2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测(十五)空间几何体与空间位置关系 Word版含答案

小题考法专训（四） 空间几何体与空间位置关系A 级——保分小题落实练一、选择题1.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为( )A ．210B ．2 5C ．3D ．2解析：选A 如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ，AC ＝22＋62＝210.故选A.2．已知a ，b ，c 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题： ①若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α； ②若a ⊥b ，b ⊥α，c ⊥α，则a ⊥c ； ③若a ⊥b ，b ⊥α，则a ∥α；④若a ∥b ，b ∥α，b ⊂β，α∩β＝c ，则a ∥c . 其中错误命题的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②解析：选A 对于①，由a ∥b ，b ∥α，可得a ∥α或a ⊂α，故①错误；对于②，由b ⊥α，c ⊥α得b ∥c ，又a ⊥b ，所以a ⊥c .故②正确；对于③，由a ⊥b ，b ⊥α，可得a ∥α或a ⊂α，故③错误；对于④，由b ∥α，b ⊂β，α∩β＝c 得b ∥c ，又a ∥b ，所以a ∥c ，④正确．综上所述，错误命题的序号是①③，选A.3．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A ．100πB ．2563πC.4003π D ．5003π解析：选D 因为切面圆的半径r ＝4，球心到切面的距离d ＝3，所以球的半径R ＝r 2＋d 2＝42＋32＝5，故球的体积V ＝43πR 3＝43π×53＝5003π，即该西瓜的体积为5003π.4．(2019·广州综合测试)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为矩形，E ，F 分别为PA ，PD 的中点，在此几何体中，给出下面结论：①直线BE 与直线CF 异面；②直线BE 与直线AF 异面；③直线EF∥平面PBC ；④平面BCE ⊥平面PAD .其中正确的结论个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选C 将平面展开图还原成直观图如图所示．∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，∴EF ∥AD .又四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴EF ∥BC ，∴B ，C ，F ，E 四点共面．∴直线BE 与直线CF 共面，不是异面直线，故①错误；∵E ∈平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，点E 不在直线AF 上，B ∉平面PAD ， ∴直线BE 与直线AF 为异面直线，故②正确；∵EF ∥BC ，BC ⊂平面PBC ，EF ⊄平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ，故③正确；假设平面BCE ⊥平面PAD ，即平面BCFE ⊥平面PAD ，又平面BCFE ∩平面PAD ＝EF ，作PM ⊥EF ，垂足为M ，可得PM ⊥平面BCE ，但由题中条件无法证得PM ⊥平面BCE ，故假设不成立，故④错误．故选C.5．已知球O 与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O 的体积为( ) A.823π B ．833πC.863π D ．1623π解析：选A 将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2 2.因为球O 与正四面体的各棱都相切，所以球O 为正方体的内切球，即球O 的直径2R ＝22，则球O 的体积V ＝43πR 3＝823π.6．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B ．2＋12 C.6－12D ．3－12解析：选D 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为32，所以截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎪⎫1－32＝3－12.7．若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，由m ∥α知存在直线m 1⊂α，m ∥m 1，由l ⊥α，m 1⊂α得l ⊥m 1，又m ∥m 1，因此有l ⊥m ，“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分条件．反过来，由m ⊥l 不能得到m ∥α，此时直线m 可能位于平面α内，因此“m ∥α”不是“m ⊥l ”的必要条件．综上所述，“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分不必要条件，选A.8.在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，动点E 在棱BB 1上，动点F 在线段A 1C 1上，O 为底面ABCD 的中心，若BE ＝x ，A 1F ＝y ，则四面体O ­AEF 的体积( )A ．与x ，y 都有关B ．与x ，y 都无关C ．与x 有关，与y 无关D ．与x 无关，与y 有关解析：选B 如图，因为V O ­AEF ＝V E ­OAF ，所以，考查△AOF 的面积和点E 到平面AOF 的距离的值， 因为BB 1∥平面ACC 1A 1，所以点E 到平面AOF 的距离为定值，又AO ∥A 1C 1， 所以OA 为定值，点F 到直线AO 的距离也为定值， 即△AOF 的面积是定值，所以四面体O ­AEF 的体积与x ，y 都无关，故选B.9．(2019·成都一诊)在各棱长均相等的直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，已知M 是棱BB 1的中点，N 是棱AC 的中点，则异面直线A 1M 与BN 所成角的正切值为( )A. 3 B ．1 C.63D ．22解析：选C 取AA 1的中点P ，连接PN ，PB ，则由直三棱柱的性质可知A 1M ∥PB ，则∠PBN 为异面直线A 1M 与BN 所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN ＝2，PB ＝5，BN＝3，所以PN 2＋BN 2＝PB 2，所以∠PNB ＝90°，在Rt △PBN 中，tan ∠PBN ＝PN BN＝23＝63，故选C.10．(2019·福州模拟)在三棱锥P ­ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝2，AB ＝AC ＝1，BC ＝3，则该三棱锥外接球的体积是( )A.4π3B ．82π3C ．43πD ．32π3解析：选A 由PA ＝PB ＝PC ＝2，得点P 在平面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的外心，PO ⊥平面ABC ，所以PO ⊥OA ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，BC ＝3，cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC＝－12，所以sin ∠BAC ＝32.由正弦定理得OA ＝BC 2sin ∠BAC ＝1，即OA ＝OB ＝OC ＝1.在Rt △POA 中，PO ＝PA 2－OA 2＝1，所以OA ＝OB ＝OC ＝OP ＝1，所以三棱锥P ­ABC 的外接球的球心为O ，其半径为1，故三棱锥P ­ABC 的外接球的体积为4π3，选A.11．已知三棱锥P ­ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( )A ．3πB ．3π2C.4π3D ．5π6解析：选B 如图所示，Rt △PAC ，Rt △PAB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3. 