第一章 曲线论

数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为所以。

证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。

所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。

从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。

如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。

证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。

如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。

证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 ;分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式,其中)(t e为单位向量函数,)(t λ为数量函数,那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向,即)(t e为常向量,因为)(t e的长度固定;证 对于向量函数)(t r ,设)(t e 为其单位向量,则)(t r =)(t λ)(t e ,若)(t r具有固定方向,则)(t e 为常向量,那么)('t r =)('t λe ,所以 r ×'r=λ'λe ×e =0 ;反之,若r ×'r =0 ,对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ,于是r×'r =2λe ×'e =0 ,则有 λ =0 或e ×'e =0 ;当)(t λ= 0时,)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时,有e ×'e=0,而e×'e2)=22'e e -e ·'e 2)＝2'e ,因为e 具有固定长,e ·'e = 0 ,所以 'e =0 ,即e为常向量;所以,)(t r 具有固定方向;6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是r 'r ''r =0 ;分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ,使)(t r ·n= 0 ,所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ,''r的关系;证 若)(t r 平行于一固定平面π,设n 是平面π的一个单位法向量,则n为常向量,且)(t r·n = 0 ;两次求微商得'r ·n = 0 ,''r ·n = 0 ,即向量r ,'r ,''r 垂直于同一非零向量n,因而共面,即r 'r ''r =0 ;反之, 若r 'r ''r =0,则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 ;若r ×'r =0,由上题知)(t r 具有固定方向,自然平行于一固定平面,若r ×'r≠0 ,则存在数量函数)(t λ、)(t μ,使''r =r λ+μ'r①令n =r ×'r,则n≠0 ,且)(t r ⊥)(t n ;对n =r ×'r求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μr ×'r=μn ,于是n ×'n =0 ,由上题知n 有固定方向,而)(t r ⊥n ,即)(t r 平行于固定平面;§3 曲线的概念1．求圆柱螺线x =t cos ,y =t sin ,z=t 在1,0,0的切线和法平面;解 令t cos =1,t sin =0, t =0得t =0, 'r0={ -t sin ,t cos ,1}|0=t ={0,1,1},曲线在0,1,1的切线为 111z y x ==- ,法平面为 y + z = 0 ;2．求三次曲线},,{32ct bt at r =在点0t 的切线和法平面;解 }3,2,{)('2000ct bt a t r = ,切线为230020032ct ct z bt bt y a at x -=-=-, 法平面为 0)(3)(2)(30202000=-+-+-ct z ct bt y bt at x a ; 3. 证明圆柱螺线r ={ a θcos ,a θsin ,θb } +∞∞- θ的切线和z 轴作固定角;证明 'r= {-a θsin ,a θcos ,b },设切线与z 轴夹角为ϕ,则ϕcos=22||||'ba be r k r +=⋅ 为常数,故ϕ为定角其中k 为z 轴的单位向量; 4. 求悬链线r ={t ,a t a cosh }-∞∞ t 从t =0起计算的弧长;解'r = {1,atsinh },|'r | =at2sinh 1+ = a tcosh , ｓ＝a tta ta dt sinh cosh=⎰ ;９．求曲线2232,3axz y a x ==在平面3ay =与y = 9a 之间的弧长;解 曲线的向量表示为r ＝}2,3,{223xa a x x ,曲面与两平面3a y = 与y = 9a 的交点分别为x=a 与x=3a , 'r ＝}2,,1{2222xa ax -,｜'r ｜＝444441x a a x ++＝22222xa a x +,所求弧长为a dx xa a x s aa9)2(22322=+=⎰; 10. 