1.1加减法的意义和各部分间的关系（教案）四年级下册数学人教版教案：1.1加减法的意义和各部分间的关系年级：四年级下册科目：数学版本：人教版一、教学内容本节课的教学内容主要包括教材第一章第一节的内容，即加减法的意义和各部分间的关系。
具体包括：1. 加法的意义：将两个数合并成一个数的运算。
2. 减法的意义：已知两个数的和和一个数，求另一个数的运算。
3. 加法和减法的关系：加法和减法是互逆运算，即加法中的和减去其中一个加数等于另一个加数，减法中的被减数加上差等于减数。
4. 各部分间的关系：加法中的加数、和；减法中的被减数、减数、差。
二、教学目标1. 让学生理解加减法的意义，掌握加减法各部分间的关系。
2. 培养学生运用加减法解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
三、教学难点与重点1. 教学难点：加减法各部分间的关系，以及如何运用加减法解决实际问题。
2. 教学重点：加减法的意义，加减法各部分间的关系。
四、教具与学具准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2. 学具：练习本、笔、学习卡片。
五、教学过程1. 实践情景引入：以小明买水果的故事为例，引导学生思考如何用加减法计算水果的总价。
2. 讲解加法的意义：通过小明买水果的故事，讲解加法的意义，即合并两个数成一个数。
3. 讲解减法的意义：以小明买水果的故事为例，讲解减法的意义，即已知两个数的和和一个数，求另一个数。
4. 讲解加法和减法的关系：通过实例演示，讲解加法和减法的关系，即加法中的和减去其中一个加数等于另一个加数，减法中的被减数加上差等于减数。
5. 讲解各部分间的关系：明确加法中的加数、和；减法中的被减数、减数、差。
6. 例题讲解：出示例题，讲解并引导学生运用加减法解决实际问题。
7. 随堂练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 加法的意义2. 减法的意义3. 加法和减法的关系4. 各部分间的关系七、作业设计1. 题目：小明有10个苹果，他又买了3个苹果，请问小明现在有多少个苹果？答案：13个苹果。
初高中数学衔接前言现有初高中数学知识存在以下“脱节”：1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多,而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要 求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。
3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。
4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。
配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。
方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。
第一讲 数与式(一)1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．练 习1．填空题：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练 习 1．填空题：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3)2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题： （1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ）（A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 212x ++，22x y ++等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数，等等． 一般地，，b 与b 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．例2 (3．例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2.例4 化简：20042005⋅-．例 5 化简：（1； （21)x <<．例 6 已知x y ==22353x xy y -+的值 ． 练 习 1．填空题：（1＝__ ___；（2(x -x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x ==______ __． 2．选择题：=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<3．若b =，求a b +的值．4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．第二讲 数与式(二)1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式AB具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A MB B M÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式像ab c d+，2m n pm n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1 若54(2)2x A Bx x x x +=+++，求常数,A B 的值．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+．例3 设c e a=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+).2．选择题：若223x y x y -=+，则xy＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45（D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值．4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯．习题1．1 A 组1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ； (3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值． 3．填空题：（1）1819(2(2-＝________；（22=，则a 的取值范围是________； （3+=________．B 组1．填空题：（1）12a =，13b =，则2223352a ab a ab b -=+-____ ____； （2）若2220x xy y +-=，则22223x xy y x y ++=+__ __；2．已知：11,23x y ==的值． C 组1．选择题：（1= （ ） （A ）a b < （B ）a b > （C ）0a b << （D ）0b a <<（2）计算 （ ）（A （B （C ） （D ）2．解方程22112()3()10x x x x +-+-=． 3．计算：1111132435911++++⨯⨯⨯⨯． 4．试证：对任意的正整数n ，有111123234(1)(2)n n n +++⨯⨯⨯⨯++＜14．1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．2．提取公因式法与分组分解法 例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练 习 1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-．习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+． 3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状． 4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )．