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数学物理方法 第三章

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数学物理方法(王元明)第三章

数学物理方法(王元明)第三章

( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0
b 2 4ac A B 4 AB A 2 2 2 2 (d y ) a (d x ) 0 0 4 1 ( a ) 4 a 0 a 0 2 2 x y 双曲型方程 2u 2u 2 2 2 0 0 4 1 1 0 (d y ) (d x ) 0 2 2 x y 椭圆型方程 2 u u a2 2 0 2 4 1 0 0 (dy)2 0 t x 抛物型方程
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
e
( x at ) 2
]
1 2

x at x at

x at
2ase
s 2
ds

( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x at x at s 2

数学物理方法第三章-精品文档126页

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解 级数的部分和为
sn

1

z

z2

z k1

1 zk 1 z
,
(z

1)
26
z 1
z 1
lim
k
sk

1 1
z
lim z k 0
k

级数 zk 收敛,
k0

级数 zk 发散.
k0
由阿贝尔定理知: 收敛范围为一单位圆域 z 1,
在此圆域内, 级数绝对收敛, 收敛半径为1,
从某个k开始,
总有
z k
1, 2
于是有
zk kk


1 2
k
,
故该级数对任意的z均收敛. 11
(2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散. 例如,级数 1z22z2kkzk
当z0时, 通项不趋于零, 故级数发散. (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收 敛的正实数.
[证毕]
18
注意:
定理中极限 lim ak1 存在且不为零 . k ak
如果:

1.0, 则级数 ak zk 在复平面内处处收敛 ,
k0
即 R .
2.(极限不存在),
¥
å 则级数 ak zk 对于复平面内除 z = 0以外的一切 k=0
z 均发散, 即 R0.
19
课堂练习 试求幂级数
n p
wk ,
k n1
绝对收敛
式中 p 为任意正整数



若 wk uk2vk2 收敛，则称 w k 绝对收敛

《数学物理方法》第三章 1

《数学物理方法》第三章 1

∫
C
f ( z )dz = ∫ u ( x, y )dx − v( x, y )dy + i ∫ v( x, y )dx + u ( x, y )dy
C C
2. 参数方程的表达形式C: z=z(t) (t:α→β)
∫
C
f ( z )dz = ∫ f [ z (t )]z ′(t )dt
α
β
3.2 柯西积分定理
(u + iv )(dx + idy)
，则
f ( z )dz = udx − vdy + i(vdx + udy )
上式说明了两个问题： 上式说明了两个问题： (1) 当 f ( z ) 是连续函数，且C是光滑曲线时， 是连续函数， 是光滑曲线时， 一定存在； 积分 ∫C f ( z )d z 一定存在； (2)
长和弧长，两边取极限就得到 长和弧长，
∫
C
f ( z )d z ≤
∫
C
f ( z ) dz =
∫
C
f ( z ) ds
f 连续， （6）积分估值定理 若沿曲线 C ，(z) 连续，且f ( z ) ）
在
C上满足
f ( z ) ≤ M ( M > 0) ，则
C
∫
f ( z )d z ≤ M ⋅ l
其中 l 为曲线 C 的长度． 的长度．
k
)∆ y )∆ y
+
k
i ∑ [ v( ξ
]Hale Waihona Puke kkkk
k
k
由此可知， 由此可知，当 n →∞且小弧段长度的最大值 的分法如何， λ → 0 时，不论对C的分法如何，点(ξk ,ηk )的取法 如何，只要上式右端的两个和式极限存在， 如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么 左端的和式极限也存在， 连续， 左端的和式极限也存在，由于 f ( z ) 连续，则

《数学物理方法》第3章

《数学物理方法》第3章
1 k

(3.2.1) 其中所有的ak和b为复常数，b点称为幂级数 的中心，ak 为幂级数的系数。
32
§3.2.1 阿贝尔定理

定理
若幂级数 ，在某点z0收敛， 则级数在以b点为圆心, |z0-b|为半径的圆内绝
对收敛，并在
|z-b|≤q| z0-b| (0＜q＜1) (3.2.2)
的闭圆上一致收敛．

