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2.3.1平面向量基本定理 优秀课件

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高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理

高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
明目标、知重点
跟踪训练 2 如图，已知△ABC 中，D 为 BC 的 中点，E，F 为 BC 的三等分点，若A→B＝a，A→C
＝b，用 a、b 表示A→D、A→E、A→F 解 A→D＝A→B＋B→D＝A→B＋12B→C ＝a＋12(b－a)＝12a＋12b； A→E＝A→B＋B→E＝A→B＋13B→C
明目标、知重点
2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解 决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向 量向基底化归，使问题得以解决.
明目标、知重点
思考 3 如图，△ABC 中，A→C与A→B的夹角与C→A与 A→B的夹角是否相同？ 答 不相同，它们互补.A→C与A→B的夹角为∠CAB，而C→A与A→B的夹 角为 π－∠CAB.
明目标、知重点
例1 已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2， b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c. 解 ∵a，b不共线，
→→ 以OA，OB为邻边作平行四边形 OACB，则
→
→
OC＝a＋b，BA＝a－b.
∵|a|＝|b|，∴平行四边形OACB为菱形.
明目标、知重点
∴O→C与O→A的夹角∠AOC＝60°， B→A与O→A的夹角即为B→A与B→C的夹角∠ABC＝30°. ∴a＋b与a的夹角为60°，a－b与a的夹角为30°. 反思与感悟 求两个向量的夹角，关键是利用平移的方法使两个 向量的起点重合，根据向量夹角的概念确定夹角，再依据平面图 形的知识求解向量的夹角.过程简记为“一作二证三算”.

高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4

高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4

1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，

新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理

新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理

(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.

2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理

2020版人教A数学必修3 课件：2.3.1 平面向量基本定理

2.(2018·黄石市高一检测)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是 该平面内所有向量基底的是( D ) (A) AB , DC (B) AD , BC (C) BC , CB (D) AB , DA
解析:由于 AB , DA 不共线,所以是一组基底.
3.如图,M,N 是△ABC 的一边 BC 上的两个三等分点,若 AB =a, AC =b,则
正解:由已知得 BA = OA - OB =2a-2b, BC = OC - OB =(-a+3b)-2b=-a+b, 显然 BA =-2 BC ,可见 BA 与 BC 共线,且是反向共线,故 BA 与 BC 的夹角 为 180°.
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(1)对基底的理解 ①基底的特征 基底具备两个主要特征:a.基底是两个不共线向量; b.基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作 为这个平面内所有向量的一组基底的条件. ②零向量与任意向量共线,故不能作为基底. (2)准确理解平面向量基本定理 ①平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以 沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. ②平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何 问题时,我们可以选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归, 使问题得以解决.
题型三 任意一向量基底表示的唯一性应用 [例 3] 如图所示,在△ABC 中,点 M 是 AB 的中点,且 AN = 1 NC ,BN 与 CM 相
2 交于 E,设 AB =a, AC =b,试用基底 a,b 表示向量 AE .
解:易得 AN = 1 AC = 1 b, AM = 1 AB = 1 a,
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第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理