以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △PAC 的PC ，AC 分别交于M ，N 两点， 得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6， 所以∠NPM ＝π12，所以MN ＝π12×2＝π6，同理GH ＝π6，HN ＝π2×1＝π2，又GM 是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆周长的16，所以GM ＝2π×26＝2π3，所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.12．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A.334 B ．233C.324D ．32解析：选A 如图所示，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与棱A 1A ，A 1B 1，A 1D 1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A 1A ，A 1B 1，A 1D 1平行，故正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的每条棱所在直线与平面AB 1D 1所成的角都相等．如图所示，取棱AB ，BB 1，B 1C 1，C 1D 1，D 1D ，DA 的中点E ，F ，G ，H ，M ，N ，则正六边形EFGHMN 所在平面与平面AB 1D 1平行且面积最大，此截面面积为S 正六边形EFGHMN ＝6×12×22×22×sin 60°＝334.故选A.二、填空题13．(2019·北京高考)已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：________________________.解析：已知l ，m 是平面α外的两条不同直线，由①l ⊥m 与②m ∥α，不能推出③l ⊥α，因为l 可以与α平行，也可以相交不垂直； 由①l ⊥m 与③l ⊥α能推出②m ∥α； 由②m ∥α与③l ⊥α可以推出①l ⊥m . 故正确的命题是②③⇒①或①③⇒②.答案：若m ∥α且l ⊥α，则l ⊥m (或若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α)14.(2019·重庆七校联考)如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段BC 1上运动． 有下列判断：①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1­APC 的体积不变．其中正确的是______．(把所有正确判断的序号都填上)解析：在正方体中，易知B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确；连接A 1B ，A 1C 1图略，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确；因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误；VD 1­APC ＝VC ­AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1­APC 的体积不变，所以④正确．答案：①②④15.如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的边长为2，过BD 1的截面的面积为S ，则S 的最小值为________．解析：由题知，过BD 1的截面可能是矩形，可能是平行四边形， (1)当截面为矩形，即截面为ABC 1D 1，A 1BCD 1，BB 1D 1D 时， 由正方体的对称性可知SABC 1D 1＝SA 1BCD 1＝SBB 1D 1D ＝4 2. (2)当截面为平行四边形时，如图所示，过点E 作EM ⊥BD 1于M ，如图(a)所示，SBED 1F ＝BD 1·EM ， 又因为BD 1＝23，所以SBED 1F ＝EM ·23，过点M 作MN ∥D 1D 交BD 于N ，连接AN ，当AN ⊥BD 时，AN 最小，此时，EM 的值最小，且EM ＝2，故四边形BED 1F 的面积最小值为SBED 1F ＝2×23＝26， 又因为42＞26，所以过BD 1的截面面积S 的最小值为2 6. 答案：2 616．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离． 再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC . 又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ， 所以CO 为∠ACB 的平分线， 即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1， 所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2. 答案： 2B 级——拔高小题提能练1.[多选题]如图，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为3，线段B 1D 1上有两个动点E ，F 且EF ＝1，则当E ，F 移动时，下列结论正确的是( )A ．AE ∥平面C 1BDB ．四面体ACEF 的体积不为定值C ．三棱锥A ­BEF 的体积为定值D ．四面体ACDF 的体积为定值解析：选ACD 对于A ，如图1，AB 1∥DC 1，易证AB 1∥平面C 1BD ，同理AD 1∥平面C 1BD ，且AB 1∩AD 1＝A ，所以平面AB 1D 1∥平面C 1BD ，又AE ⊂平面AB 1D 1，所以AE ∥平面C 1BD ，A 正确；对于B ，如图2，S △AEF ＝12EF ·h 1＝12×1×(32)2－⎝⎛⎭⎪⎫3222＝364，点C 到平面AEF 的距离为点C 到平面AB 1D 1的距离d 1为定值，所以V A ­CEF ＝V C ­AEF ＝13×364×d 1＝64d 1为定值，所以B 错误；对于C ，如图3，S △BEF ＝12×1×3＝32，点A 到平面BEF 的距离为点A 到平面BB 1D 1D 的距离d 2为定值，所以V A ­BEF ＝13×32×d 2＝12d 2为定值，C 正确；对于D ，如图4，四面体ACDF 的体积V A ­CDF ＝V F ­ACD ＝13×12×3×3×3＝92为定值，D 正确．故选ACD.2．某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如下检查项目．项目①：折叠状态下(如图1)，检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中(如图2)，检查OM ＝ON ＝O ′M ′＝O ′N ′； 项目③：打开过程中(如图2)，检查OK ＝OL ＝O ′K ′＝O ′L ′； 项目④：打开后(如图3)，检查∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°； 项目⑤：打开后(如图3)，检查AB ＝CD ＝A ′B ′＝C ′D ′.在检查项目的组合中，可以判断“桌子打开之后桌面与地面平行”的是( ) A ．①②③⑤ B ．②③④⑤ C ．②④⑤D ．③④⑤解析：选B A 选项，项目②和项目③可推出项目①，若∠MON ＞∠M ′O ′N ′，则MN 较低，M ′N ′较高，所以不平行，错误；B 选项，因为∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，所以平面ABCD ∥平面A ′B ′C ′D ′，因为AB ＝A ′B ′，所以AA ′平行于地面，由②③⑤知，O 1O 1′∥AA ′∥平面MNN ′M ′，所以桌面平行于地面，故正确；C 选项，由②④⑤得，OM ＝ON ，O 1A ⊥AA ′，O 1′A ′⊥AA ′，AB ＝A ′B ′，所以AA ′∥BB ′，但O 1A 与O 1′A ′是否相等不确定，所以不确定O 1O 1′与BB ′是否平行，又O 1O 1′∥MN ，所以不确定BB ′与MN 是否平行，故错误；D 选项，OK ＝OL ＝O ′K ′＝O ′L ′，所以AA ′∥BB ′，但不确定OM 与ON ，O ′M ′，O ′N ′的关系，所以无法判断MN 与地面的关系，故错误．综上，选B.3.已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M ­EFGH 的体积为________．