高一数学解斜三角形应用举例1 优质课件

●教学时间

第五课时

●课 题

§5.10.1 解斜三角形应用举例(一)

●教学目标

(一)知识目标

1.实际应用问题中的专用名词；

2.解斜三角形问题的类型.

(二)能力目标

1.会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法；

2.搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3.理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；

4.通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力.

(三)德育目标

通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用.

●教学重点

1.实际问题向数学问题的转化；

2.解斜三角形的方法.

●教学难点

实际问题向数学问题转化思路的确定.

●教学方法

启发式

在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理.

●教具准备

投影仪、三角板、幻灯片

第一张：例1、例2(记作§5.10.1 A)

［例1］自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度.已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字).

［例2］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10 ｎ ｍｉｌｅ的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以

9 ｎ ｍｉｌｅ／ｈ的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21 ｎ ｍｉｌｅ／ｈ的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间.

第二张：例3、例4(记作§5.10.1 B)

［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β，已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.

课 题：解斜三角形应用举例（1）

教学目的：

1会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法； 2搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等；

4通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力

教学重点：实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法

教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：启发式

在教学中引导学生分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启发学生在解三角形时正确选用正、余弦定理

教学过程：

一、复习引入：

1．正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin

2．余弦定理：,cos2222AbccbabcacbA2cos222

,cos2222BcaacbcabacB2cos222

Cabbaccos2222，abcbaC2cos222

3．解三角形的知识在测量、航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用，如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数学问题的能力下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用

二、讲解范例：

例1 自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度已知车箱的最大仰角为60°，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1．95ｍ，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC长为1．40ｍ，计算BC的长(保留三个有效数字)

分析：求油泵顶杆BC的长度也就是在△ABC内，求边长BC的问题，而根据已知条件，AC＝1．40ｍ，AB＝1．95

ｍ，∠BAC＝60°＋6°20′＝66°20′相当于已知△ABC的两边和它们的夹角，所以求解BC可根据余弦定理解：由余弦定理，得

1 解斜三角形

一、基本知识

1. 正弦定理

RCcBbAa2sinsinsin（R是△ABC外接圆半径）

2.余弦定理

Abccbacos2222

Baccabcos2222

Cabbaccos2222

bcacbA2cos222

acbcaB2cos222

abcbaC2cos222

3. CabSABCsin21

rcbaSABC)(21（r是△ABC内接圆半径）

4. 重要结论

（1） CBAsin)sin(

CBAcos)cos(

CBAtan)tan(

（2） 2cos2sinCBA

2sin2cosCBA

（3） CBAtantantanCBAtantantan••

5. 考题分类

题型一: 求解斜三角形中的基本元素

题型二：判断三角形的形状

题型三：解决与面积有关问题

题型四：三角形中求值问题 2 题型五：实际应用

二、例题解析

【例1】已知△ABC中，,sin)()sin(sin2222BbaCA外接圆半径为2，求角C。

分析： 由,sin)()sin(sin2222BbaCA得

RbbaRcRa2)()44(222222

由于，2R，代入并整理，得

abcba222

所以，2122cos222abababcbaC

所以，3C。

【例2】设ABC的内角..ABC所对的边分别为..abc，已知11.2.cos.4abC

（Ⅰ）求ABC的周长

（Ⅱ）求cosAC的值

本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力

解析：（Ⅰ）∵441441cos2222Cabbac

∴2c

∴ABC的周长为5221cba.

课 题：解斜三角形应用举例（2）

教学目的：

1进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用；

2熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化；

3通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力

教学重点：1实际问题向数学问题的转化；2解斜三角形的方法

教学难点：实际问题向数学问题转化思路的确定

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学方法：自学辅导法

在上一节学习的基础上，引导学生根据上节所总结的转化方法及解三角形的类型，自己尝试求解应用题在解题的关键环节，教师应给予及时的启发或点拨，以真正使学生解题能力得到锻炼

教学过程：

一、复习引入：

上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧这一节，继续给出几个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决

二、讲解范例：

例1如图，是曲柄连杆机的示意图当曲柄CB0绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在AO处设连杆AB长为340 ｍｍ，曲柄CB长为85 ｍｍ，曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)(精确到1 ｍｍ)

分析：如图所示，因为A0A＝AOC－AC，又知AOC＝AB＋BC＝340＋85＝425，所以只要求出AC的长，问题就解决了在△ABC中，已知两边和其中一边的对角，可由正弦定理求出AC

解：在△ABC中，由正弦定理可得

sinA＝.2462.034080sin85sinABCBC

因为BC＜AB，所以A为锐角，得A＝14°15′

∴B＝18O°－（A＋C）＝18O°－（14°15′＋8O°）＝85°45′

由正弦定理，可得 AC＝.3.3449848.05485sin340sinsinmmCBAB