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度量凸函数和渐近非扩张算子半群的公共不动点林国琛;张文【摘要】证明了度量凸函数的一个类似凸分析中Brondsted-Rockafellar定理的结论,并刻画了下半连续度量凸函数的结构;证明了完备一致凸双曲度量空间上渐近非扩张算子半群公共不动点的存在性和该半群的弱星紧性.【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(058)002【总页数】5页(P292-296)【关键词】度量凸函数;不动点;渐近非扩张算子半群【作者】林国琛;张文【作者单位】厦门理工学院应用数学学院,福建厦门361024;厦门大学数学科学学院,福建厦门361005【正文语种】中文【中图分类】O177.2众所周知, 凸性在Banach空间上的凸分析和不动点理论中扮演重要角色. 把这些经典结果推广到度量空间, 是自然的问题.一方面, Soltan等[1-7]在20世纪80年代的图论领域引入度量凸函数概念. Krynski[8]在1993年给出赋范空间上度量凸函数的代数结构. 但是较少人关注度量凸函数的拓扑性质. 这类函数在非离散型空间上的连续性和可微性是本文中研究内容的一部分.定义1[9] 度量空间(D,d)是度量凸的, 当且仅当对∀x,y∈D,0<β<1,存在z∈D使得d(x,z)=βd(x,y),d(z,y)=(1-β)d(x,y).当z唯一时(记为(1-β)x⊕βy),D称为凸度量空间.定义2[10] (D,d)是双曲度量空间, 当且仅当(D,d)度量凸且∀p,x,y∈D.显然赋范空间是双曲度量空间. 另外存在一些非线性的例子, 如Hadamard流形[11]、赋予双曲度量的Hilbert开单位球[12]以及CAT(0)空间[13-15].双曲度量空间D的子集C是凸的, 当且仅当∀x,y∈C,0<β<1,有(1-β)x⊕βy∈C.定义3[16-19] 设D是双曲度量空间.D一致凸, 当且仅当任意a∈D,r>0,>0,有δ(r,)⊕r定义4 F是度量空间(D,d)上的度量凸函数, 当且仅当∀x,y,z∈D,d(x,z)+d(z,y)=d(x,y).当D是完备双曲一致凸度量空间, 给定y∈D时, 映射d(·,y):D→R是度量凸函数[19].另一方面,凸性也应用于不动点问题.20世纪60年代初,压缩映射族和非扩张映射族公共不动点的存在性成为研究热点[20-25].人们也利用渐近方法寻求公共不动点[26-31].本文中证明出: 完备一致凸双曲度量空间上渐近非扩张算子半群公共不动点的存在性，并证明该半群是弱星紧集.定义5 设C是度量空间D的有界闭凸子集，则一族从C到C的算子={T(t):t≥0}是Lipschitz半群, 当且仅当满足如下条件：(i) 任意x∈C,T(0)x=x;(ii) 任意x∈C,任意t,s≥0,T(t+s)x=T(t)T(S)x;(iii) 任意x∈C,T(t)x在t∈[0,∞)上连续;(iv) 任意t≥0,存在kt>0,使得d(T(t)x,T(t)y)≤ktd(x,y),∀x,y∈C.Lipschitz算子半群是非扩张的,当且仅当任意t≥0,kt=1.是渐近非扩张的, 当且仅当limt→∞kt=1.1 度量凸函数度量凸函数是凸函数概念的推广. 二者是否具有类似的拓扑性质, 是一个自然的问题. 答案是肯定的. 定理1和定理2是本节的主要结果.首先, 正如次微分在凸分析中扮演重要角色, 在本文中为度量凸函数引入一种新的次微分.定义6 设F是度量凸空间D上的度量凸函数,x∈D.若存在λ>0使得F(y)-F(x)≥-λd(y,x),∀y∈D,本文中定义-λd(·,x)为F在x的d-次微分.下面的引理1和引理2有助于我们证明定理1.引理1[32] 度量空间等距同构于某个Banach空间的子集.引理1说明: 在等距嵌入意义下, 每个度量空间可视为某个Banach空间的子集, 且度量凸性是不变的. 这为非线性问题提供一种新方法.引理2[33] 设F是定义在Banach空间X上的真, 下半连续, 有下界函数. 任意>0,F(x0)<inf{F(x):x∈X}+，则任意λ且0<λ<1, 存在有效定义域dom F上的z, 使得(i) λ‖z-x0‖≤F(x0)-F(z),(ii) ‖z-x0‖</λ,(iii) λ‖x-z‖+F(x)>F(z),x≠z.