数学物理方法第二篇第3章
- 格式:doc
- 大小:429.50 KB
- 文档页数:15
第一章 典型的推导即基本概念本章讨论偏微分方程及其定解问题有关的基本概念和物理模型,讨论某些一般性的原理、方法。
这样,对从总体上了解课程的特点、内容、方法有重要的作用。
由于我们要讨论的这些偏微分方程都来自物理问题,因此我们先研究如何推导出这些方程,并给出相应的定解条件。
最后简单地介绍一下二阶线性偏微分方程的分类。
1.1弦振动方程与定解条件数学物理方程中研究的问题一般具有下面两个:一方面是描述某种物理过程的微分方程;另一方面是表示一个特定的物理现象的具体的表达式。
我们通过推导弦振动方程引入这些概念。
1.1.1方程的导出设有一根理想化的弦,其横截面的直径与弦的长度相比非常小,整个弦可以任意变形,其内部的张力总是沿着切线方向。
设其线密度为ρ,长度为l ,平衡时沿直线拉紧,除受不随时间变换的张力作用及弦本身的重力外,不受外力的影响。
下面研究弦作微小横向振动的规律。
建立坐标系如图1-1,所谓横向,是指运动全部在某一包含x 轴的xu 平面内进行,且在振动过程中,弦上各点在x 轴方向上的位移比在u 轴方向上的位移小得多,前者可以忽略不计。
因此用时刻t 、弦上的横坐标为x 的点在u 轴方向上的位移),(t x u 来描述弦的运动规律。
所谓“微小”,不仅指振动的幅度),(t x u 很小,同时认为切线的倾角也很小,即1<<∂∂xu, t 时刻,任选一段弦,其每一点的位置如图1-1所示。
其中MN t x u =),(,且弧s M M d =′现在建立位移),(t x u 满足的方程。
首先,我们将弦段M M ′上的运动,近似认为一个质点的运动。
根据牛顿运动定律,我们得到在x 轴方向,弦段M M ′受力总和为α′+α−=cos cos T T F x因为弦只作横向振动,在x 轴方向没有位移,因此合力为0,即0cos cos =α′+α−T T (1.1.1)由于是微小振动,因此α′α,近似为0,因此由泰勒公式L ++−=!4!21cos 42x x x当略去高阶无穷小时,有1cos cos ≈α′≈α代入(1.1.1)可以得到T T ′=在u 轴方向上,弦段N M ′受力的总和为s ρg T T F u d sin sin −α′′+α−=因为0≈α′≈α,所以x t x x u xt x u ∂+∂=α′≈α′∂∂=α≈α),d (tan sin ,),(tan sin x x xt x u s d d )),((1d 2≈∂∂+=图1-1弧段M M ′在t 时刻,沿u 方向运动的加速度近似为22),(tt x u ∂∂,x 为弧段M M ′的质心。
《数学物理方法》(Methods of MathematicalPhysics)《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课,是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程,为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容:复变函数(18学时),付氏变换(20学时),数理方程(26学时)第一篇复变函数(38学时)绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程(26学时)第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——(数学)物理 物理学中的数学——(应用)数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数(自然数) 1,2,…运算规则 +,-,×,÷,()2,- 121-=-负 数 0,-1,-2,…整 数 …,-2,-1,0,1,2,…÷ 5.021= 333.031=有理数(分数) 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数+虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位,作为运算符号。
第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数:()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w,级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么,∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。
这样,实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。
2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是,对于任一给定的正数ε,必有N 存在,使得n>N时,,1ε<∑++=pn n k kw其中,p 为任意正整数。
3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛,就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。
◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变,其和并不因此改变。
4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。
2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点,级数(3.1.6)都收敛,就叫做在B (或l )上收敛。
3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是,在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε,必有()εN 存在,使得()εN n >时,(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。
