高二数学第二章课件：《平面向量基本定理》进步是一个由量变到质变的过程，只有足够的量变才会有质变，沉迷于痛苦不会改变什么。
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（1）平面向量基本定理的内容是什么?（2）如何定义平面向量基底?（3）两向量夹角的定义是什么?如何定义向量的垂直?[新知初探]1.平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2 基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是的；③基底不，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底.2.向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量=a，=b，则AOB叫做向量a与b的夹角范围0180特殊情况=0a与b同向=90a与b垂直，记作ab=180a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为180，所以两个向量的夹角的范围是0180.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.（正确的打，错误的打）（1）任意两个向量都可以作为基底.（）（2）一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底.（）（3）零向量不可以作为基底中的向量.（）答案：（1）（2）（3）2.若向量a，b的夹角为30，则向量-a，-b的夹角为（）A.60B.30C.120D.150答案：B3.设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是（）A.e1，e2B.e1+e2，3e1+3e2C.e1，5e2D.e1，e1+e2答案：B4.在等腰Rt△ABC中，A=90，则向量，的夹角为______.答案：135用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线=a，=b，试用基底a，b表示，.[解]法一：由题意知，==12=12a，==12=12b.所以=+=-=12a-12b，=+=12a+12b，法二：设=x，=y，则==y，又+=，-=，则x+y=a，y-x=b，所以x=12a-12b，y=12a+12b，即=12a-12b，=12a+12b.用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的性求解.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC=3AD，=a，=b.试以a，b为基底表示，，.解：∵AD∥BC，且AD=13BC，=13=13b.∵E为AD的中点，==12=16b.∵=12，=12b，=++=-16b-a+12b=13b-a，=+=-16b+13b-a=16b-a，=+=-（+）=-（+）=-16b-a+12b=a-23b.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|=|b|=2，且a与b的夹角为60，则a+b与a的夹角是多少?a-b 与a的夹角又是多少?[解]如图所示，作=a，=b，且AOB=60.以，为邻边作平行四边形OACB，则=a+b，=a-b.因为|a|=|b|=2，所以平行四边形OACB是菱形，又AOB=60，所以与的夹角为30，与的夹角为60.即a+b与a的夹角是30，a-b与a的夹角是60.求两个向量夹角的方法求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图形的知识求解向量的夹角.过程简记为一作二证三算.[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形.（1）求向量与向量的夹角；（2）若E为BC的中点，求向量与的夹角.解：（1）∵△ABC为等边三角形，ABC=60.如图，延长AB至点D，使AB=BD，则=，DBC为向量与的夹角.∵DBC=120，向量与的夹角为120.（2）∵E为BC的中点，AEBC，与的夹角为90.平面向量基本定理的应用[典例]如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[解]设=e1，=e2，则=+=-3e2-e1，=+=2e1+e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得==-e1-3e2，==2e1+e2.故=+=-=（+2）e1+（3+）e2.而=+=2e1+3e2，由平面向量基本定理，得+2=2，3+=3，解得=45，=35.=45，=35，AP∶PM=4∶1，BP∶PN=3∶2.[一题多变]1.[变设问]在本例条件下，若=a，=b，试用a，b表示，解：由本例解析知BP∶PN=3∶2，则=25，=+=+25=b+25（-）=b+45a-25b=35b+45a.2.[变条件]若本例中的点N为AC的中点，其它条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.解：如图，设=e1，=e2，则=+=-2e2-e1，=+=2e1+e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，存在实数，使得==-e1-2e2，==2e1+e2.故=+=-=（+2）e1+（2+）e2.而=+=2e1+2e2，由平面向量基本定理，得+2=2，2+=2，解得=23，=23.=23，=23，AP∶PM=2，BP∶PN=2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得.层级一学业水平达标1.已知ABCD中DAB=30，则与的夹角为（）A.30B.60C.120D.150解析：选D如图，与的夹角为ABC=150.2.设点O是ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是（）①与；②与；③与；④与.A.