∫0 (x＋cos x)′dx＝

(x＋cosx)0
＝π2－1.
22 (2)计算：∫30|x2－1|dx＝ 3 ；
1．定积分的概念与几何意义
(1)定积分的定义
如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成 n 个小
区间，在每个小区间上任取一点 ξi(i ＝ 1 ， 2 ， … ， n) ，作和式
b－n af(ξi)，当 n→∞时，上述和式无限接近于某个常数，这
(2)定积分一定是曲边梯形的面积．(× ) 解析定积分的值可正，可负，也可为 0，而曲边梯形的面积只能为正． (3)若∫baf(x)dx<0，那么由 y＝f(x)，x＝a，x＝b 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方．(×) 解析不一定在 x 轴下方，还可能是一部分在 x 轴上方，一部分在 x 轴下方，只是下方与 x 轴围成的面积比上方与 x 轴围成的面积大．

定积分的简单应用(1)

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热身练习
用定积分表示下列图形的面积 1
y
y = 1− x
1
x
2
-1
o
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热身练习
2
−π
y
y = sin x
0
π
x
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巩固训练
计算由曲线 y = x2 与 y = x所围图形的面积
解：作出草图，所求面积为阴影部分的面积作出草图，
y2 = x 解方程组 y = x 2 得交点横坐标为 x = 0 及 x = 1
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几何意义
y
当 f (x) ≥ 0，定积分，
y = f ( x)
∫
b
a
f (x)dx
0 a
b
x
表示曲线 y = f (x),直线 x = a，
x = b和 x 轴所围成的曲边梯形和
的面积
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几何意义
y 当函数 f (x) ≤ 0 ，定积分 a b x
定积分的简单应用
用定积分计算平面图形的面积
授课人:崔志会授课人崔志会
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问题情境(复习引入问题情境复习引入 )
的几何意义是什么？ 1、 f ( x )dx 的几何意义是什么？ ∫
b a
2、微积分基本定理是什么？微积分基本定理是什么？
1
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范例
1、计算：由曲线 f ( x ) = − x 2 ,直线、计算： y

定积分的几何应用

ρ 2 = a 2 cos 2θ
例 6 求心形线r = a (1 + cosθ ) 所围平面图形的面积( a > 0) .
1 2 解 dA = a (1 + cosθ )2 dθ 2
利用对称性知
dθ
1 2 π A = 2 ⋅ a ∫ (1 + cos θ ) 2 dθ 2 0 2 π = a ∫ (1 + 2 cos θ + cos 2 θ )dθ 0 π 1 = 3 πa 2 . 2 3 θ + 2 sinθ + sin 2θ =a 2 4 0 2
定积分几何应用定积分
一、元素（微元）法二、平面图形的面积三、立体的体积四、平面曲线的弧长五、旋转曲面的侧面积
一、元素（微元）法
1.回顾曲边梯形求面积的问题回顾
曲边梯形由连续曲线
y
y = f ( x ) ( f ( x ) ≥ 0) 、
x 轴与两条直线 x = a 、
y = f ( x)
成的图形的面积. 成的图形的面积
解两曲线的交点
y = x−4
y2 = 2x y = x−4
⇒ ( 2,−2), (8,4).
y2 = 2 x
选 y 为积分变量
y ∈ [−2, 4] −
A = ∫ dA = 18.
−2 4
y2 dA = y + 4 − dy 2
2 参数方程所表示的函数
2）设想把区间[a , b ]分成 n 个小区间，取其中任）个小区间，一小区间并记为[ x , x + dx ]，求出相应于这小区的近似值.如果间的部分量 ∆ U 的近似值如果 ∆ U 能近似地表示为[a , b ]上的一个连续函数在 x 处的值 f ( x ) 与 dx 的乘积，的乘积，就把 f ( x )dx 称为量U 的元素且记作 dU ，即 dU = f ( x )dx ；

定积分的简单应用--面积ppt

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《定积分的定义》课件

【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 1.7.1 定积分在几何中的应用课件新人教A版选修2-2

1.7定积分的简单应用(3课时)

高中数学同步教学第4章 §3 定积分的简单应用

数学分析定积分课件

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