解析：连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC ，因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形，又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形，又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M ­EFGH 的体积为13×⎝⎛⎭⎪⎫222×12＝112. 答案：1124．已知一个高为1的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为2的等边三角形，则三棱锥的表面积为______，若三棱锥内有一个体积为V 的球，则V 的最大值为________．解析：该三棱锥侧面的斜高为⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32＋12＝233，则S 侧＝3×12×2×233＝23，S 底＝12×3×2＝3，所以三棱锥的表面积S 表＝23＋3＝3 3. 由题意知，当球与三棱锥的四个面都相切时，其体积最大．设三棱锥的内切球的半径为r ，则三棱锥的体积V 锥＝13S 表·r ＝13S 底·1，所以33r ＝3，所以r ＝13，所以三棱锥的内切球的体积最大为V max ＝43πr 3＝4π81.答案：3 34π815．已知圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，则该圆锥体积的最大值为________． 解析：由题意得圆锥的母线长为3，设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则h ＝9－r 2，所以圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13πr 29－r 2＝13π9r 4－r 6.设f (r )＝9r 4－r 6(r ＞0)，则f ′(r )＝36r 3－6r 5， 令f ′(r )＝36r 3－6r 5＝6r 3(6－r 2)＝0，得r ＝6，所以当0＜r ＜6时，f ′(r )＞0，f (r )单调递增，当r ＞6时，f ′(r )＜0，f (r )单调递减，所以f (r )max ＝f (6)＝108，所以V max ＝13π×108＝23π.答案：23π。

2020高考数学(文数)考点测试刷题本41空间点、直线、平面间的位置关系一、选择题1.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行2.若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值( )A．至多等于3 B．至多等于4C．等于5 D．大于53.已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知直线l和平面α，无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l( )A．相交B．平行 C．垂直D．异面5.如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD=F，DC1∩CD1=E，则直线EF是平面ACD1与( )A．平面BDB1的交线B．平面BDC1的交线C．平面ACB1的交线D．平面ACC1的交线6.设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直7.下列正方体或四面体中，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四点不共面的一个图是( )8.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为( )A ．22B ．32C ．52D ．72二、填空题9.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1 cm,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积 为 cm 2.10.如图所示，在空间四边形A －BCD 中，点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是边BC ，CD 上的点，且CF CB =CG CD =23，则下列说法正确的是________．(填写所有正确说法的序号)①EF 与GH 平行；②EF 与GH 异面；③EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上；④EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上．11.如图，已知圆柱的轴截面ABB 1A 1是正方形，C 是圆柱下底面弧AB 的中点，C 1是圆柱上底面弧A 1B 1的中点，那么异面直线AC 1与BC 所成角的正切值为________.12.如图，E 是正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1上的一点，且BD 1∥平面B 1CE ，则异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为________．三、解答题13.如图，△ABC中，AC=BC=22AB，四边形ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，G，F分别是EC，BD的中点．(1)求证：GF∥底面ABC；(2)求几何体ADEBC的体积．14.如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若PC=2，求三棱锥C­PAB的高．15.如图，四棱锥P­ABCD中，AD⊥平面PAB，AP⊥AB.(1)求证：CD⊥AP；(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面PAB.16.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．(1)证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．答案解析1.答案为：C；解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾．故选C．2.答案为：B；解析：首先我们知道正三角形的三个顶点满足两两距离相等，于是可以排除C，D．又注意到正四面体的四个顶点也满足两两距离相等，于是排除A，故选B．3.答案为：A；解析：因为直线a和直线b相交，所以直线a与直线b有一个公共点，而直线a，b分别在平面α，β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线a与直线b可能相交、平行、异面．故选A．4.答案为：C；解析：当直线l与平面α平行时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l⊂平面α时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，当直线l与平面α相交时，在平面α内至少有一条直线与直线l垂直，所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l垂直．5.答案为：B；解析：连接BC1．因为E∈DC1，F∈BD，所以EF⊂平面BDC1，故平面ACD1∩平面BDC1=EF．故选B．6.答案为：B；解析：对于A，在平面α内可能有无数条直线与直线m垂直，这些直线是互相平行的，A错误；对于B，因为直线m与平面α相交但不垂直，所以过直线m必有并且也只有一个平面与平面α垂直，B正确；对于C，类似于A，在平面α外可能有无数条直线垂直于直线m并且平行于平面α，C错误；对于D，与直线m平行且与平面α垂直的平面有无数个，D错误．故选B．7.答案为：D；解析：(利用“经过两条平行直线，有且只有一个平面”判断)对选项A，易判断PR∥SQ，故点P，Q，R，S共面；对选项B，易判断QR∥SP，故点P，Q，R，S共面；对选项C，易判断PQ∥SR，故点P，Q，R，S共面；而选项D中的RS，PQ为异面直线，故选D．8.答案为：C ；解析：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，CD ∥AB ，所以异面直线AE 与CD 所成的角为∠EAB ， 设正方体的棱长为2a ，则由E 为棱CC 1的中点，可得CE=a ，所以BE=5a ，则tan ∠EAB=BE AB =5a 2a =52．