①②B.①③C.①④D.③④解析：选B寻找不共线的向量组即可，在ABCD中，与不共线，与不共线；而∥，∥，故①③可作为基底.3.若AD是△ABC的中线，已知=a，=b，则以a，b为基底表示=（）A.12（a-b）B.12（a+b）C.12（b-a）D.12b+a解析：选B如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而=，即-=-，从而=12（+）=12（a+b）.4.在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若=e1，=e2，则=（）A.12（e1+e2）B.12（e1-e2）C.12（2e2-e1）D.12（e2-e1）解析：选A因为O是矩形ABCD对角线的交点，=e1，=e2，所以=12（+）=12（e1+e2），故选A.5.（全国Ⅰ卷）设D为△ABC所在平面内一点，=3，则（）A.=-13+43B.=13-43C.=43+13D.=43-13解析：选A由题意得=+=+13=+13-13=-13+43.6.已知向量a，b是一组基底，实数x，y满足（3x-4y）a+（2x-3y）b=6a+3b，则x-y的值为______.解析：∵a，b是一组基底，a与b不共线，∵（3x-4y）a+（2x-3y）b=6a+3b，3x-4y=6，2x-3y=3，解得x=6，y=3，x-y=3.答案：37.已知e1，e2是两个不共线向量，a=k2e1+1-5k2e2与b=2e1+3e2共线，则实数k=______.解析：由题设，知k22=1-5k23，3k2+5k-2=0，解得k=-2或13.答案：-2或138.如下图，在正方形ABCD中，设=a，=b，=c，则在以a，b为基底时，可表示为______，在以a，c为基底时，可表示为______.解析：以a，c为基底时，将平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得.答案：a+b2a+c9.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且=13，=13，=13，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.解：=-=13-23=13a-23b，=-=-13-23=-13b-23（a-b）=-23a+13b，=-=-（+）=13（a+b）.10.证明：三角形的三条中线共点.证明：如图所示，设AD，BE，CF分别为△ABC的三条中线，令=a，=b.则有=b-a.设G在AD上，且AGAD=23，则有=+=a+12（b-a）=12（a+b）.=-=12b-a.=-=23-=13（a+b）-a=13b-23a=2312b-a=23.G在BE上，同理可证=23，即G在CF上.故AD，BE，CF三线交于同一点.层级二应试能力达标1.在△ABC中，点D在BC边上，且=2，设=a，=b，则可用基底a，b表示为（）A.12（a+b）B.23a+13bC.13a+23bD.13（a+b）解析：选C∵=2，=23.=+=+23=+23（-）=13+23=13a+23b.2.AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且=a，=b，则=（）A.43a+23bB.23a+43bC.23a-23bD.-23a+23b解析：选B设AD与BE交点为F，则=13a，=23b.所以=+=23b+13a，所以=2=23a+43b.3.如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是（）A.若存在实数1，2，使得1e1+2e1=0，则1=2=0B.平面内任一向量a都可以表示为a=1e1+2e2，其中1，2RC.1e1+2e2不一定在平面内，1，2RD.对于平面内任一向量a，使a=1e1+2e2的实数1，2有无数对解析：选BA中，（1+2）e1=0，1+2=0，即1=-2；B符合平面向量基本定理；C中，1e1+2e2一定在平面内；D中，1，2有且只有一对.4.已知非零向量，不共线，且2=x+y，若=（R），则x，y满足的关系是（）A.x+y-2=0B.2x+y-1=0C.x+2y-2=0D.2x+y-2=0解析：选A由=，得-=（-），即=（1+）-.又2=x+y，x=2+2，y=-2，消去得x+y=2.5.设e1，e2是平面内的一组基底，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则e1+e2=________a+________b.解析：由a=e1+2e2，b=-e1+e2，解得e1=13a-23b，e2=13a+13b.故e1+e2=13a-23b+13a+13b=23a+-13b.答案：23-136.已知非零向量a，b，c满足a+b+c=0，向量a，b的夹角为120，且|b|=2|a|，则向量a与c的夹角为________.解析：由题意可画出图形，在△OAB中，因为OAB=60，|b|=2|a|，所以ABO=30，OAOB，即向量a与c的夹角为90.答案：907.设e1，e2是不共线的非零向量，且a=e1-2e2，b=e1+3e2.（1）证明：a，b可以作为一组基底；（2）以a，b为基底，求向量c=3e1-e2的分解式；（3）若4e1-3e2=a+b，求，的值.解：（1）证明：若a，b共线，则存在R，使a=b，则e1-2e2=（e1+3e2）.由e1，e2不共线，得=1，3=-2=1，=-23.不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底.（2）设c=ma+nb（m，nR），则3e1-e2=m（e1-2e2）+n（e1+3e2）=（m+n）e1+（-2m+3n）e2.m+n=3，-2m+3n=-1m=2，n=1.c=2a+b.（3）由4e1-3e2=a+b，得4e1-3e2=（e1-2e2）+（e1+3e2）=（+）e1+（-2+3）e2.+=4，-2+3=-3=3，=1.故所求，的值分别为3和1.8.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：=34+14.（1）求△ABM与△ABC的面积之比.