《数学物理方法》(Methods of MathematicalPhysics)《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课,是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程,为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。
课程内容:复变函数(18学时),付氏变换(20学时),数理方程(26学时)第一篇复变函数(38学时)绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程(26学时)第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——(数学)物理 物理学中的数学——(应用)数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数(自然数) 1,2,…运算规则 +,-,×,÷,()2,- 121-=-负 数 0,-1,-2,…整 数 …,-2,-1,0,1,2,…÷ 5.021= 333.031=有理数(分数) 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数+虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位,作为运算符号。
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而 ()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i x y C z i C=-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2lf z f dz iz απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限11010l i m l i m 1k k k k k k kk a z z aR a a z z +++→∞→∞->=-,即说明20102000()()()......()......k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1l i m1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑. 双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim{[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--. 推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xz zz π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,22z ==- 则221Re (22241z s i z z z π→--=+=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()}i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()}i m x G x m x d x G x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n )k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰, k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i l lk l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1. ()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()ptf p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()()c f t c f t c f pc fp ++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a . (5) 位移定理 ()()te f t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()()f t f t f p f p , 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为ux∂∂,xx u 意为22u x ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)u f M t n∑∂=∂第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sinn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k l k X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2…… (4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+. 初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(c o s )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(c o s )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l lr r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则 22200121(,)(c o s )(c o s )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
