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第四章 曲面论基本定理§4.1 自然标架的运动公式1、设有参数变换),('2'1u u u u aa=，命''a a a a u u a ∂∂=，假定0)det('>aa a ，证明：ββαααββαββαααββααααα'''''''',b b g g ====2、证明：在上题的参数变换下，(g αβ)的逆矩阵(g αβ)的变换规律是ββααβααβαα''''g g =3、如果用βα′′Γ′y 记关于(βα′′g )的Christoffel 记号，证明：在习题1的参数变换下有变换规律γγβγαγγββαααβγβαγααααα′′′′′′′∂∂+Γ=Γu， 其中(ααα′)是(ααa ′)的逆矩阵，即αααααuu ∂∂=′′。
4、验证：曲面的平均曲率H 可以表示成αβαβg b H 21=， 并且H 在习题1的参数变换下是不变的。
5、证明下列恒等式： (1)αγβξαγβξξαβγξug g g ∂∂−=Γ+Γ。
(2)αβξγξαγξβξγαγβαβΓ−Γ=∂∂−∂∂g g u g u g 。
(3)2122211)(,121g g g g ung−=∂∂=Γ其中ααββ§4.2 曲面的唯一性定理1、推导函数)(),(),(u f u f u f ααβ所满足的方程组(4)。
2、已知函数)(),(),(u f u f u f ααβ满足方程组(4)。
命22)(f f f g f f g g u F ++≡γααγγδαββδαγ证明：0)(=∂∂ξuu F§4.3 曲面论基本方程1、证明：若(u ，v )是曲面上的参数系，使得参数曲线网是正交的曲率线网，则主曲率k 1，k 2满足下列方程：1212121(),21().2vuE k k k v EG k k k u G∂ =− ∂∂ =− ∂2、证明：平均曲率为常数的曲面或是平面，或是球面，或是它的第一基本形式和第二基本形式可以表示成I ＝λ[(d u )2＋(d v )2],II ＝(1+λH )(d u )2－(1－λH )(d v )24、设S 是E 3中的一块曲面，它的主曲率是两个不相等的常值函数。
第二章曲面论§1曲面的概念1. 求正螺面r⃗={ucosv,usinv,bv}，−∞<u<+∞，−∞<v<+∞上的坐标曲线。
解：u_线的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入正螺面的方程中，得到r⃗={ucosv0,usinv0,bv0}={0,0,bv0}+{cosv0,sinv0,0}u，−∞<u<+∞，这是经过点(0,0,bv0),以{cosv0,sinv0,0}为方向的直线，显然它与z轴垂直相交，垂足为(0,0,bv0)。
v_线的方程为：u=u0，其中u0为常数，将u=u0代入正螺面的方程中，得到r⃗= {u0cosv,u0sinv,bv}，−∞<v<+∞，这是圆柱螺线的方程。
2. 证明双曲抛物面r⃗={a(u+v),b(u−v),2uv}的坐标曲线就是它的直母线。
证：双曲抛物面在直角坐标系下的隐式方程为x2 a2−y2b2=2z上式可表示为：(xa−yb)(xa+yb)=2z由此可见曲面上有两族直母线Lα:{xa−yb=2αxa+yb=zα和 Lβ:{xa−yb=zβxa+yb=2β其中α，β为参数，且α≠0，β≠0。
曲面上的u_线C u,v的方程为：v=v0，其中v0为常数，将v=v0代入曲面的方程中，得C u,v的向量参数方程：r⃗={a(u+v0),b(u−v0),2uv0}将上式化为参数方程：C u,v:{xa =u+v0y b =u−v0z=2uv0当v0≠0时，在上面的方程中消去变量u得并整理得C u,v0:{xa−yb=2v0 xa+yb=zv0比较C u,v0和Lα的方程可知，C u,v是直线族Lα中α=v0的那条直线。
曲面上的v_线C u0,v 的方程为：u=u0，其中u0为常数,同理可得C u0,v是直线族Lβ中β=u0的那条直线。
证毕3. 求球面r⃗={acosu cosv,acosu sinv,asinu}上任意点的切平面和法线的方程。
曲面论的基本定理
1定义
曲面论是特殊平面曲线的几何分析，主要研究已知的曲线的几何形状，用以及确定一个曲线的运动路径。
曲面论的基本定理是指在某一个平面上，圆内切于它的四条线之间，形成四个夹角相等的封闭曲线，每条线上有两个相同点，它是也是由诺夫特拉斯·维斯基发现的特殊几何学定理。
2性质
1.关于任意特定的曲线，每一条线的起点和终点的夹角一定是
2π/n，而封闭曲线由这些线构成，所以可以说，该定理体现的是四条线的夹角，而不是某一条线的夹角。
2.定理要求，当以某一条曲线的起点和终点为中心，四条切线与其夹角相等，那么四条线之间应形成一个封闭的曲线，这个封闭曲线所夹的内角，也就是另外三条线与其夹角也相等。
3.该定理只研究特定的曲线，也就是这里指出的可以由这四条线所形成的四边形内切于该曲线的封闭曲线，也就是说，该封闭曲线距离曲线所有点的距离相等。
3启示
该定理说明，无论曲线何时发生变化，该曲线的切线夹角的性质仍然保持不变。
既可以用来分析曲线的运动规律，也可以为精确的几何图形设计提供技术支持，可以说该定理对微积分的研究大有启示。
第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u{0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。
3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。
解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。
4．求椭圆柱面22221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
