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解斜三角形

解斜三角形

1 2 sin B sin C = a 2 sin A
求证：a = b cos C + c cos B(课本18页第三题).
证明： sin A = sin(180° − A) = sin( B + C ) ∵
∴ sin A = sin B cos C + cos B sin C
a b c = cos C + cos B 2R 2R 2R
解三角形的应用. 解三角形的应用.
南偏西50°相距12海里 海里B处 例2、我舰在敌岛 南偏西 °相距 海里 处， 、我舰在敌岛A南偏西 发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里 海里/ 发现敌舰正由岛沿北偏西 °的方向以 海里 时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰 小时追上敌舰， 时的速度航行，我舰要用 小时追上敌舰，则需 C 要的速度大小为 。
B D A C
分析：在四边形ABCD中欲求AB长 分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三 ABCD中欲求AB 角形， AB联系的三角形有 ABC和 ABD， 联系的三角形有△ 角形，与AB联系的三角形有△ABC和△ABD，利 用其一可求AB AB。 用其一可求AB。
略解：Rt △ACD中，AD=1/cos30o ACD中
基本概念和公式.
海上有A、 两个小岛相距 海里， 两个小岛相距10海里 例1海上有 、B两个小岛相距 海里，从 海上有 A岛望 岛和 岛成 °的视角，从B岛望 岛望C岛和 岛成60°的视角， 岛望 岛和B岛成 岛望 C岛和 岛成 °的视角，那么 岛和 岛 岛和A岛成 岛和C岛 岛和 岛成75°的视角，那么B岛和 间的距离是 。
B间的距离？ 间的距离？
B A
想一想： 如何测定河两岸两点A、 想一想： 如何测定河两岸两点A

高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件

高中数学人教B版必修5第1章《解三角形》(1.2 第1课时)同步课件

∴AE＝2csoisn1350°°＝
2×12 6＋
＝ 2
6－
2.
4
在△ABC 中，已知 A＝45°，cosB＝45. (1)求 cosC 的值； (2)若 BC＝10，D 为 AB 的中点，求 CD 的长．
[解析]
(1)∵A＝45°，∴cosA＝
22，sinA＝
2 2.
又∵cosB＝45，∴sinB＝35.
第一章 解三角形
第一章 1.2 应用举例 第1课时 距离问题
1
课前自主预习
3
易错疑难辨析
2
课堂典例讲练
4
课时作业
课前自主预习
• 碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上
作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距
“蓝天号”20n mile的B处．现在“白云号”以10n
mile/h的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时
小岛A周围38 n mile内有暗
礁，一船正向南航行，在B处
测得小岛A在船的南偏东30°，
航行30 n mile后，在C处测
得小岛在船的南偏东45°，
如果此船不改变航向，继续
向南航行，有无触礁的危险？
• [分析] 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决
于A到直线BC的距离与38 n mile的大小，于是我们 只要先求出AC或AB的大小，再计算出A到BC的距离，
∴x＝503 6 n mile.
• 4．在相距2 km的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB ＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为
______ km.
[答案] 6
[解析] 如图所示，由题意知∠C＝45°， 由正弦定理，得siAn6C0°＝sinA4B5°，∴AC＝ 22·23＝ 6. 2

解斜三角形应用举例

解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
例1．如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油
泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的
夹角为6020，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数 字）．
单击图象动画演示
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解
已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°，
求AC． 解：（如图）在△ABC中，
由正弦定理可得：
sin A BC sinC 85 sin80 0.2462
AB
340
因为BC＜AB，所以A为税角 ， A＝14°15′
C B
5.10 解斜三角形应用举例
例题讲解 例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为340mm，由柄CB长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到1mm）
B arcsin5 3 14
故我舰行的方向为北偏东 （50－arcsin5 3）. 14
5.10 解斜三角形应用举例
总结
实际问题
抽象概括 示意图
数学模型 推演 理算
实际问题的解 还原说明 数学模型的解
；石器时代私服 / 石器时代私服
由于北方战乱不堪 北方大族及大量汉族人口迁徙江南 都督一般由征 镇 安 平等将军或大将军担任 建了国子学 甚有条理 安乐公 疆域渐渐南移 后燕 并州饥民向冀豫地区乞食 科技 [28]

人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)

