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空间几何体的表面积和体积能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题．一、展开图定义一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形，这个平面图形叫做该多面体的平面展开图．二、特殊几何体的定义1.直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．2.正棱柱：底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱．3.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心的棱锥叫正棱锥．正棱锥的性质：（ 1）正棱锥的侧棱相等；（ 2）侧面是全等的等腰三角形；（ 3）侧棱、高、底面构成直角三角形．4.正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分角正棱台．正棱台的性质：（ 1）正棱棱台的侧棱长相等（ 2）侧面是全等的等腰三角形；（ 3）高，侧棱，上、下底面的边心距构成直角梯形．三、侧面积与表面积公式1.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式（1）设直棱柱高为 h，底面多边形的周长为 c，则直棱柱侧面积计算公式： S 直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．（2）设正 n 棱锥的底面边长为 a，底面周长为 c，斜高为 h′，则正 n 棱锥的侧面积的计算公式：S 正棱锥侧＝= . 即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．（3）设正 n 棱台下底面边长为 a、周长为 c，上底面边长为 a′、周长为 c′，斜高为h′，则正 n 棱台的侧面积公式： S 正棱台侧＝ (4)棱柱、棱锥、棱台的表面积 (或全面积 )等于底面积与侧面积的和，即 S 表＝S 底＋ S 侧.2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式 (1) S 圆柱侧＝ (r 为底面半径， l 为母线长 )． (2) S 圆锥侧＝ (r 为底面圆半径， l 为母线长 )．(3) S 圆台侧＝ (R 、r 分别为上、下底面半径， l 为母线长 )．(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和，即S 表＝S 底＋ S 侧.(5) 若圆锥底面的半径为 r ，侧面母线长为 l ，侧面展开图扇形的圆心角为 则， r360 3. 由球的半径 R 计算球表面积的公式： S 球＝ .即球面面积等于它的大圆面积的 4 倍．四、体积1.长方体的体积： 长方体的长、宽和高分别为 a 、 b 、 c ，长方体的体积 V 长方体＝ abc 2．棱柱和圆柱的体积：(1)柱体 (棱柱、圆柱 )的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积，即 V 柱体＝ Sh. (2)底面半径是 r ，高是 h 的圆柱体的体积计算公式是 V 圆柱＝ . 3．棱锥和圆锥的体积：(1)如果一个锥体 (棱锥、圆锥 )的底面积为 S ，高是 h ，那么它的体积 V 锥体＝ Sh. (2)如果圆锥的底面半径是 r ，高是 h ，则它的体积是 V 圆锥＝5．球的体积：如果球的半径为 R ，那么球的体积 V 球 ＝ . 6．祖暅原理：幂势既同，则积不容异．这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得 的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高 的两个柱体或锥体的体积相等．7. 球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣 弧的长度。
任务检查空间几何体的表面积与体积问题定位1圆台的体积为，上、下底面的半径分别为和，则圆台的高为（）A．B．C．D．答案B解答圆台体积公式为，，，故选．2棱长为的正四面体的表面积是（）A．B．C．D．答案A解答正四面体四个面均为等边三角形，每个面的面积为：，正四面体的表面积为：．故选．3用长为，宽为的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（）A．B．C．D．答案B解答由圆柱的侧面积公式可得：底面圆的周长圆柱的高，侧，侧故选．4《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依恒内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图所示，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放米约有（）A．斛B．斛C．斛D．斛答案B解答设圆锥底面圆半径为，，其中取，，米堆的体积为：，（斛），故选．5一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为和，侧棱长为，则其表面积为．答案．解答由题意可得：侧面的高为：，四个侧面的面积和为：，侧上底面和下底面的面积和为：，底则该四棱台的表面积为：．侧底6一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于（）A．B．C．D．答案C解答由三棱柱的正视图可得底面正三角形的边长为，三棱柱的高为，，故选．7某四面体的三视图如下图所示，该四面体的体积是（ ）A．B．C．D．答案A解答由三视图可知该几何体是三棱锥，它的高是，底面是直角三角形，两直角边的长分别为和，故体积为，故选．8将棱长为的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A．B．C．D．答案A解答将正方体木块削成一个体积最大的球，即求该正方体内切球的体积，则该球的半径为，，球故选．