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专题37 空间几何体（知识梳理）
一、空间几何体
1、空间几何体的基本定义
如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分就是一个几何体。
围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的公共边叫做体的棱；棱和棱的公共点叫做体的顶点。 几何体不是实实在在的物体。
平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)。
例1-1．下列是几何体的是( )。
A 、方砖
B 、足球
C 、圆锥
D 、魔方
【答案】C
【解析】几何体不是实实在在的物体，故选C 。
例1-2．判断下列说法是否正确：
(1)平静的湖面是一个平面。 (×)
(2)一个平面长3cm ，宽4cm 。 (×)
(3)三个平面重叠在一起，比一个平面厚。 (×)
(4)书桌面是平面。 (×)
(5)通过改变直线的位置，可以把直线放在某个平面内。 (√)
【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变其位置，可以放在某个平面内。
(6)平行四边形是一个平面。 (×)
(7)长方体是由六个平面围成的几何体。 (×)
(8)任何一个平面图形都是一个平面。 (×)
(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等。 (√)
(10)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线。 (×)
(11)平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念。 (√) 例1-3．下列说法正确的是 。
①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD 上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形D C B A ''''所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等。
【答案】②③
【解析】①错，因长方体由6个矩形(包括它的内部)围成，注意“平面”与“矩形”的本质区别；
②正确；③正确。
[多选]例1-4．下列说法正确的是( )。
A 、任何一个几何体都必须有顶点、棱和面
B 、一个几何体可以没有顶点
C 、一个几何体可以没有棱
D 、一个几何体可以没有面
【答案】BC
【解析】球只有一个曲面围成，故A 错、B 对、C 对，由于几何体是空间图形，故一定有面，D 错，
故选BC 。
例1-5．如图所示的是平行四边形ABCD 所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD ；②平面BD ；③平面AD ；④平面ABC ；⑤AC ；⑥平面α。其中不正确的是( )。
A 、④⑤
B 、③④⑤
C 、②③④⑤
D 、③⑤
【答案】D
【解析】③中AD 不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误。故选D 。
例1-6．下列结论正确的个数有( )。
①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线。
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
【答案】C
【解析】只有⑤不正确。故选C 。
2、斜二测画法及相关计算
(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤：
①画轴：在平面图形上取互相垂直的x 轴和y 轴，作出与之对应的x '轴和y '轴，使得它们正方向的夹角为 45(或 135)；
②画线(取长度)：平面图形中与x 轴平行(或重合)的线段画出与x '轴平行(或重合)的线段，且长度不变， 平面图形中与y 轴平行(或重合)的线段画出与y '轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的一半；
③连续(去辅助线)：连接有关线段，擦去做图过程中的辅助线。
讲解：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，关键是分别作出其中与x 轴和y 轴平行(或重合)的线段。
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： ①原图形
直观图S S 42= ②直观图原图形S S 22=。 例2-1．判断对错：
(1)相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等。 (×)
(2)平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行。 (√)
(3)线段的中点在直观图中仍然是线段的中点。 (√)
(4)利用斜二测画法画直观图时，①三角形的直观图还是三角形； (√)
②平行四边形的直观图还是平行四边形； (√)
③正方形的直观图还是正方形； (×)
④菱形的直观图还是菱形。 (×)
例2-2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )。
A 、在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D 、斜二测坐标系取的角可能是 135
【答案】C
【解析】由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，
平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，∴C 不对，故选C 。
例2-3．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC 的直观图并说明画法。
【解析】(1)画x '轴，y '轴，使 45='''∠y O x ；
(2)Ox 轴上取点)0,3(D ，在x O ''轴上取D '、B '，使OD D O =''，OB B O =''(如图)，
在y O ''轴上取C '，使OC C O 21=''，在x O ''轴下方过D '作y O A D ''''//，使DA A D 2
1=''； (3)连接A O ''、B A ''、C B ''，所得四边形C B A O ''''就是四边形OABC 的直观图。
注意：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。
例2-4．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法。
【解析】(1)画轴：画Ox 轴、Oy 轴、Oz 轴， 45=∠xOy (或 135)， 90=∠xOz ，如左图；
(2)画底面：以O 为中心，在xOy 平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD ；
(3)画顶点：在Oz 轴上截取OP ，使OP 的长度是原四棱锥的高；
(4)成图：顺次连接PA 、PB 、PC 、PD ，