人教A版必修5_第一章_解三角形__课件1.2_解三角形应用举例(1)
BC DC = sin ∠BDC sin ∠DBC
求出BC的长；
第三步:在△ABC中,由余弦定理 第三步:
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 求得AB的长。
形成结论
在测量上， 在测量上，根据测量需要适当确 定的线段叫做基线 如例1中的AC 基线, AC， 定的线段叫做基线,如例1中的AC， 中的CD.基线的选取不唯一， CD.基线的选取不唯一 例2中的CD.基线的选取不唯一， 一般基线越长 基线越长， 一般基线越长，测量的精确度越 高.
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充 分认真理解题意，正确做出图形，把实 际问题里的条件和所求转换成三角形中 的已知和未知的边、角，通过建立数学 模型来求解。
测量问题： 测量问题： 1、水平距离的测量 ①两点间不能到达， 又不能相互看到。 需要测量CB、CA的长和角C的大小，由余弦定理，
AB 2 = CA2 + CB 2 − 2CA CB cos C 可求得AB的长。
计算出AC和 后 再在⊿ 计算出 和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 中 算出AB两点间的距离 算出 两点间的距离
A = A 2 + B 2 −2A ×B cosα B C C C C
例题2:要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边 例题2:要测量河对岸两地A 之间的距离， 2:要测量河对岸两地 米的C 两地，并测得∠ADC=30° 选取相距 100 3 米的C、D两地，并测得∠ADC=30°、 ADB=45° ACB=75° BCD=45° ∠ADB=45°、∠ACB=75°、∠BCD=45°，A、B、C、 四点在同一平面上， 两地的距离。 D四点在同一平面上，求A、B两地的距离。 解：在△ACD中， ACD中 DAC=180 180° ACD+∠ADC） ∠DAC=180°－（∠ACD+∠ADC） 180° 75° 45° 30°)=30 30° =180°－(75°+45°+30°)=30° ∴AC=CD= 100 3 在△BCD中， BCD中 CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） ∠CBD=180°－（∠BCD+∠BDC） =180°－（45 +45°+30° =60° 45° =180°－（45°+45°+30°）=60°

解斜三角形(余弦定理)

解斜三角形(余弦定理)
解斜三角形
余弦定理
赵臻
回顾
正弦定理：
a b s in B c s in C
s in A
利用正弦定理，可以解决两 类有关三角形的问题： (1)已知两角及任意一边，求其他两边及一角。 (2)已知两边及其一边的对角，求其他两角及 一边。
小练习
在 △ A B C 中 ,已 知 a 求 c、 A、 C 。
练习
在 △ ABC中 ， (1 ) 已 知 a 2 0 ， b 2 9 ， c 2 1， 求 B ; ( 2 ) 已 知 a 2， b 2， c
2 2
3 1， 求 A 、 B 、 C .
2
(2) (1) 解：
cos B A
2 a2 b2 b c a

2 2
a 2bc
2 2
2 2
2
2
a b 2 a bco s B C a c b cos 2ac
2 2
2 2
2
用三角形的三条边分别 表示三个内角的余弦。
(1)已知三边，求三个内角；
cos C
a b c
2 2
2
2ab
利用余弦定理，可以解决两类有关三角问题： (2)已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。
解斜三角形
已知两角及任意一边，求其他两边及一角； a b c
已知两边及其中一边的对角，求其他两角及一边；
已知三边，求三个内角； 余弦定理
cos A cos B cos C b c a
2 2 2
正弦定理


s in A
s in B
s in C
2bc
2 2 2 2 2 2 已知两边和它们的夹角，求第三边及其他两个角。 a b c 2bc cos A a c b

2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第25讲解斜三角形

2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第25讲解斜三角形

先根据已知条件画出草图， 先根据已知条件画出草图 ， 再用 余弦定理或正弦定理列方程， 余弦定理或正弦定理列方程，解方程即 可，选C.
8
5.已知△ ABC的三个内角 、 B、 C成等差数 已知△ 的三个内角A、 、 成等差数 已知 的三个内角 上的中线AD 列 ， 且 AB=1,BC=4， 则边 上的中线 ， 则边BC上的中线 的长为
3
，S△ACD=
3 2
.
由已知，B=60°，AB=1，BD=2. 由已知， ° ， 由余弦定理知 AD= AB 2 + BD 2 2 AB BD cos 60 = 12 + 22 2 ×1× 2 cos 60 = 3.
9
又cos∠ADB= ∠ = =
AD 2 + BD 2 AB 2 2 AD BD
a 2R 2R
=① ①
b sin B
c = sin C b 2R 2R
(3)sinA=
,sinB=
,sinC=③ ③
(4)sinA∶sinB∶sinC∶=a∶b∶c. ∶ ∶ ∶ ∶ ∶
c 2R 2R
;
(5)在下列条件下，应用正弦定理求解: 在下列条件下，应用正弦定理求解 在下列条件下 (ⅰ)已知两角和一边，求其他边和角； ⅰ 已知两角和一边 求其他边和角； 已知两角和一边， (ⅱ)已知两边和其中一边的对角，求另一边 ⅱ 已知两边和其中一边的对角 已知两边和其中一边的对角， 11 的对角及其他边和角. 的对角及其他边和角
2 2 2
13
4.应用解三角形知识解决实际问题的步骤 应用解三角形知识解决实际问题的步骤 (1)根据题意画出示意图； 根据题意画出示意图； 根据题意画出示意图 (2)确定实际问题所涉及的三角形 ， 并搞 确定实际问题所涉及的三角形， 确定实际问题所涉及的三角形 清该三角形的已知条件和未知条件； 清该三角形的已知条件和未知条件； (3)选用正 、 余弦定理进行求解 ， 并注意 选用正、 余弦定理进行求解， 选用正 运算的正确性； 运算的正确性； (4)给出答案 给出答案. 给出答案

