数学物理方法 第五章

（20141113）第五章 贝塞尔函数的应用

一、定义

形如

222''()'()()()0xfxxfxxvfx

的二阶微分方程称为v阶贝塞尔方程。且

()()vfxJx

是方程的一个解。此外，当v不是整数时，

()()vfxJx

是方程的一个与()vJx线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为

12()()()vvfxCJxCJx

当v是整数时，

()()vfxYx

是方程的一个与()vJx线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为

12()()()vvfxCJxCYx

二、问题

1、考虑极坐标下的二维波动方程

212()ttrrrucururu

(,,)0, (,,0)(,), (,,0)0tubturfrur

根据变量分离法，首先假设 (,,)()()()urtRrTt

代入原微分方程后可得

212()()''()''()()()'()()()()''()()RrTtcRrTtrRrTtrRrTt

移项整理可得

1222''()''()()'()()()''()0()()()TtRrrRrrRrcTtRr

因此

22''()()0TtcTt

同时

1222''()'()''()0()()RrrRrrvRr

因此

2''()()0v

2222''()'()()()0rRrrRrrvRr

分别求解上述三个微分方程

对于方程2''()()0v，由于题目中没有给定的范围，因此

(,,)(,2,)urturt

即

()(2)

由于其通解为

012()(cossin)eCvCv

《数学物理方法》 （Methods of Mathematical Physics）

《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容： 复变函数（18学时），付氏变换（20学时），

数理方程（26学时）

第一篇 复变函数（38学时）

绪 论

第一章 复变函数基本知识4学时

第二章 复变函数微分4学时

第三章 复变函数积分4学时

第四章 幂级数4学时

第五章 留数定理及应用简介2学时

第六章 付里叶级数

第七章 付里叶变换

第八章 拉普拉斯变换

第二篇 数学物理方程 （26学时）

第九章 数理方程的预备知识

第十章 偏微分方程常见形式

第十一章 偏微分方程的应用

绪 论

含 义

使用数学的物理——（数学）物理

物理学中的数学——（应用）数学

Mathematical Physics

方 程

1x

222111cybxacybxa

tadtdx

)(taxdt

常微分方程

0222xdtxd

CtAxcos

偏微分方程——数学物理方程

0222222zyx

zyx,,

12xzyxUzyxmhthi,,22222222

tzyx,,,

复 数

1. 数的概念的扩充

正整数（自然数） 1，2，„

运算规则 ＋，－，×，÷，2，

－ 121

负 数 0，-1，-2，„

整 数 „，-2，-1，0，1，2，„

÷ 5.021 333.031

有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数

数学物理方法

Mathematical Method in Physics

西北师范大学物理与电子工程学院

豆福全

第五章 Fourier变换法

§5 . 0 引言

在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量x的积分

,baFftktdt

实质是将某函数类A中的函数f通过上述积分运算变成另一类函数类B中的函数F ，这里,kt 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如,itkte积分域,,ab则

itFftdte （为实变量）------------Fourier变换

,itkte 积分域,0,ab则

0tFftdte （为实变量）-------------Laplace变换

ft称为象原函数，F称为ft的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。

积分变换可用来求解方程（如微分方程）。原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。

积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier变换和Laplace变换。

§ 5 . 1 Fourier级数，积分和Fourier变

Chapter 5 定积分计算

Abstracts:留数定理及其应用——定积分、积分主值

一、留数定理和留数的求法(Residue theorem and residue calculations)

1．留数的定义：设0z是函数)(zf的孤立奇点(isolated singularity)，即除过0zz点以外函数)(zf是解析的，则)(zf在0z的留数定义为01Res()d2cfzfzzi，其中c为绕0z的闭曲线（c积分沿正方向进行）且内部无其它奇点，记号为0)(Reszzzf或)(Res0zf.

（1）有限远孤立奇点的留数：)(zf在0z邻域)0(0rzz内（不含其它奇点）的罗朗级数（Laurent series）展开的 1次幂项10)(zz的系数1a称为)(zf在奇点0z的留数。即011Res()d2cfzfzzai.

此定义基于如下的事实：

kkkzzazf0)(，其中 101()d2()kkcfzazizz.

令函数)(zf沿以孤立奇点0z为中心的一个圆周c积分

kckkckkkczzzazzzazzfddd)(00，

而 02 (1)d0 (1),kcikzzzk 所以 1()d2cfzzia.

可见，级数中仅仅101zza项对积分有贡献，积分后唯有1a这个系数留下来，故名之为留数(residue).

（2）无穷远点的留数：)(zf在以00z为中心，环zR内（不含其它奇点）的罗朗级数展开的1次幂项10)(zz的系数1a的反号称为)(zf在点的留数。即 11Res()d2cffzzai（此定义直观）。

这是因为：对于无穷远点，以z为展开中心、在区域zR里展开的罗朗级数与以00z为中心、在区域zR展开的罗朗级数有相同的形式: ().kkkfzaz 换言之，以00z为中心、在区域Rzb展开罗朗级数亦可，其中b任意（实际为z的邻域）。(Chapter 1:无穷远点只有一个，其模，而幅角不定)。