梁的变形教程

挠度 横截面的形心沿与轴线垂直方向的线位移，
称为该截面的挠度，用 w 表示。
(x)
w
Me F
q(x)
转角
横截面相对其原来的位置转过 的角度，称为此截面的转角， 用 θ 表示。
O w(x)
x l
w
x
梁的弯曲变形
16.1 梁的挠度和横截面的转角 挠度转角的正负号规定 在图示坐标系中 挠度：向上为正 转角：逆时针转向为正
wmax w max w 和 是规定的许用挠度与许用转角
这节课就讲到这里。
同学们根据这次课学习到的内容和阅读教材，完 成教材上的习题。
工程力学
Engineering Mechanics
第16章 梁的弯曲变形
16.5 梁的刚度条件 16.6 简单的静不定梁问题
梁的弯曲变形
16.5 梁的刚度条件 梁的变形不能超过规定的许可范围 —— 梁的刚度。 (1) 桥式吊车大梁在起吊重物时，若梁的挠度偏大，会行驶困难，造成振动。
梁的弯曲变形
16.2 梁的挠曲线近似微分方程
d2w M (x)
dx2 EI
挠曲线近似微分方程
正负号：依赖于所选取的坐标轴、弯矩正负号的规定
w
M 0
w
M 0
d2 w d x2
0
O
x
d2 w d x2
0
O
x
取正号，挠曲线的近似微分方程应写为
d2w M (x) dx2 EI
线弹性小变形条件下梁的弯 曲变形计算的基本微分方程
叠加原理 （力的独立作用原理） 每个载荷单独产生的上述各量，都不受其他载荷作用的影响。 梁上几个载荷同时作用时产生的上述各量， 等于各载荷分别单独作用所产生相应各量的代数和。

f
三、梁的刚度条件
• 1、最大挠度：在建筑工程中，通常只校核 梁的挠度，不校核梁的转角，一般用f表示 梁的最大挠度。 • 2、许用挠度：用[f ]梁的允许挠度，通常用 允许挠度和跨长的比值 作为校核标准， • 3、刚度条件：梁在荷载作用下产生的最大 挠度与跨长的比值不能超过许用的单位长 度的挠度来表示刚度条件：
• 梁的变形与跨长l的三次或四次冪成正比，设法减小梁的跨度，将 会有效地减小梁的变形 • 1、将简支梁的支座向中间适当移动， • 2、在梁的中间增加支座。
（三）改善荷载的分布情况
• 1、将集中力分散作用 • 2、改为分布荷载
第七节梁的变形
• 一、挠度与转角
• 1、挠曲线：梁在荷载作用下产生弯曲变形后， 其轴线为一条光滑的平面曲线； • 2、挠度：梁任一横截面形心在垂直于杆轴方向 竖向位移CC'； • 3、转角：梁内任一横截面在梁变形后，绕中性 轴转过的角度，称为该截面的转角， • 4、挠度与转角的关系：
二、用叠加法求梁的变形
• 一般钢筋混凝土梁的
• 钢筋混凝土吊车梁的
例题9-25
• 一简支梁由№28b工字钢制成，跨中承受一集中 荷载，已知F=20kN，l=9m，E=210Gpa，［］ ＝170MPa， 。试校核梁正应力强度和 刚度。
•最大弯矩
•查表№28b工字钢 •强弯曲刚度EI • 1、由于同类材料的E值相差不多； • 2、增大惯性矩 I • 使材料尽量分布在远离中性轴的地方 • 通常采用工字形、箱形、圆环形截面 （二）减小梁的跨度
• 1、根据：由于梁的变形与荷载成线性关系。 所以，可以用叠加法计算梁的变形。 • 2、方法：即先分别计算每一种荷载单独作 用时所引起梁的挠度和转角，然后再将它 们代数相加，就得到梁在几种荷载共同作 用下的挠度或转角。

再积分一次，可以得到挠曲线方程
y 1 EI z [ ( M ( x ) dx ) dx Cx D )




【例 10.1】简支梁受均布荷载q作用，如图10.3所示，EI为常数。 试求此梁的转角和挠曲线方程，以及此梁的最大挠度ymax(通常用 符号f表示)和两端截面的转角θA和θB。 【解】(1) 列出挠曲线的近似微分方程 RA=RB= ql/2 M(x)= qlx/2 - qx2/2 EId2y/dx2 =-M(x)=- qlx/2 +qx2/2 (2) 积分 将上式连续积分两次，可以得到 EI dy/dx =EIθ=- qlx2/4 + qx3/6 +C EIy=- qlx3/12 + qx4/24 +Cx+D




(3) 确定积分常数 为了确定积分出现的四个积分常数，除了要利用边界条件外， 还要利用相邻两段梁在交接外变形的连续条件。 边界条件： x1=0，y1=0 x2=l，y2=0 连续条件： x1=x2=a，θ1=θ2y1=y2 将以上条件代入式(a)、(b)、(c)、(d)，联立求解，可得积分 常数 D1=D2=0C1=C2= Pb/6l (l2-b2)



【例11.5】一简支梁由18号工字钢制成，受均布荷载q的作用，如 图10.7所示。已知材料的E=210GPa，［σ］=150MPa，［f/l］ =1/400。试校核梁的强度和刚度。 【解】(1) 由型钢表查得18号工字钢 Wz=185cm3=185×103mm3 Iz=1660cm4=1660×104mm4 (2) 强度校核 Mmax= ql2/8 = 24×32/8kN· m=27kN· m σmax= Mmax/Wz = 27×106/185×103MPa=146MPa<［σ］

为，常用于研究液体和高
值分析方法，可用于求解
于模拟材料在超过弹性限
分子材料的变形特性。
结构和材料的变形问题，
度时的非弹性变形。
让复杂的变形计算变得简
单。
变形计算的实际案例分析
1
结构Байду номын сангаас程
使用变形计算方法来分析桥梁的变形，确保其在荷载下的结构完整性。
2
汽车工程
通过变形计算预测车辆在碰撞事故中的形变情况，以确保车辆乘员的安全。
航空航天工程
变形计算在航空航天器的设计和飞行控制中发挥着关键作用，确保飞行器在各种工况下的结 构完整性。
常见的变形计算方法
1 弹性和塑性变形计算 2 流变学方法
3 基于有限元法的变形
弹性变形计算用于预测结
流变学方法用于描述材料
计算
构在小应变范围内的形变
在受力作用下的粘弹性行
有限元法是一种常用的数
行为，而塑性变形计算用
1 复杂结构的变形计算 2 多物理场耦合的变形 3 智能化变形计算
挑战在于对于复杂和大尺
计算
人工智能和机器学习的应
度结构的变形计算，需要
未来的发展方向是将变形
用将使变形计算更加智能
更高效和精确的数值分析
计算与其他物理场耦合，
化，提高计算效率和准确
方法。
如热、电和磁等，实现更
性。
全面的工程分析。
3
航空航天工程
使用变形计算方法来优化飞行器的结构设计，提升飞行性能和燃油效率。
变形计算的软件工具和技术
常用的变形计算软件
ANSYS、ABAQUS、Nastran等软件是工程领域常用的 变形计算工具。
常用的变形计算技术和方法