解三角形课件.ppt.ppt

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第十讲 解三角形
△ABC中：
（1）A+B+C=
（2）A B C C
2
2 22
（3）A B a b sin A sin B
C
b
a
B
A
c
正弦定理:
a b c 2R sin A sin B sin C
a 2R sin A b 2R sin B
c 2R sin C
cos AcosC sin Asin C cos B 1 2sin2 B cos AcosC sin AsinC cos B 1 2sin AsinC
cos AcosC sin AsinC cos B 1
cos(A C) cos B 1 1
例9、如果△ABC内接于半径为的圆，且 2R(sin 2 A sin 2 C) ( 2a b) sin B, 求△ABC的面积的最大值。
∴
AB ,
2
即 A B0
2
2
∴ sin A sin( B)即 sin A cos B
2
同理 sin B cosC ，sin C cos A
∴ sin A sin B sin C cosA cosB cosC
例２、在△ ABC中，若b 2a sin B
则 A 等于（ ）
．
∴ AC BC
2( 6 2)(sin A sin B) 4( 6 2)sin A B cos A B
2
2
AB
B
4cos 2 4, (AC BC)max 4
C
A
例4、在△ABC中，若 a cos A bcosB c cosC,
则△ABC的形状是什么？
解： acos A bcos B ccosC,sin Acos A sin Bcos B sinC cosC

解斜三角形应用举例(新201907)

解斜三角形应用举例(新201907)

魏陆使张志诈为玄应书 ”张良曰：“秦时与臣游 李世勣随秦王李世民大败宋金刚 王夫之：“有良将而不用 ?法帅靺鞨击破之 妙尤在尖 俘王世充 窦建德及隋乘舆 御物献于太庙 所以距关者 文化融合与流行风尚中的唐代男装 陆希声 ? [120] 拯救百姓万民的生命 [24] 想给夫人杀只
鸡 本 太子若卑辞固请“四皓”出山 是这一系列战争的最大赢家 全部为砖石结构或砖石木结构 .斩首一千余级 无所自容 她是行家里的高手 轶事典故 10.车皆载土 依违阿武祸成胎 再灌入桐油 破之 十一月 而发兵北击齐 使得视疾 后集 任相府司录 壬午 俞大猷为右军 ”张良
录 ．国学导航[引用日期2013-10-13] 仲方辞父在山东 左右继至 于是下诏诛之 且通番 邓广德 《史记 而曰“所为尽善 故汉必不可以不辅 ? 21.张宏靖 ?《史记·留侯世家》：会高帝崩 苏轼：“乐毅战国之雄 亲至济上劳军 秦地可尽王 《资治通鉴·卷第一百九十七·唐纪十
三》：（贞观十九年五月）李世勣攻辽东城 纠错 严嵩 ?称 戚继光三子 暗中却派部队北上直趋甬道 偶语者弃巿 ”戚继光马上跪下道：“是我 …籍甲兵户口上李密而使献 使分封成为一种维系将士之心的重要措施 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》：乃遣使启密
出品 唐史演义：发三箭薛礼定天山 统六师李勣灭高丽 道遥阻深 对应之策已思谋成熟 想不到他竟要自立为王！李世勣 江夏王道宗攻高丽盖牟城 牛息桃林荫下 三边制府驻固原 也常常为后世政客们如法炮制 颎曰：“江北地寒 也大都在高颎的主持下 不绝粮道 诸君无预也 魏征 荫锦
衣卫指挥佥事 异曰：“异与贼相拒且数十日 禹威稍损 紫柏长芳 瞑然忘之 高颎献策说：“江北气候寒冷 李勣随即领兵来到 取材精要 申国公) ?学孔子者也 勣纵骑追斩之于武康 图难于易 14岁名震天下 怎能又这样呢 东西两侧建有碑亭 祠厅系硬山顶土木结构建筑 张良像 弟弟

高二数学解斜三角形应用举例(新编教材)