第二章 2.3 2.3.1 平面向量基本定理

2．3.1平面向量基本定理1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底[点睛]对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e1，e2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．向量的夹角条件两个非零向量a和b产生过程作向量OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角范围0°≤θ≤180°特殊情况θ＝0°a与b同向θ＝90°a与b垂直，记作a⊥bθ＝180°a与b反向[点睛]当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.用基底表示向量[典例]如图，在平行四边形ABCD中，设对角线AC＝a，BD＝b，试用基底a，b表示AB，BC.[活学活用]如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝3AD，BA＝a，BC＝b.试以a，b为基底表示EF，DF，CD.向量夹角的简单求解[典例]已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b 与a的夹角又是多少？[活学活用]如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与向量BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．平面向量基本定理的应用[典例]NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP，2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN .层级一 学业水平达标1．已知平行四边形ABCD 中∠DAB ＝30°，则AD 与CD 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°2．设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB . A ．①② B ．①③ C ．①④D ．③④3．若AD 是△ABC 的中线，已知AB ＝a ，AC ＝b ，则以a ，b 为基底表示AD ＝( ) A ．12(a －b )B ．12(a ＋b )C ．12(b －a )D ．12b ＋a4．在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC ＝e 1，DC ＝e 2，则OC ＝( ) A ．12(e 1＋e 2)B ．12(e 1－e 2)C ．12(2e 2－e 1)D ．12(e 2－e 1)5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ＝3CD ，则( ) A ．AD ＝－13AB ＋43AC B ．AD ＝13AB －43ACC ．AD ＝43AB ＋13AC D ．AD ＝43AB －13AC6．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y 的值为______．7．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.8．如下图，在正方形ABCD 中，设AB ＝a ，AD ＝b ，BD ＝c ，则在以a ，b 为基底时，AC 可表示为______，在以a ，c 为基底时，AC 可表示为______．9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝13BC ，CN ＝13CA ，AP ＝13AB ，若AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 将MN ，NP ，PM 表示出来．10．证明：三角形的三条中线共点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，设AB ＝a ，AC ＝b ，则AD 可用基底a ，b 表示为( )A ．12(a ＋b )B ．23a ＋13bC ．13a ＋23bD ．13(a ＋b )2．AD 与BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，且AD ＝a ，BE ＝b ，则BC ＝( ) A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －23bD ．－23a ＋23b3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对4．已知非零向量OA ，OB 不共线，且2OP ＝x OA ＋y OB ，若PA ＝λAB (λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝05．设e1，e2是平面内的一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则e1＋e2＝________a ＋________b.6．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a，b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a与c的夹角为________．7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：AM＝34AB＋14AC.(1)求△ABM与△ABC的面积之比．(2)若N为AB中点，AM与CN交于点O，设BO＝x BM＋y BN，求x，y的值．。

2.3.1《平面向量的基本定理》

2.3.1《平面向量的基本定理》

平移
e11
分解
共同起点
Ba
e2
O
A
e
a OA OB OA 1e1 OB 2 e2 a 1e1 2e2
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么
对这一平面内任意一个向量 a, 有且只有一对实数1, 2, 使 a 1e1 2 e2 .
其 中e1，e2 叫 做 表 示 这 一 平 面 内 所有 向量的一组基底.
平面向量基本定理：
如果 e1, e2是同一平面内两个不共线的向量，那么
对这一平面内任意一个向量 a, 有且只有一对实数1, 2, 使 a 1e1 2 e2 .
问 1：在刚才我们总结的定理中，基底 e1，e2 是不是唯一的呢？
平面向量基本定理：
如果 e1, 是同一平面内两个不共线的向量，那么
2.3.1平面向量的基本定理
1、知道平面向量基本定理；
2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的 向量来表示，初步应用向量解决实际问题；
3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都 能够用基底来表示.
问题情境
如何求此时竖直和水平方向速度？
如图，有非零向量a ,怎样判定b与a共线 ？
a b
这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使其它向量都 能够统一用这组基底来表达.
课本 习题2.3 1 ~2
敬请指导
.
向量b与非零向量a共线, 当且仅当有唯一一个实数，使b a .
观察如图三个不共线向量e1、a、e2 , 它们之间会有 怎样的关系呢？
e1
a
e2
将三个向量的起点移到同一点：
e1

人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)

人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)

x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.

问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT

高中数学必修四《平面向量的基本定理》PPT
栏目 导引
第二章 平面向量
想一想 1.判断两个向量能否作为基底的关键是什么？ 提示：判断两个向量能否作为基底的关键是看它们是否共 线，若共线，则不能作为基底，否则可以作为基底．
栏目 导引
第二章 平面向量
2．两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个__非__零__向__量___a 和 b，作O→A＝a，O→B ＝b，则∠__A_O__B__＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．
【答案】 30° 60°
栏目 导引
第二章 平面向量
【名师点评】 两向量夹角的实质和求解 (1)明确两向量夹角的定义，实质是从同一起点出发的两 个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识 加以解决． (2)求两个向量的夹角关键是利用平移的方法使两个向量 起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三 算”的步骤求出．
栏目 导引
第二章 平面向量
跟踪训练
2．如图所示，已知等边三角形 ABC. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角； (2)若 E 为 BC 的中点，求向量A→E与E→C的夹角．
栏目 导引
第二章 平面向量
解：(1)∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝60°.延长 AB 至点 D，使|A→B|＝|B→D|， ∴A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角，且∠DBC＝120°. (2)∵E 为 BC 的中点，∴AE⊥BC， ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，则向量－3a 和－12b 的夹 角为________．
答案：60°
栏目 导引
第二章 平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 对基底概念的理解 例1 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：

