1.7.1定积分在几何中的应用(教师版)

1.7.1定积分在几何中的应用课前预习案【学习目标】1.能将实际问题化归为定积分的问题来求解；2.掌握利用定积分求平面图形面积的基本步骤；3.感受定积分解决比较复杂的平面图形的面积的力量. 【自主学习】知识梳理（教材概念梳理出1，2……点） 1.定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a ，b]上是连续函数，由直线y=0，x=a ，x=b 与曲线y=f(x)围成的曲边梯形的面积为S ，填表：，x=b 与曲线y=f(x)，y=g(x)围成的平面图形的面积为S=_____________. 2.对于不规则平面图形面积的处理原则 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形，一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利用相关面积公式求解.【知识迁移】（2-3个小题）1.判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)曲线3sin ,[,]22y x x ππ=∈，与x 轴围成的图形的面积为322sin xdx ππ⎰.( )(2)曲线y=x 3与直线x+y=2，y=0围成的图形面积为12301(2)x dx x dx +-⎰⎰.()(3)曲线y=3-x 2与直线1y =-围成的图形面积为222(4)x dx --⎰.( )答案：(1)〓 (2)√ (3)√2. .做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)如图中阴影部分的面积是____________.(2)曲线y=x 3与直线y=x 所围成图形的面积为__________. (3)抛物线y=x 2-1与x 轴围成图形的面积是_________.ba f(x)g(x)dx -⎰[]答案：(1)323(2)12 (3)433.计算由两条抛物线2yx =和2y x =围成图形的面积S.课上互动研讨案【课堂检测】（2-3小题，有客观、主观题）1. (2014·广州高二检测)用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A.f(x)dxB.f(x)dxC.f(x)dx+f(x)dxD.f(x)dx-f(x)dx【解析】选D.因为在区间[a ，b]上f(x)<0， 所以在区间[a ，b]上对应图形的面积为-f(x)dx ， 所以阴影部分的面积为：S=f(x)dx-f(x)dx.2.由y=，x=1，x=2，y=0所围成的平面图形的面积为( ) A.ln2B.ln2-1C.1+ln2D.2ln2【解析】选A.画出曲线y=(x>0)及直线x=1，x=2，y=0，则所求面积S 为如图所示阴影部分面积. 所以S=dx=lnx=ln2-ln1=ln2. 3.直线x=，x=，y=0及曲线y=cosx 所围成图形的面积为________.【解析】由题意画草图：由图形知面积为S=cosxdx =-cosxdx=-sinx=-(-1-1)=2. 答案：2【课上互动研讨】探究一：多种思路利用定积分求平面图形的面积例1.计算由曲线y =，直线4y x =-以及x 轴所围成的图形的面积.488120442[2(4)]S S S xdx xdx x dx=+=+--⎰⎰⎰48044()(4)x dx=+--⎰⎰⎰804(4)x dx=--⎰⎰3828204140|(4)|.323x x x=--=解法三：2440040(4).23yS y dy dy=+-=⎰⎰探究二：利用定积分求较为复杂的平面图形的面积例2.求两抛物线y＝8－x2，y＝x2所围成的图形的面积．【答案】643（注：每课时探究两个问题，不能照搬教材内容；探究应该是针对本节知识中易错、易混、易漏问题展开.）【当堂训练】（2-3题，有客观、主观题）（使用说明：A、B类学生全完成，C类学生完成前2题）1.曲线y＝x3与直线y＝x所围成图形的面积等于()A.⎠⎛－11(x－x3)d x B.⎠⎛－11(x3－x)d x2y x=4y x=-C ．2⎠⎛01(x －x 3)d xD ．2⎠⎛－10 (x －x 3)d x【答案】C2．曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围图形的面积为________．【答案】4－223.求抛物线y=x 2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积.解：如图，由x 2-1=0得到抛物线与x 轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示： 所以：212211(1)(1)S x dx x dx -=---⎰⎰213311()().333x x x x -=---=【小结与反馈】1.利用定积分求平面图形面积的基本步骤：的积分变量，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限，最后利用微积分基本定理计算定积分，从而求出平面图形的面积.2.思想方法:数形结合及转化.3.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤思维导图课后拓展提升案姓名_________小组_________ 得分___________（使用说明：A 类学生完成1-7，B 类学生完成1-6，C 类学生完成1-5） 1.由曲线23,y x y x ==围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14C.13D.712【解析】选A.由得交点为(0，0)，(1，1).所以S=(x 2-x 3)dx==.2.直线1,1,0x x y =-==与偶函数()y f x =的图象围成平面图形的面积表示为①11()f x dx -⎰；②11(||)f x dx -⎰；③11|()|f x dx -⎰；④12|()|f x dx ⎰.其中，正确表示的个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选 C.由于偶函数y=f(x)的图象关于y 轴对称，当f(x)≥0时，平面图形的面积为f(x)dx=2f(x)dx ；当f(x)<0时，平面图形的面积为-f(x)dx=-2f(x)dx.故③④正确.3.用max{a ，b}表示a ，b 两个数中的最大数，设f(x)=max{x 21()4x ≥，那么由函数y=f(x)的图象、x 轴、直线14x =和直线2x =所围成的封闭图形的面积是( ) A.3512B.5924C.578D.9112 【解析】选A.由题设知： f(x)=所以S=dx+x 2dx=+x 3=.4.(2014·北京高二检测)如图，已知点1(0,)4A ，点P(x 0，y 0)(x 0>0)在曲线y=x 2上，若阴影部分面积与△OAP 面积相等，则x 0=________.【解析】S 阴=x 2dx=-〓03=，S △OAP =〓〓x 0=x 0，由题意知=x 0，因为x 0>0，所以x 0=.答案：5.设曲线y=2cos2x 与x 轴、y 轴、直线12x π=围成的面积为b ，若g(x)=2lnx-2bx 2-kx 在[1，+∞)上单调递减，则实数k 的取值范围是________. 【解析】由题意b=2cos2xdx=sin2x =sin =，所以g(x)=2lnx-x 2-kx ，所以g ′(x)=-2x-k ，因为g(x)=2lnx-2bx 2-kx 在[1，+≦)上单调递减，所以g ′(x)=-2x-k<0在[1，+≦)上恒成立. 即k>-2x 在[1，+≦)上恒成立.因为-2x 在[1，+≦)上递减，所以-2x ≤0，所以k>0. 由此知实数k 的取值范围是(0，+≦). 答案：(0，+≦)6.(2014·济宁高二检测)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为274，求a 的值.【解析】由图知方程f(x)=0有三个实根，其中有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，所以f(x)=x2(x+a)，有=[0-(x3+ax2)]dx=-=，所以a=〒3.又-a>0⇒a<0，得a=-3.7.如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线形桥拱的高为常数h，宽为常数b.求抛物线桥拱的面积.【解题指南】建立平面直角坐标系确定抛物线方程，求由曲线围成的平面图形面积.【解析】以抛物线的顶点为原点，如图建立平面直角坐标系.设抛物线方程为y=-ax2(a>0)，将抛物线上一点代入方程，则有-h=-a，解得a=，所以抛物线方程为y=-x 2.则有S=2dx=2(hx-24h 3bx 3)|b20=2=bh.。