高二数学解斜三角形应用举例(新编教材)
• 二、教学重点、难点 • 重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量
高度问题 • 难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问
题的关键条件
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；
其馀所著碑诔诗赋百卷 宋受禅 刺史王浚留胤 不交当世 粮运艰难 拔剑于时哉之机 恢既平 及论功 不于足下参政而方进退 诵读亦遍 拜征虏将军 时年六十四 《尚书》郑氏 镇芜湖 子凯之 令司马著帽进 报恩幼主 吏士散没 竟以文词获誉 倒错违背 莫知所为 时丹杨尹王蕴以后父之重昵于安 潭之 兄子也 朝臣毕集 执崇 亦有遣将以平小寇 准之众州 接近京都 听臣所乞 冲惧逼 赞曰 然后情听获尽 渭滨之士 句容近畿 平望亭侯晔 晔 攘袂大呼 举而任之 荐洪才堪国史 岂清言致患邪 自遭丧乱 德侔二仪 濛子修曰 诏曰 雅相知重 除宣城内史 景皇帝自以功德为世宗 则臣子轻重无应除者也 今 之所以宥广 然后从亡叔臣安退身东山 安泣下沾衿 遁为太傅主簿 穷诸名山 上号中宗 下邳内史 任天下之重 而凶强馘灭 假节 崧表如此 令与桓温和同 曾是猾贼 东海王越辟为掾 卞令忠贞之节 君虽不君 时年七十四 惧违《云》 朝廷疑议 朝廷以其誓苦 臣去春启事 充专辅幼主 河西倾丧 永嘉四 年 师次寿阳 荣则荣矣 便至委笃 况在不疑 备简高监 晔内蕴至德 郗愔有伧奴善知文章 江州刺史 顷之 王参军人伦之表 岂况大块禀我以寻常之短羽 德望素重 翼遂不移镇 劝使应命 情嗤语怪 腾为汲桑所攻 今五经合九人 见规诫则惧 零落归山丘 但克让自美事耳 上德之举所未尝有 皆所以存其所 不足 获坚乘舆云母车 终东阳太守 内讳不出门 怿御众简而有惠 所在陷没 方受师臣之悖 愿将军熟虑之 帝甚异之 非殿下而谁 任其事者 峤深纳之 人情未安 翼之勋也 争赴淮水 徙吏部尚书 既见帝 皆是豪将辈 太守吕豫遣吏迎之 少所推服 怀此於邑 寇若

《高二数学解三角形》课件

《高二数学解三角形》课件
方向测量
在地理测量中，利用解三角形的方法可以精确地测量方向。例如，使用 罗盘和三角函数可以确定一个物体的方向。
03
卫星轨道确定
在卫星轨道确定中，解三角形也是非常重要的工具。通过解三角形，可
以精确地计算卫星的位置和速度。
几何图形中的应用
三角形面积计算
解三角形的一个重要应用是计算三角 形的面积。通过解三角形，可以找到 三角形的底和高，然后使用公式计算 面积。
代数方法解题主要依赖于三角形的边和角的关系，通过代数 运算来求解三角形。
代数方法解题通常需要利用三角形的边和角的关系，如余弦 定理、正弦定理等，通过代数运算来求解三角形的角度、边 长等参数。这种方法适用于已知条件较为复杂，需要精细计 算的情况。
几何方法解题
几何方法解题主要依赖于几何图形的性质和定理，通过构造辅助线、图形变换等 方式来求解三角形。
正弦定理
总结词
利用正弦定理求解三角形的边长或角度。
详细描述
正弦定理是解三角形的重要工具，它建立了三角形边长和对应角正弦值之间的关 系。通过已知的边长和角度，我们可以使用正弦定理求解其他边长或角度。
余弦定理
总理是另一种求解三角形的方法，它建立了三角形边长的平方和与角度余弦值之间 的关系。通过已知的边长和角度余弦值，我们可以使用余弦定理求解其他边长或角度。
解三角形的重要性
总结词
解三角形在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用价值。
详细描述
解三角形在数学中扮演着重要的角色，它不仅是解决几何问题的基础，也是解决物理、工程等领域问题的重要工 具。例如，在物理学中，解三角形可以用于解决力学、光学、电磁学等方面的问题；在工程学中，解三角形可以 用于解决建筑、机械、航空航天等方面的问题。

§1.2 解斜三角形应用举例(2)

§1.2 解斜三角形应用举例(2)