第三讲 函数与方程（一）3.1根的判别式 我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b acx a a -+=． ① 由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根：x 1，2＝2b a -±；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：x 1＝x 2＝－2ba；（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．3.2根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根12b x a -+=，22b x a--=，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac c x x a a a a a-+---=⋅===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则12b x a -+=，22b x a--=，∴| x 1－x 2|===． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|＝||a （其中Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空题:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ） （A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空题:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ） （A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空题:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围．4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x ；（2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．第四讲 函数与方程（二）4.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来．在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x的增大而增大（或减小）？例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．例3 已知函数y ＝x 2，（－2≤x ≤a ），其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a 的取值进行讨论． 练 习 1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2（ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的 （B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的 （C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 （D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的 2．填空题：（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．图1图2（2）已知二次函数y＝x2+(m－2)x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况．（1）y＝x2－2x－3；（2）y＝1＋6 x－x2．4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．4.2 二次函数的三种表示方式1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练 习 1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2) 2．填空题：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ． 3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)； （2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．4.3 二次函数的简单应用一、函数图象的平移变换与对称变换1．平移变换问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可．例1 求把二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．2．对称变换在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向来解决问题．例2 求把二次函数y ＝2x 2－4x ＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线x ＝－1； （2）直线y ＝1．二、分段函数一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g 付邮资80分，超过20g 不超过40g 付邮资160分，超过40g 不超过60g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x ≤100)的信应付多少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．分析：由于当自变量x 在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x 在各个小范围内（如20＜x ≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．例4 如图所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔPAC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．练 习 1．选择题：（1）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式 为 （ ）（A ）y ＝ (x ＋1)2＋1 （B ）y ＝－(x ＋1)2＋1 （C ）y ＝－(x －3)2＋4 （D ）y ＝－(x －3)2＋1（2）把函数y ＝－2(x ＋3)2＋3的图象关于直线x ＝－1对称后，所得图象对应的函数解析式为（ ）（A ）y ＝－2 (x ＋1)2＋3 （B ）y ＝－2 (x －1)2＋3 （C ）y ＝2 (x ＋1)2－3 （D ）y ＝－2 (x －1)2－3（3）把函数y ＝2(x －3)2＋3的图象关于直线y ＝2对称后，所得图象对应的函数解析式为 （ ）（A ）y ＝－2 (x ＋1)2＋3 （B ）y ＝－2 (x －3)2＋3 （C ）y ＝－2 (x －3)2＋1 （D ）y ＝－2 (x －3)2－3 2．填空题：（1）已知函数2,2,24,2x x y x x ->⎧=⎨-+≤⎩则当x ＝4时，y ＝ ；当x ＝－4时，y ＝ ．（2）把二次函数y ＝－2x 2+43x ＋1的函数图象向 平移 单位后，得到的图象所对应的解析式为y ＝－2x 2＋7；再向 平移 个单位后，得到的图象所对应的解析式为y ＝－2x 2＋1；再将其关于 对称后得到的图象所对应的函数解析式为y ＝2x 2＋5．3．已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，顺次经过B ，C ，D 移动一周后回到点A ，设x 表示点P 的行程，y 表示线段PA 的长，试求y 关于x 的函数．C P 图2.2－10第五讲 三角形与圆 （一）5．1 三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图1，在三角形ABC 中，有三条边AB 、BC 、CA ，三个角∠A,∠B,∠C ，三个顶点A,B,C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证：AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明：三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在△ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==. 