故选C ．一、填空题9.答案 解析 如图所示,截面ACE ∥BD 1,平面BDD 1∩平面ACE=EF,其中F 为AC 与BD 的交点,∴E 为DD 1的中点,计算可得AE=CE= cm,AC=cm,则EF ⊥AC,EF= cm,∴S △ACE =××=(cm 2).10.答案为：④；解析：连接EH ，FG(图略)，依题意，可得EH ∥BD ，FG ∥BD ，故EH ∥FG ，所以E ，F ，G ，H 共面．因为EH=12BD ，FG=23BD ，故EH≠FG，所以四边形EFGH 是梯形，EF 与GH 必相交， 设交点为M ．因为点M 在EF 上，故点M 在平面ACB 上．同理，点M 在平面ACD 上， 所以点M 是平面ACB 与平面ACD 的交点，又AC 是这两个平面的交线，所以点M 一定在直线AC 上．11.答案为：12.答案为：155； 解析：不妨设正方体ABCD­A 1B 1C 1D 1的棱长为2，连接BC 1，设B 1C∩BC 1=O ，连接EO ，如图所示，在△BC 1D 1中，当点E 为C 1D 1的中点时，BD 1∥OE ，则BD 1∥平面B 1CE ，据此可得∠OEC 为直线BD 1与CE 所成的角．在△OEC 中，边长EC=5，OC=2，OE=3，由余弦定理可得cos ∠OEC=3＋5－223×5=155.即异面直线BD 1与CE 所成角的余弦值为155.二、解答题13.解：(1)证明：如图，取BC 的中点M ，AB 的中点N ，连接GM ，FN ，MN.∵G ，F 分别是EC ，BD 的中点，∴GM ∥BE ，且GM=12BE ， NF ∥DA ，且NF=12DA. 又四边形ABED 为正方形，∴BE ∥AD ，BE=AD ，∴GM ∥NF 且GM=NF.∴四边形MNFG 为平行四边形．∴GF ∥MN ，又MN ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)连接CN ，∵AC=BC ，∴CN ⊥AB ，又平面ABED ⊥平面ABC ，CN ⊂平面ABC ，∴CN ⊥平面ABED.易知△ABC 是等腰直角三角形，∴CN=12AB=12， ∵C­ABED 是四棱锥，∴V C­ABED =13S 四边形ABED ·CN =13×1×12=16.14.解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC.因为AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2，所以AC 2＋BC 2=AB 2，故AC ⊥BC.又BC∩PC=C，所以AC ⊥平面PBC.因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC.(2)由PC=2，PC ⊥CB ，得S △PBC =12×(2)2=1. 由(1)知，AC 为三棱锥A­PBC 的高．易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA=AB=PB=2，于是S △PAB =12×22sin 60°= 3. 设三棱锥C­PAB 的高为h ，则13S △PAB ·h=13S △PBC ·AC，13×3h=13×1×2， 解得h=63，故三棱锥C­PAB 的高等于63.15.证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP.又AP ⊥AB ，AB∩AD=A，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD.因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP.(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD∩AP=P，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ， 所以CD ⊥平面PAD.①因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD.又AP ⊥AB ，AP∩AD=A，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD.②由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB.16.解：(1)证明：如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO ．因为AD=CD ，所以AC ⊥DO ．又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO ．从而AC ⊥平面DOB ，故AC ⊥BD ．(2)连接EO ．由(1)及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO ．在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2=AB 2．又AB=BD ，所以BO 2＋DO 2=BO 2＋AO 2=AB 2=BD 2，故∠DO B=90°．由题设知△AEC 为直角三角形，所以EO=12AC ． 又△ABC 是正三角形，且AB=BD ，所以EO=12BD ． 故E 为BD 的中点，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的12， 四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的12， 即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．。

空间几何体一、单项选择题（每题5分；共55分）1.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. π+412B. π+13C. π+1D. π+142.已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（）A. 16+12πB. 32+12πC. 24+12πD. 32+20π3.直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为√3，D为BC中点，则三棱锥A−B1DC1的体积为（）A. 3B. 32C. 1D. 24.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323，则该几何体的外接球的表面积为( )A. 12πB. 24πC. 36πD. 48π5.一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为r1，大圆柱底面半径为r2，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为ℎ1，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为ℎ2，则ℎ1ℎ2=（）A. r2r1 B. (r2r1)2 C. (r2r1)3 D. √r2r16.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是36，点E在棱CC1上，且CE=2EC1，则三棱锥E-BCD的体积是（）A. 3B. 4C. 6D. 127.某几何体的正视图和侧视图如图1所示，它的俯视图的直观图是平行四边形A′B′C′D′，如图2所示.其中A′B′=2A′D′=4，则该几何体的表面积为( )A. 16+12πB. 16+8πC. 16+10πD. 8π8.某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为10，则棱长为a的正方体的外接球的表面积为（）3A. 12πB. 14πC. 4√3πD. 16π9.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有．图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体．本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成．若棱台两底面面积分别是400cm2，900cm2，高为9cm，长方体形凹橹的体积为4300cm3，那么这个斗的体积是（）注：台体体积公式是V=1（S' +√S′S+S）h．3A. 5700cm3B. 8100cm3C. 10000cm3D. 9000cm310.