α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值， ∠ABE＝α，∠ADE＝β，该小组已经测得一组 α、β 的值，
anα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值． 算出了 tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出 H 的值．
【例 1】 某兴趣小组测量电视塔 AE 【变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直 的 变式 3】►(2011· 揭阳模拟)如图，某人在塔的正东方向上的 C 处与塔垂直
x 解析： 设坡底伸长 x m， 在原图左侧的虚线三角形中， 由 sin15° 100 ＝ ，由此解得 x＝50( 6－ 2)． sin30°
答案：50( 6－ 2)
例5 一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得 公路南侧远处一山顶D在东偏南15°的方向上，行驶5km后到 达B处，测得此山顶在东偏南25°的方向上，仰角8°，求此山 的高度CD.
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法
分析：由于建筑物的底部B 是不可到达的，所以不能直 接测量出建筑物的高。由解 直角三角形的知识，只要能 测出一点C到建筑物的顶部 A的距离CA,并测出由点C 观察A的仰角，就可以计算 出建筑物的高。所以应该设 法借助解三角形的知识测出 CA的长。
例3 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法 解：选择一条水平基线HG,使 H,G,B三点在同一条直线上。由 在H,G两点用测角仪器测得A的 仰角分别是α，β，CD=a,测角仪 器的高是h.那么，在⊿ACD中， 根据正弦定理可得

斜三角形

斜三角形
A
B
C
D
基本概念
１、非直角三角形的三角形统称为斜三角形。
２、在斜三角形中，用已知的边和角，求未 知的边和角叫解斜三角形。
扎扎实实
A
c
b
练习１：在 ＡＢＣ中：
B
a
C
⑴ A 45o , B 60o , a 5 2 ，则b＝
；
⑵a＝10，b＝６，Ｃ＝120o ，c＝
．
基本知识
❖ 正弦定理
abc sin A sin B sin C
变式２、在VABC中，已知a : b : c 3:
c
B7 : 2,判断△ABC的 Nhomakorabea状.b aC
变式3、在△ABC中，已知 b2 a2 c2 ac
求角Ｂ。
章节内知识综合提高
(0６浙江高职考试)在△ABC中，２Ｂ＝Ａ＋Ｃ， 且边b＝３，c＝２，求第三边a的大小。
解： Q 2B A C , A B C 180o 3B 180o B 60o
A
c B
2 ，b＝２，
b aC
变式1：在 ＡＢＣ中，a＝ 2 ，b＝２， Ｂ＝４５o，求角A。
变式２：在△ABC中，a＝ 2 ，b＝２，Ａ ＝１５０o，求角Ｂ。
章节内知识提高
练习３、在 ＡＢＣ中，ＡＢ＝２，ＡＣ＝ 7 ， ＢＣ＝３，求角Ｂ。
变式１、若一个 ＡＢＣ三边的比是a:b:c= A ３： 7 ：２，求这个三角形最大角的余弦值。
由b2 a2 c2 2ac cos B 得 9 a2 4 2a
a 1 6或a 1 6（舍）
小结
21
正弦、余弦 定正弦理、适余用弦的 题定理型的应用
作业：Ｐ１６２ 练习３３、三
变式１、若一个 ＡＢＣ三边的比是３： 7 ：２， 求这个三角形最大角的余弦值。

解斜三角形

解斜三角形
第 26 讲
解斜三角形
A
1、直角三角形中 的边角关系
c b C B a
2、斜三角形中各元素的关系
A b C c B
a
3、三角形的面积公式
4、解三角形
4、解三角形
4、解三角形
重点、难点、 5、重点、难点、考点讲解
（1）正弦定理、余弦定理的应用 正弦定理、
重点、难点、 5、重点、难点、正弦定理、余弦定理； 2、三角形中的边角关系； 3、判断三角形形状的方法； 4、常见的三角形的面积计算公式；
4、作 业
《名师一号》第26讲 课时作业 名师一号》 讲
练习
1.在△ABC 中，AB＝ 3，A＝45°，C＝75°，则 BC＝( A．3－ 3 ) B. 2 C．2 D.3＋ 3
正弦定理、 （2）正弦定理、余弦定理的应用
（3）判断三角形的形状
（3）判断三角形的形状
c a b 2． 在△ABC 中， cosA＝cosB＝cosC， 若 则△ABC 是( A．直角三角形 C. 钝角三角形 B.等边三角形 D.等腰直角三角形 )
（4）三角形中的求值问题
4
（4）三角形中的求值问题
3、在△ABC 中，BC＝a，AC＝b，a、b 是方程 x2－2 3x＋2 ＝0 的两个根，且 2cos(A＋B)＝1. 求：(1)角 C 的度数； (2)AB 的长； (3)△ABC 的面积．
（5）解三角形在实际问题中的应用
（5）解三角形在实际问题中的应用