由比值法易得两级数之R1 =R2=1/3，故题设 级数的R=1/3．
50
(方法三）变量代换法．

令w=(3z)2，则
，易见
w平面与z平面中级数收敛半径的关系亦为
51
既然幂级数在收敛圆内收敛，
在收敛圆外发散．
那么，在收敛圆周上情况怎样
呢？
52
【例3.2.4】已知下述幂级数的收敛半径R=1， 问它们在收敛圆周上的敛散性如何？
设级数 在圆|z-b|= |z1-b|外的z2 点收敛(|z2-b| ＞ |z1-b|)．由阿贝尔定理可知， 该级数必在圆|z-b|= |z2-b|内收敛(z1点在该收敛 内)，这与级数在z1点发散的假设矛盾，推论 得证．
36
§3.2.2 收敛圆与收敛半径

阿贝尔定理及其推论表明： (1)幂级数 在某

除了直接用级数一致收敛的充要条件进行判别外，还 有两个很有用的判别法，如表3-2所示．
35
24
26
20
4. 一致收敛级数的重要性质
一致收敛级数的三个性质的
条件与结论之间的联系列于表3-3.


一致收敛级数性质(1)、(2)的证明见习题3.1.5 和习题3.1.6； 这里仅证明性质(3)，即证明 性质(3) 魏尔斯 特拉斯(Weierstrass)定理

数学物理方法_第三章_幂级数展开

数学物理方法_第三章_幂级数展开

数学物理方法_第三章_幂级数展开幂级数展开是数学物理中常用的一种方法，它是通过使用幂级数来表示一个函数，从而方便对函数进行近似计算和分析。

在许多问题中，幂级数展开可以简化计算的复杂性，帮助我们更好地理解问题的本质。

幂级数是一个无穷级数，形式为：f(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+a3(x-x0)^3+...其中，a0、a1、a2...是常数系数，x0是展开点。

幂级数展开可以将一个任意函数表示成一个级数，进而通过截断级数的方式来近似求解。

这种展开方法在物理学和工程学中得到广泛应用。

幂级数展开的理论基础是泰勒级数展开，泰勒级数展开是幂级数展开的一个特殊情况。

泰勒级数展开是指将任意可导函数在其中一点x0附近展开成幂级数。

泰勒展开的前n+1项可以用n阶导数来表示，形式如下：f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+f''(x0)(x-x0)^2/2!+f'''(x0)(x-x0)^3/3!+...+f^n(x0)(x-x0)^n/n!+...幂级数展开的应用非常广泛，它在数学、物理、工程学和计算机科学中都有着重要的地位。