第三章 行波法和通积分法§2.3.1一维波动方程哥西问题达朗贝尔公式无限长均匀弦的自由振动归结为一维齐次波动方程的哥西问题:⎩⎨⎧==>+∞<<-∞=-)()0,(),()0,()0,(,02x x u x x u t x u a u t xx tt ψϕ 这个方程的特征方程为 0)(22=-at x d d ,所以波动方程是双曲型方程,有两组实的特征线1c at x =-,2c at x =+,作自变量的变换,令at x -=ξ,at x +=η, 应用复合函数求导法则,有ηξηξau au a u a u u t +-=⋅+-=)(,ηξηξu u u u u x +=⋅+⋅=11,ηηξηξξu a u a u a u tt 2222+-=,ηηξηξξu u u u xx ++=2,代入波动方程中,化简得0=ξηu ,利用偏导数的意义,得通解)()()()(),(at x G at x F G F t x u ++-=+=ηξ,其中F 和G 是任意二阶连续可微函数.由),(t x u 满足的初始条件来确定F 和G 的具体形式,于是 得函数方程⎩⎨⎧='+'-=+)()()(),()()(x x G a x F a x x G x F ψϕ 积分第二式得C ax G x F xx +=+-⎰ααψd 0)(1)()(,C 为积分常数.从而得2)(21)(21)(0C a x x F xx --=⎰ααψϕd ,2)(21)(21)(0C ax x G xx ++=⎰ααψϕd故得一维齐次波动方程哥西问题的解 ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(,这就是著名的达朗贝尔公式.通常称)(at x F -为右传播波(或右行波),称)(at x G +为左传播波(或左行波),a 为速度.所以这种解波动方程哥西问题的方法称为行波法,在数学上又叫通积分法.例1. 一端运动的半无限长均匀弦的自由振动,归结为求解下面的初边值问题:⎪⎩⎪⎨⎧+∞<≤==>=>+∞<<=-)0(),()0,(),()0,()0(),(),0()0,0(,02x x x u x x u t t t u t x u a u t xx tt ψϕμ a 是波的传播速度,当x ≥at 时,端点)(),0(t t u μ=的波动不会对解),(t x u 产生影响,所以这时ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(,(x ≥at )特别地,当at x =时,有)()(21)]2()0([21),(20t g aat t at u at≡++=⎰ααψϕϕd是已知函数.现在只需确定问题在0≤x at <处的解,由通解式)()(),(at x G at x F t x u ++-=,分别令0=x 与atx =可得⎩⎨⎧==+==+-)(),()2()0(),(),0()()(t g t at u at G F t t u at G at F μ由此导出,)0()2()(F ag G -=ββ, )0()2()()()()(F ag aG aF +---=---=ββμββμβ从而有)()(),(at x G at x F t x u ++-=)2()2()(aat x g ax at g ax at ++---=μααψϕϕμd ⎰+-+--++-=atx xat ax at at x ax t )(21)]()([21)(,(0≤x at <)故一端运动的半无限长均匀弦的自由振动问题的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+--++-≥+++-=⎰⎰+-+-)0(,)(21)]()([21)()(,)(21)]()([21),(at x a x at at x a x t at x a at x at x t x u atx xat atx at x ααψϕϕμααψϕϕd d 例2. 一端受力作用的半无限长均匀弦的自由振动问题.⎪⎩⎪⎨⎧==≥=>+∞<<=-),()0,(),()0,()0(),(),0()0,0(,02x x u x x u t t t u t x u a u t x xx tt ψϕμ因为a 是波的传播速度,当x ≥at 时,同样,端点0=x 的波动)(),0(t t u x μ=不会对解),(t x u 产生影响,因此在at x -≥0时有ααψϕϕd ⎰+-+++-=atx atx aat x at x t x u )(21)]()([21),(,(x ≥at )为了满足边界条件,为此求导得:)]()([21)]()([21),(at x at x aat x at x t x u x --+++'+-'=ψψϕϕ,于是当at x =时,有)()]0()2([21)]2()0([21),(t h at aat t at u x ∆=-+'+'=ψψϕϕ,在0≤at x <时的解)()(),(at x G at x F t x u ++-=,就有)()(),(at x G at x F t x u x +'+-'=当0=x 时得:)(),0()()(t t u at G at F x μ=='+-' 即 )()()(ξξμξG aF '--=',积分得 )()()(0ξττμξξ-+-=⎰-G a F ad ,由)(),(t h t at u x =,得)()2()0(t h at G F ='+',即 )0()2()(F ah G '-='ηη积分之,有ηττηη)0()(2)(20F h aG a'-=⎰d这样,在0≤at x <时,有)()(),(at x G at x F t x u ++-=ττμααψααψϕϕd d d ⎰⎰⎰--+-++-++=ax t xat atx aaax at at x 0)()(21)(21)]()([21)2)](0()0(21)0(21[at F a'--'+ψϕ 注意到 )0(21)0(21)0(ψϕaF -'=',因此得解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-++-++≥+++-=⎰⎰⎰⎰--++-)0(,)()(21)(212)()()(,)(212)()(),(00at x a a a x at at x at x a at x at x t x u ax t xat at x atx atx ττμααψααψϕϕααψϕϕd d d d 例3. 