引理2在非线性分析中有广泛应用, 也被应用于定理1的证明.定理1 设D是完备度量凸空间,F是D上的下半连续度量凸函数, 则d-次微分存在的点在有效定义域dom F中稠密.证明根据引理1, 在等距映射下, 存在Banach空间X使得(D,d)⊂(X,‖·‖),其中的度量d由范数‖·‖诱导.定义显然下半连续. 对于任意>0和x0∈dom F, 令H:X→R∪{+∞},易知H下半连续, 有下界且≤inf H+.因F下半连续, 所以存在0<δ<,{x∈D,d(x,x0)<δ}⊂{x∈D,F(x)>根据引理2, 对于存在z∈dom H=dom F⊂D满足；2) λ‖x-z‖+H(x)>H(z),∀x≠z.因为存在r>0使得{x∈D:d(x,z)<r}⊂{x∈D:d(x,x0)<δ},则∀x∈{x∈D:d(x,z)<r},所以则λ‖x-z‖+F(x)>F(z),∀x∈{x∈D:d(x,z)<r}\{z}.对于y∈D,y≠z且x∈{x∈D:d(x,z)<r,x≠z,d(z,x)+d(x,y)=d(z,y)},有F(y)+λd(y,z)≥{d(z,y)[F(x)+λd(x,z)]-d(x,y)F(z)}/d(x,z)>{d(z,y)F(z)-d(x,y)F(z)}/d(x,z)=F(z)，即F(y)-F(z)>-λd(y,z).则F在z有d-次微分. 证毕.定理1类似Banach空间凸分析[33]的Brondsted-Rockafellar定理. 现在我们在定理1的基础上, 刻画该函数的结构, 这是本文第2个主要结论.定理2 D是完备度量凸空间,F是D上下半连续度量凸函数, 则(i) F(x)=sup{F(z)-λd(x,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)},(ii) 上确界能够达到, 当且仅当F在x存在d-次微分.证明 (i) 设z∈dom F,λ>0满足F(z)-λd(y,z)<F(y),∀y∈D.根据定理1, 这样的z在dom F中稠密. 则对于任意x0∈dom F,有F(x0)≥sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.根据定理1的证明, 对于任意>0,存在δ且0<δ<,有∀z∈D,d(z,x0)<δ.对于存在z∈dom F且,使得F(z)-λd(y,z)≤F(y),y∈D，因此，则于是令→0,则F(x0)≤sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.综上所述,F(x0)=sup{F(z)-λd(x0,z):λ>0,z∈dom F,y∈D,F(y)-F(z)≥-λd(y,z)}.(ii) 因为存在λ>0,z∈dom F,F(y)-F(z)>-λd(y,z),F(x)=F(z)-λd(x,z),∀y∈D,y≠z,则x=z.则对于任意y∈D且y≠x,有F(y)-F(x)>-λd(y,x).则F在x存在d-次微分.又因为存在λ>0使得F(y)-F(x)>-λd(y,x),y∈D,y≠x,且F(x)=F(x)-λd(x,x),所以上确界能够达到.2 渐近非扩张算子半群的公共不动点Tan等[26]应用凸性证明出Banach空间渐近非扩张算子半群的遍历定理. 本文中借助度量凸函数, 利用类似方法研究渐近非扩张算子半群的公共不动点.引理3[34] 设D是完备、一致凸、双曲度量空间, 则任意单调不增、非空、凸、有界、闭子集族有非空的交集.下面给出本文第3个主要结论, 其类似于一致凸Banach空间的相关定理[35].定理3 设D是完备、一致凸、双曲度量空间,C是D的有界闭凸子集,={T(t):t≥0}是C上渐近非扩张算子半群，则存在公共不动点, 且公共不动点集是闭凸集.证明首先证明F()非空. 取C中一点x,令因d(T(t)x,·)的连续性和凸性[19], 则r是C上连续度量凸函数. 对于任意t,{y∈C:r(y)≤t}是闭凸集，根据引理3, 存在C中的点z, 使得r(z)=inf{r(y):y∈C}=∶r.现在证明z是的公共不动点. 即: 任意t≥0有T(t)z=z.这需要如下说明:T(t)z→z,t→∞.若不然, 则存在子列{T(tn)z},且存在0>0, 使得d(T(tn)z,z)≥0,n=1,2,….