以下是幂级数展开的几个典型应用：1.函数逼近幂级数展开是一种有效的函数逼近方法。

通过截断幂级数，我们可以用其前几项来近似计算函数的值。

这对于高阶函数和复杂函数来说是非常有用的，因为我们可以通过截断级数来减少计算的复杂性。

2.微分方程的求解使用幂级数展开的方法可以求解一些特定的微分方程。

对于一些微分方程，无法找到解析解，但通过将解展开成幂级数的形式，可以将微分方程转化为代数方程，从而求得解的逼近解。

3.近似计算幂级数展开是一种常用的近似计算方法。

通过截取幂级数的前几项，我们可以将一个复杂的函数近似成一个简单的形式，从而方便我们进行数值计算。

4.解析几何的研究在解析几何中，幂级数展开是研究曲线和曲面的重要工具。

通过展开曲线或曲面，我们可以对其性质进行分析和计算，帮助我们更好地理解几何问题。

数学物理方法复变函数第三章幂级数

数学物理方法复变函数第三章幂级数
阿贝尔判别法是通过对幂级数的部分 和进行估计来确定收敛半径的方法， 适用于幂级数的系数随幂次增加而趋 于零的情况。
柯西判别法是基于幂级数的系数和幂 次之间的关系来确定收敛半径的方法， 适用于已知幂级数展开的系数的情况。
比较判别法是通过比较两个幂级数的 系数来确定收敛半径的方法，适用于 已知两个幂级数展开的情况。
详细描述
通过将微分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数 的导数或积分，从而得到微分方程的解。这种方法在处理一 些复杂微分方程时具有明显的优势。
用幂级数求解积分方程
总结词
利用幂级数求解积分方程是一种有效的方法，能够得到精确的解或近似解。
详细描述
通过将积分方程转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的积分，从而得到积 分方程的解。这种方法在处理一些复杂积分方程时具有明显的优势。
收敛半径的概念
收敛半径是指幂级数展开的收敛域的半径，即幂级数在收敛域内可以收敛到原函数 的范围。
收敛半径的大小取决于幂级数的系数和幂次，可以通过比较相邻项的系数来确定。
如果收敛半径为正无穷大，则表示幂级数在整个定义域内都收敛；如果收敛半径为 零或负无穷大，则表示幂级数不收敛。
收敛半径的确定方法
确定收敛半径的方法有多种，其中常 用的有柯西判别法、阿贝尔判别法和 比较判别法等。
04
幂级数的应用实例
用幂级数求解初值问题
总结词
幂级数在求解初值问题中具有重要作用，能够将复杂的数学问题转化为易于解 决的形式。
详细描述
通过将初值问题转化为幂级数形式，可以方便地求解出函数的值，特别是在处 理一些难以直接求解的初值问题时，幂级数方法显得尤为重要。
用幂级数求解微分方程
总结词
利用幂级数求解微分方程是一种有效的方法，能够得到精确 的解或近似解。

数学物理方法讲义

《数学物理方法》（Methods of MathematicalPhysics）《数学物理方法》是物理类及光电子类本科专业学生必修的重要基础课，是在《高等数学》课程基础上的一门重要的应用数学类课程，为专业课程的深入学习提供所需的数学方法及工具。

课程内容：复变函数（18学时），付氏变换（20学时），数理方程（26学时）第一篇复变函数（38学时）绪论第一章复变函数基本知识4学时第二章复变函数微分4学时第三章复变函数积分4学时第四章幂级数4学时第五章留数定理及应用简介2学时第六章付里叶级数第七章付里叶变换第八章拉普拉斯变换第二篇数学物理方程（26学时）第九章数理方程的预备知识第十章偏微分方程常见形式第十一章偏微分方程的应用绪 论含 义使用数学的物理——（数学）物理 物理学中的数学——（应用）数学Mathematical Physics方 程1=x{222111c y b x a c y b x a =+=+()t a dtdx= ⎰=)(t a xdt常微分方程0222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x dt x d ω ()C t A x +=ωcos偏微分方程——数学物理方程0222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂z y x ψψψ ()z y x ,,ψψ=12=x()ψψψψψz y x U zy x m h t h i ,,22222222+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂()t z y x ,,,ψψ=复 数1. 数的概念的扩充正整数（自然数） 1，2，…运算规则 ＋，－，×，÷，()2，－ 121-=-负 数 0，-1，-2，…整 数 …，-2，-1，0，1，2，…÷ 5.021= 333.031=有理数（分数） 整数、有限小数、无限循环小数414.12=无理数 无限不循环小数 实 数 有理数、无理数i =-1 虚 数y i复 数 实数、虚数、实数＋虚数 yi x y x +,,2. 负数的运算符号12-=xi x ±=i 虚数单位，作为运算符号。

数学物理方法电子教案第三章

第三章 幂级数展开§3.1 复数项级数(一) 复数项级数 1.复数项级数定义 复数项级数：()1.1.3..., (211)++++=∑∞=k k kw w w w，级数中每一项都可分为实部和虚部k k k iv u w +=那么，∑∑∑∞=∞=∞=+=111k k k k k k v i u w 即一个复数项级数可以用两个实数项级数来表示。

这样，实数项级数的许多性质都可以用到复数项级数中。

2. 复数项级数收敛的柯西判据复数项级数(3.1.1)收敛的充分必要条件是，对于任一给定的正数ε，必有N 存在，使得n>N时，,1ε<∑++=pn n k kw其中，p 为任意正整数。

3. 复数项级数的绝对收敛如果复数项级数(3.1.1)各项的模(正实数)组成的级数)3.1.3( (1)221∑∑∞=∞=+=k k k k kv u w收敛，就把复数项级数(3.1.1)叫做绝对收敛。

