北师大版高中数学必修五课时作业23 简单线性规划

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.4.2 简单线性规划课时训练 北师大版必修5一、选择题1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0，1)B ．(－1，－1)C ．(1，0)D ．(12，12)【解析】 可以验证这四个点均是可行解．当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除A 、B 、D.【答案】 C2．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1【解析】 利用线性规划求最值．可行域如图中阴影部分所示．先画出直线l 0：y ＝－3x ，平移直线l 0，当直线过A 点时z ＝3x ＋y 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，x －y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴A 点坐标为(3，2)． ∴z 最大＝3×3＋2＝11.【答案】 B3．(2013·福州高二检测)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OM →·OA →的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1] C ．[0，2]D ．[－1，2]【解析】 作出可行域，如图所示，OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1，1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0，2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0，2]．【答案】 C4．已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为( )A.10 B ．2 2 C ．8D ．10【解析】 画出可行域(如图所示)．(x ＋3)2＋y 2即点A (－3，0)与可行域上点(x ，y )间距离的平方．显然|AC |长度最小， ∴|AC |2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10. 【答案】 D5．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y的取值范围是( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1，6]D ．[－6，32]【解析】 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，2x ＋y －4＝0解得A (2，0)；由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝0，2x ＋y －4＝0解得B (12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z ＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．【答案】 A 二、填空题6．(2012·课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．【解析】 利用线性规划知识求解． 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，作直线x －2y ＝0，并向左上，右下平移，当直线过点A 时，z ＝x －2y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝x －2y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －3＝0，得B (1，2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x ＋y －3＝0，得A (3，0)． ∴z max ＝3－2×0＝3，z min ＝1－2×2＝－3， ∴z ∈[－3，3]． 【答案】 [－3，3]7．(2013·乌鲁木齐高二检测)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋x ≤1y －x ≤1y ≥0，则y x ＋2的取值范围是________．【解析】 yx ＋2可看作(－2，0)与可行域(如图阴影部分)内点(x ，y )连线的斜率k ，0－00＋2≤k ≤1－00＋2，即0≤k ≤12，所以yx ＋2的取值范围为[0，12]． 【答案】 [0，12]8．已知－1＜x ＋y ＜4且2＜x －y ＜3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．(答案用区间表示)【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＋y ＜4，2＜x －y ＜3得平面区域如图阴影部分所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－1，x －y ＝3得C (1，－2)，∴z max ＝2×1－3×(－2)＝8(取不到)解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2得A (3，1)， ∴z min ＝2×3－3×1＝3(取不到) 【答案】 (3，8) 三、解答题9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，求目标函数z ＝2y －2x ＋4的最大值和最小值．【解】 作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，的可行域(如图)．作直线l 0：2x －2y ＝0， 即x －y ＝0，把直线l 0向上平移，函数z ＝2y －2x ＋4的值随之增大． 当l 经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8.当l 经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.10．