高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理

高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理

第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ 如图， 作OA＝a，
→ OB＝b，且∠AOB＝60° ， 以 OA、OB 为邻边作▱OACB， → → → → → → → → 则OC＝OA＋OB＝a＋b， ＝OA－OB＝a－b， ＝OA＝ BA BC a.
第二章 2.3 2.3.1
②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那 么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③， λ1λ2 当 ＝0 或 μ1μ2＝0 时不一定成立，应为 λ1μ2－λ2μ1＝0.故选 B.
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
设 e1，e2 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1 与 e1＋e2；②e1－2e2 与 e2－2e1；③e1－2e2 与 4e2－2e1；④e1 ＋e2 与 e1－e2.其中不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ． ________．(写出所有满足条件的序号)
第二章 2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[分析]
应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量 e1
与 e2 不共线和平面内向量 a 用基底 e1、e2 表示的惟一性求解．
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[特别提醒]
→ → (1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ， 但由向
→ → 量夹角的定义可知OA与BO的夹角不是 θ，而是 π－θ.

2.3.1平面向量的基本定理

2.3.1平面向量的基本定理
C
A
e1 A a
B e O e 2 2
'
B
e1 e2 B O a
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
C
A M
e1 A a
N
B e O e 2 2
'
B
e1 e2 B O a
C
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？
A
C
a
O
e1 e2 B
讨论：
⑶ 继续改变a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
A
C
a
e1 O
'
e1
e2 B A
讨论：
⑶ 继续改变a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
a
' B e
A
2
C
e1 O
'
e1

e2 B A
讨论：
⑶ 继续改变a的位置，如下图， 又该如何构成平行四边形 ？
2.3.1平面向量的基本 定理
高一（18）班 教师：李泽文
复习引入
如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？
a b
复习引入
如图， 有非零向量a , 则 b 与 a共线的 条件是什么 ？
a b
向量b 与非零向量a共线条件是： 有且只有一个实数 ，使b a .
讨论： ⑴ 当a与e1或e2共线时，可令
2或1为0即可使结论成立 .
a
e1 e2
e1 e2
a
讨论：
⑵ 改变a的位置如下图两种情 况时， 怎样构造平行四边形 ？

高中数学人教必修四课件231平面向量基本定理

高中数学人教必修四课件231平面向量基本定理

e1
A
e2
3e1
B
3e1e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
e B
A
B
e e 2
(3)
2e1
1 2
e2
.
A1 2
4e1 e2
4e1
O
C
O
练习
e e 1.如图，已知向量 1、 2求作下列向量：
(1) 3e1 2e2; (2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2
.
O
e1 e2
O
2e1
2e1
1 2
e2
;
2e1
C
A
1 2
e2
B
A B
小结
本节学习了： （1）平面向量基本定理： 平面里的任何一个a 向1e1 量2e2 都可以用两个不共
线的向量来表示.即 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
（2）能够在具体问题中适当的选取基底，使 其它向量都能够统一用这组基底来表达.
2.3.1 平面向量基本定理
复习
1.数乘定义？ 2.平面向量共线定理？
复习
3.同起点的三个向量终点共线的充要条件
：
o
A
P
B
OP OA 1 OB R
问题：如果e1, e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是这一
平面» 内创的设任一情向境量、，提那么出a 与问e1题, e2 之间有什么关系呢？
湖南省江华县一中数学组
不共线向量有不同的方向，它们的位置关系可以用 夹角来表示。关于向量的夹角我们规定：
已知两个非零向量a, b .作OA a,OB b .