在四棱锥P−ABCD中，PB=PD=2，AB=AD=1，PC=√3PA=3，∠BAD= 120°，AC平分∠BAD，则四棱锥P−ABCD的体积为（）A. √62B. √6 C. √63D. √311.《九章算术》是我国古代著名数学经典.其中对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺.问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分).已知弦AB=1尺，弓形高CD=1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为（）(注：1丈=10尺=100寸，π≈3.14，sin22.5∘≈513)A. 600立方寸B. 610立方寸C. 620立方寸D. 633立方寸二、填空题（每空4分；共44分）12.如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆弧，则该几何体的表面积是________．13.已知某正四棱锥的底面边长和侧棱长均为2cm，则该棱锥的体积为________ cm3.14.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．15.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”，称为祖暅原理．意思是底面处于同一平面上的两个同高的几何体，若在等高处的截面面积始终相等，则它们的体积相等．利用这个原理求半球O的体积时，需要构造一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，表面积为________．16.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.17.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1，挖去四棱推O一EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm，AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm2，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.18.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是________，四个面的面积中最大的是________.19.在《九章算术》中有称为“羡除”的五面体体积的求法．现有一个类似于“羡除”的有三条棱互相平行的五面体，其三视图如图所示，则该五面体的体积为________．20.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、C1D1的中点，NBC1，若P、M分别为线段D1B、EF上的动点，则|PM|+是线段BC1上的点，且BN=14|PN|的最小值为________．参考答案一、单项选择题1.【答案】A2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】C10.【答案】A11.【答案】D二、填空题12.【答案】24√213.【答案】4314.【答案】1315.【答案】2π；（3 +√2）π316.【答案】1017.【答案】118.818.【答案】1；3√5219.【答案】2420.【答案】√6。

2023高考数学复习专项训练《空间中直线与平面的位置关系》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列命题：①若m⊥α，m⊥β，则α//β②若m//α，m//β，则α//β③若m//α，n//α，则m//n④若m⊥α.n⊥α，则m//n上述命题中，所有真命题的序号是()A. ①④B. ②③C. ①③D. ②④2.（5分）直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，下列命题正确的是：A. l与l1，l2都不相交B. l与l1，l2都相交C. l至多与l1，l2中的一条相交D. l至少与l1，l2中的一条相交3.（5分）已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，则下列命题不正确的是()A. 若m⊥α，m//n，n⊂β，则α⊥βB. 若m//α，α∩β=n，，则m//nC. 若m//n，m⊥α，则n⊥αD. 若m⊥α，m⊥β，则α//β4.（5分）已知两条直线m、n，两个平面α、β，给出下面四个命题：①m//n，m⊥α⇒n⊥α①α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n①m//n，m//α⇒n//α①α//β，m//n，m⊥α，⇒m⊥β其中正确命题的序号是()A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①5.（5分）已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件中能推出α//β的是()①存在一条直线m，m⊥α，m⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α；④存在两条异面直线m，n，m⊂α，n⊂β，m//β，n//α．A. ①①B. ①①C. ①①D. ①①6.（5分）棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 不相交7.（5分）若α，β是两个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，则下列命题错误的是()A. 若m⊂α，l∩α=A，且A∉m，则l与m不共面B. 若m，l是异面直线，l//α，m//α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥αC. 若l⊂α，m⊂α，l∩m=A，l//β，m//β，则α//βD. 若l//α，m//β，α//β，则l//m8.（5分）已知平面α⊥平面β，α∩β=n，直线l⊂α，直线m⊂β，则下列说法正确的个数是()①若l⊥n，l⊥m，则l⊥β；②若l//n，则l//β；③若m⊥n，l⊥m，则m⊥α．A. 0B. 1C. 2D. 39.（5分）已知a，b为两条不同直线，α、β为两个不同平面.下列命题中正确的是()A. 若a//α，b//α，则a与b共面B. 若a⊥α，α//β，则a⊥βC. 若a⊥α，α⊥β，则a//βD. 若α//b，β//b，则α//β10.（5分）若直线l平行于平面α，则()A. α内所有直线与l平行B. 在α内不存在直线与l垂直C. α内存在唯一的直线与l平行D. α内存在无数条直线与l成60°角11.（5分）在空间中，设l是一条直线，α，β是两个不同的平面．下列结论正确的是()A. 若l//α，l//β，则α//βB. 若l⊥α，l⊥β，则α//βC. 若l//α，α//β，则l//βD. 若l//α，α⊥β，则l⊥β12.（5分）直线l⊂平面α，直线m⊄平面α，命题p：“若直线m⊥α，则m⊥l”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）设l，m，n是空间三条不同的直线，α，β是空间两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若l与m异面，m//n，则l与n异面；②若l//α，α//β，则l//β；③若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m；④若m//α，m//n，则n//α．其中正确命题的序号有 ______ .(请将你认为正确命题的序号都填上)14.（5分）作直线a、b和平面α，则下列小组内两个事件互为对立事件的有 ______组(请填写个数).A组：“a//b”和“a⊥b”；B组：“a、b为异面直线”和“a⊥b”；C组：“a//α或a⊂α”和“a与α相交”．15.（5分）已知关于空间两条不同直线m，n，两个不同平面α，β，有下列四个命题：①若m//α且n//α，则m//n；②若m⊥β且m⊥n，则n//β；③若m⊥α且m//β，则α⊥β；④若n⊂α且m不垂直于α，则m不垂直于n.其中正确命题的序号为______．16.（5分）若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为______.