证明：.例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形. 证明：图1 图2图3三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部（如图4）.三角形的三条高交于一点.练 习1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形. 2．（1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________; （2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-___________. 并请说明理由.5.2 几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC 中，三角形的内心I 、重心G 、垂心H 必然在一条直线上.例4 在△ABC 中，3, 2.AB AC BC ===求 （1）△ABC 的面积ABCS及AC 边上的高BE ；（2）△ABC 的内切圆的半径r ； （3）△ABC 的外接圆的半径R . 解：例5 如图，在△ABC 中，AB =AC ，P 为BC 上任意一点. 求证：22AP AB PB PC =-?. 证明：图4正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例6 已知等边三角形ABC 和点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为h 1,h 2,h 3，三角形ABC 的高为h ，“若点P 在一边BC 上，此时30h =，可得结论：123h h h h ++=.”（如图a ）请直接应用以上信息解决下列问题： 当（1）点P 在△ABC 内（如图b ），（2）点在△ABC 外(如图c)，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，123,,h h h 与h 之间有什么样的关系，请给出你的猜想（不必证明）.解 练 习1． 直角三角形的三边长为3，4，x ,则x =________.2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.3． 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是 （ ） A ．222b ac =- B ．∠C=∠A+∠B C ．∠A:∠B:∠C=3:4:5 D ．::12:13:5a b c =4． 已知直角三角形的周长为31，求这个三角形的面积. 5． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.习题 A 组1． 已知：在ABC 中，AB =AC ，120,oBAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（ ）A ．2AD AB =B ．12AD AB = C ．AD BD = D ．2AD BD = 2． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为 （ ）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．83． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4． 已知：,,a b c 是△ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________.5． 若三角形的三边长分别为18a 、、，且a 是整数，则a 的值是_________.B 组1． 如图，等边ABC 的周长为12，CD 是边AB 上的中线，E 是CB 延长线上一点，且BD =BE ，则C D E ∆的周长为 （ ）A ．6+B ．18+C ．6+．18+2． 如图，在ABC ∆中，2C ABC A ∠=∠=∠，BD 是边AC 上的高，求DBC ∠的度数.3． 如图，,90,oRt ABC C M ∠=是AB 的中点，AM=AN ，MN//AC ，求证：MN=AC.C 组1． 已知241,2,2,1k b k a c k ac k >=+==-，则以a b c 、、为边的三角形是 （ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．形状无法确定 2． 如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则A ∠与12∠+∠之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （ ） A ．12A ∠=∠+∠ B ．212A ∠=∠+∠ C ．312A ∠=∠+∠ D ．32(12)A ∠=∠+∠3． 如图，在等腰Rt △ABC 中90oC ∠=，D 是斜边AB 上任一点，AE CD ⊥于E ，BF CD ⊥交CD 的延长线于F ，CH AB ⊥于H ，交AE 于G .求证：BD =CG .第六讲 三角形与圆 （二）6．1 直线与圆，圆与圆的关系垂径定理：在直线与圆相交时，设两个交点分别为A 、B .若直线经过圆心，则AB 为直径；若直线不经过圆心，如图，连结圆心O 和弦AB 的中点M 的线段OM 垂直于这条弦AB .且在Rt △OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有222()2AB r d -=.切线长定理：当直线与圆相切时，如图，,PA PB 为圆O 的切线，可得PA PB =，.OA PA ⊥，且在Rt △POA 中，222PO PA OA =+.切割线定理：PT 为圆O 的切线，PAB 为圆O 的割线，我们可以证得2PT PA PB =⋅.例1 如图，已知⊙O 的半径OB =5cm ，弦AB =6cm ，D 是弧AB 的中点，求弦BD 的长度.解：例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径. 解：例3 设圆1O 与圆2O 的半径分别为3和2，124O O =，,A B 为两圆的交点，试求两圆的公共弦AB 的长度.解：练 习1.如图⊙O 的半径为17cm ，弦AB =30cm ，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D 、C ，求弦AC 和BD 的长.2.已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB //CD ，AB =8cm,CD =6cm, ⊙O 的半径等于5cm ，求梯形ABCD 的面积.3.如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，1,5,60,oAE cm EB cm DEB ==∠=求CD 的长.4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.6．2 点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为r 的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一个圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于r ；同时，到定点的距离等于r 的所有点都在这个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长r 的点的轨迹.我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两层意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.从上面对圆的讨论，可以得出：（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.我们学过，线段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两个端点的距离相等的点，都在这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.例4 ⊙O 过两个已知点A 、B ，圆心O 的轨迹是什么？画出它的图形.。