当x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y ＋k ≤0(k 为负常数)时，能使z ＝x ＋3y 的最大值为12，试求k 的值．【解】 在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图所示)．当直线y ＝－13x ＋13z 经过区域中的点A (－k 3，－k 3)时，z 取到最大值，等于－4k3.令－4k3＝12，得k ＝－9.∴所求实数k 的值为－9.11．设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．【解】 画出满足条件的可行域．(1)令t ＝x 2＋y 2，则对t 的每个值，x 2＋y 2＝t 表示一族同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点，x 2＋y 2的值都相等．由下图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆过C 点时，u 最大，过(0，0)时u 最小．又C (3，8)，∴u max ＝73，u min ＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5，0)的连线的斜率．由图可知，k BD 最大，k CD 最小．又C (3，8)，B (3，－3)，∴v max ＝－33－5＝32，v min ＝83－5＝－4.。

4o分钟课时作业不等式一、选择题：每小题5分，共30分・则z = 2x+3y1.若变量x, y满足约束条件U-3y<-2,1,的最小值为（）A・17B・14C・5 D・3解析：通过约束条件画出可行域，可知z的最小值为5,故选C.答案：C兀三1,则目标函数2.设变量x, y满足约束条件x+y—4W0,、x—3y+4W0, z = 3x~y的最大值为（）A. —4 B・ 04C.^ D・ 4解析：作岀可行域，如图所示.兀=1至(2,2)时，Z = 3x —y 有最大值4. 答案：D联立 兀+丁一4 =0, %—3y+4 = 0, 解得 Lv=2・当目标函数z=3x —y 移3. 实数兀，y 满足不等式组取值范围是（）f3_ + ooC.1 B匕r i答案：D,17x —y^O,—y —2三0,f'3_ \y— 1则血=石「的,174.在如图所示的可行域内（阴影部分且包括边界），目标函数z=x+oy取得最小值的最优解有无数个，则。

的一个可能值是C・—1 D・11 7解析：由题意知，y=—匚兀+:当a>0时，此时z最大时有最优解无数个；当a<0时，y1 7 ,-= —-%+-与AC重合时，z取最小值，有无数个最优解，a ._1=1• •/-)9 • ■ Cl 3 ■a 3答案：AC. 4D. 35・已知平面直角坐标系xQy上的区域°由不等式组*2,给是•右M（x,y）为/）上的动点，点4的坐标为（返1），贝^\z=OMOA的最大值为（A・4翻 B. 3辺解析:z = OMOA = （x,，）・（A/L l） = V2x+y,画岀不等式组表示的区域，显然当z=\[2x+y经过3（迈，2）时，z取最大值，即Zmax = 2 + 2 = 4・答案：CC. 4D. 36.若函数y = 2"图像上存在点(x, y)满足约束条件x~\~y—3 W0,< %—2『一3 则实数加的最大值为()1 A-23 C2B・1 D・2解析：可行域如图中的阴影部分所示,函数y=2"的图像经过可行域上的点，由*+厂3=0 得x=L即函数y=2'v的图像与直线x+厂3 = 0的交点坐标为丿=2,(1,2),当直线x=m经过点(1，2)时，实数血取到最大值为1,应选B.答案：B二、填空题：每小题5分，共15分.兀一y—2W0,y 满足＜x+2y—420,、2y—3W0 则三的最大值是7・设实数%,解析：不等式组表示的平面区域如下图所示,即y=kx.所求F的最大值即为过原点的直线斜率的最大值,3 V Q• ^max —2?即］的最大值为㊁.答案：I8.设m>l,在约束条件下，目标函数z=x+5y&+応1的最大值为4,则m的值为___________ ・解析：先画出约束条件表示的可行域，如图所示,/+応1直线％+尸1与尸曲的交点为［尙，希］,得到当尸m 1 丁=齐7［时目标函数z=x+5y有最大值4，则有齐7［+5X =4, 得771 = 3.答案：3兀三0，9.已知x, y满足约束条件则(X+3)2+^2的最x+y^\,小值为_________ ■解析：Li!出可行域(如图所75)・(X+3)2+)；2即点人(一3,0)与可行域内点9, V)间距离的平方.显然AC长度最小，AAC2 = (0+3)2+(l -0)2= 10,即(X+3)2+/的最小值为10.答案：10三、解答题：每小题15分，共45分.10.设z=2y—2x+4,已知x, y满足条件0求2y~x^l, z的最大值和最小值.OWxW 1、解：作出满足不等式组的可行域，如图所示的、2『一兀三1阴影部分.X=1作直线人2y-2x=t.当/经过点4(0,2)时，z max = 2X2-2X0+4 = 8；当/经过点5(1,1)时,z min = 2Xl-2X 1+4=4.2x~Fy—2上0,11-若实数x，y满足且/+y2的最大值为34,求正实数a的值.解：在平面直角坐标系中画岀约束条件所表示的可行域如图（形状不定），其中直线俶一y—0的位置不确定，但它经过定点A（1,O）,斜率为Q・又由于F+严=&X2+長）2.且x2-\-y2的最大值等于34,所以可行域中的点与原点距离的最大值等于何.2x+y-2=0一 3得P 的坐标为~+b 3W 丿 又-OM= 寸9+扌< 伸.（3） 亠 •:点3到原点距离最大,W/ 解方程组得M 的坐标为一，ax 一y 一a = Q 9 丿=3,（3 \ 3 /. _+1 2 + 9 = 34,又6Z>0,故解得6Z = T. I。

- 1 - 3.4 简单线性规划分层训练
1.点(1,1)在下面各不等式表示的哪个区域中
( )
A 2≤-y x
B 022>--y x
C 0≤y
D 2≥x
２.不在3x+2y<6表示的平面区域内的点是
( )
A. (0 , 0)
B. (1 , 1)
C. (0 , 2)
D. (2 , 0)
３.不等式x －2y+6>0表示的平面区域在直线x －2y+6=0的 ( )
A.右上方
B. 左上方
C. 右下方
D. 左下方
４．原点和点(1,1)在直线0=-+a y x 的同侧，则a 的取值范围是 （ ）
A 0<a 或2>a
B 0=a 或2=a
C 20<<a
D 20≤≤a
考试热点
５.已知直线l : x －y+a=0, 点P 1(1 , －2) , P 2(3 , 5)分别位于直线l 的两侧, 则a 的取值范围_____________ .