(写出所有真命题的序号)①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．17.（5分）已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为√3，那么P到平面ABC的距离为________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）如图，四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB=BC=1AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC2与BE交于O点，G是线段OF上一点．(1)求证：AP//平面BEF；(2)求证：GH//平面PAD.19.（12分）用符号语表示图中点、直线、平面的位置关系.20.（12分）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=3，AA1=4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为√29，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(I)该三棱柱的侧面展开图的对角线长(II)PC和NC的长(III)平面NMP与平面ABC所成二面角(锐角)的大小(用反三角函数表示)21.（12分）如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点．判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由．22.（12分）如图，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F=2BF。

第12讲空间直线、平面的位置关系［考情分析］在选择、填空题中，空间线面位置关系的考查，主要以线线、线面位置关系的判断、异面直线所成的角、点到平面距离的计算为主，难度中等 偏下，近年，对点到平面距离的计算的考查有所增多，难度有所提升.热点题型分析热点1空间线面位置关系的判断方法结论V1. 空间中直线、平面之间的位置关系相交共面 •异面2. 线面平行的判定及其性质定理① 线面平行判定定理：a?a, b? a ， a // b? a // a ； ② 线面平行性质定理：a / a, a? B, aA b? a // b ；③ 面面平行判定定理：a?a, b? a ，a // B b // B a A b =P? all B④ 面面平行性质及线面平行定义：a? a all a // B ⑤ 面面平行性质定理：all B, aA 尸a ， BA 尸b? a // b.3.线面垂直的判定及其性质定理空间线面位置关系在面内线与面在面外，钱面相交线面平行①线面垂直判定定理：a? a, b? a, a n b= P, l丄a, l丄b? I丄a；②线面垂直性质：a? a, I ± a? I丄a；③面面垂直判定定理：a? a, a丄％a丄B；④面面垂直性质定理：a丄B an I, a? a, a丄I? a丄B⑤线面垂直性质定理：a丄a, b丄a? a// b.【题型分析】1•已知直线m , I ,平面a, B且m丄a, I? B给出下列命题：①若all B则m] I ；②若a丄B贝U m/ I ；③若m l I ,贝U a丄B④若m//I , 则a丄B其中正确的命题是（）A. ①④ B •③④ C •①② D •①③答案A解析对于①，若all B m± a,则m l B又I? B所以m l I ,故①正确，排除B ；对于④,若m// I , m丄a ,则I丄a,又I? B所以al B故④正确•故选A.2. （2019华南师大附中高三一模）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E是线段BC 上的动点,F是线段CD1上的动点,且E, F不重合,则直线AB1与直线EF的位置关系是（）A.相交且垂直 B .共面C.平行 D .异面且垂直答案D解析根据题意作图，如图，连接A1B交AB1于M,易证AB1丄平面A1BCD1. 在E , F运动过程中,EF?平面A1BCD1 ,因此AB1丄EF.而EF恒不过点M ,因此AB1与EF是异面垂直的,故选D.3. 如图，在正方形 ABCD 中，E ,F 分别是BC , CD 的中点，G 是EF 的中点, 现在沿AE , AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使 B , C , D 三点重合， 重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有()A . AG 丄平面EFH C.HF 丄平面AEF 答案 B解析 根据折叠前、后AH 丄HE , AH 丄HF 不变，得AH 丄平面EFH , B 正确; •••过A 只有一条直线与平面 EFH 垂直，二A 不正确；T AG 丄EF,EF 丄GH ,AG A GH =G ,A EF 丄平面HAG , 又 EF?平面AEF ,：平面HAG 丄AEF ,过H 作直线垂 直于平面AEF ，一定在平面HAG 内，二C 不正确；由条件证不出HG 丄平面AEF , •: D 不正确.故选B.【误区警示】命题真假性的判断，是立体几何位置关系题型的经典形式. 这种考查方式直接 检验对定理的掌握程度，常出现的错误是按照给出的条件结论作图分析，不能全 面考虑空间中的各种线面位置关系.要解答好这类题目，可以从下面三点考虑：(1) 必须牢固掌握定理的内容，条件的个数，结论是什么.(2) 要学会在文字、符号、图形三种语言之间熟练转换.将题目中所给出的已知 条件，转化为图形进行分析；同时，借助空间几何模型 (如从长方体，四面体等), 观察线面位B . AH 丄平面EFHD . HG 丄平面AEF/>置关系，再结合有关定理进行判断.如第2题利用正方体中线面进行分析，有利于从多角度考查符合条件的前提下，可以有何种结论.（3）当从正面入手较难时，也可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.热点2线线、线面角和距离的计算方法结论1. 异面直线成角：如图，已知两条异面直线a, b,经过空间任一点0作直线a'// a，b'// b，把a'与b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（夹角）.如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作a丄b，2•线面成角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角.规定：直线垂直于平面，它们所成的角是直角；直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是零度角.因此，线与面所成角的范围是：”，注意：线面成角是斜线与平面内直线所成的所有角中的最小角.3.点面距：空间中点到面的垂线段长.常利用三棱锥体积转换的方法，进行点到面距离的计算.1. （2019永州模拟）三棱锥A—BCD的所有棱长都相等，M， N分别是棱AD, BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（）答案D解析如图，连接DN，取DN的中点O,连接MO, BO，V M是AD的中点, ••• MO // AN,AB 2 + AE 2= i3, 所以 tan /D i BE = 3二谓.故选C.•/ BMO （或其补角）是异面直线BM 与AN 所成的角•设三棱锥A — BCD 的所 二务 NO = 2DN ,BM 2+ MO 2— BO 2 cos / BMO = —2BM MO —2•••异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3.2. （20i9湖北八校一联）已知斜四棱柱ABCD — A i B i C i D i 的各棱长均为2，Z A i AD = 60° / BAD = 90° 平面 A i ADD i 丄平面 ABCD ，则直线 BD i 与平面 ABCD 所成的角的正切值为（）,i3 39B.4 C.i3C解析 长线于E ，平面ABCD = AD ，所以D i E 丄平面ABCD ，即卩BE 为BD i 在平面ABCD 内的射影, 所以/ D i BE 为直线BD i 与平面ABCD 所成的角，因为D i E = 2sin60 =^3, BE =有棱长为 2,贝U AN = BM = DN = 22— i 2= .3,贝U MO = *AN i+务近在厶BMO 中，由余弦定理得 贝U BO = BN 2 + NO 2 =39 DP答案 ABCD — A i B i C i D i ，延长 AD ,过 D i 作 D i E 丄AD 的延 BD i ,因为平面 A i ADD i 丄平面ABCD ，平面A i ADD i A如图，斜四棱柱 连接BE , BD ,3. （2019牡丹江模拟）已知三棱锥P—ABC的外接球0, PC为球0的直径，且PC=2，PA= PB=^3, AB= 1,那么顶点P到平面ABC的距离为____________ .