将圆柱螺线r ={a t cos ,a t sin ,b t }化为自然参数表示;解 'r= { -a t sin ,a t cos ,b},s = t b a dt r t 220|'|+=⎰ ,所以22ba s t +=,代入原方程得 r ={a cos22ba s +, a sin22ba s +,22ba bs +}11.求用极坐标方程)(θρρ=给出的曲线的弧长表达式; 解由θθρcos )(=x ,θθρsin )(=y 知'r ={)('θρθcos -θθρsin )(,)('θρθsin +θθρcos )(},|'r| = )(')(22θρθρ+,从0θ到θ的曲线的弧长是s=⎰θθ0)(')(22θρθρ+d θ ;§4 空间曲线1．求圆柱螺线x =a t cos ,y =a t sin ,z = b t 在任意点的密切平面的方程;解 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b},''r={-a t cos ,- a t sin ,0 } 所以曲线在任意点的密切平面的方程为sin cos cos sin sin cos ta ta b t a t a bt z t a y t a x ------ = 0 ,即b t sin x-b t cos y+a z-ab t=0 .2. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线;解 原点对应t=0 , 'r0={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1},=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ,所以切线方程是110zy x == ,法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ,即x+y-z=0 ,主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-=； 从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x ; 3．证明圆柱螺线x =a t cos ,y =a t sin ,z = b t 的主法线和z 轴垂直相交;证 'r ={ -a t sin ,a t cos ,b}, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ,由'r ⊥''r 知''r为主法线的方向向量,而''r 0=⋅k所以主法线与z 轴垂直；主法线方程是与z 轴有公共点o,o,bt;故圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交;4.在曲线x = cos αcost ,y = cos αsint , z = tsin α的副法线的正向取单位长,求其端点组成的新曲线的密切平面;解 'r = {-cos αsint, cos αcost, sin α } , ''r={ -cos αcost,- cos αsint ,0 }=⨯⨯=|'''|'''r r r rγ{sin αsint ,- sin αcost , cos α }新曲线的方程为r ={ cos αcost + sin αsint ,cos αsint- sin αcost ,tsin α + cos α }对于新曲线'r={-cos αsint+ sin αcost ,cos αcost+ sin αsint,sin α }={sin α-t,cos α-t, sin α} , ''r={ -cos α-t, sin α-t,0} ,其密切平面的方程是即 sin α sint-α x –sin α cost-α y + z – tsin α – cos α = 0 .5．证明曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点; 证 方法一：⇒设一曲线为一球面曲线,取球心为坐标原点,则曲线的向径)(t r具有固定长,所以r ·'r= 0,即曲线每一点的切线与其向径垂直,因此曲线在每一点的法平面通过这点的向径,也就通过其始点球心;⇐ 若一曲线的所有法平面通过一定点,以此定点为坐标原点建立坐标系,则r ·'r = 0,)(t r具有固定长,对应的曲线是球面曲线;方法二：()r r t =是球面曲线⇔存在定点0r 是球面中心的径矢和常数R 是球面的半径使220()r r R -=⇔02()0r r r '-⋅= ,即0()0r r r '-⋅= ﹡而过曲线()r r t =上任一点的法平面方程为()0r r ρ'-⋅= ;可知法平面过球面中心⇔﹡成立;所以,曲线是球面曲线的充要条件是曲线的所有法平面通过一定点;6.证明过原点平行于圆柱螺线r ={a t cos ,a t sin ,b t }的副法线的直线轨迹是锥面2222)(bz y x a =+.证 'r={ -a tsin ,a t cos , }, ''r ={-a t cos ,- a t sin ,0 } ,'r×''r=},cos ,sin {a t b t b a ---为副法线的方向向量,过原点平行于副法线的直线的方程是az t b y t b x =-=cos sin ,消去参数t 得2222)(bz y x a =+; 7．