解斜三角形应用举例3

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考点13 解斜三角形及应用举例1.（2010·湖北高考理科·Ｔ3）在△ABC 中，a =15，b=10, ∠A=60，则cos B =( ) （A）3-（B）3 （C（D）-【命题立意】本题主要考查解三角形时正、余弦定理的应用，以及三角形边角的性质.【思路点拨】先由正弦定理求出sinB ，再结合三角形“大边对大角”的性质判断角B 的范围，最后利用平方关系求出cosB.【规范解答】选C.由正弦定理知sin sin a b A B = 知sin sin b AB a=10215==32<，又a b >，故A B >，从而()0,60B ∈(0,)3π,6cos 3B =. 【方法技巧】利用“大边对大角”判断出∠B 是锐角是本题解题关键.2.（2010·上海高考理科·Ｔ１8）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115， 则此人能（ ）（A ）不能作出这样的三角形 （B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形 （D ）作出一个钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质及用余弦定理判定三角形形状的应用． 【思路点拨】先由高转化到边长，再由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负． 【规范解答】选D.设三角形的面积为S ，则S a =⨯13121，所以S a 26=，同理可得另两边长S b 22=，S c 10=，由余弦定理，所以A 为钝角．所以能作出一个钝角三角形.【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．3.（2010·上海高考文科·Ｔ１8）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （ ）（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【命题立意】本题主要考查三角形的有关性质、正弦定理及余弦定理判定三角形形状等有关知识． 【思路点拨】由余弦定理判定最大边所对的角的余弦值的正负．【规范解答】选 C .由正弦定理可得13:11:5::=c b a ，设t a 5=，则t b 11=，t c 13=，由余弦定理得110231152)13()11()5(2cos 222222-=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C ，所以C 为钝角． 【方法技巧】由三边长判定三角形是锐角、直角、还是钝角三角形时，一般只要由余弦定理求出最大边所对角的余弦值即可．若余弦值为负，则三角形为钝角三角形；若余弦值为0，则三角形为直角三角形；若余弦值为正，则三角形为锐角三角形．4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD . 【命题立意】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式及解三角形知识.【思路点拨】由已知可得cosB ，利用两角和的正弦公式可得sin ∠BAD 。

解斜三角形的几种类型作者：陈会来源：《中学课程辅导·教师教育（上、下）》2021年第18期摘要：本文总结了用正弦定理、余弦定理解斜三角形的几种情况。

阐述了解斜三角形的四种情形的解题方法，使学生能够根据条件选择合适的定理，从而快捷、高效地解决相关问题。

通过对问题的解决，提高学生分析问题、研究问题、解决问题的能力，培育学习兴趣，增强学习信心。

关键词：正弦定理;余弦定理; 斜三角形中图分类号：G634.6文献标识码：A文章编号：1992-7711（2021）18-059解斜三角形是初中数学中的一个重要知识点。

用正弦定理和余弦定理是解斜三角形的常用方法。

解题时如何根据条件，选择正确的公式是很多学生存在的问题。

教学过程中需要重点引导学生学会分析问题，能利用题目中给出的边和角，运用正弦定理和余弦定理求出其他的边和角。

在实际教学过程中，发现很多学生对公式需要的条件掌握不熟练，解题时选择合适的公式还存在一定的困难。

斜三角形问题求解在历年的考试中均有出现，此类问题是常规题、难度一般，在求解时入手快、上手容易、得分也较高。

仔细研究斜三角形问题就会发现当一个题目图形中三角个数不少于两个时，一般来说，其中必有一个是可以采正弦或余弦定理求解，而题目中所求元素多数都在另一个三角形中，此时我们可以把已具有三个元素的三个角叫作可解三角形。

本文主要对解三角形常见的情形进行分类，对每一类问题进行分析，帮助学生掌握最佳的解题方法，有效提高学生解斜三角形的整体水平。

下面介绍在本文中要用到的正弦定理和余弦定理斜三角形中有三个角和三个边六个量，知道其中的三个（三个角除外）可以求出剩下的三个量。

基本上解斜三角形可以总结为以下四种情形：已知两角一边求另一边、已知两边一角求另一角、已知两边一角求另一边和已知三边求三个角。

下面对这四种情形分别进行研究，并借助例题分析说明。

1.已知两角一边求另一边知道斜三角形的两个角和一个角的对边，求另一个角的对边，可以直接运用正弦定理求解。

初中数学三角形斜边公式总结三角形斜边公式又被称为勾股定理或毕达哥拉斯定理，它是数学中最著名的定理之一，也是初中数学中的重要内容。

勾股定理的数学表达式为：a²+b²=c²其中，a、b、c分别代表三角形的两条边和斜边的长度。

勾股定理是指：在直角三角形中，直角边（即与直角的两边）的平方和等于斜边（即斜边）的平方。

勾股定理适用于所有直角三角形，即当一个三角形有一个角为90度时，可以使用勾股定理求解未知边长和角度。

勾股定理具体的应用举例如下：1.已知两条边，求斜边长若已知直角三角形的两个直角边的长度，可以使用勾股定理求解斜边的长度。

例如，已知直角三角形的直角边分别为3和4，可以使用勾股定理求解斜边长：3²+4²=c²9+16=c²25=c²c=√25c=5所以，斜边的长度为52.已知斜边和一边，求另一边长如果已知直角三角形的斜边和一条直角边的长度，可以通过勾股定理求解未知直角边的长度。