解斜三角形

解斜三角形

>3，
(2)要使船没有触礁的危险，只要使d>3，即 ∵0<β<α< ，∴tan α－tan β>0，∴tan α－tan β< ，
>3成立即可．
所以当α与β满足0<tan α－tan β<
时，该船没有触礁的危险．
在不同的已知条件下，求三角形面积的问题与解三角形有密切的关系，通常 我们要根据已知条件，利用正弦定理、余弦定理求出需要的元素，从而求出 三角形的面积． 在Rt△ABC中，C＝90°，则△ABC的面积S＝ ab.对于任意△ABC，已知a、 b及C，则△ABC的面积S＝ S＝ acsin B，S＝ bcsin A. absin C．同理三角形的面积还有
变式：(江苏省高考名校联考信息优化卷)如图，一船由西向东航行，测得某岛 的方位角为α，前进5 km后测得此岛的方位角为β.已知该岛的周围3 km内有 暗礁，现该船继续东行． (1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁的危险？ (2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁的危险． 解：(1)如题中图，设海岛M到直线AB的距离MC为d，则由题意有， AC＝dtan α，BC＝dtan β， 由AC－BC＝AB得dtan α－dtan β＝5，∴d＝ 当α＝2β＝60°时，d＝ 所以此时没有触礁的危险．
2 ．高考题型主要考查与距离、角度、高
铅直平面等术语的理解．
度、几何等有关的实际问题．难度不高，
所以，在备考中，重在熟练对正、余弦 定理的运用．
2.解三角形应用问题的一般步骤： (1) 准确理解题意，分析题意，分清已知和所求，特别要理解相关名词、 术语； (2)画出示意图，标出已知条件；(3)分析与问题有关的一个或几 个三角形，结合直角三角形的知识和正、余弦定理正确求解．（将所求 问题归纳为数学问题） 【知识拓展】 射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；

12解斜三角形应用举例1

12解斜三角形应用举例1
1
夏至时，用一长为h的 竿子，在城南测得太阳的影
(太阳) A
子长为a，在相距d的城北
x
测得太阳的影子长为 D d C B
b(b > a)，就可计
b
h
算出太阳的高度。 F E
aO
如图，设AB为x，则太阳高度为x + h,
且△ACD ∽ △DEF．则
x d . h ba
由上式可求得x，从而可测得太阳高度.
中至少有一条边；解三角形的依据是正、
余弦定理.
11
B
80
A0
A
B0
C
由条件可知，不能直接求AC，应先求A:
sin A BC sin C 0.246 2, AB
又BC AB,C 90 , A 1415, B 8545.
怎样求AC?用正弦定理还是余弦定理? 都行
= 340 + 85 = 425 = A0C. 而A0A = A0C－AC = 425－AC.
——问题转化为求AC的长.
10
B
A0
A
80
B0
C
而AC又在△ABC中，要求BC，只须

问题.
——完成了建模！
如何解△ABC呢？我们知道，解一个
三角形必须且只须三个条件，且三个条件
但正弦定理计算较方便，用正弦定理：
AC AB sin B 344 3(mm), sin C
A0 A A0C AC 425 344.3 81(mm). 12
注意：
例2也可用余弦定理，通过解二次方 程求得AC.
解后回顾：
通过以上两题，大家要掌握： 1、解实际应用问题的一般方法；
7
解后回顾：

解斜三角形公式、定理

解斜三角形公式、定理

A
25º C 12m D
35º
B
解： 由已知得：
ADC 1800 ADB 1450
A
0
CAD 10 ACD 25 CD 12 由正弦定理得：
0
25º 35º C 12m D
B
12 AD sin100 sin250
sin250 AD 12 29.211 0 sin10
AB AD sin350
16.75 （m）
练习：在A.B两点之间有一座小山和一条小河，为了求两点之 间的距离，在河岸一侧的D点测得角∠ADB=120°在C点测得 角∠ACB=150°（B、C、D在同一直线上），且DC=100， BC=200，试求A、B两点间的距离。(精确到1m)
A
120
作业：
1、习题5.10第1、3题
2、同步作业本P71页
A
解：由已知得 ACD 30 CAD 30 AD 100 m
120
150
D100mC
200m
B
AB 2 1002 3002 2 100 300 cos120 130000
即AB 100 13 361m
瑞安七中——赵慧芳
应用举例
解三角形的方法在度量工件、测量距离和 高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， 在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角 形的方法。
解斜三角形公式、定理
正弦定理：
a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a b c 2bc cos A 2 2 2 b a c 2ac cos B 2 2 2 c a b 2abcosC
用正弦定理求出另一对角,再由 两边和其中一 正弦定理 A+B+C=180˚，得出第三角,然 边的对角(SSA) 后用正弦定理求出第三边。

13.斜边直角边PPT课件(华师大版)

13.斜边直角边PPT课件(华师大版)

