二元一次不等式组与简单线性规划
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二元一次不等式组与简单线性规划
一、重点叙述
1.二元一次不等式表示的平面区域：
①定义:一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式或表示平面上的区域,称为二元一次不等式表示的平面区域。如图:
②表示:在平面直角坐标系中,二元一次不等式表示直线某一侧所有点组成的平面区域。
把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线,若画不等式表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实线。
③判断方法:由于对在直线同一侧的所有点,把它的坐标代入,所得的实数的符号都相同,所以只需在这条直线的某一侧取一个特殊点,以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域,特殊地,当时,常把原点作为特殊点判断。
2. 简单线性规划问题：
①线性规划问题概念的界定:在实际问题中形成的二元一次不等式组是一组对变量的约束条件,由于这组约束条件都是关于的一次不等式,所以又可称其为线性约束条件(线性约束条件除了用一次不等式表示外,也可用一次方程表示)。是欲达到最大值或最小值所涉及的变量的解析式,我们把它称为目标函数。由于又是关于的一次解析式,所以又可叫做线性目标函数。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。那么,满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。在解决实际问题中,可行域是用阴影部分表示的平面区域,其可行解就是使目标函数取得最大值和最小值,无论可行解多少,它们都叫做这个问题的最优解。
②简单线性规划图解法的基本步骤:
Ⅰ、根据线性约束条件画出可行域(即画出不等式组所表示的公共区域);
Ⅱ、设,画出直线;
Ⅲ、观察、分析,平移直线,从而找到最优解;
Ⅳ、最后求得目标函数的最大值及最小值。
③简单线性规划模型方法与应用步骤:
Ⅰ、简单线性规划模型方法;
Ⅱ、简单线性规划应用步骤:
⑴由实际背景寻找线性约束条件,建立线性目标函数;
⑵由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域;
⑶在可行域内求目标函数的最优解;
⑷注意检查问题的实际意义。
3. 应用 Ⅰ、二元一次不等式表示平面区域的应用:
Ⅱ、求基于平面区域的目标函数最值的应用;
Ⅲ、简单线性规划模型的应用。
二、案例分析
案例1：画出不等式组表示的平面区域。
分析：先画线性方程的图象，再按照二元一次不等式表示平面区域的判断方法确定不等式组所表示的平面区域。
解：在平面直角坐标系xoy中，先画直线，，，用点判断，将代入直线、的左边，分别得、，表明所求的平面区域在直线、的下方；
∵直线过原点，选择点判断，将代入的左边得，∴所求的平面区域在直线的上方；
所以所求的平面区域如图的阴影部分（包括边界）：
案例2：已知求
(1)z=x+2y-4的最大值； (2)的最小值；
(3)的范围。
分析：根据线性约束条件画出可行域（如图含边界的绿色区域），按照不同的目标函数的几何特征求函数的最值或范围。(1)目标函数的几何特征是斜率为的平行直线系与y轴交点的纵坐标；(2)
目标函数的几何特征是以为圆心的圆系的半径的平方；(3) 目标函数的几何特征是两点的斜率。
解：(1)根据线性约束条件画出可行域（如图含边界的绿色区域）。
∵目标函数的几何特征是斜率为的平行直线系与y轴交点的纵坐标，使得达到最大值的极端位置是平行直线系过两直线的交点。
由解得交点的坐标为。
∴。
所以求得目标函数达到的最大值是15。
(2)如图，∵目标函数的几何特征是以为圆心的圆系的半径的平方，使得目标函数达到最小值的极端位置是圆系与直线相切。
∴圆的半径为。∴。
所以求得的最小值是。
(3) 如图，∵目标函数的几何特征是两点的斜率，函数的取值范围就是点与可行域的极端点的斜率，显然，这个极端点就是直线分别与直线的交点。
分别由 解得交点的坐标为。
∴，。
所以求得的范围是。
案例3：(1)（2009山东·理12）设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax (a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是（ ）