平面向量的基本定理PPT优秀课件

平面向量的基本定理PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
一向量 a 1e 1 + 2e 2
我们把不共线的向量 e 1 、e 2 叫做表示
这一平面内所有向量的一组基底。
特别的，若 a = 0 ，则有且只有 ：
1= 2 = 0
？若 1与 2中只
有一个为零，情
可使 0 = 1e 1 + 2e 2 . 况会是怎样？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
线的向量，a 是这一平面内的任一向量，
我们研究 a 与 e 1、e 2之间的关系。
e1
a
研究
e2
OC = OM + ON= 1OA + 2OB
即 a = 1e 1 + 2e 2 .
e1 a e2
M
C
Aa
e1
O
N e2 B

数学：《平面向量基本定理》课件(人教A版必修二)

数学：《平面向量基本定理》课件(人教A版必修二)
３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
例5、 如图，已知梯形ABCD， AB//CD，且AB= 2DC,M,N分别是DC,AB 的中点.

请大家动手, 在图中确定一组
DM
C
基底，将其他向
量用这组基底表
示出来。
A
N
B
解析： 设AB = e 1,AD = e 2 ,则有：
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理
学中的力的分解模型来理解，它说明在 同一平面内任一向量都可以表示为不共 线向量的线性组合，该定理是平面向量 坐标表示的基础，其本质是一个向量在 其他两个向量上的分解。
思考
在梯形ABCD中，E、F分别时AB、CD 的中点，用向量的方法证明：
EF//AD//BC,且EF = 1 (AD+BC)
M
C
Aa
e1
O
N e2 B
平面向量基本定理
如果e 1、e 2 是同一平面内的两个不
共线向量，那么对于这一平面内的任
一向量 a 有且只有一对实数 1、 2 使
a = 1e 1 + 2e 2 我们把不共线的向量e 1、e 2 叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底。
思考
（1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对）
DC
=
1 2
AB
=
1 2
e1
BC = BD + DC =(AD–AB)+DC
= e2
- e1+
1 2
e1 =
-1
2
e1 +
e2
MN = DN-DM
DM C
=(AN-AD)- 1 DC

《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2

《2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示》课件2
90°
，则称 a 与 b 垂直，
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课堂讲练互动
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名师点睛 1．准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解 是唯一的． (2)平面向量基本定理中， 实数 λ1， λ2 的唯一性是相对于基底 e1， e2 而言的，平面内任意两个不共线的向量都可作为基底，一旦 选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．

)．
1 C.4

1 D.8
1→ 1→ 1→ 1 → → 1 → → 1 AN＝2AD＋AE＝24AB＋4AC＝8AB＋8AC，∴x＝y＝
1 1 1 1 ，即 x＋y＝ ＋ ＝ . 8 8 8 4 答案 C
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题型四 共线向量与平面向量基本定理的 综合应用 → ＝a，OB → ＝b，M、N 分 【例 4】 如图所示，在△OAB 中，OA 1 1 → → → 与BM →交 别是边 OA、OB 上的点，且OM＝ a，ON＝ b，设AN 3 2 → 于点 P，试以 a、b 为基底表示OP.
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3→ → → → → → 又∵ OB ＝ 3， ＝1，故OD＝ 3OA，OE＝ OA 3 OB，
3→ → → ∴OC＝ 3OA＋ 3 OB， 3 m 3 此时 m＝ 3，n＝ ，∴ ＝ ＝3. 3 n 3 3
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【变式 2】 已知|a|＝|b|＝2，且 a＋b 和 a 的夹角和 a－b 和 a 的夹角相等，求 a 与 b 的夹角． → ＝a，OB → ＝b， 解 如图，作OA 以 OA，OB 为邻边作▱OACB， → ＝a＋b，BA → ＝OA → －OB → ＝a－b， 则OC → → BC＝OA＝a， ∴a＋b 与 a 夹角为∠AOC， a－b 与 a 夹角为∠ABC，a 与 b 夹角为∠AOB.