原因分析精准突破一、多面体的侧面积与体积多面体图形侧面积体积棱柱直棱柱的侧面展开图是矩形，直棱柱侧（为底面周长，为高）柱底（底为底面面积，为高）棱锥正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，正棱锥侧（为底面周长，为斜高）锥底（底为底面面积，为高）棱台正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，正棱台侧（、分别为上、下底面周长，为斜高）（、分别为为上、下底面面积，为棱台的高）二、旋转体的侧面积与体积旋转体图形侧面积与表面积体积圆柱圆柱的侧面展开图是矩形，圆柱侧，表柱底（底为底面面积，为高）圆锥圆锥的侧面展开图是扇形，圆锥侧，表底（底为底面面积，为高）圆台圆台的侧面展开图是扇环，圆台侧，表（，分别为上、下底面面积，为圆台的高）球半径为的球的表面积表半径为的球的体积9某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．答案D解答由几何体的三视图分别是长方形，长方形，三角形及画三视图的原则可知：该几何体为一底面为一腰长为的等腰直角三角形，高为的棱柱，则其表面积为，故选．10将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周所形成几何体的侧面积为（）A．B．C．D．答案C解答将一个直角边长为的等腰直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得的几何体为底面半径为，母线长为的圆锥，由圆锥侧面积公式得：，故选．11一个几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的表面积是．答案．解答由三视图可知，该几何体由一个半球体、半个圆柱和一个四棱柱组合而成，半球体的表面积为：，半个圆柱的侧面积为：，四棱柱的侧面积为：，几何体的底面积为：，底半球与柱体组合处的表面积为：，该几何体的表面积为：表底 ．12正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则棱台的侧面积为（ ）A．B．C．D．答案D解答设正四棱台的个侧面为梯形，如下图所示，则，，，过作于，过作于，即，，四边形为平行四边形，，，在中，，，梯形，棱台侧面积侧梯形故选．13刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方，得两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为，这个比率是不变的．如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A． B． C． D．答案B解答如图所示，根据题设条件可知三视图还原成的几何体为四棱锥，正方体的棱长为，四棱锥的表面积四边形，故选．14若一个球的体积为，则该球的表面积为．答案．解答球的表面积为，体积为，由题可知：，， ．15底面边长和侧棱长均为的正四棱锥的体积为．答案解答设正四棱锥为，为底面中心，则高为，所以体积为．16已知球心到球的一个截面的距离为，截面圆的半径为，则球的半径为．答案．解答依题意，球的一个截面的半径为，设截面的半径为，，又球心到这个截面的距离，则球的半径R=，即球的半径为．17圆柱的轴截面是边长为的正方形，则圆柱的表面积为．答案．解答圆柱的轴截面为边长为的正方形，底面圆半径，圆柱高，圆柱的表面积．18直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．答案．解答在直棱柱中，，故可将其变形为长方体，其中，、、为长方体的棱，该三棱柱外接球半径为：，该外接球表面积为．课中巩固19圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的侧面积为（）A．B．C．D．答案B解答如图所示：由图可得：，，，，，，，，，由圆台侧面积公式得，故选．20球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（ ）A．B．C．D．答案D解答球的表面积为，体积为，由题可知，即，，故选．21正六棱柱的底面边长为，最长的一条对角线长为，则它的表面积为（ ）A．B．C．D．答案B解答正六棱柱的底面为正六边形，将正六边形的各对角线连接，交点为，如图：由题意得，而对角线、、将正六边形分割成六个全等的等边三角形，，在正六棱柱中侧棱垂直于底面，而，为直角三角形，，在正六棱柱中侧棱均相等，侧面是个全等的矩形，底面为个全等的正六边形，表面积 ，22一个几何体的三视图如图所示（图中小方格均为边长为的正方形），该几何体的体积是（ ）A．B．C．D．答案C解答由三视图可知，该几何体由5个小正方体组合而成其体积为故选23如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．B．C．D．答案A解答由三视图可知，该几何体为直三棱柱，其底面为直角三角形，直角三角形边长为、，直三棱柱高为，故其体积为： ，24已知球的直径为，则该球的表面积为．答案．解答由球的表面积公式可得：．25一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当时，该容器的容积为．答案.解答正四棱锥的高，所以．26如图，四边形是圆柱的轴截面．是圆柱的一条母线，已知，，，求圆柱的表面积．答案．解答四边形是圆柱的轴截面，，，，底面圆半径，圆柱表面积 ．总结优化27如图，从底面半径为，高为的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积与挖去圆锥后的几何体的表面积之比．答案与之比为．解答由图可知，挖去的圆锥的母线长为：，，，：．28正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为．答案．解答如图为正四棱锥，过作面，则为的中心，正方形边长为，则，设外接球半径为，则，则，在中，，，解得，其表面积．效果验证29两个球的半径之比为，那么两个球的表面积之比为（）A．B．C．D．答案A解答设两个球的半径分别为和，则，，，两个球的表面积之比为，故选．30一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．答案D解答圆锥侧面展开图为半径为的半圆，圆锥母线长，由半圆弧长为即圆锥底面圆周长为，，即，圆锥高，该圆锥体积为：，故选．31在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图所示，则此机械部件的表面积为（ ）A．B．C．D．答案A解答由三视图可得，圆柱高为，被挖去的圆锥的高为，底面圆半径为，故其母线长为，所以此机械部件的表面积为：，故选．