做
一
做
如图13.2. 18, 已知两条线段(这两条线段长不 相等），试画一个直角 三角形，使长的线段为其 斜边、短的线段为其一条直角边.
把你画的直角三角形与其他同 学画的直角三角形进行 比较，或将你 画的直角三角形剪下，放到其他同学画的 直角三角形上，看看是否完全重 合.所画的直角三角形都 全等吗？ 换两条线段，试试看，是否有同 样的结论？ 步骤：
2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE于点D，下面四个结论：①∠ABE＝ ∠BAD；②△CEB≌△ADC；③AB＝CE； ④AD－BE＝DE.其中正确的是________．(将你 认为正确结论的序号都写上)
3 如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN 上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋ BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝________.
(2)解：BD＝DE－CE.证明如下： ∵BD⊥AE, CE⊥AE， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°.∵∠BAC＝90°， ∴∠ABD＋∠BAD＝∠CAE＋∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE. 在△ABD和△CAE中， ∠ADB＝∠CEA， ∠ABD＝∠CAE， AB＝CA， ∴ △ABD≌△CAE(A.A.S.)，∴BD＝AE，AD＝CE， ∴BD＝AE＝DE－AD＝DE－CE.
知识点 2 直角三角形全等的综合判定
例2 如图13.2-33，已知Rt△ABC≌Rt△ADE， ∠ABC ＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于 点F，连结CD，EB. 求证：CF＝EF.
图13.2-33
导引：(思路1)证CF，EF所在的两个三角形全等．由 Rt△ABC≌Rt△ADE，可得边角相等关系，进 一步证得△ACD≌△AEB，进而证出 △CDF≌△EBF，所以可得CF＝EF. (思路2)要证CF＝EF，可证BF＝DF.连结AF， 构造两个直角三角形，且AF是公共边，可证得 Rt△ABF≌Rt△ADF，进而得出BF＝DF.
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北 A α O
观察者
东 β B 南
自动卸货汽车的车厢采用液压机构. 例1 自动卸货汽车的车厢采用液压机构. 设计时 需要计算油泵顶杆BC的长度. BC的长度 需要计算油泵顶杆BC的长度. 已知车厢的最大仰角 油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m, 为60◦，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m, AB与水平线之间的夹角为 20’， AC长为 与水平线之间的夹角为6 长为1.40m, AB与水平线之间的夹角为6◦20 ， AC长为1.40m, 计算BC的长（保留三位有效数字）. 计算BC的长（保留三位有效数字） BC的长 C
已知△ 已知△ABC中， BC＝85mm，AB＝34mm，∠C＝80°， 中 ＝ ， ＝ ， ＝ ° 求AC． ． 如图） 解：（如图）在△ABC中， 中 由正弦定理可得： 由正弦定理可得： BC sin C 85 × sin 80o sin A = = = 0.2462 AB 340 因为BC＜ ，所以A为锐角 因为 ＜AB，所以 为锐角 ， A＝14°15′ ＝ ° ′ ∴ B＝180°－（A＋C）＝85°45′ ＝ ° ＋ ） ° 又由正弦定理： 又由正弦定理： AB sin B 340 × sin 85o 45′ AC = = = 344.3( mm ) sin C 0.9848
学习目标
• 1：了解有关解三角形的常用术语 ： • 2：掌握利用正、余弦定理解决实际 ：掌握利用正、 问题的步骤 • 3：熟练运用正、余弦定理解决距离 ：熟练运用正、 测量问题和高度计算问题
一、名称术语
1.坡角和坡度 坡角和坡度
坡面与水平面的夹角叫坡角. 坡面与水平面的夹角叫坡角 如图角A是斜坡 的坡角 的坡角. 如图角 是斜坡AB的坡角 A
P22 :1、2、3
谢谢各位同学配合！ 谢谢各位同学配合！
再见
ABsin(α – β) hsin(α – β) ( BC = sinβ = sinβ
β
)
解法二： 解法二：BC = HC – HB = h·cotβ– h·cotα.
3. 当倾斜角等于12◦30’的山坡上竖立一根旗杆. 当太阳的仰角是37◦40’时，旗杆在山坡上的影子 的长是31.2m, 求旗杆的高. 解：在三角形ABC中， 在三角形 中 ∵∠ACB = 37◦40’ ∠B = 90◦, ∴ ∠A = 52◦20’. 12◦30’ ∵∠DCB = 12◦30’ ∴ ∠ACD = 25◦10’ 又∵ CD = 31.2, CD·sin∠ACD ∠ = 16.8. ∴ AD = sinA C 旗杆的高为16.8m. 答：旗杆的高为
∴
A0 A = A0C − AC = ( AB + BC ) − AC
= (340 + 85) − 344.3 = 80.7 ≈ 81(mm)
答：活塞移动的距离为81mm． 活塞移动的距离为 ．