求以下曲面的曲率和挠率⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =,⑵ )0)}(3(,3),3({323a t t a at t t a r +-=;解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r =,}0,sinh ,cosh {''t a t a r =,}0,cosh ,{sinh '''t t a r =,}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r,所以t a t a t a r r r k 2323cosh 21)cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= ta t a a r r r r r 22422cosh 21cosh 2)'''()''','','(==⨯=τ ; ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ,}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r,'r ×''r =}1,2,1{18222+--t t t a ,22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ ; 8．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r = ,⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；⑶验证伏雷内公式;分析 这里给出的曲线的方程为一般参数,一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率,我们也可以利用定义来求;解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r,,cos sin 5|)('|t t t r dtds ==设sintcost>0, 则}54,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α,}0,cos 53,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==•αα, }0,cos ,{sin ||t t ==••ααβ,}53,sin 54,cos 54{--=⨯=t t βαγ ,⑵ t t k cos sin 253||==•α,}0,cos ,sin {cos sin 254t t t t --=•γ ,由于•γ 与β 方向相反,所以 tt cos sin 254||==•γτ⑶ 显然以上所得 τγβα,,,••k 满足 βτγβα -==••,k ,而γτακβ+-=-=•}0,sin ,{cos cos sin 51t t tt 也满足伏雷内公式 ;9.证明如果曲线的所有切线都经过一的定点,则此曲线是直线;证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r ＝)(t r,则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t r λρ=-,由条件切线都过坐标原点,所以)(')(t r t rλ=,可见r ∥'r ,所以r 具有固定方向,故r ＝)(t r是直线;方法二：取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r ＝)(t r,则曲线在任意点的切线方程是)(')(t r t rλρ=-,由条件切线都过坐标原点,所以)(')(t r t rλ=,于是'r ＝λ''r ,从而'r ×''r＝0 ,所以由曲率的计算公式知曲率k ＝０,所以曲线为直线;方法二：设定点为0r ,曲线的方程为r ＝()r s ,则曲线在任意点的切线方程是()()r s s ρλα-=,由条件切线都过定点0r ,所以0()()r r s s λα-=,两端求导得:()()s s αλαλκβ'-=+, 即(1)()0s λαλκβ'++= ,而(),()s s αβ无关,所以10λ'+=,可知0,()0s λκ≠∴=,因此曲线是直线;10. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一的定点,则此曲线是平面曲线;证 方法一：取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r ＝)(t r,则曲线在任意点的密切平面的方程是0))('')('())((=⨯⋅-t r t r t r ρ,由条件0))('')('()(=⨯⋅-t r t r t r,即r 'r ''r =0,所以r 平行于一固定平面,即r ＝)(t r是平面曲线;方法二：取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r ＝)(s r,则曲线在任意点的密切平面方程是0))((=⋅-γρ s r ,由条件0)(=⋅γs r ,两边微分并用伏雷内公式得τ-0)(=⋅β s r ;若0)(=⋅β s r ,又由0)(=⋅γ s r 可知)(s r ∥)(s r •= α,所以r ＝)(s r平行于固定方向,这时r ＝)(s r表示直线,结论成立;否则0=τ,从而知曲线是平面曲线;方法三：取定点为坐标原点建坐标系,曲线的方程设为r ＝)(t r,则曲线在任意点的密切平面方程是0))('')('())((=⨯⋅-t r t r t r ρ,由条件0))('')('()(=⨯⋅-t r t r t r,即r 'r ''r =0,所以r ,'r ,''r 共面,若r ∥'r ,则r ＝)(t r是直线,否则可设''',''''''r r r r r r λμλμ=+∴=+,所以','','''r r r 共面,所以0=τ,从而知曲线是平面曲线;11. 