（2）若N为AB中点，AM与CN交于点O，设=x+y，求x，y的值.解：（1）如图，由=34+14可知M，B，C三点共线，令==+=+=+（-）=（1-）+=14，所以S△ABMS△ABC=14，即面积之比为1∶4.（2）由=x+y=x+y2，=x4+y，由O，M，A三点共线及O，N，C三点共线x+y2=1，x4+y=1x=47，y=67.【课件二】[新知初探]1.向量的数乘运算（1）定义：规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：①|a|=|||a|；②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反.（2）运算律：设，为任意实数，则有：①（a）=（）a；②（+）a=a+a；③（a+b）=a+b；特别地，有（-）a=-（a）=（-a）；（a-b）=a-b.[点睛]（1）实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如+a，-a 均无法运算.（2）a的结果为向量，所以当=0时，得到的结果为0而不是0.2.向量共线的条件向量a（a0）与b共线，当且仅当有一个实数，使b=a.[点睛]（1）定理中a是非零向量，其原因是：若a=0，b0时，虽有a与b 共线，但不存在实数使b=a成立；若a=b=0，a与b显然共线，但实数不，任一实数都能使b=a成立.（2）a是非零向量，b可以是0，这时0=a，所以有=0，如果b不是0，那么是不为零的实数.3.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b及任意实数，1，2，恒有（1a2b）=1a2b.[小试身手]1.判断下列命题是否正确.（正确的打，错误的打）（1）a的方向与a的方向一致.（）（2）共线向量定理中，条件a0可以去掉.（）（3）对于任意实数m和向量a，b，若ma=mb，则a=b.（）答案：（1）（2）（3）2.若|a|=1，|b|=2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是（）A.b=2aB.b=-2aC.a=2bD.a=-2b答案：A3.在四边形ABCD中，若=-12，则此四边形是（）A.平行四边形B.菱形C.梯形D.矩形答案：C4.化简：2（3a+4b）-7a=______.答案：-a+8b向量的线性运算[例1]化简下列各式：（1）3（6a+b）-9a+13b；（2）123a+2b-a+12b-212a+38b；（3）2（5a-4b+c）-3（a-3b+c）-7a.[解]（1）原式=18a+3b-9a-3b=9a.（2）原式=122a+32b-a-34b=a+34b-a-34b=0.（3）原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c.向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即合并同类项提取公因式，这里的同类项公因式指的是向量.[活学活用]化简下列各式：（1）2（3a-2b）+3（a+5b）-5（4b-a）；（2）1622a+8b-44a-2b.解：（1）原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b.（2）原式=16（4a+16b-16a+8b）=16（-12a+24b）=-2a+4b.用已知向量表示未知向量[典例]如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知=a，=b，试用a，b分别表示，，.[解]由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故=12，即=12a.=++=-a+b+12a=-12a+b.=++=12++12=-14a-b+12a=14a-b.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用.[活学活用]如图，四边形OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形.又=13，=13，试用a，b表示，，.解：∵=13=16=16（-）=16（a-b），=+=b+16a-16b=16a+56b.∵=13=16，=+=12+16=23=23（+）=23（a+b）.=-=23（a+b）-16a-56b=12a-16b.共线向量定理的应用题点一：判断或证明点共线1.已知两个非零向量a与b不共线，=a+b，=2a+8b，=3（a-b），求证：A，B，D三点共线.证明：∵=a+b，=2a+8b，=3（a-b），=+=2a+8b+3（a-b）=2a+8b+3a-3b=5（a+b）=5.，共线，又∵它们有公共点B，A，B，D三点共线.题点二：利用向量的共线确定参数2.已知a，b是不共线的两个非零向量，当8a+kb与ka+2b共线时，求实数k的值.解：∵8a+kb与ka+2b共线，存在实数，使得8a+kb=（ka+2b），即（8-k）a+（k-2）b=0.∵a与b不共线，8-k=0，k-2=0，解得=2，k=2=4.题点三：几何图形形状的判定3.如图所示，正三角形ABC的边长为15，=13+25，=15+25AC.求证：四边形APQB为梯形.证明：因为=++=-13-25++15+25=1315，所以∥.又||=15，所以||=13，故||||，于是四边形APQB为梯形.用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路（1）若b=a（a0），且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；（2）若b=a（a0），且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合.例如，若向量=，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法.层级一学业水平达标1.若|a|=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=（）A.57bB.