p68-用叠加法求梁弯曲时的变形(精)

应用叠加原理求梁的变形1. 什么是叠加原理？叠加原理是一种常用的力学分析方法，用于求解复杂结构中各个构件的受力和变形。

该原理基于结构的线性性质，假设结构在受到多个外力同时作用时，各个外力的影响可以分别计算，最后再将各个结果进行叠加得到总的结果。

2. 梁的变形计算梁是一种常见的结构构件，广泛应用于工程领域。

在工程设计中，我们常常需要计算梁在受力情况下的变形，以确保设计的梁符合结构强度和刚度的要求。

应用叠加原理可以较为方便地求解梁的变形。

下面以一根简支梁为例，介绍应用叠加原理求解梁的变形的具体步骤：2.1 确定各个受力首先，需要确定梁所受到的各个外力，包括集中力、均布力、弯矩等。

2.2 列点根据叠加原理，我们需要列出各个受力情况下的变形的方程，然后将这些方程进行叠加。

下面以简支梁受到集中力P作用为例进行讲解。

在梁的受力平衡条件下，可以得到以下方程：$M = EI \\frac{d^2y}{dz^2}$$V = EI \\frac{d^2w}{dz^2}$其中，M为梁的弯矩，V为梁的剪力，y为梁的纵向位移，w为梁的横向位移，E为梁的材料弹性模量，I为梁的惯性矩。

2.3 求解方程根据叠加原理，我们可以分别求解简支梁受到集中力和均布力时的梁的变形。

2.3.1 简支梁受到集中力作用时的变形假设集中力作用的位置为L，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：M=P(L−z)，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$其中，P为集中力的大小，L为集中力作用的位置，L1为梁的长度。

通过对上述方程进行求解，可以得到梁在集中力作用下的变形。

2.3.2 简支梁受到均布力作用时的变形假设均布力的大小为q，根据平衡条件和边界条件，可以得到以下方程：$M = \\frac{q}{2}z^2$，$0 \\leq z \\leq L$M=0，$L \\leq z \\leq L_1$通过对上述方程进行求解，可以得到梁在均布力作用下的变形。