求解Cauchy 问题:⎪⎩⎪⎨⎧+===++==xx u x u u u u xy xxy yy xy xx cos 4,46431032解: 写出特征方程 0310)(32=+-xy x y d d d d得 03=-x y d d 或 03=-x y d d得到特征线 13c x y =-,23c x y =-,21,c c 为任意常数. 令 x y -=3ξ,x y 3-=η, 化简原方程为 6464=-ξηu 即 1=ξηu 得通解有)()(ηξξηG F u ++-=这里F ,G 为二阶可微函数.因此得原方程的通解)3()3()3)(3(),(x y G x y F x y x y y x u -+-+---=. 由24xuxy ==有224)2()2(4xx G x F x =-++,得函数方程 0)()(=-+x G x F , 由x x x x u x cos 4),(+=,而)3(3)3(610),(x y G x y F x y y x u x -'--'--=得 x x x G x F x cos 4)2(3)2(4+=-'-'-, 所以 2cos)(3)(x x G x F -=-'+',积分得 C x x G x F +-=--2s i n 2)(3)(, 这样就有 42sin21)(C x x F +-=,42sin21)(C x x G --=,因此问题的解23sin2123sin21)3)(3(),(y x y x x y y x y x u -+-+--=.例4. 求方程xyu y u y xyuu x y yy xyxx 32222=+++ 的通解.解:写出特征方程 02)(222=+-yxy xyx y x d d d d由于0)(222=--=∆y x xy ,所以方程是抛物型的方程,解得一族特征线:0=-ydx xdy , 有 1c xy =,1c 为实常数.作变量变换: xy =ξ,y =η,0110),(D ),(D 22≠-=-=xy xx y y x ηξ,这样原方程可化为ξηηη=+u u ,)0(≠y得通解 )()(ξξξηηg e f u +-=-, 故得方程的通解有)()(),(2xy g e x y f x yy x u y +-=-, 其中 f 和g 为任意二阶可微函数.§2.3.2一维非齐次波动方程的Cauchy 问题一维非齐次波动方程的Cauchy 问题:⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),()0,()0,(),,(2x x x u x x u t x t x f u a u t xx tt ψϕ 利用线性方程的叠加原理,考虑如下两个Cauchy 问题:问题I :⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(),()0,(),()0,()0,(,02x x x v x x v t x v a v t xx tt ψϕ它的解为ααψϕϕd aat x at x t x v atx atx ⎰+-+++-=)(212)()(),(问题II :⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞=-)(,0)0,(,0)0,()0,(),,(2x x u x u t x t x f u a u t xx tt如果这个问题的解),(2t x u 求出来,则原问题的解为 ),(),(),(2t x u t x v t x u += 对于问题II ,有齐次化原理(Duhamel ).齐次化原理:设0≥τ为参数,如果函数);,(τt x w 是Cauchy 问题⎩⎨⎧==>=-),();,(,0);,()(,02ττττττx f x w x w t w a w t xx tt的解,则函数ττd ⎰=tt x w t x u 0);,(),(是问题II 的解.事实上,⎰⎰=+=tt tt t t x w t x w t t x w u 00d );,(d );,();,(ττττ⎰⎰+=+=ttt ttt t tt t x w t x f t x w t t x w u 0d );,(),(d );,();,(ττττ⎰=txxxx t x wu 0d );,(ττ由此 ),(d )];,();,([),(022t x f t x w a t x w t x f u a u ttt tt xx tt ⎰=-+=-τττ.表明),(t x u 满足问题II 中的方程,满足初始条件是显然的. 对于这个问题的解,令τ-='t t ,这样把初始时刻是τ的转化为0='t ,问题就变为⎪⎩⎪⎨⎧==>'=-=''='''),(,0)0(,0002τx f w w t w a w t t t xx t t由达朗贝尔公式得 αταττd ⎰'+'-=+'t a x t a x f at x w ),(21);,(,于是得解ατατττd ⎰-+--=)()(),(21);,(t a x t a x f at x w ,这样问题II 的解为ταταττd d ⎰⎰-+--=t t a x t a x f at x u 0)()(2),(21),(,从而得一维非齐次波动方程的Cauchy 问题的解有ταταααψϕϕττd d d ⎰⎰⎰-+--+-++++-=t t a x t a x atx atx f aaat x at x t x u 0)()(),(21)(212)()(),(.