６.若B>0 时, 不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ , 若B<0时，
不等式Ax+By+C>0表示的区域是直线Ax+By+C=0的__________ ．（填＂上方＂或＂下方＂）．
７.画出下列不等式表示的平面区域
(1)y>2x －3 (2)y ≤－x+2 (3)3x －2y+6≥0 (4) x>y+1
拓展延伸
８.将下列各图中平面区域(阴影部分)用不等式表示出来.：
(1) (2)
(3)
本节学习疑点：
用心爱心专心- 2 -。

4.2简单线性规划一、非标准1.设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x-2y的最小值为()A.-5B.-4C.-2D.3解析:由约束条件可得可行域:对于目标函数z=3x-2y,可化为y=x-z,要使z取最小值,可知过点A时取得.由即A(0,2),所以z=3×0-2×2=-4.答案:B2.设变量x,y满足约束条件则z=x-3y的最小值为()A.-2B.-4C.-6D.-8解析:作出可行域.令z=0,则l0:x-3y=0,平移l0在点M(-2,2)处z取到最小,最小值为-8.答案:D3.已知在平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定.若M(x,y)为D上的动点,点A的坐标为(,1),则z=的最大值为()A.4B.3C.4D.3解析:画出可行域,而z=x+y,∴y=-x+z.令l0:y=-x,将l0平移到过点(,2)时,截距z有最大值,故z max=+2=4.答案:C4.已知x,y满足则点P(x,y)到直线x+y=-2的距离的最小值为()A. B.2C. D.解析:不等式组所表示的可行域如图阴影部分.其中点P(1,1)到直线的距离最短,其最小值为=2,故选B.答案:B5.若点(x,y)位于曲线y=|x-1|与y=2所围成的封闭区域,则2x-y的最小值为.解析:由y=|x-1|=及y=2画出可行域如图阴影部分.令2x-y=z,则y=2x-z,画直线l0:y=2x并平移到过点A(-1,2)的直线l,此时-z最大,即z最小=2×(-1)-2=-4.答案:-46.若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为.解析:根据得可行域如图,根据z=x+2y得y=-,平移直线y=-,在M点z取得最小值.由此时z min=4+2×(-5)=-6.答案:-67.若实数x,y满足则z=3x+2y的最小值为.解析:上述不等式组所表示的可行域如图阴影部分.令t=x+2y,则当直线y=-x+t经过原点O(0,0)时,t取最小值,也即t有最小值为0,则z=3x+2y有最小值为30=1.答案:18.如果实数x,y满足不等式组则(x+2)2+(y+1)2的最小值为.解析:画出不等式组表示的平面区域,如图阴影部分.表示可行域内的点D(x,y)与定点M(-2,-1)间的距离.显然当点P在点A(1,2)时|PM|最小,这时|PM|=3,故(x+2)2+(y+1)2的最小值是18.答案:189.求z=5x-8y的最大值,使式中的x,y满足约束条件解:作出满足不等式组的可行域,如图阴影部分.作直线l0:5x-8y=0,平移直线l0,由图可知,当平移到直线经过A点时,z取最大值.解方程组得A(6,0),所以z max=5×6-8×0=30.10.已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围.解:如图所示,令a=x,b=y,z=9a-b,即已知-4≤x-y≤-1,-1≤4x-y≤5,求z=9x-y的取值范围,画出不等式表示的可行域如图阴影部分.由z=9x-y,得y=9x-z,当直线过点A时z取最大值,当直线过点B时z取最小值.由得A(3,7),由得B(0,1),即z max=9×3-7=20,z min=-1,所以9a-b的取值范围是[-1,20].。

4．2 简单线性规划明目标、知重点 1.了解线性规划的意义.2.了解线性规划问题中有关术语的含义.3.会求一些简单的线性规划问题．1．线性规划中的基本概念名 称 意 义约束条件 关于变量x ，y 的不等式(组) 线性约束条件 关于x ，y 的一次不等式(组)目标函数 欲求最大值或最小值的关于变量x ，y 的函数解析式线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 由所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题2.线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是zb ，当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值．[情境导学]已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解答时容易错误的利用不等式中的加法法则，由原不等式组得到x ，y 的范围，再分别求出2x 及－3y 的范围，然后相加得2x －3y 的取值范围．由于不等式中的加法法则不具有可逆性，从而使x ，y 的取值范围扩大，得出错误的2x －3y 的取值范围．如果把1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3看作变量x ，y 满足的条件，把求2x －3y 的取值范围看作在满足上述不等式的情况下，求z ＝2x －3y 的取值范围，就成了本节要研究的一个线性规划问题． 探究点一 线性规划中的基本概念问题 设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤30，y ≤3x ，y ≥1.求z ＝2x ＋y 的x ，y 最小值和最大值．思考1 z ＝2x ＋y 中的x ，y 对应的点(x ，y )在怎样的平面区域内？答 如下图所示：即为满足不等式组的解集对应的一个平面区域(如图阴影部分)．思考2 在思考1中的平面区域内，求z ＝2x ＋y 的最小值和最大值问题转化为怎样的问题？ 答 问题转化为：在上述图形中的阴影部分找二个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，能分别使z ＝2x ＋y 取得最小值和最大值．思考3 若把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，这是斜率为－2，截距为z 的直线．当直线y ＝－2x 在思考1中的图中平移时，所对应的z 随之变化，你能观察出平移到何处z 有最大值或最小值？