32 若一个螺栓的底面时正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．B ．C ．D ．答案C解答由三视图和俯视图可知，该几何体是由下面正六棱柱和上面圆柱组成，且正六棱柱底面边长为，高为，圆柱底面半径为，高为，且正六棱柱体积为底，圆柱体积为底，该几何体的体积为：，故选．33如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．答案．解答设球的半径为，则圆柱和圆锥的底面直径和高均为，则有，圆柱，圆锥，球，故圆柱、圆锥、球的体积之比为．34半径为的球的体积与一个长、宽分别为、的长方体的体积相等，则长方体的表面积为．答案解答球又长方体球长方体的高长方体的表面积为35已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积为．答案．解答由三视图可知，底面是一个底为，高为的平行四边形，，底该四棱锥的高为，该四棱锥的体积为：．36如图所示的正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，高为，则它的侧棱长为．答案．解答连接，，过作，交于点，正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为，且，正四棱台上下底面均为正方形，，，，侧棱长 ．37如图，在圆柱内有一个，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱的体积为，球的体积为，则的值是．答案．解答设球的半径为，则圆柱的高为，，，．38把长、宽分别为，的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积．答案这个圆柱的体积为或．解答设圆柱的底面半径为，母线长为，高为，①当，时，有：，，，则圆柱②当，时，有：，，则，圆柱综上所述，这个圆柱的体积为或．39正四棱柱的体对角线的长等于，则棱的长等于，求此四棱柱底面边长和表面积．答案底面边长为，表面积为．解答设正四棱柱底面边长为，，，，，该四棱柱的表面积为，， ．温故知新40两个球的体积之比为，那么这两个球的表面积之比为（ ）A．B．C．D．答案B解答设两球的半径分别为、，，，，即两个球的表面积之比为，故选．41若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（）A．B．C．D．答案C解答设圆锥的高与底面直径为，则底面积，底，侧面积侧，底侧故选．42用与球心距离为的平面去截球所得的截面面积为，则球的表面积为（）A．B．C．D．答案C解答设球的半径为，截面半径为，球心到截面的距离为，由题意：，，，，球的表面积，故选．43圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（ ）A．B．C．D．答案A解答如图为圆锥轴截面：设底面半径为，高为，母线长为，，侧，轴截面为等腰直角三角形，，，，，底 ．44右图是一个几何体的三视图，其中俯视图中的曲线为四分之一圆，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．答案C解答由三视图可知，该几何体由一个正方体截取一个个圆柱，，故选．45圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（ ）A．B．C．D．答案A解答设圆台下底面半径为，上底面半径为，母线为，下底面周长是上底面周长的倍，，，又，侧，又，，，故选．46火星的半径约是地球的半径的一半，则地球的体积是火星的体积的倍．答案．解答设火星的半径为，地球的半径为，，则火，地地，火地球的体积是火星的体积的倍．47一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为．答案．解答如图所示，，六棱锥的底面积底六棱锥的体积为：，底解得：，，，．则该六棱锥的侧面积为：侧48在正方体中挖去一个圆锥，得到一个几何体，已知圆锥顶点为正方形的中心，底面圆是正方形的内切圆，若正方体的棱长为．(1)求挖去的圆锥的侧面积；(2)求几何体的体积．(1)答案．解答圆锥的底面半径，高为，母线，挖去的圆锥的侧面积为．(2)答案．解答几何体的体积为正方体体积减去圆锥的体积，的体积为．。
专题八 立体几何8.1 空间几何体的表面积和体积基础篇 固本夯基考点一 空间几何体的结构特征1.(2022届山东烟台一中开学考,2)已知圆锥的表面积等于12πcm 2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( )A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm 答案 B2.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2B.2√2C.4D.4√2 答案 B3. (2020课标Ⅰ理(文),3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12答案 C4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm 2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 . 答案 1考点二 空间几何体的表面积与体积1.(2022届河北邢台入学考,4)六氟化硫,化学式为SF 6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )A.4√23a 3 B.8√23a 3C.4√2a 3D.8√2a 3答案 B2.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且AC ⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为( ) A.√212B.√312C.√24D.√34答案 A3.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.6√2C.8√2D.8√3 答案 C4.(2020山东泰安期末,8)已知正三棱锥S-ABC 的侧棱长为4√3,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是( )A.16πB.20πC.32πD.64π 答案 D5.