可以设r>0，选取>0, 使得(r+)(1-δ(r+,其中δ是D的凸性模. 令η>0充分小, 使得η<且(1+η)(r+η)<r+.本文中选取充分大的t0,使得当t≥t0时,kt<1+η且d(T(t)x,z)<r+η.最后选取N使得s∶=tN>t0.现在得到：对于所有的t≥t0,d(T(t+s)x,T(s)z)≤ksd(T(t)x,z)≤(1+η)(r+η)<r+且d(T(t+s)x,z)≤r+η<r+，则⊕)(1-δ(r+,矛盾！说明成立.现在证明: 对于每个t,T(t)z=z.若不然, 则存在t0使得T(t0)z≠z.由T(t0)的连续性推出T(t+t0)z=T(t0)[T(t)z]→T(t0)z,t→∞.另一方面,T(t+t0)z→z,t→∞.这又是一个矛盾.每个F(T(t))是闭凸集, 则F()=∩t≥0F(T(t))也是闭凸集. 证毕.3 渐近非扩张算子半群的弱星紧性彭济根等[36]引入Banach空间的一种新的对偶空间，即Lipschitz对偶空间. Banach空间的Lipschitz对偶空间是某个包含E的Banach空间的线性对偶空间. 任何非线性 Lipschitz算子的Lipschitz对偶算子是有界线性算子. 所获结果为推广线性算子理论到非线性情形开辟一条新途径. 本文中利用这些理论, 得到渐近非扩张算子半群是弱星紧集(定理4).定义7[36] 设E,X为Banach空间,E*是E的对偶空间.C,B分别为E,X的闭子集(不一定有界).T:C→B是Lipschitz算子, 当且仅当存在L>0,使得‖Tx-Ty‖≤L‖x-y‖,x,y∈C.对于每个Lipschitz算子T, 定义其最小Lipschitz常数为若记Lip{C,B}={T:C→B|T为Lipschitz算子},则易验证L(·)为Lip{C,B}上的半范数. 明显地, 若T为E到X的有界线性算子, 则T在C上的限制TC∈Lip{C,B},且L(TC)≤‖T‖(特别地, 当C包含E的单位球时,L(TC)=‖T‖).证明定理4需要一些引理[35].引理4[36] 设0∈C,Lip0{C,B}={T∈Lip{C,B}|T(0)=0},则L(·)是Lip0{C,B}上的范数, 且{Lip0{C,B},L(·)}为Banach空间.注1 设C是完备一致凸双曲度量空间D的有界闭凸子集, 可视为Banach空间l∞(D)的子集,={T(t):t≥0}是C上渐近非扩张算子半群. 则根据定理3,存在一个公共不动点x.不失一般性,令不动点x=0.因此⊂Lip0{C,C}.即:是Banach空间{L ip0{C,C},L(·)}的子集.引理5[36] 设J={j(x,y)∈(Lip0{C,X*})*|x∈C,y∈X},其中j(x,y):Lip0{C,X*}→R,T→(Tx,y).则Lip0{C,X*}等距同构于G的线性对偶空间G*.注2 因为度量空间D等距嵌入l∞(D),同时l∞(D)=(l1(D))*, 令X=l1(D),X*=(l1(D))*=l∞(D),则⊂Li0{C,C}等距嵌入G*.引理6[36] 设{Tσ}⊂Lip0{C,X*}有界网,T∈Lip0{C,X*},则{Tσ}弱星收敛于T, 当且仅当∀x∈C,{Tσx}弱星收敛于Tx.下面给出本文中第4个主要结论.定理4 设D是完备、一致凸、双曲度量空间,C是D的有界闭凸子集,C上渐近非扩张算子半群={T(t):t≥0}(⊂Lip0{C,[l1(D)]*})是对偶空间的有界子集, 从而是弱星紧集.证明因为当t→∞.时,L(T(t))→1,所以={T(t):t≥0}(⊂Lip0{C,[l1(D)]*})是对偶空间的有界子集, 从而是弱星紧集. 证毕.【相关文献】[1] SOLTAN V,CEPOI V.Solution of W eber’s problem for discrete median metricspaces[J].Trans Inst Math,1987,85:52-76.[2] SOLTAN V.Some properties of d-convex functions Ⅰ[J].Bull Acad Sci Moldova Ser Phis Techn Math Sci,1980(1):27-31.