答 如下图，当直线y ＝－2x 平移到顶点A 时所对应的z 最小；平移到顶点B 时所对应的z 最大．思考4 经过以上讨论，你能求出z ＝2x ＋y 取得的最小值与最大值吗？答 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，y ＝1.得A 点坐标为(13，1)；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝30，y ＝1.得B 点坐标为(245，1)．从而得到z min ＝2×13＋1＝53；z max ＝2×245＋1＝535.小结 (1)如果两个变量x ，y 满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件，像这样的问题叫作二元线性规划问题．(2)在线性规划问题中，满足约束条件的解(x ，y )称为可行解，由所有可行解组成的集合称为可行域．在可行解中，能分别使目标函数取得最小值和最大值的(x 1，y 1)，(x 2，y 2)称为这个问题的最优解．探究点二 求目标函数的最大值或最小值 例1 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－3，y ≥－4，－4x ＋3y ≤12，4x ＋3y ≤36.(1)求目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值与最大值； (2)求目标函数z ＝－4x ＋3y －24的最小值与最大值． 解 (1)作出可行域如图阴影部分．令z ＝0，作直线l ：2x ＋3y ＝0.仿前，当把直线l 向下平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的函数值随之减小，所以，直线经过可行域的顶点B 时，z ＝2x ＋3y 取得最小值．从图中可以看出，顶点B 是直线x ＝－3与直线y ＝－4的交点，其坐标为(－3，－4)； 当把l 向上平移时，所对应的z ＝2x ＋3y 的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点D 时，z ＝2x ＋5y 取得最大值．顶点D 是直线－4x ＋3y ＝12与直线4x ＋3y ＝36的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋3y ＝12，4x ＋3y ＝36，可以求得顶点D 的坐标为(3,8)．此时，顶点B (－3，－4)与顶点B (3,8)为最优解． 所以z min ＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18， z max ＝2×3＋3×8＝30. (2)可行域如图所示阴影部分．作直线l 0：－4x ＋3y ＝0，仿前，把直线l 0向下平移时，所对应的z ′＝－4x ＋3y 的函数值随之减小，即z ＝－4x ＋3y －24的函数值随之减小，从图可以看出，直线经过可行域顶点C 时，z ′＝－4x ＋3y 取得最小值，即z ＝4x ＋3y －24取得最小值．顶点C 是直线4x ＋3y ＝36与直线y ＝－4的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4，4x ＋3y ＝36，得到顶点C 的坐标(12，－4)，代入目标函数z ＝－4x ＋3y －24，得z min ＝－4×12＋3×(－4)－24＝－84.由于直线l 0平行于直线－4x ＋3y ＝12，因此当把直线l 0向上平移到l 1时，l 1与可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点．此时，z max ＝12－24＝－12.反思与感悟 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．跟踪训练1 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z ＝2x －y 最大值和最小值．解 z ＝2x －y 可化为y ＝2x －z ，z 的几何意义是直线在y 轴上的截距的相反数，故当z 取得最大值和最小值时，应是直线在y 轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l 0：2x －y ＝0平行的直线系l ，经上下平移，可得：当l 移动到l 1，即经过点A (5,2)时，z max ＝2×5－2＝8.当l 移动到l 2，即过点C (1,4.4)时，z min ＝2×1－4.4＝－2.4.例2 求z ＝4a －2b 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4下的最小值与最大值．解 作出可行域如图．可知z 的最大值、最小值是在顶点A ，B ，C ，D 处取得．由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，a ＋b ＝2，得A ⎝⎛⎭⎫12，32； 由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，a －b ＝2，得B (2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4，得C (3,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，a －b ＝－1，得D ⎝⎛⎭⎫32，52. 计算这些顶点的目标函数值：z A ＝4×12－2×32＝－1；z B ＝4×2－2×0＝8；z C ＝4×3－2×1＝10；z D ＝4×32－2×52＝1.比较得到，z max ＝z C ＝10，z min ＝z A ＝－1.反思与感悟 目标函数的最大值与最小值总是在可行域的边界交点(顶点)处取得．所以求目标函数的最值时，只需求出区域边界的交点，再比较目标函数在交点处的函数值大小，根据问题需求选择所需结论．跟踪训练2 已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解 作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即为可行域．设z ＝2x －3y ，变形得y ＝23x －13z ，则得到斜率为23，且随z 变化的一族平行直线．－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2x －3y 取得最小值．