(多选)(2021河北保定二模,9)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为√5πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案BD6.(2021福建泉州二模,6)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体,其所有顶点都在球O 的球面上,若十四面体的棱长为1,则球O的表面积为()A.2πB.4πC.6πD.8π答案B7.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为. 答案39π8.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN 的体积为.答案 19.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.10.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.答案(12√3−π2)11.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为 .答案13综合篇 知能转换A 组考法一 空间几何体的表面积和体积1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( ) A.56 B.28√2 C.563 D.28√23答案 D2.(2021济南一模,7)已知菱形ABCD,AB=BD=2,将△ABD 沿BD 折起,使二面角A-BD-C 的大小为60°,则三棱锥A-BCD 的体积为( ) A.√32B.2√23 C.3√32D.2√2 答案 A3.(2018课标Ⅲ,文12,理10,5分)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√34.(2020湖南衡阳联考,10)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=2.若三棱锥P-ABC的外接球体积为36π,则当该三棱锥的体积最大时,其表面积为()A.6+6√3B.8+6√3C.8+8√5D.6+8√5答案C5.(2022届浙江浙南名校联盟联考一,15)一圆锥母线长为定值a(a>0),母线与底面所成角大小为θ(0<θ<π2),当圆锥体积V最大时,sinθ=.答案√336.(2019天津,文12,理11,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π47.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.答案40√2π8.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案1129.(2017课标Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考法二 与球有关的切、接问题1.(多选)(2022届河北神州智达省级联测二,12)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点全部在球O 的表面上,AB=AC,∠BAC=120°,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为8+4√3,则球O 的表面积可能是( ) A.4π B.8π C.16π D.32π 答案 CD2.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C3.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( ) A.√3 B.32C.1D.√32答案 C4.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为 ( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π 答案 D5.张衡(78年—139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家,他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B,若线段AB 的最小值为√3-1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( ) A.30 B.10√10 C.12√10 D.36 答案 C6.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 答案92π 7.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 . 答案 14π8.(2021山东烟台一模,16)已知正三棱锥P-ABC 的底面边长为2,侧棱长为√13,其内切球与两侧面PAB,PBC 分别切于点M,N,则MN 的长度为 . 答案56B 组(2022届江苏海安高级中学期中,8)如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=BC=√3,cos ∠ABC=13,P 是A 1B 上的一动点,则AP+PC 1的最小值为( )A.√5B.√7C.1+√3D.3 答案 B应用篇 知行合一应用 与立体几何有关的实际应用问题1.(多选)(2022届河北9月联考,10生活实践情境)“端午节”为中国国家法定节假日之一,已被列入世界非物质文化遗产名录,吃粽子是端午节的习俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图,粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽,也可做成底面半径为32cm,高为6cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料,若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积,则(参考数据:√2π≈4.44)( )A.这两碗馅料最多可包三角粽35个B.这两碗馅料最多可包三角粽36个C.这两碗馅料最多可做竹筒粽21个D.