使用叠加原理求梁变形时必须满足的条件梁变形中的“叠加原理”哎呀，说起梁变形这事儿，那可真是个技术活！咱们得用上点“叠加原理”，才能确保结构稳稳当当的。

想象一下，你手里有一堆小石头，你想把它们叠在一起，不让它掉下来，这不就是梁变形的原理嘛！先来说说什么是“叠加原理”。

简单来说，就是当你往一堆石头上再放一堆石头时，新的石头会压在旧的石头上，这样就能增加整个堆的稳定性。

在梁变形中，也是一样的道理。

梁的每一部分都像是一个个小小的“石头”，它们之间相互支撑，就像叠在一起的石头一样。

那么，梁变形时必须满足哪些条件呢？让我来给你数一数：1. **材料强度**：梁的材料得足够强，这样才能承受住上面的荷载，也就是那些“小石头”。

如果材料不够强，梁就容易变形或者垮掉。

2. **截面尺寸**：梁的截面大小也得合适，不能太大也不能太小。

太大的话，虽然能承受更多的荷载，但稳定性就差了；太小的话，虽然稳定，但可能扛不住太多的荷载。

3. **支撑条件**：梁的两端得有支撑，这样才能保持稳定。

如果中间断了，或者一端没支撑好，梁就可能会变形。

4. **荷载作用**：还得考虑荷载的大小和分布。

荷载大了，梁就容易变形；荷载小了，梁可能就没那么敏感。

5. **施工质量**：施工的时候也得注意，比如焊接得牢靠，螺栓要拧紧，这些都关系到梁的稳定性。

6. **环境因素**：有时候，温度、湿度这些环境因素也会影响梁的稳定性。

比如太冷或太热，混凝土可能会收缩或膨胀，导致梁变形。

7. **使用年限**：时间一长，梁的材料可能会老化，这也会影响它的稳定性。

8. **设计计算**：最后还得通过设计计算来保证梁的稳定性。

这就像我们做菜，得知道加多少盐、放多少油，才能做出好吃的菜来。

梁变形这事儿，可得认真对待。

咱们得好好选材料，仔细算设计，还得注意施工质量，还得留意环境变化。

只有这样，梁才能稳稳当当，稳稳当当地支撑咱们的生活和工作。

你说是不是这个道理？。

使用叠加原理求梁变形时必须满足的条件1. 引言嘿，朋友们，今天我们要聊聊一个让人又爱又恨的话题——梁变形！这可不是什么冷冰冰的公式和理论，而是我们日常生活中经常遇到的现象。

想象一下，家里的书架如果突然扭曲了，简直就像被施了魔法一样，是吧？那到底是什么导致了这些变形呢？叠加原理可是我们理解这个现象的重要工具。

今天，我们就用简单易懂的语言，给你们掰扯掰扯这个叠加原理，还有它在梁变形中必需满足的条件，听起来不错吧？2. 什么是叠加原理2.1 基本概念首先，得给叠加原理来个简单的介绍。

你想象一下，叠加原理就像是把多种口味的冰淇淋混合在一起。

比如说，你有巧克力、草莓和香草三个口味，分别独立尝过之后，再把它们搅拌在一起，嘿，这个新口味就是它们的叠加！同样的道理，当我们讨论梁的变形时，如果有多个力或载荷作用于梁上，梁的总变形就可以看作是这些力单独作用时变形的总和。

这就是叠加原理的基本思路，简单明了。

2.2 应用场景在实际工程中，叠加原理简直是个“万能钥匙”。

比如说，你的房子上有个天台，天台上有桌椅、花盆、甚至有朋友来聚会，这些东西施加的力会让天台变形。

通过叠加原理，我们可以分别计算这些物体的作用力对天台的影响，最后再把结果加起来，得出天台的总变形。

听起来是不是很酷？3. 叠加原理的条件不过，朋友们，叠加原理可不是随便用用就行的。

要想让它发挥作用，我们必须满足一些条件。

下面就来给大家聊聊这几点。

3.1 线性行为第一条，线性行为。

换句话说，梁的变形和施加在它上面的力成正比。

这就像是你拉一根橡皮筋，拉得越长，橡皮筋的变形就越明显。

如果力太大，橡皮筋就会“变得心态失衡”，也就是进入非线性阶段，叠加原理在这种情况下就不灵了。

因此，使用叠加原理时，要确保梁的变形在其弹性范围内，这样才能保持“心态平和”。

3.2 小变形假设第二条，必须是小变形。

想象一下，如果你的梁变形太大，就像小猪在泥潭里打滚，已经不再是我们原来理解的那个“梁”了。

当材料在线弹性范围内工作时，梁的挠度、转角均与载荷成线性关系．而且弯曲变形是很小的．因此，当梁上同时作用几种载荷时，任一载荷引起的变形，不会受到其他载荷的影响，即每种载荷对弯曲变形的影响是各自独立的。

所以，几种载荷同时作用下梁的挠度和转角，等于各种载荷单独作用下挠度和转角的代数和，这就是求解弯曲变形的叠加法．当只需确定某些指定截面的挠度和转角时，应用叠加法是比较方便的．下面举例说明．例7-3 图7-8 所示简支梁，承受均布载荷q 和集中力偶M0作用，已知M0 =ql2。

试求跨度中点的挠度f c 和 A 截面的转角θA。

解：利用叠加法求解时，首先将q , M0同时作用下的简支梁( 图7 -8a ) ，分解为q 作用下的简支梁( 图7-8b) 和M0作用下的简支梁( 图7 -8c ) ，然后，由表7.1 查取结果叠加。