例如，已知斜边长为5，直角边的长度为4，可以使用勾股定理求解另一条直角边的长度：4²+b²=5²16+b²=25b²=25-16b²=9b=√9b=3因此，另一条直角边的长度为33.已知两条边长，求夹角的度数若已知直角三角形的两条直角边长度，可以通过勾股定理求解夹角的度数。

例如，已知直角三角形的直角边长分别为6和8，可以使用勾股定理求解夹角A的度数：6²+8²=c²36+64=c²100=c²c=√100c=10由此可得，斜边的长度为10。

然后，可以使用三角函数sin、cos或tan来计算角度。

例如，求角A的sin值：sinA = 直角边/斜边sinA = 6/10sinA = 0.6可以通过计算sin⁻¹(0.6)来求解角A的度数。

第23讲 解三角形应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线！！！ 上方 ###的角叫仰角，在水平线！！！ 下方 ###的角叫俯角(如图①).2．方位角从指北方向！！！顺时针 ###转到目标方向线的水平角叫方位角，如B 点的方位角为α(如图②).3．方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)(1)北偏东α，即由指北方向！！！ 顺时针 ###旋转α到达目标方向. (2)北偏西α，即由指北方向！！！ 逆时针 ###旋转α到达目标方向. (3)南偏西等其他方向角类似.4．坡度(比)坡角：坡面与水平面所成的！！！ 二面角 ###的度数(如图④，角θ为坡角).坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡度(比)). 5．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型. (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位、近似计算的要求等.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”).(1)公式S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C 适用于任意三角形.( √ )(2)东北方向就是北偏东45°的方向.( √ ) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角.( × )(4)方位角大小的范围是［0,2π)，方向角大小的范围一般是⎣⎡⎭⎫0，π2.( √ ) 解析 (1)正确.三角形的面积公式对任意三角形都成立. (2)正确.数学中的东北方向就是北偏东45°或东偏北45°的方向. (3)错误.俯角是视线与水平线所构成的角.(4)正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可知为⎣⎡⎭⎫0，π2. 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( B )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°解析 如图所示，∠ACB ＝90°.又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°.3．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为( A ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D ．2522m解析 由正弦定理得 AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B＝50×2212＝502(m).4．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C .解析 如图所示，由题意知∠C ＝45°， 由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222×32＝ 6. 5．一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行！！！ 8 ###海里.解析 如图，由题意知在△ABC 中， ∠ACB ＝75°－60°＝15°，∠B ＝15°，∴AC ＝AB ＝8.在Rt △AOC 中，OC ＝AC ·sin 30°＝4. ∴这艘船每小时航行412＝8(海里).一 距离问题求解距离问题的一般步骤(1)选取适当基线，画出示意图，将实际问题转化为三角形问题. (2)明确要求的距离所在的三角形有哪几个已知元素. (3)确定使用正弦定理或余弦定理解三角形.【例1】 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的点C ，点D ，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则点A ，B ###km.解析 如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝3(km). 在△BCD 中，∠BCD ＝45°， ∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5(km)，即A ，B 之间的距离为 5 km.二 高度问题高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.【例2】 要测量电视塔AB 的高度，在点C 测得塔顶A 的仰角是45°，在点D 测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，则电视塔的高度为！！！ 40 ###m.解析 设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt △ADB 中，由∠ADB ＝30°，得BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.三 角度问题解决角度问题的注意点(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用. 【例3】 在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值.解析 如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ，∠ABC ＝120°. 根据余弦定理得(14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°， 解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝AC sin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.1．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ＝( B )A ．217B ．2114 C ．32114D ．2128解析 如题图所示，在△ABC 中，AB ＝40海里，AC ＝20海里，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，故BC ＝207(海里).由正弦定理，得sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217，由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，故cos ∠ACB ＝277.故cos θ＝cos (∠ACB ＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 第1题图第2题图2．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD ＝( B )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析 依题意可得AD ＝2010 m ，AC ＝30 5 m ，又CD ＝50 m ，所以在△ACD 中， 由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.3．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cos θ解析 由∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，可得∠BDA ＝30°，∠DBA ＝135°，∠BDC ＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB ＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得50sin 30°＝DB sin 15°，即DB ＝100sin 15°＝100×sin (45°－30°)＝252(3－1)，又25sin 45°＝252（3－1）sin （90°＋θ）， 即25sin 45°＝252（3－1）cos θ，得到cos θ＝3－1． 4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD解析 依题意有AB ＝600，∠CAB ＝30°，∠CBA ＝180°－75°＝105°，∠DBC ＝30°，DC ⊥CB .∴∠ACB ＝45°，在△ABC 中，由AB sin ∠ACB ＝CB sin ∠CAB，得600sin 45°＝CB sin 30°，有CB ＝3002，在Rt △BCD 中，CD ＝CB ·tan 30°＝1006，则此山的高度CD ＝100 6 m.易错点 不注意实际问题中变量的取值范围错因分析：三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题.求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义.【例1】 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度 的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则 S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos （90°－30°） ＝900t 2－600t ＋400 ＝900⎝⎛⎭⎫t －132＋300. 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30， 故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20. 