由图可见，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝5得A 的坐标为(2,3)，∴z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点B 时，截距最小，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝1得B 的坐标为(2，－1)．∴z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7.∴－5≤2x －3y ≤7，即2x －3y 的取值范围是[－5,7]．1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.52答案 C解析 画出可行域如图．设z ＝x ＋2y ，平行移动直线y ＝－12x ＋12z ，当直线y ＝－12x ＋z 2过点B ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 取最大值53，所以(x ＋2y )max ＝53.2．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．23 答案 B解析 作出可行域如图所示．由图可知，z ＝2x ＋3y 经过点A (2,1)时，z 有最小值，z 的最小值为7.3．已知集合M ＝{(x ，y )|y ≤x }，P ＝{(x ，y )|x ＋y ≤2}，S ＝{(x ，y )|y ≥0}，若T ＝M ∩P ∩S ，点E (x ，y )∈T ，则x ＋3y 的最大值是( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D解析 如图，依题意得点E 在图中阴影部分，设x ＋3y ＝b ，则y ＝－13x ＋b 3，即b3表示直线在y 轴上的截距，当直线x ＋3y ＝b 过点A (1,1)时，b max ＝1＋3×1＝4. 4．已知实数x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝2x ＋4y 的最大值为________．答案 8解析 由不等式组表示的可行域知，目标函数z 在点(0,2)处取得最大值8.[呈重点、现规律]1．用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： (1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．2．作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解． 3．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．一、基础过关1．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值为( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．1 答案 A解析 －1a ＝2－14－1＝13，∴a ＝－3.2．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0 D ．2 答案 A解析 如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点A (－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6. 3．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －y ＋1≥0，则x ＋y 的最大值为( )A ．9 B.157 C ．1 D.715答案 A解析 画出可行域如图：当直线y ＝－x ＋z 过点A 时，z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x －y ＋1＝0 得A (4,5)，∴z max ＝4＋5＝9.4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2 答案 A解析 可行域如图阴影部分(含边界)令z ＝0，得直线l 0：y －2x ＝0，平移直线l 0知，当直线l 过D 点时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，x －y －2＝0得D (5,3)．∴z min ＝3－2×5＝－7，故选A.5．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( ) A ．3，－11 B ．－3，－11 C ．11，－3 D ．11,3答案 A解析 作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.6．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 答案 [3,8]解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ＋y ≤42≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值，z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值，z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]．7．在线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下，求z ＝2x －y 的最大值和最小值．解 如图作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥12，x ＋y ≤10，3x ＋y ≥12下的可行域，包含边界：其中三条直线中x ＋3y ＝12与3x ＋y ＝12交于点A (3,3)，x ＋y ＝10与x ＋3y ＝12交于点B (9,1)，x ＋y ＝10与3x ＋y ＝12交于点C (1,9)，作一组与直线2x －y ＝0平行的直线l ：2x －y ＝z .即y ＝2x －z ，然后平行移动直线l ，直线l 在y 轴上的截距为－z ，当l 经过点B 时，－z 取最小值，此时z 最大，即z max ＝2×9－1＝17；当l 经过点C 时，－z 取最大值，此时z 最小，即z min ＝2×1－9＝－7.∴z max ＝17，z min ＝－7.二、能力提升8．已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C ．1D ．