1.5行列式按行(列展开)

行列式按行列展开定理一、 余子式的定义：在n 阶行列式中，把（i.j ）元ij a 所在的第i 行，第j 列去掉之后，留下来的n-1阶行列式称作ij a 的余子式，记作ij M二、 代数余子式：在n 阶行列式的ij a 余子式ij M 加上符号(1)i j +-，称作ij a 的代数余子式ij A ： (1)i j ij ij A M +=-三、 引理1：一个n 阶行列式，如果其中的第i 行所有元素除了（i,j ）元ij a 外都为0，则这个行列式等于ij a 与它的代数余子式乘积： ij ij D a A =⋅四、 行列式按行（列）展开法则：定理3：行列式等于它的任一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式的乘积之和：1122i i i i in in D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122j j j j nj nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）推论：行列式某一行（列）的元素与对应的另一行（列）元素的代数余子式乘积之和等于0：1122i j i j in jn D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅1122i j i j ni nj D a A a A a A =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ （i j ≠）五、 克拉默法则：如果含有n 个未知数的n 个线性方程组： 11112211n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=21122222n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=31132233n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=………………………………………………………………………………………………………1122n n nn n n a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=其系数行列式不等于0，即：1111............0...nn nna a D a a =≠ 那么，方程组有惟一解：11D x D =,22D x D =,…n N D x D= 1111,1122,11,1......................j nj j n n n j nn a b a a b a D a b a a +++=① 定理4：如果含n 个未知数的n 个线性方程组的系数行列式不等于0，则方程一定有解，且解是惟一的。

§6 行列式按一行(列) 展开在§4看到，对于n 级行列式，有n i A a A a A a a a a a a a a a a in in i i i i nnn n in i i n,,2,1,2211212111211=+++=. (1)现在来研究这些ij A ,n j i ,,2,1, =究竟是什么.三级行列式可以通过二级行列式表示：333122211333312321123332232211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a a +-=. (2)定义7 在行列式nnnj n in iji n j a a a a a a a a a111111 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2)1(-n 个元素按原来的排法构成一个1-n 级行列式nnj n j n n n i j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+- (3)称为元素ij a 的余子式，记作ij M 下面证明ij j i ij M A +-=)1(. (4)为此先证明n 级行列式与1-n 级行列式的下面这个关系，1,12,11,11,222211,11211,11,12,11,121,2222111,112111-------------=n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a. （5）定义8 上面所谈到的ij A 称为元素ij a 的代数余子式.这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第i 行的元素等于另外一行，譬如说，第k 行的元素，也就是.,,,2,1,i k n j a a kj ij ≠==于是nnn kn k kn k n in kn i k i k a a a a a a a a A a A a A a1111112211=+++右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零.定理3 设nnn n n n a a a a a a a a a d212222111211=ij A 表示元素ij a 的代数余子式，则下列公式成立：⎩⎨⎧≠==+++.,0,,2211i k i k d A a A a A a in kn i k i k 当当 (6) ⎩⎨⎧≠==+++.,0,,2211j l j l d A a A a A a nj nl j l j l 当当 (7) 用连加号简写为⎩⎨⎧≠==∑=;,0,,1i k i k d A a is ks ns 当当 ⎩⎨⎧≠==∑=.,0,,1j l j l d A a sj sl ns 当当 在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个n 级行列式的计算换成n 个(1-n )级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的.例1 计算行列式53204140013202527102135---- 例2 行列式113121122322213211111----=n nn n n nna a a a a a a a a a a a d(8) 称为n 级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的)2(≥n n ，n 级范德蒙德行列式等于n a a a ,,,21 这n 个数的所有可能的差)1(n i j a a j i ≤<≤-的乘积.用连乘号，这个结果可以简写为∏≤<≤-----=ni j j in nn n n n na aa a a a a a a a a a a a 111312112232221321)(1111.由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是n a a a ,,,21 这n 个数中至少有两个相等.例3 证明rrr r kkk k rrr rkr r k kk k k b b b b a a a a b b c c b b c c a a a a111111111111111111110000.。

行列式按行列展开法则1、三角形行列式的值，等于对角线元素的乘积。

计算时，一般需要多次运算来把行列式转换为上三角型或下三角型。

2、交换行列式中的两行（列），行列式变号。

3、行列式中某行（列于）的公因子，可以明确提出放在行列式之外。

4、行列式的某行乘以a，加到另外一行，行列式不变，常用于消去某些元素。

5、若行列式中，两行（列于）全然一样，则行列式为0；可以推断，如果两行（列于）成比例，行列式为0。

6、行列式展开：行列式的值，等于其中某一行（列）的每个元素与其代数余子式乘积的和；但若是另一行（列）的元素与本行（列）的代数余子式乘积求和，则其和为0。

7、在解代数余子式有关问题时，可以对行列式展开值替代。

8、克拉默法则：利用线性方程组的系数行列式求解方程。

9、齐次线性方程组：在线性方程组等式右侧的常数项全部为0时，该方程组称作齐次线性方程组，否则为非齐次线性方程组。

齐次线性方程组一定存有零求解，但不一定存有非零求解。

当d=0时，存有非零求解；当d!=0时，方程组无非零求解。

行列式性质①行列式a中某行(或列于)用同一数k乘,其结果等同于ka。

②行列式a等于其转置行列式at(at的`第i行为a的第i列)。

③若n阶行列式|αij|中某行(或列于);行列式则|αij|就是两个行列式的和，这两个行列式的第i行(或列于),一个就是b1,b2,…,bn；另一个就是с1，с2,…,сn；其余各行（或列于）上的元与|αij|的全然一样。

④行列式a中两行（或列）互换,其结果等于-a。

⑤把行列式a的某行（或列于）中各元同乘一数后加进另一行（或列于）中各对应元上，结果仍然就是a。