第十讲含参变量的积分
10 . 1 含参变量积分的基本概念
含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义
设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．
()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数
()()[]b a x dy y x f x I d
c
,,,∈=⎰
为含参量二的正常积分．
一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称
()()()
()
[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰
为含参量x 的正常积分．
同样可定义含参量 y 的积分为
()()[]d c y dx y x f y J b
a
,,,∈=⎰或()()()
()
[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰
2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）
( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()(
)
()
⎰=
→000
,lim 0x d x c x x dy y x f x I
( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有
()()()⎰
⎰⎰⎰⎰==b
a
b a
d c
b
a
d
c
dx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·
( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()
()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d x
c x
'
'
'
,,,-+=
⎰·
以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，
例10. l 求积分⎰>>-⎪
⎭⎫ ⎝⎛1
0,ln 1ln sin a b dx x
x
x x a
b 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=1
00,ln 1ln sin a b dx x x
x x b I a
b ，
()()()
()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dx
x x b I b b b b b b b '
2
2101012
1
1
021
0101
01
11
'
11111ln sin |1ln cos 111ln cos 11
1ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++
所以()()
()()
()⎰
++=++=⇒++=
C b db b b I b b I 1arctan
1
11
1
11
2
2
'
，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan
0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan
+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为
x
x x dy x a
b b
a
y
ln -=⎰
，所以
⎰⎰⎰⎰⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010
1ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I
同解法
()⎰++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛1
021
111ln sin y dx x x y
，所以有 ()
()()⎰
+-+=++=b
a
a b dy y I 1arctan 1arctan
1
11
2
注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，
但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xy
y
x ⎰-=
,，其中f 为可微函数，求()y x F xy
,·
解：
()()
()()()()
()()()
()
()()()()
()
()
()()
()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xy
y
x xy
y
x xy
y x x '
2222'222222213213111-+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+
-=-+-+⎪⎭
⎫
⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--
-+=⎰⎰⎰
