下载文档原格式
第二十七章 相似27.2.1 相似三角形的判定第3课时一、 教学目标1.回顾已学的三角形相似的判定方法，继续探索其他判定两个三角形相似的方法，发展探究，交流能力。
2 .掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊判定方法。
3 .能够运用三角形相似的条件解决简单的问题。
二、教学重难点重点：掌握“两角分别相等的两个三角形相似”和直角三角形相似的特殊方法。
难点：运用三角形相似的判定方法解决简单的问题。
三、教学过程 【新课导入】问题引入，类比猜想：1. 三角形全等的判定方法有哪些?2. 直角三角形全等的判定方法有哪些?3. 学过的三角形相似的判定方法有哪些?4. 类比一般三角形和直角三角形全等的判定方法,猜测一般三角形和直角三角形相似的判定方法还有哪些?【新知探究】（一）探究新知，得出结论探究1：如图①，△ABC 和△A 1B 1C 1中，∠A=∠A 1，∠B=∠B 1，则这两个三角形相似吗？请证明你的猜想。
猜想：△ABC ∽△A 1B 1C 1ABC A 1B 1C 1①AB C A 1B 1C 1②ED证明：111111111111111111111C B A ABC DE A ABC D A AB A A DE A B B B B DE A C B A DE A E C A C B DE D AB D A B A ∽△△≌△△，∵∵，∽△△于点，交∥作过点，取（或它的延长线）上截如图②，在线段∴∴=∠=∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴=结论：两角分别相等的两个三角形全等。
探究2：如图③，RT △ABC 与RT △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90°,1111C A ACB A AB =，那么RT △ABC 与RT △A 1B 1C 1相似吗？请证明你的结论。
证明：11111111111111111111111111111111C B A ABC ABC DE A ACE A C A ACC A E A ABD A C A ACB A ABC A EA B A D A C B A DE A E C A C B DE D AB D A B A △∽△△≌△，∵∽△△于点，交∥作过点，取（或它的延长线）上截如图③，在线段RT RT RT RT ∴∴=∴=∴===∴∴=思考：还有没有其他的证明方法？ （方法二）:E DABC B 1C 1③A 1111111111111111211211112211211211112211111111C B A RT ABC RT C A AC B A AB C B BC kC B C kB C B C kA -B kA C B AC -AB C B BC C A -B A C B ,AC -AB BC :C kA AC ,B kA AB k,C A ACB A AB △∽△）（）（由勾股定理可得则设∴==∴====∴====== 结论：两个直角三角形，若它们的直角边与斜边对应成比例，则这两个直角三角形相似。
27.2.1三组对应边的比相等的两三角形相似班级： 姓名： 学号：一、引入1．任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？如图，在△ABC 与△111A B C 中，111111AB BC AC A B B C AC == 求证:∆ABC ∽∆A 1B 1C 1分析点拨：作A 1D=AB ，过D 作DE ∥B 1C 1，交A 1C 1于点E 可证出∆A 1DE ∽∆A 1B 1C 1。
再由边边边可证出∆A 1DE ≌∆ABC 所以∆ABC ∽∆A 1B 1C 1证明：归纳：定理：如果两个三角形的三组对应边的比 ，那么这两个三角形相似。
应用格式：(填空) 如图，∵11AB A B =()AC =()() ∴ ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1例题1.已知，AB=4cm ,BC=6cm ,AC=8cm , ''A B =12cm , ''B C =18cm ,''AC =21cm,∆ABC 与∆'''A B C 相似吗？说明理由。
CBC 1B练习：．已知∆ABC 中AB=4 ,BC=5 ,AC=6 ,如果DE=8 ,那么当EF=_____， FD=_____，时，∆ABC ∽∆DEF.例题2、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.(1)⊿ACF 与⊿ACG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.练习1．在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．2．图中两个三角形相似吗？说明理由。
3．下列判断中不正确的是（ ）A.两条直角边长分别是3、4和6、8的两个直角三角形相似。
人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》优秀教案一. 教材分析人教版九年级下册数学《27.2.1相似三角形的判定》这一节，主要让学生掌握相似三角形的判定方法。
教材通过具体的例题，让学生理解并掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的性质，对于三角形的边长和角度有一定的了解。
但是，对于相似三角形的判定，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，推导出相似三角形的判定方法。
三. 教学目标1.了解相似三角形的判定方法，能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.能够解决实际问题，运用相似三角形的判定方法。
四. 教学重难点1.教学重点：掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能够运用这些方法判断两个三角形是否相似。
2.教学难点：理解并掌握相似三角形的判定方法，能够解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生自主发现相似三角形的判定方法。
同时，结合例题讲解，让学生在实践中掌握这些方法。
六. 教学准备1.PPT课件：包括相似三角形的判定方法、例题讲解等。
2.练习题：包括基础题和提高题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引发学生对相似三角形的思考。
例如：在建筑设计中，如何根据一个建筑物的缩小模型，计算出实际建筑物的尺寸？2.呈现（10分钟）介绍SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过PPT课件展示相关的例题。
引导学生思考和探索，让学生自主发现这些判定方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一道练习题，运用所学的判定方法进行解答。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组代表上台讲解他们的解题过程，其他同学进行评价和提问。
教师总结学生的解题方法，并进行点评。
5.拓展（10分钟）出示一些提高题，让学生独立解答。
1
27.2相似三角形（第3课时）
【学习目标】
1、掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的性质，
2、能对三角形的性质与判定进行简单的运用
【自学指导】判定
1、相似三角形的判定方法
⑴、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
⑵、三边对应成比例，两三角形相似.