◆ 绝对收敛的复数项级数必是收敛的◆ 绝对收敛的级数各项先后次序可以改变，其和并不因此改变。

4. 两个绝对收敛的复数项级数之积仍然绝对收敛n n m mk kk k q pqp •=•∑∑∑∞=∞=∞=1,11(二) 复变项级数(函数项级数) 1. 复变项级数定义()()()()()6.1.3..., (2)11++++=∑∞=z w z w z w z w kk k它的各项是z 的函数。

2.复变项级数收敛如果在某个区域B (或某根曲线 l )上所有的点，级数(3.1.6)都收敛，就叫做在B (或l )上收敛。

3.复变项级数收敛的柯西判据及一致收敛复变项级数(3.1.6) 在某个区域B (或某根曲线 l )上收敛的充分必要条件是，在B (或l )上各点z, 对于任一给定的小正数ε，必有()εN 存在，使得()εN n >时，(),1ε<∑++=pn n k kz w 式中p 为任意正整数。

数学物理方法教学Chapt3


对于与点z0紧邻z而言，Iz-z0I很小，上式中以am最为重要，则
这意味着F1-F2不可能在α上处处为零.这样，在α上处处为零，势必 使得在β上也处处为零，这与原来的假定矛盾！解析延拓唯一得证！
第三章 幂级数展开
3.1 复数项级数 3.2 幂级数 3.3 泰勒级数展开 3.4 解析延拓 3.5 洛朗级数展开 3.6 孤立奇点分类
两个级数和的乘积.
函数项级数收敛：如果函数项级数wk，
在某个区域B(或某根曲线l)上所有的点z都收敛，则称级数在B(或l)上 收敛.
复数项级数
函数项级数一致收敛：如果函数项级数wk在B(或l)上各点z，对于任
一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时，
式中p为任意正整数.若N跟z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛.
解析延拓就是解析函数定义域的扩大!
B F(z) b f(z)
解析延拓
解析延拓的方法
1. 利用泰勒级数展开：选取区域b的任一内点z0， 在z0的邻域上将解析函数f(z)展开为泰勒级数.如果泰勒 级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义 域就扩大一步;
2. 利用一些特殊方法.
解析延拓的唯一性证明
一给定的小正数ε，必有N存在，使得n>N时，
式中p为任意正整数.
绝对收敛：若复数项无穷级数wk各项的模组成的级数
收敛，则级数wk绝对收敛.
复数项级数
绝对收敛级数性质：
1.绝对收敛级数必是收敛的； 2.绝对收敛级数各项先后顺序可以任意改变，其和不变；
3.两个绝对收敛级数各项相乘得到的级数也是绝对收敛的，其和等于
数学物理方法梁昆淼编刘法缪国庆修订梁昆淼编刘法缪国庆修订讲演者徐卫青xuwq412mailustceducn数理系物理教研室第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类复数项级数表达式设有复数项的无穷级数它的每一项都可分为实部和虚部复数项级数它的每项都可分为实部和虚部它的每项都可分为实部和虚部那么wk的前n1项的和可以写为从而复数项无穷级数wk的收敛性问题归结为两个实数项级数的收敛性问题