从表的第9 栏查得均布载荷q 作用下的中点挠度和A 端面转角分别为由表7.1 第5 栏查得集中力偶M0作用下的中点挠度和A 端面转角分别为叠加以上结果，求得q , M0 同时作用下的中点挠度和A 截面转角为f c为负值，表示挠度向下．θA为负值，表示A 截面顺时针转动．例7-4 简支梁如图7 — 10a 所示，在2a 的长度上对称地作用有均布载荷q. 试求梁中点挠度和梁端面的转角．解：利用叠加法求解。

由于简支梁上的载荷对跨度中点C 对称，故C 截面的转角应为零．因而从C 截面取出梁的一半，可将其简化为悬臂梁，如图7 — 10b 所示。

梁上作用有均布载荷q 和支座B 的反力R B = qa.这样，悬臂梁上B 端面的挠度在数值上等于原梁中点C 的挠度，但符号相反，B 端面的转角即为原梁B 端面的转角．经这样处理后，应用叠加原理求解比较方便．由表7 · 1 的第 2 栏查得，当集中力R B (=qa) 作用时( 图7 — 10c ) ，B 端面的转角和挠度分别为由表7 · 1 的第 4 栏查得，当均布载荷q 作用时( 图7 — 10d) ，E 截面的转角和挠度分别为由于EB 梁段上无载荷作用，所以q 引起 B 点的转角和挠度分别为==叠加上述结果，可得B 端面的转角和挠度分别为于是，原梁( 图7 — 10a ) 中点C 的挠度f c为例7-6 某一变截面外伸梁如图7 — 11a 所示．AB 、BC 段的抗弯刚度分别为EI1和EI2，在C 端面处受集中力P 作用，求 C 端面的挠度和转角．解：由于外伸梁是变截面的，故不能直接应用表7 ．1 中的结果．为此，必须将外伸梁分为AB 、BC 两段来研究．首先假设梁的外伸段BC 是刚性的，研究由于简支梁AB 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．然后，再考虑由于外伸段BC 的变形所引起的 C 截面的挠度和转角．最后将其两部分叠加，得C 截面的实际变形．由于假设BC 段为刚性，故可将P 力向简支梁AB 的 B 端简化，得P 和Pa ．P 力可由B 支座的反力平衡，不会引起简支梁的弯曲变形。

叠合式复合杆弯曲时的变形计算及强度计算将二根不同材质的杆件叠合成复合杆，在受弯曲后二杆间会有相互错动。

这种情况在进行计算时可认为：二杆皆以自身形心轴C1、C2翘曲变形，二者除贴合外彼此没有力学影响，其结合面的摩擦作用在工程计算时也可忽略不计。

上图a为材质为E1，断面惯性矩为I1，跨度为L，受均布荷载q1的简支梁1，此时梁1产生挠度f1，且有（1）式成立。

f1 = 5×q1×L4/(384×E1×I1)--------------------- (1)图b为材质为E2，断面惯性矩为I2，跨度仍为L的简支梁2，调正均布荷载q2，使梁2产生的挠度f2 = f1，且有（2）式成立。

f2 = 5×q2×L4/(384×E2×I2) -------------------- (2)若将梁1和梁2叠加组合形成图右c，跨度仍为L，并在组合梁上施加q = q1 + q2的均布荷载，此时组合梁产生挠度f ，当满足以下二个假设条件时，（3）式成立。

1．忽略梁1与梁2间的磨擦作用。

2．梁1与梁2间无间隙。

f = f1 = f2 ------------------------（3）将（1）式、（2）式及q = q1 + q2代入（3）式并经整理后可得：q1/(E1×I1) = (q - q1)/(E2×I2) -----------------（4）令E2×I2/(E1×I1) = A ，则：q1 = q / (A + 1) ---------------------------------（5）q2 = A×q / (A + 1)------------------------------（6）如果梁1为铝型材，梁2为钢衬。

则铝型材承受载荷的1/（A+1），钢衬承受载荷的A/（A+1）。

除上述受均布荷载的简支梁外，理论可以证明任何受力状态的梁以上结论均成立。