2 答案 B解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点B 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12，故选B. 9．已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0x ≥0，，则z ＝log 2(x －y ＋5)的最大值为( )A ．2B ．log 25C ．1D ．log 210－log 23答案 B解析 作出可行域如图，由z ＝log 2(x －y ＋5)，得2z ＝x －y ＋5，即y ＝x ＋5－2z ，作直线l 0：x －y ＝0，当直线l 0过原点(0,0)时，2z 最大，即2z ＝5，此时z 最大，x ＝y ＝0时，z max ＝log 25. 10．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )A ．3B ．4C ．3 2D ．42答案 B解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，画出可行域如图阴影部分所示， 目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图像过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.11．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时对应的点有无数多个，求a 的值．解 画出可行域，如图所示，即直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，则直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值，分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时，将会有无数多个点使函数取得最大值．又由于k AC ＝4.4－21－5＝－35， 即－a ＝－35，∴a ＝35. 12．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0上，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，求|PQ |的最小值．解 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，2y －1≥0所表示的平面区域，x 2＋(y ＋2)2＝1所表示的曲线为以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．如图所示，只有当点P 在点A ⎝⎛⎭⎫0，12，点Q 在点B (0，－1)时，|PQ |取最小值32. 三、探究与拓展13．已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值；(2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．解 作出可行域，如图所示．(1)∵z ＝((x ＋1)2＋(y －1)2)2，∴z 可看作是可行域内任一点(x ，y )到点M (－1,1)的距离的平方． 由图可知z min 等于点M 到直线x ＋y －4＝0的距离的平方．∴z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－4|22＝8. (2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍． 由图可知，点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7,9)． ∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.。

课时作业23简单线性规划时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．下列是关于x，y的线性目标函数的是()A．z＝x2＋y2B．z＝x＋yC．z＝x2－y D．z＝x＋y【答案】 B【解析】只要是关于x，y的二元一次式即为线性的．2．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是() A．该直线在坐标轴上的距离B．该直线在y轴上的截距C．该直线在y轴上的截距的相反数D．该直线在x轴上的截距【答案】 C【解析】令目标函数中的x＝0得y＝－z，∴z的意义是在y轴上截距的相反数．3．已知点(x，y)构成的可行域如图阴影部分所示，z＝mx＋y(m为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为()A ．－720 B.720 C.12 D.720或12【答案】 B【解析】 观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．(2013·全国大纲文改编)若x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为( )A ．0 B.43 C ．4 D ．6【答案】 A【解析】 本题考查用不等式组表示平面区域、线性规划．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0x ＋3y ≥43x ＋y ≤4表示的平面区域如图阴影部分所示：作直线l 0：－x ＋y ＝0，要使z 最小，需要直线z ＝－x ＋y 在y 轴上的截距最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝43x ＋y ＝4得A (1,1)，∴z min ＝－1＋1＝0.5．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤sy ＋2x ≤4，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【答案】 D【解析】 当3≤s ≤4时，z ＝3x ＋2y 的最大值在直线x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s －4)处取得，此时z max ＝4＋s ，其取值范围是[7,8]；当4≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值在点(0,4)处取得，即z max ＝8，故所求的取值范围是[7,8]．6．