-57bC.75bD.-75b解析：选Bb与a反向，故a=b（0），|a|=-|b|，则5=-7，所以=-57，a=57b.2.已知a=5e，b=-3e，c=4e，则2a-3b+c=（）A.5eB.-5eC.23eD.-23e解析：选C2a-3b+c=25e-3（-3e）+4e=23e.3.已知=a+5b，=-2a+8b，=3（a-b），则（）A.A，B，C三点共线B.A，B，D三点共线C.A，C，D三点共线D.B，C，D三点共线解析：选B=+=-2a+8b+3（a-b）=a+5b=，又∵与有公共点B，A，B，D三点共线.4.在△ABC中，点P是AB上一点，且=23+13，又=t，则t的值为（）A.13B.23C.12D.53解析：选A由题意可得=-=23+13-=13（-）=13，又=t，t=13.5.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若=a，=b，则=（）A.13a+bB.12a+bC.a+13bD.a+12b解析：选A由已知条件可知BE=3DE，DF=13AB，=+=+13=13a+b.6.若3（x+a）+2（x-2a）-4（x-a+b）=0，则x=______.解析：由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0，x+3a-4b=0，x=4b-3a.答案：4b-3a7.下列向量中a，b共线的有________（填序号）.①a=2e，b=-2e；②a=e1-e2，b=-2e1+2e2；③a=4e1-25e2，b=e1-110e2；④a=e1+e2，b=2e1-2e2.解析：①中，a=-b；②中，b=-2e1+2e2=-2（e1-e2）=-2a；③中，a=4e1-25e2=4e1-110e2=4b；④中，当e1，e2不共线时，ab.故填①②③.答案：①②③8.已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为________.解析：因为向量ma-3b与a+（2-m）b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数，使得ma-3b=[a+（2-m）b]，即（m-）a+（m-2-3）b=0，因为a与b不共线，所以m=，m-2-3=0，解得m=-1或m=3.答案：-1或39.计算：（1）25（a-b）-13（2a+4b）+215（2a+13b）；（2）（2m-n）a-mb-（m-n）（a-b）（m，n为实数）.解：（1）原式=25-23+415a+-25-43+2615b=0.（2）原式=2ma-na-mb-m（a-b）+n（a-b）=2ma-na-mb-ma+mb+na-nb=ma-nb.10.已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a=2e1-e2，b=ke1+e2，若a 与b是共线向量，求实数k的值.解：∵a与b是共线向量，a=b，2e1-e2=（ke1+e2）=ke1+e2，k=2，=-1，k=-2，=-1，k=-2.层级二应试能力达标1.设a是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（）A.a与a的方向相同B.a与-a的方向相反C.a与2a的方向相同D.|a|=|a|解析：选C只有当0时，a与a的方向相同，a与-a的方向相反，且|a|=|a|.因为20，所以a与2a的方向相同.2.已知O是△ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且2++=0，则（）A.=B.=2C.=3D.2=解析：选A∵在△ABC中，D为边BC的中点，+=2，2（+）=0，即+=0，从而=.3.已知向量a，b不共线，若=1a+b，=a+2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2一定成立的关系式为（）A.1=2=1B.1=2=-1C.12=1D.1+2=1解析：选C∵A，B，C三点共线，=k（k0）.1a+b=k（a+2b）=ka+k2b.又∵a，b不共线，1=k，1=k2，12=1.4.已知平面内有一点P及一个△ABC，若++=，则（）A.点P在△ABC外部B.点P在线段AB上C.点P在线段BC上D.点P在线段AC上解析：选D∵++=，++-=0，+++=0，即++=0，2=，点P在线段AC上.5.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke1+2e2与8e1+ke2方向相反，则k=______.解析：∵ke1+2e2与8e1+ke2共线，ke1+2e2=（8e1+ke2）=8e1+ke2.k=8，2=k，解得=12，k=4或=-12，k=-4.∵ke1+2e2与8e1+ke2反向，=-12，k=-4.答案：-46.如图所示，在▱ABCD中，=a，=b，AN=3NC，M为BC的中点，则=________（用a，b）表示.解析：=+=-=12-14=12b-14（a+b）=14b-14a=14（b-a）.答案：14（b-a）7.已知：在四边形ABCD中，=a+2b，=-4a-b，=-5a-3b，求证：四边形ABCD为梯形.证明：如图所示.∵=++=（a+2b）+（-4a-b）+（-5a-3b）=-8a-2b=2（-4a-b），=2.与共线，且||=2||.又∵这两个向量所在的直线不重合，AD∥BC，且AD=2BC.四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形.8.如图，已知△OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设=a，=b.（1）用a，b表示向量，；（2）若=，求的值.解：（1）由A是BC的中点，则有=12（+），从而=2-=2a-b.由D是将OB分成2∶1的一个内分点，得=23，从而=-=（2a-b）-23b=2a-53b.（2）由于C，E，D三点共线，则=，又=-=（2a-b）-a=（2-）a-b，=2a-53b，从而（2-）a-b=2a-53b，又a，b不共线，则2-=2，1=53，解得=45.。