§2.3.3高维波动方程的Cauchy 问题对于三维波动方程的Cauchy 问题的提法是⎩⎨⎧==++≡∆=),,()0,,,(),,,()0,,,()(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψϕ 用球面平均值法求解.现在将一维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解改写成ααψααϕd d ⎰⎰+-+-+∂∂=atx atx atx atx at tattt t x u )(2])(2[),(分析一下这个解的特点: (1)ααχd ⎰+-atx atx at)(21是被积函数)(αχ在区间],[at x at x +-上的算术平均值;积分值的大小依赖于区间中点x 和区间的半径长at ,因此它是两个变量),(t x 的函数,记为ααχd ⎰+-=atx atx att x v )(21),(.(2))(x χ是一个任意函数,但),(),(1t x tv t x u =,tt x tv t x u ∂∂=)],([),(2都满足方程 xx tt u a u 2=.(3)只要令)()(x x ψχ=,则),(1t x u 满足初始条件)()0,(1x x u t ψ=;若令)()(x x ϕχ=,那么),(2t x u 就满足初始条件)()0,(2x x u ϕ=,因此,叠加后的),(),(),(21t x u t x u t x u +=都满足初始条件:)()0,(x x u ϕ=,)()0,(x x u t ψ=.由此,启发我们仿照此就可构成三维波动方程Cauchy 问题的达朗贝尔解:球面方程:22222)()()(t a z y x =-+-+-ζηξ,记为Mat S ;球心:),,(z y x ;球半径:at ;球面M at S 的面积:224t a π.这样任意函数),,(z y x χ在球面Mat S 上的平均值为Sta t z y x v d ⎰⎰=ππζηξχπ20022),,(41),,,(σζηξχπππd ⎰⎰=200),,(41,这里球面M at S 上的点),,(ζηξ满足参数方程:⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=θζϕθηϕθξcos sin sin cos sin at z at y at x ϕθθd d d sin 22t a S =, ϕθθσd d d sin =这样对于三维波动方程Cauchy 问题:⎩⎨⎧==++≡∆=),,()0,,,(),,,()0,,,()(22z y x z y x u z y x z y x u u u u a u a u t zz yy xx tt ψϕ 的解为]),,(4[),,,(),(20022S ta tt t z y x u t M u d ⎰⎰∂∂==ππζηξϕπS ta t d ⎰⎰+ππζηξψπ20022),,(4]),,(4[200σζηξϕπππd ⎰⎰∂∂=tt σζηξψπππd ⎰⎰+200),,(4t这就是泊松公式,用球面平均值方法得到的.例5.利用泊松公式求解波动方程的Cauchy 问题⎪⎩⎪⎨⎧+==++===yz x u u u u u a u t t t zz yy xx tt 2002,0)(解:这里0),,(=z y x ϕ,yz x z y x +=2),,(ψ,令ϕθξcos sin at x +=,ϕθηsin sin at y +=,θζcos at z += 由泊松公式得问题的解 ]sin )]cos )(sin sin ()cos sin [(412002ϕθθθϕθϕθπππd d at at z at y at x au ⎰⎰++++=3222231)(])(34)(4[4ta t yz x at yz x t ++=++=πππ例6.试用降维法导出二维波动方程Cauchy 问题的解.二维波动方程的Cauchy 问题:⎩⎨⎧+∞<<-∞==>+∞<<-∞+=),(),,()0,,(),,()0,,()0,,(),(2y x y x y x u y x y x u t y x u u a u t yy xx tt ψϕ 所谓降维法就是把它看成三维问题的特殊情形,函数u 与z 无关,即0=z u ,所以,初值函数ϕ,ψ也与z 无关.现在由泊松公式来导出这个问题的解.由于初值函数ϕ和ψ与z 无关,因此沿球面Mat S 的积分可以用过点M 平行于平面0=z 的平面与球M at K 相截的圆形区域∑Mat上的积分来代替.球面元素S d 与平面元素)d d (d y x σ有S d d θσcos =,而aty x at atz 222)()()(cos ηξθ----==上半球面与下半球面的积分都用∑M at上积分代替,从而得),,(),(t y x u t M u =])()()(),()()()(),([21222222⎰⎰⎰⎰∑∑----+----∂∂=MatMaty x at y x at ta ηξηξηξψηξηξηξϕπd d d d 积分区域∑M at:222)()()(at y x ≤-+-ηξ.例7.非齐次波动方程的Cauchy 问题. 解:考虑带齐次初始条件的Cauchy 问题:⎩⎨⎧==+∆=0)0,,,(,0),,,(),,,(2z y x u t z y x u t z y x f u a u t tt用齐次化原理,对τ>t ,τ为参数,考虑问题⎪⎩⎪⎨⎧==∆=);,,();,,,(0);,,,(2τττττz y x f z y x w z y x w w a w ttt则由泊松方程得解]]),(),(),([4);,,,(200σττζτητξπττππd ⎰⎰-+-+-+-=t a z t a y t a x f t t z y x w 其中 ϕθξcos sin =,ϕθηsin sin =,θζcos =,那么容易验证函数⎰=tt z y x w t z y x u 0);,,,(),,,(ττd]]),(),(),([)(41200τσττζτητξτπππd d ⎰⎰⎰-+-+-+-=t a z t a y t a x f t t 就是带齐次初始条件的Cauchy 问题的解.。