平面向量基本定理应用

平面向量基本定理的应用——力的合成应用背景力的合成是力学中的一个重要概念，用于描述多个力共同作用时的结果。

力的合成在物理学、工程学等领域都有广泛的应用，例如在建筑结构设计、机械运动分析、航空航天工程等方面都需要对力的合成进行分析和计算。

平面向量基本定理是力的合成的一种基本方法，它通过将力表示为平面向量的形式，利用向量加法的性质进行计算，从而得到力的合成结果。

平面向量基本定理的应用可以简化力的合成的计算过程，提高计算的效率和准确性。

应用过程假设有两个力F1和F2作用在同一物体上，力F1的大小为F1的模为|F1|，方向与x轴的夹角为θ1；力F2的大小为F2的模为|F2|，方向与x轴的夹角为θ2。

要求计算两个力合成后的结果力F的大小和方向。

首先，根据平面向量基本定理，可以将力F1和F2表示为平面向量的形式。

假设x轴和y轴是我们选择的坐标轴，F1可以表示为F1 = F1x * i + F1y * j，其中F1x和F1y分别为F1在x轴和y轴上的分量，i和j分别为x轴和y轴的单位向量。

同样，F2可以表示为F2 = F2x * i + F2y * j。

其次，根据平面向量基本定理，可以得到合成力F的表达式。

合成力F等于F1和F2的矢量和，即F = F1 + F2。

根据向量加法的性质，可以得到F = (F1x + F2x) * i + (F1y + F2y) * j。

最后，根据合成力F的表达式，可以计算出合成力F的大小和方向。

合成力F的大小等于F的模|F|，可以通过计算F的模来得到。

合成力F的方向可以通过计算F与x轴的夹角θ来得到。

夹角θ可以通过计算F在x轴上的分量F_x和F在y轴上的分量F_y的比值来得到，即tanθ = F_y / F_x。

应用效果平面向量基本定理的应用可以简化力的合成的计算过程，提高计算的效率和准确性。

通过将力表示为平面向量的形式，可以将力的合成问题转化为向量加法的问题，利用向量加法的性质进行计算。

平面向量基本定理1. 介绍平面向量是平面上具有大小和方向的量，广泛应用于数学、物理和工程等领域。

平面向量基本定理是关于平面向量的一个重要定理，它是矢量运算的基础，对于解析几何和向量代数具有重要的指导作用。

本文将详细介绍平面向量基本定理的定义、性质以及应用。

2. 定义在平面上，一个向量可以表示为有向线段，具有大小和方向。

平面向量基本定理是指对于任意两个平面向量，它们的和（或差）可以用三角形规则来表示。

即，对于平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量 $\\vec{c}$ 可以通过如下方式得到：$$ \\vec{c} = \\vec{a} + \\vec{b} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{c} = \\vec{a} - \\vec{b} $$其中，$\\vec{c}$ 的起点与 $\\vec{a}$ 的起点相同，终点与 $\\vec{b}$ 的终点相同。

3. 性质平面向量基本定理具有以下性质：3.1 交换律对于任意两个平面向量 $\\vec{a}$ 和 $\\vec{b}$，它们的和（或差）向量满足交换律，即：$$ \\vec{a} + \\vec{b} = \\vec{b} + \\vec{a} \\quad \\text{或} \\quad \\vec{a} - \\vec{b} = -\\vec{b} + \\vec{a} $$3.2 结合律对于任意三个平面向量 $\\vec{a}$、$\\vec{b}$ 和 $\\vec{c}$，它们的和（或差）向量满足结合律，即：$$ (\\vec{a} + \\vec{b}) + \\vec{c} = \\vec{a} + (\\vec{b} + \\vec{c}) \\quad \\text{或} \\quad (\\vec{a} - \\vec{b}) - \\vec{c} = \\vec{a} - (\\vec{b} + \\vec{c}) $$3.3 零向量存在一个特殊的向量，其大小为零，记作 $\\vec{0}$，称为零向量。

平⾯向量基本定理的推论及其应⽤平⾯向量基本定理的推论及其应⽤梅州市五华县⽔寨中学邓定扬我们知道，平⾯上任意两个不共线的向量可作为平⾯向量基底，该平⾯上的任⼀向量OM 必有：OM xOA yOB =+，关于此式，我们有三个推论。

推论1：,x y 唯⼀存在，推论2：1x y M AB +=?在直线上，推论3：12x y M AB ==是中点。

在解题中，⽤好这三个推论常常会收到事半功倍的效果。

例题1：如图1，在边长为1的等边ABC ,,D AB G CD 是中点是中点，,,G AB AC E F AE AB AF AC λµ==过点的直线与线段，相交于点，设。

（1）⽤µ表⽰λ，求出λ和µ的取值范围，（2）求出AEF ⾯积的最⼩值。

解：(1) 11112242AG AD AC AB AC =+=+1142AG AE AF λµ∴=+,因为点G EF 在直线上，所以11142λµ+=,即=42λµ-,由题意易知[1,2]λ∈,342[1,2][1,]2µµ∴-∈?∈.(2) 1||||sin 23ABCSAE AF π===, 所以当=1µ时，⾯积最⼩为8。

评：利⽤推论2快速建⽴了,µλ的关系式。

例题2：四边形OABC 是边长为1的正⽅形，3OD =,P 为BCD 内（含边界）的动点，设OP OC OD αβ=+,则+αβ的取值范围。

解：由向量数乘运算的⼏何意义可知当点P 在边界上时取得最⼤最⼩值，当P 在线段CD 上时显然1αβ+=图1BB当P 在线段CB 上时OP OC OD αβ=+，由平⾏四边形法则可知11,[0,]3αβ=∈，所以4[1,]3αβ+∈当P 在线段BD 上时()3x OP xOB yOD xOC y OD =+=++，则,3xx y αβ==+1x y +=，133x x x y αβ+=++=+，因为[0,1]x ∈，所以4[1,]3αβ+∈综上可知4[1,]3αβ+∈评：当P 在线段BD 上时，巧妙利⽤推论2减少变量，快速解题。

一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。

平面向量的概念与其线性运算1．向量的有关概念名称定义备注平行向量方向一样或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向一样或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向一样的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘XX数λ与向量a的积(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；[例3]在△ABC 中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →， 则实数x 的取值X 围是( )．A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞)C．(－1,0) D ．(0,1)[例4]若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC的形状为________．[例5]在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ， 试用a ，b 表示AG →.[课堂巩固]1．如图，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且2155AP AB AC =+， AQ ＝23AB ＋14AC ，则△ABP 的面积与△ABQ的面积之比为( )A ．15B ．45C ． 14 D ．13A3．如图，在△ABC 中，已知2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，M 为AH 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+=.3、向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R),则λμ=_________.3、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m 的值是多少？4、在△ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交AB ，AC 于M ，N 两点，若AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，求y x +4的最小值。