A．[1,3] B.[2,] C.[2,9] D.[,9]
(2)（2009陕西·理10）已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（）
A．7 B．5 C．4 D．3
分析：(1) 根据线性约束条件画出可行域M ，函数的图象过可行域M的极端点时的值所构成的范围即所求的范围；(2) 画直线、直线和目标函数的最小值为时的直线，于是直线与直线的交点应是可行域的极端点，直线必过这点，从而求得m的值。
解：(1)根据线性约束条件画出可行域M（如图含边界的金黄色区域）。
如图，∵函数是指数函数，函数的图象过区域M的的取值范围是指函数的图象过可行域M的极端点时的值所构成的范围，显然，这个极端点就是直线分别与直线的交点。
分别联立 ，求得交点为。
于是，。 所以求得的取值范围是。故选C。
(2)画直线、直线和目标函数的最小值为时的直线，三者形成新的可行域（如图含边界的绿色区域）。
由 解得
∴直线与直线的交点是。
如图，∵目标函数的最小值为，即函数的图象过可行域（含边界的金黄色区域）的极端位置时的直线的纵截距为1，这时的极端点是直线与直线的交点。
∵这个交点恰好是直线与直线的交点，∴求得。故选B。
案例4：某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元。甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B上加工一件甲所需工时分为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A，B两种设备每月有效使用工时数为a(400≤a≤500)，求生产收入最大值的范围？
分析：本题是解决收入的最大值的问题，有了单价，故应设甲、乙两种试销产品的月产量分别为件，则得甲、乙两种产品加工的总工时分别为，其每月有效使用工时数为a，于是建立了的可行域。设总收入的目标函数为，按线性规划的步骤解决。
解：设甲、乙两种试销产品的月产量分别为件，则得甲、乙两种产品加工的总工时分别为。其目标函数为。
∵每月有效使用工时数为a，∴有 又，
据此，画如图的可行域（含边界的金黄色区域）。显然，两直线的交点满足
，解得
∴当且仅当目标函数的直线经过极端点时，目标函数取得最大值。
∴。 ∵，∴
所以所求生产收入最大值的范围是。
案例5：某公司用两种机器来生产某种产品，第一种机器每台3万美元及人民币50万元的维护费，第二种机器每台5万美元及人民币20万元的维护费．而第一种机器的年利润每台8万美元，第二种机器的年利润每台5万美元，但政府核准的外汇是美元135万元，并且公司的总维护费不得超过1800万元，问每种机器应该购买几台最好？
分析：直接设元，设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，在外汇不超过135万美元，总维护费人民币不得超过1800万元的条件下建立关于x、y的二元一次不等式，构建变量x、y的可行域，根据总利润建立目标函数，用线性规划的方法求目标函数的最大值，从而解决实际问题。
解：设第一种机器购买x台，第二种机器购买y台，则
总利润z=8x+5y，做出不等式组所表示的平面区域如图所示，即可行域。
由 求得
由于，都不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须是整数，
所以可行域内点不是最优点，经过可行域内的点，且与原点距离最大的直线8x+5y=299，经过的整点是(33，7)，它是最优解。
所以，第一种机器购买33台，第二种机器购买7台最好。
四、总评
(1)线性规划问题是优化思想在解决实际问题中的广泛应用，体现了数学模型的应用价值。线性规划问题应用了数形结合、化归转化的思想方法，通过建立目标函数，利用目标函数的平移，在可行域的极端位置确定最优解，求最值，从而解决了实际问题。
(2)注意目标函数中B的符号对函数的最值的影响。当时，直线过可行域且在轴上截距最大，则最大，在轴上截距最小，则最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大，则最小，在轴上截距最小，则最大。
(3)在建立可行域的基础上，目标函数可以是线性的，也可以是非线性的，要揭示目标函数的几何意义，利用思想结合的方法，解决目标函数的最值或范围问题。