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0y ≥0y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( )A.34 B ．1 C.74 D ．2【答案】 C【解析】 如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74.7．(2013·四川文)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16【答案】 C【解析】 本题考查了线性规划中最优解问题．z ＝5y －x ，可得y ＝15x ＋15z .z5表示直线在y 轴上的截距．截距越大，z 越大，截距越小，z 越小，如图所示．平移直线l 0：y ＝15x .当l 0过A 点(4,4)时可得z max ＝a ＝16. 当l 0过B 点(8,0)时可得z min ＝b ＝－8. 故a －b ＝16－(－8)＝24.二、填空题(每小题5分，共15分)8．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2.则z ＝x －3y 的最小值为________．【答案】 －8【解析】 作出可行域如图阴影部分所示．可知当x －3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.9．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则yx 的最大值为________．【答案】 12【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．10．(2013·北京文)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【答案】 255【解析】 本题考查不等式组表示平面区域，点到直线距离公式等．区域D 如图阴影部分所示：则(1,0)到区域D 的最小值即为(1,0)到直线y ＝2x 的距离：|2×1－0|5＝255.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)若⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，求目标函数z ＝x ＋3y 的最大值和最小值．【解析】满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6的可行域如图阴影部分所示，目标函数z 表示直线x ＋3y －z ＝0在x 轴上的截距，直线斜率为－13，由图可知，当x ＋3y －z ＝0过(2,2)点时，z 取最小值，为z min ＝2×3＋2＝8，过(2,4)点时取最大值为z max ＝3×4＋2＝14.12．(15分)设z ＝2x ＋y ，且x ，y 满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最值．【解析】 首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x ＋y ＝t ，t 是直线2x ＋y ＝t 的纵截距，这里A (1,1)，B (5,2)．显然，当直线2x ＋y ＝t 过A 点时，t 最小，过B 点时t 最大． ∴z max ＝12，z min ＝3.13．(20分)已知x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ≥10，2x －3y ≥－6，2x ＋y ≤10，求y ＋1x ＋1的取值范围．【解析】 作出可行域，如图阴影部分所示．设k ＝y ＋1x ＋1，因为y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)，表示平面区域内的点(x ，y )与点P (－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]．。

课时作业23简单线性规划时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．在如图所示的可行域内(阴影部分)，使目标函数z＝x－y取得最小值的点的坐标为(A)A．(1,1) B．(3,2)C．(5,2) D．(4,1)解析：由目标函数z＝x－y得到y＝x－z，作出直线y＝x，在平面直角坐标系中进行平移，显然当直线过点A(1,1)时，y＝x－z中的z 最小．2．若变量x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x－y≤0，x－3y＋5≥0，x≥0，则z＝x＋y的最大值为(D)A．0 B.53C．2 D.52解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，作直线x ＋y ＝0，上下平移，当直线平移到过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫58，158时，z＝x ＋y 取得最大值，所以z max ＝58＋158＝52.3．已知点(x ，y )构成的可行域如图阴影部分所示，z ＝mx ＋y (m 为常数)在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m 的值为( B )A ．－720 B.720 C.12D.720或12解析：观察平面区域可知直线y ＝－mx ＋z 与直线AC 重合，则⎩⎨⎧225＝－m ＋z ，3＝－5m ＋z ，解得m ＝720.4．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值为( B )A ．－1B ．1C ．2D ．－2解析：作出可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝x－z经过点A时，－z最小从而z最大，∴z max＝1.5．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2，则目标函数z＝x＋y(A)A．有最小值2，无最大值B．有最大值3，无最小值C．有最小值2，最大值3D．既无最小值，也无最大值解析：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥4，x－y≥1，x－2y≤2所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，画出y＝－x的图像．当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A.6．