答案236解析如图，：PC是球0的直径，八/ FAC和/PBC都是直角，由PC= 2，PA= PB= 3，可得AC= BC = AB= 1.•••点0为PC的中点，••• BO = AO= 1,故三棱锥0 —ABC为正三棱锥，则点0 到平面ABC的距离__6—3 .二顶点P到平面ABC的距离为2d= 23~.【误区警示】I选择、填空题中，考查角度问题，常常涉及各类角的基本定义和性质，而错误常出现在不能准确找出线线、线面所成的角•因此，准确找出线线、线面角，并牢记它们的范围是解决此类问题的关键•对于距离问题，三棱锥体积转化是一个重要方法•做题时还可以根据已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求解真题自检感悟1.（2017全国卷I ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M ，N, Q为所在棱的中点，贝U在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是解析A项，作如图①所示的辅助线, 其中D为BC的中点，J贝QD// AB. v QD A 答案A平面MNQ = Q，A QD与平面MNQ相交，二直线AB与平面MNQ相交.B项，作如图②所示的辅助线，贝U AB// CD，CD // MQ，••• AB// MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，二AB//平面MNQ.C项，作如图③所示的辅助线，贝U AB// CD，CD // MQ，••• AB// MQ.又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，二AB//平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，贝U AB / CD，CD // NQ，••• AB// NQ.又AB?平面MNQ, NQ?平面MNQ,••• AB//平面MNQ.故选A.2. （2018全国卷I ）在长方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，AB _BC _2，AC 1 与平面BB 1C 1C 所成的角为30°则该长方体的体积为（）A. 8 B . 6 2C . 8 2D . 8 3答案 C解析 在长方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，连接BC 1,根据线面角的定义可知/ AC 1B_30° 因为 AB _2, BCB _tan30 °,所以 BC 1 _ 2^3,从而求得 CC1_yj BC 1- BC ； 2 2，所以该长方体的体积为 V _2X 2X 2 2_8,2.故选C.3.（2018全国卷U ）在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC i 的中点，则异面 直线AE 与CD 所成角的正切值为（）3 5 7B .~2 c.~2 D .~2~C在正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，CD // AB ,所以异面直线 AE 与CD 所成的角为/ EAB ,设正方体的棱长为2a , 则由E 为棱CC 1的中点，可得CE _a ,所以 BE _ 5a ，2_2A .~2答案 解析f )则tan/ EAB_嚣二誉二于.故选C.4. （2019全国卷U ）设a B为两个平面，则all B的充要条件是（）A. a内有无数条直线与B平行B. a内有两条相交直线与B平行C. a, B平行于同一条直线D. a, B垂直于同一平面答案B解析若all B,则a内有无数条直线与B平行，反之则不成立；若a B平行于同一条直线，则a与B可以平行也可以相交；若a, B垂直于同一个平面，则a 与B可以平行也可以相交，故A , C , D中条件均不是all B的充要条件.根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行,反之也成立.因此B中条件是all B的充要条件.故选B.5. (2019全国卷川)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ ECD为正三角形，平面ECD丄平面ABCD, M是线段ED的中点，贝U ( )A. BM = EN,且直线BM , EN是相交直线B. BM工EN,且直线BM , EN是相交直线C. BM = EN,且直线BM , EN是异面直线D. BM工EN,且直线BM , EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F, DF的中点G,连接EF, FN, MG, GB.•••△ ECD是正三角形，••• EF 丄CD.•••平面ECD丄平面ABCD,••• EF丄平面ABCD.••• EF丄FN.不妨设AB = 2,贝U FN = 1, EF = .3,A EN= FN2+ EF2= 2.••• EM = MD , DG = GF,••• MG // EF 且MG = 2EF ,十十i {3 i—2 -------- 2••• MG 丄平面ABCD,：MG 丄BG.v MG = ^EF =帀,BG= CG + BC = 厲/i3 2 ,2 _ 52、2 + 2_ 2 ,••• BM _ . MG2+ BG2_ 7.：BM 工EN.连接BD , BE ,•点N 是正方形ABCD 的中心，：点N在BD上,且BN_ DN , : BM , EN是厶DBE的中线，:BM , EN 必相交.故选B.6. （2019北京高考）已知I , m是平面a外的两条不同直线.给出下列三个论断：①I丄m；②m// a；③I丄a以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：答案若m// a且l丄a,贝U l丄m成立（或若l丄m , l丄a,贝U m // o）解析已知l , m是平面a外的两条不同直线，由①l丄m与②m// a ,不能推出③I丄a,因为I可以与a平行,也可以相交不垂直；由①I丄m与③I丄a能推出②m // a；由②m// a与③I丄a可以推出①I丄m.故正确的命题是②③？①或①③？②.7. _________________________________________________ （2019全国卷I ）已知/AC吐90° P为平面ABC外一点,PC_2，点P到/ACB 两边AC, BC的距离均为羽,那么P到平面ABC的距离为_____________________________ .答案、2解析如图,过点P作PO丄平面ABC于O,则PO为P到平面ABC的距离.再过O作OE丄AC于E, OF丄BC于F，连接PC, PE, PF,贝U PE丄AC, PF丄BC.又PE= PF= 3,所以OE = OF,所以CO为/ ACB的平分线，即/ ACO= 45°在Rt△ PEC 中，PC= 2, PE= ,3,所以CE= 1,所以OE= 1,所以PO= PE2—OE2= "73 2- 12= 2.专题作业一、选择题1.设I表示直线，a B表示平面.给出四个结论：①如果I // a ,则a内有无数条直线与I平行；②如果I// a ,则a内任意的直线与I平行；③如果all B,则a内任意的直线与B平行；④如果all B,对于a内的一条确定的直线a,在B内仅有唯一的直线与a平行.以上四个结论中，正确结论的个数为（）A.0B. 1C. 2D. 3答案C解析若I // a,则平面a内的直线与I平行或异面，故①正确，②错误；再由面面平行的性质知③正确；对于④，在B内有无数条直线与a平行，错误.故选C.2.（2019荆州模拟）对于空间中的两条直线m , n和一个平面a下列命题中的真命题是（)A.若m // a,n //a ,则m // nB.若m// a,n?a ,则m // nC. 若m// a,n丄a ,则m // nD.