《数学物理方法》第三章 2

f (ζ ) ∫ C ζ − z0 dζ 1 f (ζ ) f ( z 0 + ∆z ) = ∫ C ζ − z 0 − ∆z d ζ 2πi 1 f ( z0 ) = 2πi
z
从而有
f (z0 +∆z) − f (z0) 1 f (ζ ) f (ζ ) = dζ − ∫ dζ ∫C C ζ −z ∆z 2πi∆z ζ − z0 −∆z 0
1 = 2πi
f (ζ ) ∫ C (ζ − z0 )(ζ − z0 − ∆z )dζ
1 f (ζ ) ∆zf (ζ ) = dζ + ∫ dζ ∫C 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) 2πi (ζ − z0 ) 0 0
∆z f (ζ ) ds ∆zf (ζ ) I =| ∫ dζ |≤ ∫ 2 C (ζ − z )2 (ζ − z −∆z) C ζ − z0 ζ − z0 −∆z 0 0
f ( z) dz 的值可能也无 z − z0
∫
C
f ( z) dz = z−z
0
∫
z − z0 =δ →0
f ( z) dz → ∫ z−z
0
z − z0 =δ
f (z ) dz z−z
0 0
→ f ( z0 ) ∫
z − z0 =δ
1 dz = 2πif ( z0 ) z − z0
上面的猜想是否成立，我们即将进行证明 上面的猜想是否成立，我们即将进行证明.
iz iz z +i =1 z =− i
z （2）注意到函数 f (z) = ） 2在 5− z
z ≤ 2 内解析，而 i 在 内解析，
z = 2
内，由柯西积分公式得
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经过补充定义可去奇点b成为F(z)的解析点
2017/3/20 4
( z b) f ( z) F ( z) lim f ( z ) ( z b) z b
(2)极点 展开式中含有限个负幂项
f ( z)
( n m) lim ( z b) n f ( z ) a m 0 (n m) z b 0 ( n m) z f z n (n 0,1,2, ) 例如： 2
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推论二：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数，而且在D内 某一点a满足：
( n) f1 (a) f 2 (a), f1( n) (a) f 2 (a)(n 1,2,3, )
则
f1 ( z) f 2 ( z) ( z D)
解析函数的唯一性，是复变函数特有的性质，实变函数则 没有，它提供了解析延拓方法多样性的理论依据.
[ z cosh 易证：
2017/3/20
z]
1
(2n 1)2 2 (n 0,1,2,) 的单极点是0和 4
5
(3)本性奇点 含有(zb)的无限多负幂项(有限个负幂项 , 但无限个负幂项
f ( z ) 不存在. 就不存在极限了) lim z b
如z=0是 e
1 z
1 1 1 k e z ( z 0) k 0 k! z 1 的本性奇点 lim e z z x 0 1 z lim e z x 0 0
1 1 例： 2 2( k 1) 1 z k 0 z
( z 1),
z
是可去奇点
1 1 e k (0 z ), k 0 k! z
1 z

z
是可去奇点
z=∞是
2017/3/20
e
z
n n1 z a z a0 的n阶极点. 的本性奇点、 是 n1
( z 1), F ( z ) 1 ( z 1), F ( z) f ( z) ( z 1), 1 z
(Rez 0), F ( z )
f ( z ) e zt dt
0

1 ( z 0), F ( z ) f ( z ) (Rez 0) z
解析函数内部有着严格的约束关系(C—R条件，Cauchy公式等都 表明了这一点)，是可以进行解析延拓的根本原因，其解析延拓是 唯一的.
z=0是单极点，z=n(n=±1, ±2,…)是二阶极点.
z lim ( z n ) n (n 0) 2 z n sin z
2
z lim z n sin 2 z
极点
1 z lim ( z n ) 2 又∵ zn sin z
(n 0) (n 0)
( z D)
推论一：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数,且在某一点的邻域 内(或某一曲线段上)相等，则
f1 ( z ) f 2 ( z ) ( z D)
或者说：设f2(1)(z) 和f2(2)(z)都是f1(z)在区域D2内的解析延拓,则在区域 D2内 f2(1)(z) =f2(2)(z)。 显然解析函数ez、sinz、cosz等分别由实函数ex、sinx、cosx等唯一确定.各 种初等实函数的等式在复变函数中也成立. [例如]sin2z和cos2z都是全平面（不含∞）上的解析函数，在实轴上有sin2z= sin2x,2sinzcosz=2sinxcosx,且已知sin2x=2sinxcosx,可见sin2z与2sinzcosz是同一 解析函数,因此,有sin2z=2sinz cosz
z绕a点二周：
e 2 w1 w2 ( 0)
w e
1 i 0 4 2

e
i
0
2
x
w1
故z=a是 z a 的一阶支点，类似可讨论，∞也是 z a 的一阶支点(绕∞的正向与绕有限远点的逆向相同).
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2 例3 讨论函数 w z 1 的多值性. 解:
依据唯一性进行解析延拓有两类方法用泰勒级数或利用 函数关系进行.
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（三）全纯函数 能在全平面上进行泰勒展开的函数，称为全纯函数。
是单值函数，在全复平面，除无限远点外都解析。
作业：p71: 1
§3.3 Г函数
实变量Г函数，定义：
Γ( x) e t t x 1dt ( x 0)
（ 1 ）若z b是g ( z )的m阶零点，则z b是f ( z ) 1 / g ( z )的m阶极点。 （2）形如f ( z ) P( z ) / Q( z )类型的函数 若z b是P( z )的m阶零点，且是Q( z )的n阶零点 当n m时，z b是f ( z )的n m阶极点； 当n m时，z b是f ( z )的可去奇点； 当n m时，z b是f ( z )的m n阶零点；
f ( z)
k
k a ( z b ) k