证明如果一条曲线的所有法平面包含常向量e,那么曲线是直线或平面曲线;证 方法一：根据已知0=⋅e α,若α是常向量,则k=||•α =0 ,这时曲线是直线;否则在0=⋅e α两边微分得•α ·e =０,即 k β ·e =０,所以β ·e =０,又因0=⋅e α,所以γ ∥e ,而γ 为单位向量,所以可知γ 为常向量,于是0||||==•γτ,即0=τ,此曲线为平面曲线;方法二：曲线的方程设为r ＝)(t r ,由条件'r ·e ＝０,两边微分得''r ·e ＝０,'''r ·e＝０,所以'r , ''r ,'''r共面,所以'r ''r '''r ＝０;由挠率的计算公式可知0=τ,故曲线为平面曲线;当'r ×''r＝0 时是直线;方法三：曲线的方程设为r ＝)(t r,由条件'r ·e ＝０,两边积分得p 是常数;因r e p ⋅=是平面的方程,说明曲线r ＝)(t r在平面上,即曲线是平面曲线,当'r 有固定方向时为直线;12．证明曲率为常数的空间曲线的曲率中心的轨迹仍是曲率为常数的曲线;证明 设曲线C ：r ＝)(s r的曲率k 为常数,其曲率中心的轨迹C 的方程为：)(1)(s ks r βρ+= ,β 为曲线C 的主法向量,对于曲线C 两边微分得γτγτααρ kk k s =+-+=)(1)(' ,α ,γ ,τ分别为曲线C 的单位切向量,副法向量和挠率,βτγτρ k k 2''-=•,k |||'|τρ= ,23'''k τρρ=⨯ α ,曲线C 的曲率为k k k k ==⨯=-33233|||||'||'''|ττρρρ为常数;13.证明曲线x=1+3t+22t ,y=2-2t+52t ,z=1-2t 为平面曲线,并求出它所在的平面方程 ;证 'r ={3+4t, -２+10t,-2t}, ''r ={4,10,-２}, '''r＝｛０,0,0｝曲线的挠率是0)'''()''','','(2=⨯=r r r r r τ,所以曲线为平面曲线;曲线所在平面是曲线在任一点的密切平面;对于ｔ=０,r =｛１,２,１｝,'r ={3, -２,０}, ''r ={4,10,-２}, '''r＝｛０,0,0｝;所以曲线的密切平面,即曲线所在平面是02104023121=-----z y x ,即2x+3y+19z –27＝０．14．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行,证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行;证 设曲线Γ：r =)(s r与Γ：)(s r r =点s 与s 一一对应,且对应点的切线平行,则)(s α=)(s α±, 两端对s 求微商得ds s d αα ±=, 即dss d s k s k )()(ββ ±= ,这里k ≠0,若k=||α =0,则β 无定义,所以β ∥β ,即主法线平行,那么两曲线的副法线也平行;15．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的主法线平行,证明它们在对应点的切线作固定角;证 设α ,α分别为曲线Γ、Γ的切向量,β ,β 分别为曲线Γ、Γ的主法向量,则由已知)()(s s ββ ±=．．．．．① ,而ds s d ds d αααααα ⋅+⋅=⋅)(＝ dss d s k k )(βααβ ⋅+⋅ 将①式代入 0)(=⋅±⋅dss d k βααβ ;所以α ·α＝常数,故量曲线的切线作固定角;16.若曲线Γ的主法线是曲线Γ的副法线, Γ的 曲率、挠率分别为τκ,;求证k=0λ2κ+2τ ,其中0λ为常数;证 设Γ的向量表示为r =)(s r,则Γ可表示为ρ =)(s r +)(s λ)(s β , Γ的切向量'ρ =α+λ β +λ－k α +τγ 与β 垂直,即'ρ ·β ＝λ ＝０,所以λ为常数,设为0λ,则'ρ ＝１－0λk α +0λτγ ;再求微商有''ρ ＝－0λk α＋１－0λkk β ＋0λτ γ －0λ2τβ ,''ρ ·β ＝１－0λkk －0λ2τ＝０,所以有k=0λ2κ+2τ;17．曲线r ={at-sint,a1-cost,4acos2t}在那点的曲率半径最大;解 'r= a{1-cost,sint,-2sin2t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2t}, |2sin |22|'|tr = ,'r ×''r =}1,2cos ,2{sin 2sin 2}2cos 4,2cos 2sin 2,2sin 2{22232tt t a t a t t t a -=--,|'r ×''r |=22sin 222t a , |2sin|81|||'''|3ta r r r k =⨯=,|2sin |8t a R = ,所以在t=2k+1π,k 为整数处曲率半径最大;18． 已知曲线)(:)(3s r r C C =∈上一点)(0s r 的邻近一点)(0s s r ∆+ ,求)(0s s r ∆+点到)(0s r 点的密切平面、法平面、从切平面的距离设点)(0s r 的曲率、挠率分别为00,τκ;解)(0s s r ∆+－)(0s r ＝30200])([!31)(21)(s s r s s r s s r ∆++∆+∆ε ＝300021s s ∆+∆βκα ＋300000020)(61s k k ∆+++-εγτκβα ,设030201γεβεαεε ++=,其中0lim 0=→∆ε s ;则)(0s s r ∆+ －)(0s r＝0330003202003120])(61[])(6121[])(61[γετκβεκκαεκ s s s s s ∆++∆++∆+∆+-+∆ 上式中的三个系数的绝对值分别是点)(0s s r ∆+ 到)(0s r的法平面、从切平面、密切平面的距离;§5 一般螺线5. 