⑶、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
⑷、两角对应相等，两三角形相似。
【尝试练习】
⑴、如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，∠DAB=∠CAE。
求证：△ABC∽△ADE。
⑵、如图ABCD是正方形，E是CD上一点，F是BC延长线上一点，且CE=CF，BE延长线交
DF于G。求证：△BGF∽△DGE。
⑶、如图已知点D为ABCRt斜边BA上的点，点E为AC的中点，分别延长ED和CB交于
F。
求证：△CDF∽△DBF。
⑷、如图△ABC中，∠C，∠B的平分线相交于O，过O作AO的垂线与边AB、AC分别交于D、
E，
求证：△BDO∽△BOC∽△OEC。
2
⑸、如图AD为△ABC的∠A的平分线，由D向∠C的外角平分线作垂线与AC的延长线交于F
点，由D作∠B的平分线的垂线与AB交于E，
求证：△ADE∽△AFD。
反思：两个直角三角形要相似，除了一个直角外，还需要那些条件就可以。
【思维拓展】：
要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个
三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？
1 27.2.1三角形相似 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 一、学习目标： 1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示； 2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题. 二、学习重难点： 运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题． 探究案 三、教学过程 课堂导入 相似三角形的判定：
课堂探究 知识点一：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题 利用刻度尺和量角器画△ABC与△A1B1C1，使∠A=∠A1，ABA1B1和ACA1C1都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
合作探究 如图△ABC和△A1B1C1中，ABA1B1=ACA1C1 ∠A=∠A1求证： △ABC∽△A1B1C1 2
归纳总结 判定定理2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似. 可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 例题解析 例1 根据下列条件,判断△𝐴𝐴𝐴和△𝐴′𝐴′𝐴′是否相似,并说明理由.∠A=120°,AB=7cm, AC=14cm. ∠A ′=120°, A′B′=3cm, A′C′=6cm.
小试牛刀 1. 已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE. 3
知识点二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似应用 例题解析 例2 如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8，在AC上取一点D，使AD＝3，如果在AB上取点E，使△ADE和△ABC相似，求AE的长．
小试牛刀 如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为________时，△ADP和△ABC相似．
随堂检测 1．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在() A．P1 B．P2 C．P3 D．P4 4
2．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有() A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
3．如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件： ,可以使得△FDB∽△ADE.
4．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在BD上，且ABAE＝BCED＝ACAD. (1)试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？ (2)试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由． 5
5.如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA的延长线于F.求证：AC·CF＝BC·DF.