这两碗馅料最多可做竹筒粽20个 答案 AC2.(2021新高考Ⅱ,4,5分科技发展)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr 2(1-cos α)(单位:km 2),则S 占地球表面积的百分比约为( )A.26%B.34%C.42%D.50% 答案 C3.(多选)(2021辽宁开原三模,12生产实践)国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2020年全国夏粮总产量达14281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食,也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63000π立方米的粮食储藏容器,如图1所示.已知该容器分上下两部分,其中上部分是底面半径和高都为r(r ≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r 米、高为h 米的圆柱体,如图2所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为√2a 元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用均为a 元,设每个容器的制造总费用为y 元,则下面说法正确的是( )A.10≤r<40B.h 的最大值为1 8803C.当r=21时,y=7029a πD.当r=30时,y 有最小值,最小值为6300a π 答案 BCD4.(2021山东青岛二模,15劳动教育)某校学生去工厂进行劳动实践,加工制作某种零件.如图,将边长为10√2cm 的正方形铁皮剪掉阴影部分(四个全等的等腰三角形),然后将△P 1AB,△P 2BC,△P 3CD,△P 4DA 分别沿AB,BC,CD,DA 翻折,使得P 1,P 2,P 3,P 4重合并记为点P,制成正四棱锥P-ABCD 形状的零件.当该四棱锥体积最大时,AB= cm;此时该四棱锥外接球的表面积S= cm 2.答案 8;6765π 创新篇 守正出奇创新一 数学文化下的立体几何问题1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,5)公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”,即V=kD 3,欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体也可利用公式V=kD 3求体积(在等边圆柱中,D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a),等边圆柱(底面圆的直径为a),正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k 1、k 2、k 3,那么k 1∶k 2∶k 3=( ) A.π3∶π2∶2 B.π6∶π4∶2 C.π3∶π2∶1 D.π6∶π4∶1 答案 D2.(2019课标Ⅱ理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-14.(2021河北张家口一模,16)早期的毕达哥拉斯学派学者注意到:用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五个柏拉图多面体之计算,则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.一.如果把sin36°按35答案55√336π创新二圆锥曲线与立体几何的综合1.(2021山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹长度为()A.πB.√2πC.2πD.2√2π答案B2.(2021山东德州二模,7)我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即12V 球=πR 2·R-13πR 2·R=23πR 3.现将椭圆x 24+y 29=1绕y 轴旋转一周后得一橄榄球形状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.8πB.16πC.24πD.32π答案 B3.(2022届广东深圳七中10月月考,14)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点H 在棱AA 1上,且HA 1=1,P 是侧面BCC 1B 1内一动点,HP=√13,则CP 的最小值为 .答案 √13-2。
空间几何体的表面积和体积一．课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式〔不要求记忆公式〕。
二．命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。
即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法〞等求解。
由于本讲公式多反映在考题上，预测07年高考有以下特色：〔1〕用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；〔2〕考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三．要点精讲1．多面体的面积和体积公式l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式12上、下底面半径，R表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由〔2〕2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36〔3〕由〔3〕－〔1〕得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素〔对角线、内切〕与面积、体积之间的关系。
例2．如图1所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=5，AD=4，AA 1=3，AB ⊥AD ，∠A 1AB=∠A 1AD=3π。
〔1〕求证：顶点A 1在底面ABCD 上的射影O 在∠BAD 的平分线上； 〔2〕求这个平行六面体的体积。