[3] SOLTAN V.Some properties of d-convex functions Ⅱ[J].Bull Acad Sci Moldova Ser Phis Techn Math Sci,1981(2):21-26.[4] SOLTAN V.D-convexity in graphs[J].Dokl Akad Nauk SSSR,1983,272:535-537.[5] SOLTAN V.Metric convexity in graphs[J].Studia Univ Babes-BolyaiMathematica,1991,36(4):3-43.[6] SOLTAN V,CEPOI V.Some classes of d-convex functions in graphs[J].Dokl Akad Nauk SSSR,1980,273:1314-1317.[7] SOLTAN V,CEPOI V.D-convexity and steiner functions on a graph[J].Dokl Akad Nauk BSSR,1985,29:407-408.[8] KRYNSKI S.Metrically convex functions in normed spaces[J].Studia Math,1993,105:1-11.[9] 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随机过程的遍历性理论随机过程是在时间和状态上都具有随机性的数学模型。
遍历性理论是研究随机过程中的一个重要部分，它关注的是一个随机过程从一个状态到另一个状态的过程。
随机过程的概念随机过程是一个随时间推移某种状态按照某种规律不断变化的过程。
它可以用来描述诸如随机游走、股票价格波动等具有随机性的现象。
在随机过程中，时间是连续的，状态空间是离散的或连续的。
随机过程有很多种类，常见的有马尔可夫链、泊松过程、布朗运动等。
遍历性理论的基本概念遍历性理论是研究随机过程中从一个状态到另一个状态的过程的理论。
当一个随机过程具有遍历性，意味着从任意一个状态开始，最终都可以达到所有可能的状态。
在遍历性理论中，关键的概念是遍历链和遍历时间。
1.遍历链：一个随机过程称为遍历链，如果从任意一个状态出发，最终可以达到所有可能的状态。
遍历链在实际应用中具有很重要的意义，因为它表示了一个过程的完备性和全面性。
2.遍历时间：遍历时间是指从一个状态到达另一个状态所需要的时间。
在遍历性理论中，研究遍历时间的分布和性质是非常重要的，它可以帮助我们更深入地理解随机过程的演化规律。
遍历性理论的应用遍历性理论在实际中有着广泛的应用，其中一些重要的应用包括：1.通信网络：在分布式系统和通信网络中，遍历性理论可以帮助我们分析数据包的传输和交换过程，提高网络的性能和可靠性。
2.金融市场：在金融领域中，随机过程和遍历性理论可以帮助我们分析股票价格的波动、风险管理等问题，预测市场走势，制定投资策略。
3.生物学：生物学中许多现象也可以用随机过程来描述，比如基因变异、生物进化等。
通过遍历性理论，我们可以更好地理解生物系统的演化规律。
总结遍历性理论是研究随机过程中从一个状态到另一个状态的过程的一门重要理论。
它在通信网络、金融市场、生物学等领域都有着广泛的应用，有助于我们更好地理解和利用随机过程的特性。
通过深入研究和应用遍历性理论，我们可以更好地探索和理解自然和人造系统中的复杂性和随机性。
右(左)π-正则半群的等价条件田振际;李小路【摘要】半群S称为右(左)π-正则半群,若S是π-正则的,且对任意的e,f∈Es,有efe=fe(efe=ef).给出右(左)π-正规半群的等价条件,并定义右(左)正规半群,右(左)完全正规半群的定义,给出它们的等价条件.%Semigroup S is called right(left) π-regular if S is πt-regular and,for arbitrary e,f∈Es,efe=fe(efe=ef) is available.The equivalent conditions of the right(left) π-normal semigroup are given out,right(left) normal semigroup and right(left) completely normal semigroup are defined,and their equivalent conditions are given out.