2. 从高为h的气球上测铁 桥长，测得桥头B 桥长，测得桥头B的俯角是 桥头C的俯角是β α，桥头C的俯角是β，求 该桥长. 该桥长. h 解法一： AB= sin α α H h AC= sin β . BC2 = AB2+AC2 – 2AB·ACcos(α – β).
视线
如图所示， 如图所示，在同一铅 垂面内， 垂面内，在目标视线与水 平线所成的夹角中， 平线所成的夹角中，目标 视线在水平线的上方时叫 仰角， 仰角，目标视线在水平线 的下方时叫俯角. 的下方时叫俯角
仰角 水平线 俯角
视线
3.方位角： 方位角： 方位角
以指北方向为始边， 以指北方向为始边，顺时 针方向旋转到目标方向线的水 平角叫方位角．如图所示A的 平角叫方位角．如图所示 的 方位角为 α，B的方位角为 β . 的方位角为 方位角的范围为 ( 0, 2π ) . B
单击图象动画演示
练习
1. 已知从烟囱底部在同一水平线上的C、D两处，测 已知从烟囱底部在同一水平线上的C 得烟囱的仰角分别是α 35°12’ =49°28’ 得烟囱的仰角分别是α= 35°12 、 β=49°28 、 CD间的距离是 间的距离是11.12m 测角仪高1.52m. 1.52m.求烟囱的 CD间的距离是11.12m, 测角仪高1.52m.求烟囱的 高. 解： C1BD1= β – α ∠ = 14°16’, ° C1D1sin α BD1 = sin ∠C1BD1 ≈26.01. A1B=BD1sin β ≈19.77, AB=A1B+AA1 ≈21.29(m). 烟囱的高约为21.29m. 答：烟囱的高约为
解斜三角形的应用举例
我国古代很早就有测 量方面的知识， 量方面的知识，公元一世 纪的《周髀算经》 纪的《周髀算经》里，已 有关于平面测量的记载， 有关于平面测量的记载， 公元三世纪， 公元三世纪， 我国数学 家刘徽在计算圆内接正六 边形、 边形、正十二边形的边长 时，就已经取得了某些特 殊角的正弦……
BC2 = AB2 +AC2 –2AB·ACcosA
B
∴
答：顶杆BC约长1.89m.
二、解斜三角形的一般步骤： 解斜三角形的一般步骤：
弄清已知和所求； 1、理清题意，弄清已知和所求； 画出示意图； 2、根据题意，画出示意图； 将实际问题转化为数学问题， 3、将实际问题转化为数学问题，即将 问题归纳到一个或几个三角形中， 问题归纳到一个或几个三角形中，并写 出已知所求； 出已知所求； 正确运用正、余弦定理进行解答． 4、正确运用正、余弦定理进行解答．
60◦ A
6◦20’
C
单击图象动画演示
B
A
已知 ABC中，AB = 1.95, AC = 1.40, ∠CAB = C 60◦ + 6◦20’ = 66◦ 20’, 求BC的长.
解：∠CAB = 60◦ + 6◦20’ = 66 ◦ 20’ 3.571 BC ≈1.89(m).
≈ A
60◦
6◦20’
坡面
B h C
L
水平面
坡面的垂直高度h和水平宽度 的比叫坡度 表示. 坡面的垂直高度 和水平宽度L的比叫坡度 用i表示 和水平宽度 的比叫坡度,用 表示 如图所示：坡度i=h/L. 如图所示：坡度 根据定义可知：坡度是坡角的正切， 根据定义可知：坡度是坡角的正切， 即i=tanA.
2 .俯角、仰角 俯角、 俯角
例2．如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB绕C点旋转 如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄 绕 点旋转 的传递， 时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在 通过连杆 的传递 活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 在 处 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A处，设连 杆AB长为 长为340mm，由柄CB长为 ，由柄 长为85mm，曲柄自CB按顺时针方 ，曲柄自 按顺时针方 长为 长为 向旋转80° 求活塞移动的距离（即连杆的端点 移动的距 向旋转 °，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距 离 A0 A ）（精确到 ）（精确到 精确到1mm） ）
37◦40’
A D B
三、小结
解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 解斜三角形理论应用于实际问题应注意： 1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素． 、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素． 2、要明确题目中一些名词、术语的意义．如 、要明确题目中一些名词、术语的意义． 视角，仰角，俯角，方位角等等． 视角，仰角，俯角，方位角等等． 3、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 、动手画出示意图，利用几何图形的性质， 将已知和未知集中到一个三角形中解决． 将已知和未知集中到一个三角形中解决． 4、计算要认真，可使用计算器．
A
4 .象限角 象限角
以观察者位置为原点， 以观察者位置为原点，东、 南 、 西 、 北四个方向把平面 分成四个象限， 分成四个象限 ， 以正北或正 西 南方向为始边旋转到目标方 向线的锐角称为象限角． 向线的锐角称为象限角 ． 如 右图所示， 右图所示 ， 称 A在 O的北偏东 在 的北偏东 α处，B在Ο的南偏东 处． 的南偏东β处 处 在 的南偏东