(0 z b R1 )
（3.5.1）
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(1)可去奇点
b是f(z)的奇点，但展开式中无(z-b)的负幂项
f ( z) ak ( z b)k (0 z b R1 )
k 0
lim f ( z ) a0
z b
sin z 例如：z=0是 的可去奇点 z 4
sin z 1 2 z (1) k 2 k 1 z z z 3! 5! k 0 ( 2k 1)! lim sin z 1 z 0 z
(0 z )
但f(z)仍不能在 z b R1展开成泰勒级数， ∵z=b是f(z)的奇点，若
（二）解析延拓的唯一性
定理：设f1(z) 和f2(z)是区域D内的两个解析函数, 在D内某点列{zk}(k=1,2,…) 上f1(z) =f2(z)，而{zk}在D内至少有一个极限点,则：f1 ( z ) f 2 ( z )
点列{z k }如{z k 1 }, 当k 时， z k 0 k
f ( z ) , 则b是f(z)极点，其阶数m: 若 lim z b
m 1, am 0, 则b是f(z)的m阶极点，m=1时为单极点.
k m
k a ( z b ) k

(0 z b R1 )
此时， lim f ( z ) ,
z b


sin z
∵
Γ( z 2) z ( z 1)
(Re z 2, z 0,1)
(Re z (n 1), z 0,1,2, ,n)
…… 一直延拓至除了z=0,-1,-2,…等孤立奇点外的整个z平面.
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作业：p73: 2
§3.5 多值函数
复数中的幅角不唯一，使得在复平面上同 一点有不同的幅角 多值函数值的不同 导数则无从谈起，为此，扩大自变量 ( 宗量 ) 的定义域，使多值函数在更大区 域上单值化.
y z
0
z e
i
0
2
w1
i
z绕原点一周：w z e
2 i 0 2
z绕原点二周：
e 2 w1 w2 ( 0)
0
0
2+0
x
w e
1 i 0 4 2

e
i
0
2
w1
故z=0是 z 的一阶支点，类似可讨论，∞也是 z 的一阶支点(绕∞的正向与绕有限远点的逆向相同). z=0、∞是
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P65 例题
7
（三） 复变函数在无穷远点的性质
f(z)在z=∞邻域上展开)，即：
f ( z)
k
a z (R2 z )，
k k

其中正幂部分为主要部分，负幂部分为解析部分.
可去奇点：无z的正幂项 z m阶奇点，最高正幂项为z m (am 0) 本性奇点，无限多z的正幂项
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z 的二阶支点, 是
n
z (n-1)阶支点.
例2： w z a , z a ei0 (0 0 2 ) 则w z a
y z
0 a 2+0
e
i
0
2
w1
i
z绕a点一周：w z a e
0
2 i 0 2
(3) Γ(2z) 22z-1 1 1 3 Γ( z )Γ( z ), ( z 0, ,1, , ) 2 2 2
(4)利用函数解析延拓 ( z )
…… Γ( z n 1) z ( z 1) ( z n)
( z 1) z
(Rez 1, z 0)
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复变量Г函数，定义：
t z 1 Γ( z) e t dt (Re z 0,约定 arg t 0) 0

(1) Γ( z 1) zΓ( z),
(n 1) n!
(n正整数 )
π (2) Γ( z )Γ(1 z ) (z 整数), Γ(1) 1, Γ( ) , sin z 2
w ( z 1)(z 1)
z 1 z 1 e
w( z0 )
z0 1 z0 1 e
0 2
1 i 2 1 i (0 0 ) 2
8
思考与讨论题：
1.何谓孤立奇点？有哪些类型？如何判断奇点的类型？ 2.何谓函数的零点？如何判断零点的阶数？
作业：p67：1（1）（3）（5），2，3(1)(3)(5)