【期刊名称】《兰州理工大学学报》【年(卷),期】2017(043)005【总页数】3页(P150-152)【关键词】右(左)π-正半群;正则半群;π-正则半群【作者】田振际;李小路【作者单位】兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050;兰州理工大学理学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O152.7定义1[2] 半群S称为右(左)π-正则的, 若S是π-正则的, 且对任意的e,f∈ES,有引理1[4] 若S为半群, 则下列条件等价:1) a是π-正则元;2) 存在n∈Z+使得L(an)(R(an))有一个幂等元作为生成元;3) 存在n∈Z+使得L(an)(R(an))有一个右(左)单位元.定义2 半群S称为π-弱纯正半群, 如果S是π-正则的, 且任意两个幂等元的乘积是正则的.定义3[1] 半群S称为纯正半群, 如果S是正则的, 且ES构成半群.文中未加说明的术语及符号见文献[3-8].定理1 若S为半群, 则下列条件等价:1) S为右(左)π-正则半群;2) S为π-弱纯正半群,且对任意的a,x,y∈S,若a=axa=aya蕴涵xa=ya (ax=ay);3) S为π-正则半群,且对任意的e,f∈ES有efRfe(efLfe);4) 对任意的a∈S,存在n∈Z+使得L(an)(R(an))有唯一的幂等元作为生成元,且ES 构成半群;5) 对任意的a∈S,存在n∈Z+使得L(an)(R(an))有唯一的右(左)单位元,且ES构成半群.证明 1)⟹2)设对任意的a,x,y∈S,若a=axa=aya,由于xa,ya为幂等元,那么由已知条件可得(xa)(ya)=(ya)(xa)(ya),进而可得xa=ya.再由efe=fe可得ES构成半群,则S 是π-弱纯正半群.2)⟹1)设e,f∈ES且(ef)′∈V(ef),则有ef=(e f)(ef)′(ef)=(ef)f(ef)′(ef),由已知条件得(ef)′(ef)=f(ef)′(ef),因此有(ef)′(ef)(ef)′=f(ef)′(ef)(ef)′,进而得现在有由式 (1) 和式 (2) 得由已知条件可得即进而由式(2)得再由式 (1) 可得由式 (2) 和式 (3) 得同理可得(fe)2=fe,因此有fe=fefefe=feefefe,进而有efe=fe.所以,ef=efefef=effef,即ef=fef.1)⟹3)设对任意的e,f∈ES,由已知条件得即3)⟹1)设对任意的e,f∈ES,且(ef)R(fe)则存在u∈S使得(fe)u=(ef).因此2)⟹4)设存在n∈Z+,x∈S使得an=anxan.则由引理1得L(an)有一个幂等元e作为生成元.假设f∈ES使得L(an)=Sf,则Se=Sf.因此,存在x,y∈S使得e=yf,f=xe.进而有即e=efe=e(efe)e.由已知条件可得进而有fe=e.再由fe=f,因此有e=f.另外根据2)⟹1)的证明可知ES封闭,结论显然成立.4)⟹5)设L(an)有唯一的幂等元作为生成元.则由引理1得L(an)有唯一右单位元.5)⟹2)设L(an)有唯一右单位元.通过引理1知,a是π-正则的.假设a=axa=aya,则由右单位唯一得xa=ya,结论得证.半群S称为右(左)正规半群,若S是正则半群,且对任意的e,f∈ES,有efe=fe (efe=ef).根据引理1和定理1则有下面结论.推论1 若S为半群,则下列条件等价:1) S为右(左)正则半群;2) S为纯正半群,且对任意的a,x,y∈S,若a=axa=aya蕴涵xa=ya (ax=ay);3) 对任意的a∈S,则L(a)(R(a))有唯一的幂等元作为生成元,且ES构成半群;4) 对任意的a∈S,则L(a) (R(a))有唯一的右(左)单位元,且ES构成半群.半群S称为右(左)完全正规半群,若S是完全正则半群,且对任意的e,f∈ES,有推论2 若S是半群,下列条件等价:1) S是右(左)完全正规半群;2) S是正则半群,且对任意的a∈S,f∈ES,有fa=faf(af=faf).证明1)⟹2)假设a∈S,f∈ES,则由已知条件可得,存在g,h∈ES,使得af∈Gg,faf∈Gh,因此有同样,可证明h=hf=fh.