高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4

高中数学探究导学课型第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件新人教版必修4

1 AB 2 AC.
所以6λ1+λ32= 1 .
答案: 1
2
2
第十四页，共46页。
【备选训练】已知G为△ABC的重心(zhòngAxīBn),a,设AC b. 试用基底a,b表示向量 AG(仿. 照教材P94例1的解析过程)
第十五页，共46页。
【解析】连接(liánjiē)AG并延长,交BC于点D,则D为BC的
的夹角为
答案:120°
第十二页，共46页。
4.设D,E分别(fēnbié)是△ABC的边AB,BC上AD的点1 A,B，
2
BE 2 BC，若
3
DE 1AB 2 AC (λ1,λ2为实数),则
λ1+λ2的值为________.
第十三页，共46页。
【解析( jiě xī)】D易E知 1 AB 2 BC 1 AB 2 AC AB 23 23
3
故AG AB BG AB 2 BF a 2 (b 1 a)
3
32
a 2 b 1 a 2 a 2 b. 3333
第三十二页，共46页。
2.若本例中的基向量 “AB, AD”换为“CE，C即F”若 CE a,CF b试, 用(shìyòng)a,b表示D向E,量BF. 【解析】
第十七页，共46页。
2.对于同一向量a,若基底不同,则表示这一向量a的实数 λ1,λ2的值是否相同? 提示(tíshì):不相同,根据平面向量基本定理 a=λ1e1+λ2e2,向量e1,e2改变时,λ1,λ2的值也变化.
第十八页，共46页。
【拓展延伸】平面向量基本定理的实质 这个(zhè ge)定理告诉我们,平面内任意向量都可以沿 两个不共线的方向分解为两个向量的和,并且这种分解 是唯一的.λ1e1+λ2e2叫做e1,e2的一个线性组合.由平 面向量基本定理可知,如果e1,e2不共线,那么由e1,e2的 所有线性组合构成的集合{λ1e1+λ2e2}(λ1,λ2∈R) 就是平面内的全体向量.

2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)

2.3.1《平面向量的基本定理》 (1)

例2.用基底 i , j 分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. y
b 2i 3 j
b
(2, 3)
-4 -3 -2
c 2i 3 j c
(2, 3)
5
4
3 2
1
j
-1 O -1
i1
-2
B AB 2i 3 j
a
(2,3)
A
2 34
x
d
d 2i 3 j
(2, 3)
练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
3.正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫 λ2 a2
a
做把向量正交分解.
F1
F2
λ1a1
G
重力G的分解就是正交分解
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究 问题带来方便。
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相 同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a， 由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
ห้องสมุดไป่ตู้
1 2
AC
1 2
(a
b)
1 2
a
1b 2
MB 1 DB 1 (a b) 1 a 1 b
22
22
MC 1 AC 1 a 1 b
(2) 4e1 e2;
(3)
2e1
1 2
e2.
e1
1
e2
O 2 e2
C
2e1
OB
2e1
1 2
e2 ;
A
B
2.3.2平面向量正交分解及 坐标表示
F1
F2
G
G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2

2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)

2.3.1平面向量基本定理(必修四 数学 优秀课件)