6. 如图所示，BC⊥CD于点C，BE⊥DE于点E，BE与CD相交于点A，若AC＝3，BC＝4，AE＝2，求CD的长．
7. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，5AC－3AB＝0，点P从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，与此同时点Q从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动，经过多长时间△ABC和△PQC相似？ 6
课堂小结 1．三角形相似的判定定理： 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 2．应用判定定理解决简单的问题． 我的收获 __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 7
参考答案 课堂导入 1.（简称：平行线）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2.(简称：三边）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似. 合作探究 证明：在线段A1B1(或它的延长线)上截取A1D=AB，过点D作DE//B1C1，交A1C1于点E， ∴△A1DE∽△A1B1C1 ∴𝐴1𝐴𝐴1𝐴1=𝐴𝐴𝐴1𝐴1=𝐴1𝐴𝐴1𝐴1
又ABA1B1=ACA1C1，A1D=AB A1EA1B1=ACA1C1
，∴A1E=AC
∵∠A=∠A1, ∴△A1DE≌△ABC ∴△ABC∽△A1B1C1 例题解析 例1解：∵𝐴𝐴A′𝐴′=73,ACA′𝐴′=146=73 ∴𝐴𝐴A′𝐴′=ACA′𝐴′
又∠A=∠A′ △ABC∽△A′𝐴′𝐴′ 小试牛刀 解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE. 证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝BC2＋AC2＝10， ∴DB＝AD－AB＝15－10＝5， ∴DB∶AB＝1∶2. 又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3， ∴EB∶BC＝1∶2， 8
∴EB∶BC＝DB∶AB， 又∵∠DBE＝∠ABC＝90°， ∴△ABC∽△DBE. 方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件， 例2解：设AE的长为x.∠A是公共角， 要使△ADE和△ABC相似， 则有𝐴𝐴AC=𝐴𝐴𝐴𝐴或者𝐴𝐴AB=𝐴𝐴𝐴𝐴
即83=𝐴16或者316=𝐴8 解得x＝6或x＝1.5. 所以AE的长为6或1.5. 小试牛刀 解析：当△ADP∽△ACB时，APAB＝ADAC， ∴AP12＝68， 解得AP＝9. 当△ADP∽△ABC时，ADAB＝APAC， ∴612＝AP8，解得AP＝4， ∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故答案为4或9. 方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件，对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答． 随堂检测 1. C 2. B 3.BFAE＝DBDE 4.解：(1)∠BAE与∠CAD相等． 理由：∵ABAE＝BCED＝ACAD， ∴△ABC∽△AED. ∴∠BAC＝∠EAD. 9
∴∠BAC－∠EAF＝∠EAD－∠EAF，即∠BAE＝∠CAD. (2)△ABE与△ACD相似． ∵ABAE＝ACAD， ∴ABAC＝AEAD. 又∠BAE＝∠CAD， ∴△ABE∽△ACD. 5.解析：先证明△ADC∽△CDB可得ADCD＝ACBC，再结合条件证明△FDC∽△FAD，可得ADCD＝DFCF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠DAC＋∠B＝∠B＋∠DCB＝90°， ∴∠DAC＝∠DCB，且∠ADC＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB， ∴ADCD＝ACBC. ∵E为BC的中点，CD⊥AB， ∴DE＝CE， ∴∠EDC＝∠DCE， ∵∠EDC＋∠FDA＝∠ECD＋∠ACD， ∴∠FCD＝∠FDA，又∠F＝∠F， ∴△FDC∽△FAD， ∴DFCF＝ADDC， ∴ACBC＝DFCF， ∴AC·CF＝BC·DF. 方法总结：证明等积式或比例式的方法：把等积式或比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后证明两个三角形相似，得到要证明的等积式或比例式 6.解析：因为AC＝3，所以只需求出AD即可求出CD.可证明△ABC与△ADE相似，再利用相似三角形对应边成比例即可求出AD. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB＝BC2＋AC2＝42＋32＝5. ∵BC⊥CD，BE⊥DE， ∴∠C＝∠E， 10
又∵∠CAB＝∠EAD， ∴△ABC∽△ADE， ∴ABAD＝ACAE，即5AD＝32， 解得AD＝103， ∴CD＝AD＋AC＝103＋3＝193. 方法总结：利用相似三角形的判定进行边角计算时，应先利用条件证明三角形相似或通过作辅助线构造相似三角形，然后利用相似三角形对应角相等和对应边成比例进行求解． 7.解：由5AC－3AB＝0，得到5AC＝3AB，设AB为5xcm，则AC＝3xcm， 在Rt△ABC中，由BC＝8cm，根据勾股定理得25x2＝9x2＋64， 解得x＝2或x＝－2(舍去)， ∴AB＝5x＝10cm，AC＝3x＝6cm. 设经过t秒△ABC和△PQC相似， 则有BP＝2tcm，PC＝(8－2t)cm，CQ＝tcm， 分两种情况： ①当△ABC∽△PQC时，有BCQC＝ACPC，即8t＝68－2t，解得t＝3211； ②当△ABC∽△QPC时，有ACQC＝BCPC，即6t＝88－2t，解得t＝125.综上可知，经过125或3211秒△ABC和△PQC相似． 方法总结：本题的关键是根据三角形相似的对应顶点不同，分两种情况△ABC∽△PQC与△ABC∽△QPC分别列出比例式来解决问题．