又由于因此有即,fg=hg,因此g(fg)=g(hg).又由于gf=g则g=ghg,再根据已知条件可得hg=g,进而有同样有再根据式 (4) 可得g=h.因此af,faf属于S的同一个子群Gg,再由fg=g则2)⟹1)首先证S是完全正则的,根据已知条件知存在x∈S,使得a=axa.再根据ax,xa 是幂等元及对任意的a∈S,f∈ES满足:因此可得并且进而存在s,t∈S,使得a=sa2=a2t.因此,sa=sa2t=at.现设e=sa=at.由于则有a∈eS∩Se,因此S是完全正则半群.对于任意的e,f∈ES,根据已知条件显然有efe=fe,因此S是右完全正规半群.推论3 若S是右(左)完全正规半群,则1) 对于任意的a,b∈S及a′∈V(a),b′∈V(b),有b′a′是ab的逆元;2) 对于任意的a∈S,e∈ES及a′∈V(a),有aea′e,a′eae,eaea′,ea′ea是幂等元;3) 对于任意的a∈S,e,f∈ES,若a=aea=afa则有ea=fa.证明 1) 对于任意的a,b∈S,有因此b′a′是ab的逆元.2) 根据推论2,对于任意的a∈S,e∈ES,有同理可得aea′e,a′eae,eaea′,ea′ea是幂等元.设对于任意的a∈S,e,f∈ES满足a=aea=afa,则有eaea=eafa.再根据推论2可得aea=e(afa),进而有a=ea.同理可证a=fa,因此有ea=fa.【相关文献】[1] 汪宏梅.关于π-正则半群的若干研究 [D].曲阜:曲阜师范大学,2006.[2] 刘淑林.严格π-正则半群的研究 [D].兰州:兰州理工大学学报,2011.[3] 田振际.π-逆子半群的子半群格 [M].北京:科学出版社,2007.[4] HOWIE J M.Fundamentals of Semigroup Theory [M].Oxford:Claredon Press,1995.[5] 田振际,王宇,金颖勤.几类特殊半群与理想 [J].兰州理工大学学报,2007,33(1):146-147.[6] 田振际,金颖勤,王宇.GV-半群的结构 [J].兰州理工大学学报,2007,33(5):156-157.[7] 韩广国,庞新琴.完全π-正则半群的若干性质 [J].浙江大学学报,2003(30):241-243.[8] 陈忠,宋杰.一类正则半群上的若干研究 [J].贵州大学学报,2014(3):5-7.。
第十一章群、环、域11.1半群内容提要11.1.1半群及独异点定义11.1 称代数结构<S，*>为半群（semigroups），如果*运算满足结合律．当半群<S，*>含有关于*运算的么元，则称它为独异点（monoid），或含么半群．定理11.1设<S，*>为一半群,那么（1）<S，*>的任一子代数都是半群，称为<S，*>的子半群．（2）若独异点<S,*，e>的子代数含有么元e,那么它必为一独异点,称为<S，* , e>的子独异点．定理11.2设<S，*>,<S’，*’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有（1）同态象<h(S)，*’>为一半群．（2）当<S，*>为独异点时，则<h(S)，*’>为一独异点.定理11.3设<S，*>为一半群,那麽（1）<S S，○ >为一半群，这里S S为S上所有一元函数的集合，○为函数的合成运算．（2）存在S到S S的半群同态．11.1.2自由独异点定义11.2称独异点<S,*,e>为自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（1）e∉A．（2）对任意u∈S，x∈A,u*x≠ e .自由独异点（free monoid）,如果有A⊆S使得（3）对任意u,v∈S，x,y∈A,若u*x = v*y,那么u = v,x = y．（4）S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者为A的成员的“积”:a i1*a i2*…*a ik (a i1,a i2,…,a ik∈A)集合A称为S的生成集．顺便指出，当半群<S，* >有生成集A＝｛a｝时，称<S，* >为循环半群（cyclic semigroups）。
<N，+，0＞是循环半群。