故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.【跟踪训练1】 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45.从而sin B ＝sin ［π－(A ＋C )］＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由AB sin C ＝AC sin B ，得AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537(min)时，甲、乙距离最短.(3)由BC sin A ＝AC sin B ，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C . 设步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.课时达标 第23讲［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.一、选择题1．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( B )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为(C)A．1千米B．2sin 10°千米C．2cos 10°千米D．cos 20°千米解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(A)A．10 2 海里B．10 3 海里C．20 3 海里D．20 2 海里解析如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根据正弦定理得BCsin 30°＝ABsin 45°，解得BC＝102(海里)，故选A．4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔的高度是(D)A．100 2 m B．400 mC．200 3 m D．500 m解析由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝3h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).5．长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁，木棒的一端A在离堤足C1．4 m的地面上，另一端B在离堤足C处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为α，则坡度值tan α＝(A)A．2315B．516C．23116D．115解析由题意，可得在△ABC中，AB＝3.5 m，AC＝1．4 m，BC＝2.8 m，且∠α＋∠ACB＝π.由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2×AC×BC×cos∠ACB，即 3.52＝1．42＋2.82－2×1．4×2.8×cos(π－α)，解得cos α＝516，所以sin α＝23116，所以tan α＝sin αcos α＝2315.6．(2018·四川成都模拟)如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则该建筑物的高度为(A)A．(30＋303) m B．(30＋153) mC．(15＋303) m D．(15＋153) m解析设建筑物高度为h，则htan 30°－htan 45°＝60，即(3－1)h＝60，所以建筑物的高度为h＝(30＋303)m.二、填空题7．一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile，此船的航速是！！！32###n mile/h.解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝8 2 n mile ，∠BSA ＝45°，由正弦定理，得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32 n mile/h.8．某人在地上画了一个角∠BDA ＝60°，他从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为！！！ 16米 ###.解析 如图，设DN ＝x 米，则142＝102＋x 2－2×10×x cos 60°，∴x 2－10x －96＝0. ∴(x －16)(x ＋6)＝0.∴x ＝16. ∴N 与D 之间的距离为16米.9．如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°.从C 点测得∠MCA ＝60°，已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝！！！ 150 ###m.解析 在△ABC 中，AC ＝1002，在△MAC 中，MA sin 60°＝ACsin 45°，解得MA ＝1003，在△MNA 中，MN 1003＝sin 60°＝32，故MN ＝150，即山高MN 为150 m.三、解答题10．已知岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇，岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？⎝⎛⎭⎫参考数据：sin 38°＝5314，sin 22°＝3314解析 如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为每小时x 海里，则BC ＝0.5x ，AC ＝5海里，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°，所以BC 2＝49，BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得 sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BACBC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD ，故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.11．(2018·广东广州模拟)如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A ，C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD ＝90°，∠ADC ＝60°，∠ACB ＝15°，∠BCE ＝105°，∠CEB ＝45°，DC ＝CE ＝1(百米).(1)求△CDE 的面积； (2)求A ，B 之间的距离.解析 (1)连接DE ，在△CDE 中，∠DCE ＝360°－90°－15°－105°＝150°，S △ECD ＝12DC ·CE ·sin 150°＝12×sin 30°＝12×12＝14(平方百米).(2)依题意知，在Rt △ACD 中，AC ＝DC ·tan ∠ADC ＝1×tan 60°＝ 3. 在△BCE 中，∠CBE ＝180°－∠BCE －∠CEB ＝180°－105°－45°＝30°. 由正弦定理，得BC ＝CE sin ∠CBE·sin ∠CEB ＝1sin 30°×sin 45°＝ 2.因为cos 15°＝cos(60°－45°)＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝12×22＋32×22＝6＋24. 连接AB ，在△ABC 中，由余弦定理得， AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝ (3)2＋(2)2－23×2×6＋24＝2－3， 所以AB ＝2－3＝6－22(百米). 12．(2018·河北石家庄重点高中摸底)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值. 解析(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310 km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝⎛⎭⎫33102＋⎝⎛⎭⎫9102＝335(km).故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∴∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α·sin α＝ 9325⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＋14≤9325⎝⎛⎭⎫12＋14＝273100(km 2). ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.。

第五章平面向量课题：解斜三角形应用举例（一）教学目标：1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题；2.了解常用的测量相关术语教学重点：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解。

教学难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。

教学过程：Ⅰ.课题导入1、[复习旧知]复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、[设置情境]请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。

如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。

于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。

今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。

Ⅱ.讲授新课（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解](2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=︒75。

求A、B两点的51，∠ACB=︒距离(精确到0.1m)启发提问1：∆ABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？启发提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC 的对角，应用正弦定理算出AB边。