若m±a,n丄a ,则m // n答案D解析对A直线m,n可能平行、异面或相交，故A错误；对B,直线m与n可能平行,也可能异面,故B错误；对C , m与n垂直而非平行,故C错误;对D ，垂直于同一平面的两直线平行，故 D 正确.3. （2019青岛模拟）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD—A i B i C i D i 中，AA i = 2AB = 2，则异面直线A i B 与AD i 所成角的余弦值为（）答案 D解析 如图，连接BC i ,易证BC i // AD i ，则/A i BC i 即为异面直线A i B 与AD i 所成的角•连接 A i C i ，由 AB = i ， AA i = 2，易得 A i C i = 2， A i B = BC i = , 5，故2 2 2cos / A i BC i = 驾F ABC —= 5，即异面直线 A i B 与AD i 所成角的余弦值为4. 故选D.4. （20i9宿迁模拟）已知正方体ABCD — A i B i C i D i 中，AB = 2,则点C 到平面BDD i B i 的距离为（ ）A.iB. ,2 C . 2 2 D . 2 .3 答案 B解析 如图，连接AC ，DB 交于点O ,在正方体ABCD — A i B i C i D i 中DB 丄AC ，BB i 丄AC ，BB i P DB = B ，A.5 3D\••• AC丄平面BDD i B i；.点C至U平面BDD i B i的距离为CO,又AB = 2,二CO =12A C= 2.故选B.5. 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，AB = 4,点D在棱BB i上，若BD= 3,贝U AD 与平面AA1C1C所成角的正切值为（）答案D解析如右图，取A1C1和AC的中点E, F,连接EF,取EF上一点P使得PF= BD= 3,连接DP, BF, AP.因为ABC—A1B1C1为正三棱柱，所以AA1丄面ABC, △ ABC是等边三角形.所以AA1丄BF, BF丄AC,因此BF丄面AA1C1C.知EF // AA1 又EF = AA1,所以BD/ PF,又BD = PF，所以四边形BDPF是平行四边形，故DP / BF.所以DP I 面AA1C1C,即AP是AD在面AA1C1C内的射影，所以/ DAP 是AD与面AA1C1C所成角.又因为AB = 4,所以DP = BF = 2 3, AD = 5,贝U APDP 2\139=.13,所以tan/ DAP = DAP =〔3 .故选 D.6. （2017全国卷川）在正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A.A1E 丄DC1 B . A1E 丄BDC.A i E 丄BC i D . A i E丄AC答案C解析如图，连接AE, A i E, D i E, B i C, BC i,：A i E在平面ABCD上的投影为AE, 而AE不与AC, BD垂直，二B, D错误；••• A i E在平面BCC i B i上的投影为B i C，且BidBC i,二A i E丄BC i，故C正确；（证明：由条件易知，BC i丄B i C, BC i丄CE,又CE A B i C = C, A BC i丄平面CEA i B i. 又A i E?平面CEA i B i, A A i E丄BC i）：A i E在平面DCC i D i上的投影为D i E,而D i E 不与DC i垂直，故A错误.故选C.7. 在正方体ABCD-A i B i C i D i中，M , N分别是BC i, CD i的中点，贝U （）A.MN // C i D i B . MN 丄BC iC.MN丄平面ACD i D . MN丄平面ACC i答案D解析对于选项A，因为M , N分别是BC i, CD i的中点，所以点N€平面CDD i C i，点M?平面CDD i C i，所以直线MN是平面CDD i C i的斜线，又因为直线C i D i在平面CDD i C i 内，故直线MN与直线C i D i不可能平行，故选项A错误；对于选项B，正方体中易知NB M NC i,因为点M是BC i的中点，所以直线MN与直线BC i不垂直，故选项B错误；对于选项C,假设MN丄平面ACD i，可得MN丄CD i.因为N是CD i的中点，所以MC = MD i,这与MC工MD i矛盾.故假设不成立.所以选项C错误；对于选项D，分别取B i C i, C i D i 的中点P, Q,连接PM, QN,iPQ.因为点M是BC i的中点，所以PM // CC i且PM = 2CC i.同理QN / CC i且QN = i 2CC i.所以PM // QN且PM = QN,所以四边形PQNM为平行四边形，所以PQ /MN.在正方体中，CC i 丄PQ, PQ 丄AC,因为AC A CC i= C, AC?平面ACC i, CC i ?平面ACC i，所以PQ丄平面ACC i.因为PQ / MN，所以MN丄平面ACC i.故选 D.8. （20i7全国卷U ）已知直三棱柱ABC-A i B i C i 中，/ ABC= i20°, AB= 2, BC =CC i= i,则异面直线AB i与BC i所成角的余弦值为（）B 殛C 四D 心B.5 C. 5 D. 3C将直三棱柱ABC — A i B i C i 补形为直四棱柱 ABCD — A i B i C i D i ,如图所示，B i D i , BD.由题意知/ ABC = i20o , AB = 2, BC = CC i = i ,所以 AD i =BC ih.2, AB i = . 5,Z DAB = 60°.在厶ABD 中，由余弦定理知 BD 2= 22 + i 2— 2X 2X i x cos60= 3,所以BD =寸3,所以B i D i = {3.又AB i 与AD i 所成的角即为AB i+ AD i — B i D i 5 + 2— 3AB i 与 BC i 所成的角 0,所以 COS B= “d An* = 2X y[2.故选 C.A I ）9.（2019永州模拟）在正四棱柱ABCD — A 1B 1C 1D 1中，AA i =2AB= 2,则点A i 到 平面AB i D i 的距离是（ ）4 16 4B. §C.6D.9 A在厶AB i D i 中，• • • AB i = AD i = ：. 5, B i D i = ：：； 2,3 A ^2~答案 解析 连接AD i ,2AB i AD i2 A ・3 答案 解析•••△ AB i D i的边B i D i上的高为3.2 =2 .••• S ^ ABiDi — 2x 2X ^^2—2.设点A i 到平面AB i D i 的距离为h ,则1 3 h —• h= _3 2 h 2.i i i i h i 2又 V A i — AB i D i — V A — A i B i D i — ^S ^ A i B i D i AA i — 3X q X i X i X 2 — 3, •㊁—§.解得 h — 3. 故选A.iO .如图，正方体 ABCD — A i B i C i D i 的棱长为2,动点E , F 在棱A i B i 上•点 Q 是棱CD 的中点，动点P 在棱AD 上，若EF — i ，DP — x ，AE — y （x , y 大于零）， 则三棱锥P — EFQ 的体积（ ）A.与x , y 都有关 C. 与x 有关，与y 无关 答案 C解析 三棱锥P — EFQ 的体积与点P 到平面EFQ 的距离和厶EFQ 的面积有关， 因为平面EFQ 与平面CDA i B i 是同一个平面，所以点P 到平面EFQ 的距离是P 到 平面CDA i B i 的距离，且该距离就是P 到线段DA i 的距离，此距离只与x 有关.因 为EF — i ,点Q 到EF 的距离为线段B i C 的长度，为定值.综上可知，三棱锥 P —EFQ 的体积只与x 有关.ii. （20i9石家庄一模）如图，四棱锥P — ABCD 的底面是边长为2的正方形，FA 丄平面ABCD , 且 PA —4, M 是PB 上的一个动点（不与P , B 重合），过点M 作平 面a//平面PAD ，截棱锥所得图形的面积为y ,若平面a 与平面PAD 之间的距离为 x ,贝U 函数y — f （x ）的图象是（ ）V A i — AB i D i — x 无关过点 H 作 HE 丄NQ ,在 Rt A HEQ 中，EQ = HQ 2- HE 2 = 2-x ， ••• NE = 2-(2-x)= x ,A MH = x.:.y =如壮2尹互1I7'I8 - 8 - & y6 - 6 - 64 K 4< k 4 \2 A 2 \2 \ ,1 2左ol2i 01x ()\2 ”是所作的平面由题意得罟，解得 MN = 4-2x ，由器=器.即卩2-2f X ^2QH5,解得 QH = . 5(2-x)，M=-x2+ 4(0<x<2).•••函数y=f(x)的图象如图.故选C.二、填空题12. 如图所示，AB是。