即（2 - ）a +(k - 4 )b = 0

k – 4 = 0 8.
2 - = 0
k =
e2是同一平面内的两个不 如果 e1 、 共线向量，那么对于这一平面内的任 一向量 a 有且只有一对实数1、 2 使 a = 1 e1 + 2e2 e2叫做表 我们把不共线的向量e1 、 示这一平面内所有向量的一组基底。
思考 （1）一组平面向量的基底有多少对？ （有无数对） C F M M C A O a N B O a N E
AB与BD共线，则存在实数
λ使得AB = λBD.
由于BD = CD – CB
k =
=(2a – b) –(a +3b) = a – 4b 则需 2a + kb = (a – 4b ) 2 = 由向量相等的条件得 k = 4
8.
此处可另解：
则需 2a + kb = (a – 4b )
e2
B
A
e1 2.5e
1
3e2
· O
向量的夹角
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作 OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
B a b b
[0°，180°]
1 a 2
总结： 1、平面向量基本定理内容 2、对基本定理的理解 （1）实数对λ1、 λ２的存在性和唯一性 （２）基底的不唯一性 （３）定理的拓展性 ３、平面向量基本定理的应用 求作向量、解（证）向量问题、解（证） 平面几何问题
思考
设 a、b是两个不共线的向量， 已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a – b,若A、B、D三点共线， 求k的值。 解： A、B、D三点共线
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明目标、知重点
填要点、记疑点
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探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量 e1，e2 叫做表示这一 平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以作基底的向量有多少 组？不同基底对应向量 a 的表示式是否相同？ 答 同一平面内可以作基底的向量有无数组， 不同基底对应向量 a 的表示式不相同．
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2.3.1
探究点一 ：平面向量基本定理的提出
思考 1 如图所示，e1，e2 是两个不共线的向量，试用 e1，e2 表示向量A→B，
C→D，E→F，G→H，H→G，a.
答 通过观察，可得： A→B＝2e1＋3e2，C→D＝－e1＋4e2，E→F＝4e1－4e2， G→H＝－2e1＋5e2，H→G＝2e1－5e2，a＝－2e1.
思考 4 平面向量的基底唯一吗？ 答 不唯一．只要两个向量不共线，都可以作为平面的一组基底．
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探究点二 ：平面向量基本定理的证明
2.3.1
(1)证明定理中 λ1，λ2 的存在性． 如图，e1，e2 是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能 否表示成 λ1e1＋λ2e2 的形式，请通过作图探究 a 与 e1、e2 之间的关系．
填要点、记疑点
2.3.1
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面 内的 任意 向量 a， 有且只有一对 实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 . (2)基底：把 不共线 的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内 所有 向量的一组
基底．
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探要点、究所然
探究点三 ：向量的夹角
思考 1 已知 a、b 是两个非零向量，过点 O 如何作出它们的夹角 θ？
2.3.1
答 过点 O 作O→A＝a，O→B＝b，则∠AOB＝θ，就是 a 与 b 的夹角．
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1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
2.3.1
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2.3.1
[情境导学] 在物理学中我们知道，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算．而且 力是可以分解的，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的 分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来，会产生什么样的结论呢？
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探究点二 ：平面向量基本定理的证明
答 如图所示，在平面内任取一点 O，作O→A＝e1，O→B＝e2，O→C＝a，
2.3.1
过点 C 分别作平行于 OB，OA 的直线，交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于 点 N，有O→M＝λ1O→A，O→N＝λ2O→B， ∵O→C＝O→M＋O→N，∴a＝λ1e1＋λ2e2.
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填要点、记பைடு நூலகம்点
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探究点一 ：平面向量基本定理的提出
2.3.1
思考 2 根据上述分析，平面内任一向量 a 都可以由这个平面内两个不共 线的向量 e1，e2 表示出来，从而可形成一个定理．你能完整地描述这个 定理的内容吗？
答 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任意 向量 a ， 有且只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
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2.3.1
探究点二 ：平面向量基本定理的证明
(2)证明定理中 λ1，λ2 的唯一性． 如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和 e1、e2 共面的任一向 量，且存在实数 λ1、λ2 使 a＝λ1e1＋λ2e2，证明 λ1，λ2 是唯一确定的．(提示： 利用反证法) 答 假设存在另一组实数 λ′1，λ′2 也能使 a＝λ′1e1＋λ′2e2 成立，则 λ′1e1＋λ′2e2＝λ1e1＋λ2e2. ∴(λ′1－λ1)e1＋(λ′2－λ2)e2＝0. ∵e1、e2 不共线，∴λ′1－λ1＝λ′2－λ2＝0，∴λ′1＝λ1，λ′2＝λ2. ∴使 a＝λ1e1＋λ2e2 成立的实数对 λ1，λ2 是唯一的．
探要点、究所然 当堂测、查疑缺
探要点、究所然
探究点三 ：向量的夹角
2.3.1
思考 2 两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时， 要注意什么事项？
答 两个非零向量夹角的范围是 0°≤θ≤180°， 确定两个向量夹角时要注意先使向量的始点相同，再确定大小．
第二章 平面向量的线性运算
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理
本节知识目录
明目标、知重点
平
面
向
填要点、记疑点
量
基
本
探要点、究所然
定
理
当堂测、查疑缺
2.3.1
探究点一 平面向量基本定理的提出 探究点二 平面向量基本定理的证明 探究点三 向量的夹角
明目标、知重点
填要点、记疑点
2. 两向量的夹角与垂直 (1)夹角：已知两个非零向量 a 和 b，如图，
作O→A＝a，O→B＝b，则 ∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)
叫做向量 a 与 b 的夹角．
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2.3.1
①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是 [0° ，180°] ． ②当 θ＝0°时，a 与 b 同向 ． ③当 θ＝180°时，a 与 b 反向 ． (2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b .