设x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y－4≤0，x＋y－1≥0，x≥0，y≥0，则目标函数z＝x2＋(y＋2)2的最小值是(B)A．4 B．5C．6 D．7解析：由约束条件作出可行域如图所示．又x2＋(y＋2)2表示区域内的点到点B(0，－2)的距离，当点(x，y)在点A(1,0)处时，(x2＋(y＋2)2)min＝5，∴z＝x2＋(y＋2)2的最小值为5.7．已知x，y满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≥0，x＋y≤s，y＋2x≤4，当3≤s≤5时，目标函数z＝3x＋2y的最大值的变化范围是(D)A．[6,15] B．[7,15]C．[6,8] D．[7,8]解析：当3≤s<4时，z＝3x＋2y的最大值在直线x＋y＝s，y＋2x ＝4的交点处取得，即在点(4－s,2s－4)处取得，此时z max＝4＋s，其取值范围是[7,8)；当4≤s≤5时，z＝3x＋2y的最大值在点(0,4)处取得，即z max＝8，故所求的取值范围是[7,8]．8．若A为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为( C )A.34 B ．1 C.74 D ．2解析：如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从－2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域．S 四边形ODEC ＝S △OBC －S △BDE ＝2－14＝74. 二、填空题9．设变量x ，y 满足约束条件：⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋2y ≤2，x ≥－2，则z ＝x －3y 的最小值为－8.解析：作出可行域如图阴影部分所示．可知当x－3y ＝z 经过点A (－2,2)时，z 有最小值，此时z 的最小值为－2－3×2＝－8.10．设实数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，y ≤x －1，y ≥0，则y x 的最大值为12.解析：画出可行域，如图阴影部分所示．yx 的几何意义表示区域内的点与原点连线的斜率，易知在点A (2,1)处取得最大值．11．目标函数z ＝3x ＋2y在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a 的取值范围是[2，＋∞)．解析：作出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y ≤0，y ≤a表示的平面区域，如图中阴影部分所示．因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行，根据题意及直线的斜率，可得实数a 的取值范围是[2，＋∞)．三、解答题12．设z＝2x＋y，且x，y满足下列条件：⎩⎪⎨⎪⎧x－4y≤－3，3x＋5y≤25，x≥1，求z 的最值．解：首先画出满足不等式组的可行域，由图知，(0,0)不在区域内．作一组平行线2x＋y＝t，t是直线2x＋y＝t的纵截距，这里A(1,1)，B(5,2)．显然，当直线2x＋y＝t过A点时，t最小，过B点时t最大．∴z max＝12，z min＝3.13．已知x、y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋5y≥10，2x－3y≥－6，2x＋y≤10，求y＋1x＋1的取值范围．解：作出可行域，如图阴影部分所示．设k＝y＋1x＋1，因为y＋1x＋1＝y－(－1)x－(－1)，表示平面区域内的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率，由图可知k P A 最小，k PC 最大，而A (5,0)、C (0,2)，则k P A ＝0－(－1)5－(－1)＝16，k PC ＝2－(－1)0－(－1)＝3，所以k ∈[16，3]，即y ＋1x ＋1的取值范围为[16，3]． ——能力提升类——14．已知点P (x ，y )，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥4，y ≤x ＋2，x ≤3，点A ，B 是圆x 2＋y 2＝2上的两个点，则∠APB 的最大值为π3.解析：由已知可得点P 在如图所示的阴影部分内(包含边界)运动，易知点P 位于圆外，当∠APB 最大时，应有P A ，PB 所在直线与圆相切，且点P 位于离圆心最近的H 处，又圆心到直线x ＋y －4＝0的距离d ＝22，连接OA ，则在Rt △OAP 中，OP ＝2OA ，所以∠OP A ＝π6，同理∠OPB ＝π6，因此∠APB ＝π3.15．已知x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0.(1)求x2＋y2的取值范围；(2)求4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y的取值范围．解：(1)作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3≥0，x－4y＋12≥0，4x－y－12≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为x2＋y2的几何意义是可行域内的点P(x，y)到坐标原点O的距离d的平方，所以由图可知d的最小值为点O到直线AC的距离，即|0＋0－3|2＝322；d的最大值为OB＝42＋42＝4 2.所以x2＋y2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤92，32.(2)4x×⎝⎛⎭⎪⎫12y＝22x－y，设z＝2x－y，则y＝2x－z，即z为直线y＝2x －z(记为直线l)在y轴上截距的相反数，由图可知当直线l经过点A 时，z取得最大值；当直线l经过点C时，z取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－3＝0，4x－y－12＝0，得A(3,0)，故z＝2x－y的最大值为2×3－0＝6；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －4y ＋12＝0，得C (0,3)，故z ＝2x －y 的最小值为2×0－3＝－3.综上，2x －y 的取值范围为[－3,6]，所以4x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，64.由Ruize收集整理。