证明如果所有密切平面垂直于固定直线,那么它是平面直线.证法一: 当曲线的密切平面垂直于某固定直线时,曲线的副法向量γ是常向量.即γ=0;曲线的挠率的绝对值等于|γ|为零,所以曲线为平面曲线; 证法二：设n 是固定直线一向量,则'r ·n =0 ,积分得r ·n=p ,说明曲线在以n 为法向量的一个平面上,因而为平面直线;证法三：设n 是固定直线一向量,则'r ·n =0 ,再微分得''r ·n =0 ,'''r ·n=0 ;所以'r 、''r 、'''r三向量共面,于是'r ''r '''r = 0 ,由挠率的计算公式知τ=0,因此曲线为平面曲线;7．如果两曲线在对应点有公共的副法线,则它们是平面曲线;证 设一曲线为Γ：r ＝)(s r,则另一曲线Γ的表达式为：+=)(s r ρ)(s λ)(s γ ,)(s γ 为曲线Γ在点s 的主法向量,也应为Γ在对应点的副法线的方向向量;'ρ ＝α＋λ γ －λτβ 与γ 正交,即'ρ ·γ ＝０,于是λ ＝０,λ为常数;'ρ ＝α －λτβ ,''ρ ＝k β －λτ β －λτ－k α＋τγ 也与γ 正交,即''ρ ·γ ＝-λ2τ=0,而λ≠０,所以有τ＝０,曲线Γ为平面曲线;同理曲线Γ为平面曲线;8. 如果曲线Γ：r ＝)(s r为一般螺线, α、β 为Γ的切向量和主法向量,R 为Γ的曲率半径;证明Γ：ρ=R α－⎰ds β 也是一般螺线;证 因为Γ为一般螺线, 所以存在一非零常向量e 使α与e成固定角,对于曲线Γ,其切向量'ρ=αββκα R R R =-+与α共线,因此也与非零常向量e 成固定角, 所以Γ也为一般螺线;9．证明曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为0),,(....=r r r证 βκ =r ,γτκτκβκτκκακκγκτβκακ )2()(3,23....2++-+-+-=++-=r r 25333....)(3)2(),,(κτκτκκτκτκκτκκτκτκ -=-=-+=k r r r ＝)(5κτκ,其中k ≠0. 曲线r ＝)(s r 为一般螺线的充要条件为κτ为常数,即•)(κτ=0,也就是0),,(....=r r r ;方法二： 0),,(....=r r r ,即0),,(=ααα;曲线r ＝)(s r 为一般螺线,则存在常向量e ,使α·e =常数,所以,0,0,0=⋅=⋅=⋅e e e ααα所以ααα ,,共面,从而ααα ,,=0;反之,若ααα ,,=0,则α 平行于固定平面,设固定平面的法矢为e ,则有0=⋅e α,从而α·e = p 常数,所以r ＝)(s r 为一般螺线;方法三：曲线r ＝)(s r 为一般螺线⇔存在常向量e 使e β⊥,即0e ββ⋅=⇔平行于固定平面以e 为法向量的平面r ⇔平行于一固定平面(,,)0r r r ⇔= ;方法四：""⇒设r ＝)(s r 为一般螺线,存在常向量e 使e α⋅=常数,即r e ⋅=常数,连续三次求微商得0,0r e r e ⋅=⋅=,0r e ⋅= ,所以0),,(....=r r r ;""⇐因为0),,(....=r r r ,所以r 平行于固定平面,设固定平面的法矢为n 常向量,则r n ⊥,而,r n ββ∴⊥,所以曲线为一般螺线;10. 证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线;证 设曲线Γ与Γ在对应点有公共的切线,且Γ的表达式为：r ＝)(s r ,则Γ：+=)(s r ρ)(s λ)(s α ,λ≠０,其切向量为'ρ＝α＋λ α＋λk β 应与α平行,所以k ＝０,从而曲线Γ为直线;同理曲线Γ为直线,而且是与Γ重合的直线;所以作为非直线的两条不同的曲线不可能有公共的切线;11．设在两条曲线Γ、Γ的点之间建立了一一对应关系,使它们在对应点的切线平行,证明它们在对应点的主法线以及副法线也互相平行,且它们的挠率和曲率都成比例,因此如果Γ为一般螺线, 则Γ也为一般螺线;证 设曲线Γ：r =)(s r 与Γ：)(s r r =点建立了一一对应,使它们对应点的切线平行,则适当选择参数可使)(s α =)(s α , 两端对s 求微商得ds s d αα =, 即ds s d s k s k )()(ββ = ,这里0 ds s d ,所以有β =β ,即主法线平行,从而)(s γ =)(s γ ,即两曲线的副法线也平行;且,ds s d κκ= 或ds s d =κκ;)(s γ =)(s γ 两边对s 求微商得dss d s s )()(βτβτ -=-,于是 ,ds s d ττ=或ds s d =ττ,所以,ττκκ= 或τκτκ=;。

微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。

该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。

本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。

建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。

二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。

（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。